Analyse

[invitea75ef47e]

Bonjour!!

Soit f(l)= ln(pe^lq+qe^-lp) avec q=1-p pour tout l>0.
Soit exp(-n(lx-f(l))).

Je sais que pour tout l>0 f''(l)< ou egal à 1/4.
Il faut que je montre qu'alors exp(-n(lx-f(l))) < ou egal à exp(-2nx^2).

En fait l'idée c'est de choisir l pour le faire disparaitre et pour ça à ce qui parait il faut faire l'étude de la fonction (-n(lx-f(l)) en fixant x.
C'est peut etre un peu moins incompréhensible. Mais pas pour moi ^^.
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[God's Breath]

Je sais que pour tout l>0 f''(l)< ou egal à 1/4.
Il faut que je montre qu'alors exp(-n(lx-f(l))) < ou egal à exp(-2nx^2).

En fait l'idée c'est de choisir l pour le faire disparaitre et pour ça à ce qui parait il faut faire l'étude de la fonction (-n(lx-f(l)) en fixant x.

Le problème est toujours aussi incompréhensible !
Que veut-on prouver :
–
–
–
–
– une autre combinaison de quantificateurs
Dans quels ensembles et vivent respectivement et ?
L'entier vit-il dans ? dans ? dans autre chose ?

[invitea75ef47e]

n appartient à N*.

Il faut montrer que: soit x>0 exp(-n(lx-f(l))< exp(-2nx^2.)
il faut donc éliminer l. Et pour cela le choisir de façon à ce que notre inégalité soit vérifée.

[invitea75ef47e]

pour le reste je ne sais pas. je pense que x et l sont des réels strictement positifs...

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Pour être encore plus précis : veut-on ou ?

[invitea75ef47e]

La encore ce n'est pas précisé. Mais je suppose que c'est pour tt l puisqu'il faut faire une étude de fonction.

[invitea75ef47e]

et trouver le max ou le min de cette fonction.

[God's Breath]

Comme cela t'a déjà été dit, on a .

Soit , alors , et l'inégalité n'est pas vraie pour , et même pour dans un voisinage de 0, dès que est non nul.

[invitea75ef47e]

sauf si justement je pose que x=l/4 (c'est juste un exemple). En fait il faut que je choisisse l en l'écrivant comme avec x.

[invitea75ef47e]

De plus l ne peut pas etre égale à 0 puisuqe il est strictement positif.

[God's Breath]

sauf si justement je pose que x=l/4 (c'est juste un exemple). En fait il faut que je choisisse l en l'écrivant comme avec x.

On ne peut pas poser puis choisir en fonction de ...

J'en reviens à ma question : quelles sont les quantifications qui portent sur et sur , et dans quel ordre interviennent-elles.

On fixe , quelconque, ou bien on prend un qui nous arrange ? Puis on cherche une valeur de qui convient, ou bien on veut que toute valeur de convienne ?

On fixe , quelconque, ou bien on prend un qui nous arrange ? Puis on cherche une valeur de qui convient, ou bien on veut que toute valeur de convienne ?

Un énoncé imprécis ne peut pas donner lieu à une réponse ; on ne comprend pas quel résultat tu veux obtenir, et on l'impression que tu ne le sais malheureusement pas toi-même.

[Garf]

Ca ressemble à un exercice de probabilités : montrer la sous-gaussianité d'une variable aléatoire de Bernouilli, avec le bon coefficient, en utilisant les bornes de Chernov et en optimisant.

Dans cette optique, le but serait de montrer que :

Bref, montrer que :

Et effectivement, le choix de l dépend de celui de x.

[invitea75ef47e]

Oui c'est ça que j'ai! Mais malheureusement je ne sais pas comment faire pour le résoudre.

[Garf]

La méthode est simple : la fonction qui à l associe lx-f(l) est dérivable sur les réels strictement positifs.
Il suffit de la dériver ; a priori, sa dérivée va s'annuler en un unique point l*(x). On peut s'attendre à ce que xl*(x)-f(l*(x)) soit le maximum de lx-f(l) (mais pas besoin de le démontrer). Il suffit alors de calculer xl*(x)-f(l*(x)), et si tout va bien on devrait trouver une valeur supérieure à 2x^2.

[invitea75ef47e]

Mais à quel moment dois je me servir du fait de f''(l)< egal à 1/4?

[Garf]

Ah oui, j'avais oublié. Bon, dans ce cas, il y a plus simple.
.
.
.
En intégrant, on obtient :
.
On minore ensuite lx-f(l) grâce à cette inégalité :


Ensuite, il suffit de faire ce que j'ai dit dans mon message précédent non plus avec lx-f(l), mais sur lx - l^2/2 -l/4 (bref : on dérive cette expression selon l, on regarde quand cette dérivée s'annule, et on évalue cette expression en cette valeur).

[invitea75ef47e]

Pourquoi a t on
[. ? et pas f(l)< l^2/8

[God's Breath]

Parce que
1. et non pas .
2. fournit par deux intégrations successives puis et non pas .

On a donc la minoration : .

Et cette dernière fonction a un maximum qu'elle atteint en , de valeur .

On a donc : , ce qui est relativement inutile.

[invitea75ef47e]

En fait par une étude de fonction on montre qu'il existe un l* maximum de la fonction qu'on appelle h. On a alors pour tout l, h(l*)>h(l)>lx-l^2/8. Ce qui est en particulier vrai pour l=4x ce qui nous donne que h(l*)> 2x^2 ainsi on a que pour tout l h(l)>2x^2. d 'ou -nh(l)< -2nx^2 et en composant par exp on a ce qu'on cherchait.

[God's Breath]

on a ce qu'on cherchait.

Tant mieux, parce que je n'ai rien compris à ce que pouvait être h et l* qui étaient totalement inconnus jusqu'ici... et qui ont visiblement une grande utilité, encore qu'il y subsiste quelques détails comme « ainsi on a que pour tout l h(l)>2x^2 » qui me paraissent suspects.

Mais comme je ne connais pas la fonction h, je ne peux me prononcer avec certitude.

[Garf]

Attention, il reste quelques points douteux.

Parce que
1. et non pas .
2. fournit par deux intégrations successives puis et non pas .

Je dois être encore plus crevé que je ne le pensais. J'ai même écrit une autre bêtise dans mon premier message (lx-f(l) n'atteint pas nécessairement son maximum).

On a donc la minoration : .

Et cette dernière fonction a un maximum qu'elle atteint en , de valeur .

On a donc : , ce qui est relativement inutile.

Mais non, c'est exactement ce que l'on veut ! Enfin, l'avant-dernière ligne, pas la dernière.
Si j'ai bien compris, on a . On peut montrer que atteint son maximum ou est non majorée. Sans perte de généralité, on peut se placer dans le premier cas. On note alors la valeur de l'argument qui maximise . Voilà pour God's breath.

En prenant , on a bien , donc , ou encore .

Ceci devrait suffire pour les applications de ce genre d'inégalités. Mais, attention, je rappelle qu'on n'a pas !

~~~~~

Je récapitule tout, ce sera peut-être plus clair.

Le but de ce type de calcul est par exemple d'obtenir des estimées de quantités du genre :
avec
, où les sont i.i.d., valent avec probabilité et avec probabilité . Ca peut être utile en probas (grandes déviations) ou en stats.
Or, pour tout , on a :
.
L'inégalité de Markov donne alors :
.
Ceci est valable pour tout . Or on a montré ici que, pour un certain , . En utilisant l'inégalité précédente pour cette valeur précise de , on obtient :


Valà. Ca va peut-être aider à mieux comprendre les calculs que l'on vient de faire (et les quantificateurs utilisés).

[Garf]

Petite rectification : il faut prendre des valant avec probabilité et avec probabilité .

[invitea75ef47e]

pourquoi faire une étude de fonction dans ces cas ? et je ne comprends pas pourquoi si c'est vrai pour un l particulier alors c'est vrai tout court...

[Garf]

pourquoi faire une étude de fonction dans ces cas ?

Pour montrer que c'est vrai pour un particulier ! Le problème étant de trouver lequel...

et je ne comprends pas pourquoi si c'est vrai pour un l particulier alors c'est vrai tout court...

C'est vrai pour un particulier ; ce n'est pas vrai pour tout , loin de là. Mais on n'en a pas besoin !
Dans mon exemple précédent, on a :
.
Si on prend , on obtient :
.
Si on prend , on obtient :
.
Si on prend , on obtient :
.
Si on prend , on obtient :
.
Toutes ces inégalités sont vraies. Seulement, certaines sont meilleures que d'autres. On prend donc la meilleure, qui se trouve être :
.

Bref, on n'a rien démontré "pour tout ". Mais un seul suffit pour avoir l'inégalité souhaitée au final.

[invitea75ef47e]

ok j'ai compris. Sauf pour l'étude de fonction. En effet je sais que pour tt l
lx-f(l)> lx-l^2/8. En particulier vrai donc pour l=4x. Donc je ne vois pas pourquoi je doit parler du max ou du min de la fonction h

[Garf]

lx-f(l)> lx-l^2/8. En particulier vrai donc pour l=4x. Donc je ne vois pas pourquoi je doit parler du max ou du min de la fonction h

Déjà, en pratique, on étudie le max de lx-l^2/8, pas de lx-f(l).
Ensuite, quand on rédige, on peut en effet se passer de dire que est le max de : pour démontrer le résultat souhaité, il suffit bien d'évaluer en , on n'a rien besoin de plus. Cependant, pour avoir l'idée de prendre cette valeur particulière de , on a bien étudié la fonction , afin de trouver son maximum...

Après, tout dépend de si tu veux avoir une démonstration concise ("on évalue en , et - surprise - ça marche") ou de si tu veux exposer la méthode utilisée ("on étudie la fonction , on trouve que son maximum est en , et cette valeur de donne le bon résultat"). Personnellement, je pense que ce deuxième choix est meilleur, après tu fais comme tu veux.