bonjour à tous,
j'ai un petit problème avec une EDP classique :
d²(u(x,t))/dt²=a²*d²(u(x,t))/dx² (equation des ondes avec a réél fixé, x réel et t strictement positif)
je connais la forme générale des solutions : u(x,t)=h(a*t+x)+g(a*t-x)
mais il y a deux conditions initiales : u(x,0)=f(x) (f fonction connue) et d(u(x,0))/dt = 0
je dois donc trouver u(x,t) solution..
je n'arrive pas trop à bien me servir des CI pour répondre à la question..
Merci d'avance pour vos réponses
Bonjour,
Tu as, donc
Les conditions initiales sont
Cette dernière condition fournit, par intégration,
La solution est donc
Bonsoir:
Il y a une autre possibilité ( methode de Bernouilli) a savoir chercher si elle existe une solution tel que : u(x,t) = f(x).g(t)
donc notre équation : d²(u(x,t))/dt²=a²*d²(u(x,t))/dx² devient
f(x).g°°(t) = a².g(t).f ''(x).......-e-
avec g°(t) = dg(t)/dt et f '(x) = df(x)/dx
donc -e- devient : a².f ''(x)/f (x) = g°°(t)/g(t)
on a deux membres qui sont égales quelque soient x et t donc les deux membres sont constants puisque le premier depend que de x et le second depend que de t.
on doit avoir donc: a².f ''(x)/f (x) = g°°(t)/g(t) = constante = - W²
donc un systeme d'equations:
1- g°°(t) + W².g(t) = 0 donc g(t) = A.sin(W.t) +B.cos(W.t)
Rq si on prend la constante positive g(t) = A.exp(W.t) + B.exp(-W.t) ne sera pas bornée et donc c'est une eventualité a rejeter
2- f ''(x) + [W/a]²f (x) =0
donc : f(x) = C.sin[(W/a).x] + D.cos[(W/a).x]
Conditions initiales:
C1 : d(u(x,0))/dt = 0 donc : f(x).g°(0) =0 ce qui donne g°(0)=0
Or : g°(t) = A.W.cos(W.t) - B.W.sin(W.t)
g°(0)=0 implique A =0
Donc g(t) devient : g(t) = B.cos(W.t)
et u(x,t) = f(x).cos(W.t) avec les constantes C' = C.B et D' = D.B
Donc la nouvelle expression de f(x) = C'.sin[(W/a).x] + D'.cos[(W/a).x]
C2 :u(x,0)=f(x) implique g(0) = 1 ce qu'est verifier puisque cos(0) =1
Rq : pour determiner les constantes C' et D' il faut imposer des condition aux limites ( des conditions dans l'espace)
la solution peut exister sous cette forme en attendant de voir si elle verifier les condition aux limites:
u(x,t) = f(x).cos(W.t) = {C'.sin[(W/a).x] + D'.cos[(W/a).x]}.cos(W.t)
merci beaucoup !!
