Analyse
Bonjour!!
Soit f(l)= ln(pe^lq+qe^-lp) avec q=1-p pour tout l>0.
Soit exp(-n(lx-f(l))).
Je sais que pour tout l>0 f''(l)< ou egal à 1/4.
Il faut que je montre qu'alors exp(-n(lx-f(l))) < ou egal à exp(-2nx^2).
En fait l'idée c'est de choisir l pour le faire disparaitre et pour ça à ce qui parait il faut faire l'étude de la fonction (-n(lx-f(l)) en fixant x.
C'est peut etre un peu moins incompréhensible. Mais pas pour moi ^^.
Le problème est toujours aussi incompréhensible !Envoyé par Charlotte138
Que veut-on prouver :
–
–
–
–
– une autre combinaison de quantificateurs
Dans quels ensembleset
L'entier
Re : Analyse
n appartient à N*.
Il faut montrer que: soit x>0 exp(-n(lx-f(l))< exp(-2nx^2.)
il faut donc éliminer l. Et pour cela le choisir de façon à ce que notre inégalité soit vérifée.
pour le reste je ne sais pas. je pense que x et l sont des réels strictement positifs...
Pour être encore plus précis : veut-on
La encore ce n'est pas précisé. Mais je suppose que c'est pour tt l puisqu'il faut faire une étude de fonction.
et trouver le max ou le min de cette fonction.
Comme cela t'a déjà été dit, on a
Soit
sauf si justement je pose que x=l/4 (c'est juste un exemple). En fait il faut que je choisisse l en l'écrivant comme avec x.
De plus l ne peut pas etre égale à 0 puisuqe il est strictement positif.
On ne peut pas poser
J'en reviens à ma question : quelles sont les quantifications qui portent sur
On fixe
On fixe
Un énoncé imprécis ne peut pas donner lieu à une réponse ; on ne comprend pas quel résultat tu veux obtenir, et on l'impression que tu ne le sais malheureusement pas toi-même.
Ca ressemble à un exercice de probabilités : montrer la sous-gaussianité d'une variable aléatoire de Bernouilli, avec le bon coefficient, en utilisant les bornes de Chernov et en optimisant.
Dans cette optique, le but serait de montrer que :
Bref, montrer que :
Et effectivement, le choix de l dépend de celui de x.
Oui c'est ça que j'ai! Mais malheureusement je ne sais pas comment faire pour le résoudre.
La méthode est simple : la fonction qui à l associe lx-f(l) est dérivable sur les réels strictement positifs.
Il suffit de la dériver ; a priori, sa dérivée va s'annuler en un unique point l*(x). On peut s'attendre à ce que xl*(x)-f(l*(x)) soit le maximum de lx-f(l) (mais pas besoin de le démontrer). Il suffit alors de calculer xl*(x)-f(l*(x)), et si tout va bien on devrait trouver une valeur supérieure à 2x^2.
Mais à quel moment dois je me servir du fait de f''(l)< egal à 1/4?
Ah oui, j'avais oublié. Bon, dans ce cas, il y a plus simple.
En intégrant, on obtient :
On minore ensuite lx-f(l) grâce à cette inégalité :
Ensuite, il suffit de faire ce que j'ai dit dans mon message précédent non plus avec lx-f(l), mais sur lx - l^2/2 -l/4 (bref : on dérive cette expression selon l, on regarde quand cette dérivée s'annule, et on évalue cette expression en cette valeur).
Pourquoi a t on
[
Parce que
1.
2.
On a donc la minoration :
Et cette dernière fonction
On a donc :
En fait par une étude de fonction on montre qu'il existe un l* maximum de la fonction qu'on appelle h. On a alors pour tout l, h(l*)>h(l)>lx-l^2/8. Ce qui est en particulier vrai pour l=4x ce qui nous donne que h(l*)> 2x^2 ainsi on a que pour tout l h(l)>2x^2. d 'ou -nh(l)< -2nx^2 et en composant par exp on a ce qu'on cherchait.
Tant mieux, parce que je n'ai rien compris à ce que pouvait être h et l* qui étaient totalement inconnus jusqu'ici... et qui ont visiblement une grande utilité, encore qu'il y subsiste quelques détails comme « ainsi on a que pour tout l h(l)>2x^2 » qui me paraissent suspects.
Mais comme je ne connais pas la fonction h, je ne peux me prononcer avec certitude.
Attention, il reste quelques points douteux.
Je dois être encore plus crevé que je ne le pensais. J'ai même écrit une autre bêtise dans mon premier message (lx-f(l) n'atteint pas nécessairement son maximum).Parce que
1.
2.
Mais non, c'est exactement ce que l'on veut ! Enfin, l'avant-dernière ligne, pas la dernière.On a donc la minoration :
Et cette dernière fonction
On a donc :
Si j'ai bien compris, on a
En prenant
Ceci devrait suffire pour les applications de ce genre d'inégalités. Mais, attention, je rappelle qu'on n'a pas
~~~~~
Je récapitule tout, ce sera peut-être plus clair.
Le but de ce type de calcul est par exemple d'obtenir des estimées de quantités du genre :
, où les
Or, pour tout
L'inégalité de Markov donne alors :
Ceci est valable pour tout
Valà. Ca va peut-être aider à mieux comprendre les calculs que l'on vient de faire (et les quantificateurs utilisés).
Petite rectification : il faut prendre des
pourquoi faire une étude de fonction dans ces cas ? et je ne comprends pas pourquoi si c'est vrai pour un l particulier alors c'est vrai tout court...
Pour montrer que c'est vrai pour unpourquoi faire une étude de fonction dans ces cas ?
C'est vrai pour unet je ne comprends pas pourquoi si c'est vrai pour un l particulier alors c'est vrai tout court...
Dans mon exemple précédent, on a :
Si on prend
Si on prend
Si on prend
Si on prend
Toutes ces inégalités sont vraies. Seulement, certaines sont meilleures que d'autres. On prend donc la meilleure, qui se trouve être :
Bref, on n'a rien démontré "pour tout
ok j'ai compris. Sauf pour l'étude de fonction. En effet je sais que pour tt l
lx-f(l)> lx-l^2/8. En particulier vrai donc pour l=4x. Donc je ne vois pas pourquoi je doit parler du max ou du min de la fonction h
Déjà, en pratique, on étudie le max de lx-l^2/8, pas de lx-f(l).lx-f(l)> lx-l^2/8. En particulier vrai donc pour l=4x. Donc je ne vois pas pourquoi je doit parler du max ou du min de la fonction h
Ensuite, quand on rédige, on peut en effet se passer de dire que
Après, tout dépend de si tu veux avoir une démonstration concise ("on évalue en
