problème conditions initiales sur calcul de géodésiques

[fabio123]

Bonjour à tous,

j'ai développé en matlab une application visant à déterminer la trajectoire d'un rayon lumineux dans un espace euclidien (k=0) en expansion (métrique de Friemann Walker Robertson). L'image geo4.jpeg illustre cette modélisation. J'ai utilisé la méthode de runge kutta à l'ordre 4 pour résoudre numériquement un système de 4 équations différentielles du second ordre ( on peut donc se ramener à 8 équations du 1er ordre dans rk4). Les inconnues sont : le temps (c*t en fait), rho, theta et phi (elles sont toutes les 4 fonction d'un paramètre arbitraire "s" dans ce système d'ode ). J'obtiens la figure ( voir image geo2.pdf ) qui représente la trajectoire d'un rayon lumineux (en abcisse le temps exprimé en Megaparsec et en ordonnée la distance de la galaxie qui s'éloigne (trait plein) et celle du rayon lumineux (pointillé)). le rayon part d'une distance de 3000 Megaparsec. Les conditions initiales sont les suivantes :

(1) c*t=(2*c)/(3*H0) ( âge de l'univers dans un univers euclidien (avec lambda=0) multiplié par c )
(2) r=dist ( distance de la galaxie en Mégaparsec, 3000 ici)
(3) theta=pi/2
(4) phi=pi/2

(5) d(r)/ds=-1
(6) d(theta)/ds=0
(7) d(phi)/ds=0

De par la définition de la métrique de FWR, il y a une relation entre les dérivées premières (par rapport au paramètre arbitraire "s") des quatres variables (c*t, r, theta, phi). On peut donc déduire d'après (5) (6) (7), d(ct)/ds :

d(ct)/ds=sqrt((R0*R0*(3*H0)/(2*c)*ct)^(4/3)*((d(r)/ds)^(2)+r^(2)*(d(theta)/ds)^(2)+r^(2)*(sin(theta))^(2) *(d(phi)/ds)^(2)));


Maintenant, j'aimerais pouvoir simuler la trajectoire de deux rayons lumineux ( et + par la suite ) représentant chacun les extrémités d'une galaxie ( voir image galax.jpeg). J'utilise une boucle ( 2 itérations pour l'instant) dans laquelle j'appelle le solver d'ode de matlab) :

for j=0:1

%les C.I sont :
theta=pi/2;
phi=-0.05+0.1*j;
r=dist/(cos(phi));

.... appel du solver d'ode

end

Le problème est que les deux rayons ne convergent pas vers le même point comme sur l'image galax.jpeg. J'obtiens la figure geo3.pdf qui est un zoom sur l'arrivée des deux rayons dans notre galaxie.

Comment faire en sorte que les deux rayons convergent, dois-je modifier d(theta)/ds et d(r)/ds simultanément et si oui, de quelle façon ?

D'une manière générale, comment modéliser une source lumineuse telle qu'une galaxie et les C.I du départ de ses rayons lumineux afin de les faire converger et ainsi déterminer l'angle alpha ( voir galax.jpeg) sous lequel on pourrait les observer dans un télescope ?

Merci d'avance pour vos réponses.
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[invite8d48d244]

J'ai rien compris!!!!! MDR

[vaincent]

Comment faire en sorte que les deux rayons convergent, dois-je modifier d(theta)/ds et d(r)/ds simultanément et si oui, de quelle façon ?

D'une manière générale, comment modéliser une source lumineuse telle qu'une galaxie et les C.I du départ de ses rayons lumineux afin de les faire converger et ainsi déterminer l'angle alpha ( voir galax.jpeg) sous lequel on pourrait les observer dans un télescope ?

Peut-être que tu peux voir le problème à l'envers. Tu envois 2 rayons lumineux de notre galaxie dans des directions différentes, et tu cherches quel doit-être l'angle entre ces 2 rayons afin qu'ils arrivent aux bords de la galaxie éloignée. Dans un espace euclidien, c'est de la géométrie élémentaire, mais il faut tout de même tenir compte du facteur d'échelle, d'où l'intérêt de chercher l'angle de manière empirique gràce à ta modélisation.