Conditions initiales a t different de 0 ?

[Gpadide]

Bonjour, je poste en physique car on rencontre plus souvent ca dans les problemes de physique (meca par exemple) et que je veux une explication, la moins lourde possible en terme de théorie mathématique.

Je trouve une equadiff du type y''+a²y=cste et une solution : y(t)=Acos(at)+Bsin(at)+K. On me donne des conditions a un temps t1 non nul y'(t1) et y(t1). Je voudrais en déduire A et B comme il est simple de le faire lorsque t1=0. J'ai esssayé de passer par les complexes, on plus simplement de dériver et de remplacer par t1 mais cela donne des systemes d'equations que je ne sais pas resoudre. Je sais qu'il existe un moyen, par simple translation de variable, pour trouver simplement A et B . Pouvez vous m'aider ? Merci a vous.
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[pephy]

bonjour,
poser u=t-t1
la solution sera y(u)=Acos(a.u)+Bcos(a.u)+K

[shamrock]

Salut

1) tu calcules : y(t1) = Acos(a*t1)+Bsin(a*t1)+K
Il te reste une expression en A et B
2) tu dérives y(t)=Acos(at)+Bsin(at)+K
tu calcules. Il te reste une deuxième équation en A et B

Ca tu sembles l'avoir déjà fait.

3) tu as un système de deux équations à deux inconnues (A et B). De là tu peux par exemple exprimer A en fonction de B dans la première équation. Tu remplaces les A de la deuxième équation avec l'expression que tu viens d'obtenir. Tu obtiens donc la valeur de B. Tu remplaces ça dans l'expression de A et voilà !

[Gpadide]

3) tu as un système de deux équations à deux inconnues (A et B). De là tu peux par exemple exprimer A en fonction de B dans la première équation. Tu remplaces les A de la deuxième équation avec l'expression que tu viens d'obtenir. Tu obtiens donc la valeur de B. Tu remplaces ça dans l'expression de A et voilà !

Je ne sais pas resoudre les systemes non lineaires et je pense que c une methode trop fastidieuse pour un probleme simple



Pephy c ta methode que j'attendais mais je bloque justement apres car en u =0, on a pas les conditions initiales

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedbd456d8]

Attention, A et B sont en dehors des lignes trigos. C'est linéaire en A et B!!!

[shamrock]

Attention, A et B sont en dehors des lignes trigos. C'est linéaire en A et B!!!

Exactement, là tu cherches à définir les valeurs de A et B.

Tu obtiens
k1=k2*A+k3*B
k4=k5*A+k6*B

où les k sont des nombres. Tu résouds alors ton système linéaire en A et B.

[Gpadide]

Attention, A et B sont en dehors des lignes trigos. C'est linéaire en A et B!!!

Oui pardon c pas ca que je voulais dire, c que ca fait intervenir des quotients de sinus et de cosinus, et bcp de formules de trigo pour avoir une expression simple, j'aimerais qu'on m'explique la methode de translation de la variable qui semble plus rapide.

[Gpadide]

bonjour,
poser u=t-t1
la solution sera y(u)=Acos(a.u)+Bcos(a.u)+K

Comment fait tu si tu ne connais pas les conditions initiales en zero ?

[zoup1]

si tu connais les conditions en t=t1 tu connais les conditions en u=0

[Gpadide]

si tu connais les conditions en t=t1 tu connais les conditions en u=0

Ce qui me semble bizarre c que je trouve du y(t-t1)=y1cos(a(t-t1))+(y1'/a)sin(a(t-t1)) et que cette fonction ne dépend pas de t1, comme on le voit en y remplaçant t par t+t1...

[invite4ef352d8]

il s'agit la de y(t) et non pas de y(t-t1) que tu as ecrit juste au dessu.


tu peut d'ailleur verifé que y ainsi definit verifie bien les condition voulu

[Gpadide]

il s'agit la de y(t) et non pas de y(t-t1) que tu as ecrit juste au dessu.


tu peut d'ailleur verifé que y ainsi definit verifie bien les condition voulu

Peux tu m'expliquer pourquoi ? car on partait bien de y(u)=Acos(a.u)+Bcos(a.u)+K, donc pkoi un des u se transformerait en t et pas les autres ?

[pephy]

bonsoir,
y est fonction de u ou fonction de t selon ce qu'on écrit à droite.
y(u) devient y(t) dès qu'on remplace u par t-t1

[Gpadide]

bonsoir,
y est fonction de u ou fonction de t selon ce qu'on écrit à droite.
y(u) devient y(t) dès qu'on remplace u par t-t1

Je ne comprends toujours pas : qd je remplace u par t-t1 dans y(u), je trouve y(t-t1) !!

[zoup1]

Bon,

Je pense que le problème vient du fait de l'utilisation du même nom de la fonction pour 2 fonctions qui sont différentes (y(u) et y(t))
En physique les "fonctions" sont des choses qui ont un sens. L'altitude (y) reste une altitude et on la note souvent de la même façon que l'on exprime comme une fonction de t ou comme une fonction de t-t1, même si la fonction mathématique correspondante est différente.

En math, les fonctions sont des choses abstraites qui s'appliquent à des choses abstraites. La fonction y(t) et la fonction y(t-t1) sont des fonctions différentes.

Il faut savoire faire la différence entre ces 2 visions. Si tu as un problème avec cela il est sans doute préférable d'appeler avec des noms différents des fonctions différentes ou dire quelque chose du genre :
y = f(t) = g(t-t1)

J'espère que cela aide !!! Il faut parfois jeter le trouble pour obtenir une éclaircie...

[Gpadide]

Bon,

Je pense que le problème vient du fait de l'utilisation du même nom de la fonction pour 2 fonctions qui sont différentes (y(u) et y(t))
En physique les "fonctions" sont des choses qui ont un sens. L'altitude (y) reste une altitude et on la note souvent de la même façon que l'on exprime comme une fonction de t ou comme une fonction de t-t1, même si la fonction mathématique correspondante est différente.

En math, les fonctions sont des choses abstraites qui s'appliquent à des choses abstraites. La fonction y(t) et la fonction y(t-t1) sont des fonctions différentes.

Il faut savoire faire la différence entre ces 2 visions. Si tu as un problème avec cela il est sans doute préférable d'appeler avec des noms différents des fonctions différentes ou dire quelque chose du genre :
y = f(t) = g(t-t1)

J'espère que cela aide !!! Il faut parfois jeter le trouble pour obtenir une éclaircie...

Je comprends ce que tu veux dire mais la on a une fonction de t a gauche (y) et a droite (cos et sin) du signe egal. Donc je ne comprends pas comment on arrive a un truc de la forme y(t)=f(t-t1)

[zoup1]

Ton problème de départ
y est une fonction de t ; y(t)
y'' + a² y = 0 avec les C.I. y(t1) = y1 et y'(t1)=y'1
Cela ne te plait pas d'avoir des "conditions initiales" en t=t1. (Note bien qu'ici ce n'est pas du tout génant mais bon...)

On change le problème pour se ramener à un problème avec des "conditions initiales" en "t=0" sauf qu'on va pas l'appeller t mais u pour éviter les confusions... c'est juste un changement d'heure on pose donc u=t-t1 et y(t) = g(u) =g(u(t))
du coup y'(t)= g'(u).u'(t)=g'(u)
de la même façon y''(t)=g''(u).u'(t) = g''(u)

Du coup ton équaton différentielle de départ devient :
g'' + a² g = 0 et les C.I. g(0) = y1 et g'(0)=y'1

Note : C'est la même que celle de départ parce que le changement de variable est très simple et que l'équation est très simple... En fait c'est seulement le reflet du fait qu'il n'y a pas vraiment besoin de tout cela pour arriver à ses fins.

Voilà, du coup tu es raméné au problème qui t'interesse avec des conditions initiales en 0.

[Gpadide]

Ton problème de départ
y est une fonction de t ; y(t)
y'' + a² y = 0 avec les C.I. y(t1) = y1 et y'(t1)=y'1
Cela ne te plait pas d'avoir des "conditions initiales" en t=t1. (Note bien qu'ici ce n'est pas du tout génant mais bon...)

On change le problème pour se ramener à un problème avec des "conditions initiales" en "t=0" sauf qu'on va pas l'appeller t mais u pour éviter les confusions... c'est juste un changement d'heure on pose donc u=t-t1 et y(t) = g(u) =g(u(t))
du coup y'(t)= g'(u).u'(t)=g'(u)
de la même façon y''(t)=g''(u).u'(t) = g''(u)

Du coup ton équaton différentielle de départ devient :
g'' + a² g = 0 et les C.I. g(0) = y1 et g'(0)=y'1

Note : C'est la même que celle de départ parce que le changement de variable est très simple et que l'équation est très simple... En fait c'est seulement le reflet du fait qu'il n'y a pas vraiment besoin de tout cela pour arriver à ses fins.

Voilà, du coup tu es raméné au problème qui t'interesse avec des conditions initiales en 0.

Oui et qd je résous cette equadiff je trouve : g(u) = ... et non pas g(t)

[shamrock]

Salut

T'as l'air un peu perdu.
Je te rappelle juste que les conditions initiales vont te permettre de déterminer tes constantes A et B.
Que tu passes par une résolution directe avec tes condtions initiales y(t1), y'(t1) ou par une résolution avec une translation dans le temps par g(u), tes constantes A et B restent les mêmes.

[Gpadide]

Salut

T'as l'air un peu perdu.
Je te rappelle juste que les conditions initiales vont te permettre de déterminer tes constantes A et B.
Que tu passes par une résolution directe avec tes condtions initiales y(t1), y'(t1) ou par une résolution avec une translation dans le temps par g(u), tes constantes A et B restent les mêmes.

Ok mais la resolution permet aussi de trouver A et B tels que y(t-t1)=Acos(a(t-t1))+Bsin(a(t-t1))+K. Cela veut il dire que y(t-t1)=y(t) pour tout t ??? J'ai l'impression de bloquer sur un truc tres simple mais en 18 reponses j'en ai toujours aucune qui me convient.

[zoup1]

Ok mais la resolution permet aussi de trouver A et B tels que y(t-t1)=Acos(a(t-t1))+Bsin(a(t-t1))+K. Cela veut il dire que y(t-t1)=y(t) pour tout t ??? J'ai l'impression de bloquer sur un truc tres simple mais en 18 reponses j'en ai toujours aucune qui me convient.

Si on reprends la notation de mon message précédent, il faut dire g(t-t1) = y(t) pour tout t.

g(x) et y(x) ne sont pas les mêmes fonction d'une variable. Par contre les valeurs de ces fonctions coïncident ; g(x=t-t1) = y(t)

[zoup1]

On peut reprendre les mêmes choses mais plutôt à la physicienne...

cette fois y n'est pas une fonction d'une variable mais une grandeur physique disons une hauteur.
Le problème de départ s'écrit :
d²y/dt² + a² y =0 avec comme C.I. y(t=t1)=Y1 et dy/dt(t=t1)=y'1

Maintenant on fait un décalage en temps pour se ramener à des conditions initiales en 0; soit on pose t'=t-t1
Du coup les conditions initiales deviennent y(t'=0)=y1 et y(t'=0)= y'1.

l'équation différentielle devient
d²y/(d(t'+t1))² + a² dy/d(t'+t1) = 0
ou encore
d²y/dt'² + a² dy/dt' = 0
Ensuite tu résouds cette équation différentielle qui ressemble tout à fait à ce que tu sais faire tu tombes sur y(t') et tu en déduis l'expression du y(t) simplement en remplacant le t' par son expression en fonction de t dans l'expression que tu as trouvée.

[Gpadide]

Alors ou est mon erreur dans le raisonnement suivant ? (j'ai enlevé les a dans les cos et sin pour simplifier les notations):
on cherche A et B tels que y(t)=Acost+Bsint, on procede au changement de variable u=t-t1 et donc :
y(u)=Acosu+Bsinu avec conditions initiales a u=0. On trouve alors facilement A et B et on en déduit y(u)=Acosu+ Bsinu en remplaçant A et B par leurs valeurs en fonction des conditions initiales. On en déduit, en rechangeant de variable y(t-t1)=Acos(t-t1)+Bsin(t-t1).

Zoup je comprends ton explication sur le nom des fonctions mais il ne m'aide pas ici.

Remarque : je trouve bien y(t)=Acos(t-t1)+ B sin(t-t1) et resolvant le systeme imposé par les conditions a t1 (c a dire sans changer de variable) mais cette methode me semble bcp plus longue (a cause des formules trigo) que celle sur laquelle je vous questionne (chgt de variable)

[zoup1]

Si cela reste difficile, je pense que le seul moyen pour progresser c'est de sortir des choses un peu abstraites et de passer à un cas concret... Si tu veux, on peut reprendre un des exercices qui t'a amené à soulever se problème et voir (en faisant bien attention au point que tu as soulevé) ce qu'il faut faire.

[Gpadide]

Si cela reste difficile, je pense que le seul moyen pour progresser c'est de sortir des choses un peu abstraites et de passer à un cas concret... Si tu veux, on peut reprendre un des exercices qui t'a amené à soulever se problème et voir (en faisant bien attention au point que tu as soulevé) ce qu'il faut faire.

Mon probleme c justement que je suis d'accord avec le cas concret puisque je trouve bien le bon résultat, mais je suis géné par le coté rigoureux (mathématique) du probleme. (Cf trouver mon erreur dans mon poste précédent)

[zoup1]

Nos posts se mélange... j'ai faillit ne pas voir celui-ci. As tu vu mon précédent post sur l'approche à la physicienne ?

Alors ou est mon erreur dans le raisonnement suivant ? (j'ai enlevé les a dans les cos et sin pour simplifier les notations):
on cherche A et B tels que y(t)=Acost+Bsint, on procede au changement de variable u=t-t1 et donc :
y(u)=Acosu+Bsinu avec conditions initiales a u=0. On trouve alors facilement A et B et on en déduit y(u)=Acosu+ Bsinu en remplaçant A et B par leurs valeurs en fonction des conditions initiales. On en déduit, en rechangeant de variable y(t-t1)=Acos(t-t1)+Bsin(t-t1).

Zoup je comprends ton explication sur le nom des fonctions mais il ne m'aide pas ici.

Remarque : je trouve bien y(t)=Acos(t-t1)+ B sin(t-t1) et resolvant le systeme imposé par les conditions a t1 (c a dire sans changer de variable) mais cette methode me semble bcp plus longue (a cause des formules trigo) que celle sur laquelle je vous questionne (chgt de variable)

Je ne suis tout à fait sur de comprende ce que tu ne comprends pas. Quand tu dis "Où est mon erreur ?", c'est ce bout là qui t'embête ? "y(t-t1)=Acos(t-t1)+Bsin(t-t1)"

Le changement de variable, ce n'est pas dans la solution à l'équation qu'il faut le faire mais dans l'équation elle-même de façon à se ramener à une équation de type connu (ou en tout les cas comme on a envie qu'elle soit). Ce qu'il faut postuler c'est la solution de l'équation après avoir fait le changmeent de variables et non pas la solution de l'équation avant le changmenet de variable.
C'est peut-être là le noeud du problème ?

[Gpadide]

C'est tout a fait ca, je te remercie, c'est clair maintenant. (=