quelques questions de relativite generale

[GrisBleu]

Salut

Je mets cette discussion ici, ca me semble le plus approprie (par rapport a "Physique").
Voila, j'ai quelques questions a propos a de la relativite generale et de son application a la cosmologie. J'essaie bien d'etudier ca, mais c'est baleze

- Sur une variete Riemanienne, si je prends un point je peux avoir (au moins) une carte autour de ce point. Cette carte est la donnee d'un ouvert et d'une application de cette variete dans . Je me demandais quelle etait l'ordre de grandeur de cet ouvert. Je veux dire, en general, jusqu'a quand je peux considerer que mes corrdonnees sont valides. Tout du moins en general, pas trop pres d'un trou noir
- Je me demandais aussi (et la desole, je mouline vraiment), comme l'expansion decale vers le rouge les frequences des photons, ils perdent de l'energie. Comme l'univers c'est clos (il me semble) son energie devrait etre conserve. Ou ce trouve cet energie ? le changement de la metrique implique t il une sorte d'energie positive ?

Merci pour vos reponses et eclairsissements !!

@+
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[BioBen]

Je me demandais aussi (et la desole, je mouline vraiment), comme l'expansion decale vers le rouge les frequences des photons, ils perdent de l'energie. Comme l'univers c'est clos (il me semble) son energie devrait etre conserve. Ou ce trouve cet energie ? le changement de la metrique implique t il une sorte d'energie positive ?

Ca n'aurait pas un lien avec l'eneregie potentielle par hasard ?
http://nrumiano.free.fr/Fetoiles/int_noir.html

Sachant que l'énergie d'un photon est proportionnel à sa fréquence, on peut interpréter le redshift gravitationnel comme la perte d'énergie subie par le photon pour s'extraire du champ gravitationnel.

Je pense que ca doit pas etre super différent pour ce qui est de l'expansion ...
Désolé si je fais fausse route .

[deep_turtle]

Je veux dire, en general, jusqu'a quand je peux considerer que mes corrdonnees sont valides. Tout du moins en general, pas trop pres d'un trou noir

Tout dépend des coordonnées que tu as choisies, mais tu peux couvrir l'ensemble de l'Univers avec [i]un seul(/i] système de coordonnées (les coordonnées comobiles par exemple). J'ai mal compris ta question peut-être ?

[GrisBleu]

Salut deep_tortue !

J'avais cru comprendre que, justement, sur une variete (en generale), ce n'etait pas possible (genre avec une carte centree au pole nord et une au pole sud) d'avoir une carte qui recouvre tout.
Je n'ai peut etre pas tout compris, mais sinon toute la variete serait isomorphe a et pourquoi on s'embeterait avec les courbures et autres bebettes poilues.
Peut etre que je me suis mal exprime. Si je prends un point ), il existe alors un ouvert et une application que j'appelle mes coordonnees locales . Et en general .
Comme l'univers est une variete, je me demandais alors, si je prends p = moi, a quelle distance (enfin un ordre de grandeur) considere t on qu'une carte centree sur p n'est elle plus valide (enfin si une telle distance est definissable).

Pour bioben : je pense que ca doit etre ca, mais j'aimerais quelques precisons

[A voir en vidéo sur Futura]

[deep_turtle]

Sur une variété "générale" en effet, et la réponse dépend de quelle variété tu considères. Dans le cas de la cosmologie, l'Univers est vraisemblablement plat, auquel cas les coordonnées comobiles qu'on utilise pour écrire la métrique de Robertson-Walker sont valables partout. Pas de problème de cartographe ici...

Sachant que l'énergie d'un photon est proportionnel à sa fréquence, on peut interpréter le redshift gravitationnel comme la perte d'énergie subie par le photon pour s'extraire du champ gravitationnel.

Il y a une grosse subtilité ici : l'énergie d'un photon n'est pas un invariant relativiste, elle dépend fortement de quel référentiel on le regarde... On peut voir le décalage vers le rouge comme le fait que notre référentiel est différent de celui dans lequel l'émission a eu lieu. Il me semble dangereux de raisonner en terme de conservation de kl'énergie alors qu'on change sans cesse de référentiel...

[invite09c180f9]

- Je me demandais aussi (et la desole, je mouline vraiment), comme l'expansion decale vers le rouge les frequences des photons, ils perdent de l'energie.
Merci pour vos reponses et eclairsissements !!
@+

Salut,
En fait, un redshift (décallage vers le rouge) est une variation dans la fréquence d'un photon vers l'énergie inférieure, ou une plus longue longueur d'onde. Comme tu t'en doute, le décallage vers le rouge cosmologique est dû à l'expansion de l'univers.
Il existe un autre type de décallage dû à un fort champ gravitationnel, dit décalage gravitationnel (expliqué dans le cadre de la relativité générale (théorie de la gravitation d'Einstein)), ce type de décalage correspond à la variation d'énergie de la lumière lorsqu'elle est soumise à un champ de gravitation. Lorsqu'elle se dégage d'un tel champ, elle doit céder de l'énergie et se décale vers la partie rouge du spectre. Ce phénomène, appelé effet Einstein, est observé par exemple dans le spectre d'astres compacts, tels que les naines blanches.

[GrisBleu]

Merci pour vos reponses

Pour le photon, j'ai compris, mais pour les coordonnees comobiles, pas terriblement
J'ai ete faire un petit tour chez Wikipedia, mais il manque encore trop de liens pour saisir. Ca ne te deranges pas deep_turtle de faire un court topo la dessus ? Si j'ai saisi le debut de l'article, ce sont des coordonnes dans lesquelles, deux objets distincts eloignes de tout le reste (je neglige les forces exterieures), ne s'eloigneront pas l'un de l'autre, alors que dans des cordonnees "normales" ils s'eloigneraient en suivant la loi de Hubble. C'est ca ? J'avoue qu'apres... le temps comobile me semble plus obscure.
@+

[deep_turtle]

OK. Plutôt qu'un topo, entamons un dialogue... ce sera plus simple.

Ce qui fait la force et la difficulté de la relativité générale, c'est qu'on peut uriliser n'importe quel système de coordonnées pour faire de la physique. Toute la physique est contenue dans la quantité

mais les coordonnées n'ont pas forcément grand-chose à voir avec des coordonnées physiques, en mètres en en secondes. Par exemple en coordonnées sphériques il y a aussi des angles, en fait ça peut être à peu près n'importe quoi.

On peut en tirer parti en cherchant un système de coordonnées pour lequel l'expression précédente soit le plus symétrique possible. Selon le principe cosmologique, il existerait un référentiel dans lequel l'Univers est homogène et isotrope, au moins en moyenne. Le système de coordonnées qui réalise ça c'est les coordonnées comobiles, et la métrique s'écrit alors

Mais ce ne sont pas des coordonnées physiques, dans le sens où ce ne sont pas elles qu'on mesure avec une règle ou un chronomètre.

Par exemple, la distance physique parcourue par un photon () sur une ligne à et constants s'écrit , si bien que dans un sens, tout se passe comme si les objets "comobiles" étaient posés sur une grille qui s'expand avec a(t). C'est pour ça qu'on parle de "comobile", ça bouge avec la grille...

Perdu depuis longtemps ??

[GrisBleu]

Dialoguons

Je crois que tu viens de repondre a ma question avec le principe cosmologique : un referentiel peut servir a decrire tout l'univers. Je crois que je vais vraiment reflechir aux outils mathematiques sur les varietes pour prendre du recul : je croyais que si avec un repere on arrivait a tout decrire, il n'y avait pas besoin de toutes ces histoires de courbures et autres .... dsl mais je crois que je m'emmele les pinceaux

Pour les cordonnees comobile je vois en gros. Mais comme c'est sorti sans explication (le forum n'est pas un livre ) ca fait bizarre. Le , ca represente quoi ? le c'est bien le facteur d'expansion.

Bon il me reste a potasser, youpi

[Rincevent]

je me permets d'intervenir un peu dans le dialogue...

Le , ca represente quoi ?

cela dépend de la fonction . Pour mieux la comprendre, tu peux considérer une "tranche spatiale", c'est-à-dire travailler avec dt=0.

si la fonction S est égale à (c'est une des trois solutions, celle pour k=0), alors tu vois qu'à un instant donné (dt=0), le ds est le même que celui qui décrit l'espace euclidien usuel en coordonnées sphériques avec un "facteur d'échelle" (qui est donc bien le "facteur d'expansion"). Dans ce cas, chi est la coordonnées radiale usuelle (et est donc une longueur).

en revanche, si est égale à (k=1), tu reconnaitras alors dans le ds à temps constant l'élément de longueur pour une hypersphère , ce qui signifie que chi peut alors être interprété comme un angle et non une longueur (cf une remarque précédente de Deep). Cette ambiguïté sur chi peut se comprendre sans problème avec le cas usuel de . En effet, si tu te promènes localement sur la Terre, tu peux oublier qu'elle est sphérique, et les coordonnées "longitude" et "lattitude" seront pour toi des coordonnées cartésiennes usuelles. C'est uniquement si tu as conscience de la courbure de la Terre (et de la valeur de son rayon de courbure) que tu interpréteras un déplacement vers l'est ou un vers le nord comme des déplacements en longitude et latitude avec une relation entre la distance parcourue et l'angle qui dépend du rayon de courbure.

sur l'hypersphère :
http://mathworld.wolfram.com/Hypersphere.html
http://mathworld.wolfram.com/SphereEmbedding.html

le dernier cas possible (on démontre que tous les autres cas se ramènent à ces 3 là) est celui où où dans ce cas on reconnaît l'élément de longueur sur un "hyper-hyperboloïde"... (k=-1). Un peu plus "ésotérique" peut-être...

[GrisBleu]

Salut

Merci pour l'explication sur . Je savais que les pouvaient etre "arbitraires", mais je me demandais si l'univers pouvait avoir une forme topologique suffisamment louche pour necessiter pleins de carte.

Encore une question. Dans ces cordonnes co mobile, quels sont les limites pour et . Je veux dire que sur une sphere, je ne peux pas les prendre n'importe comment : avec les coordonnées longitude et lattitude, il doit y avoir un probleme au pole (c'est plus vraiment une application la carte) et il faut deux cartes. Sur le site de mathematica, ils precisent pas pour une hyper sphere. Que ce passent ils aux "hyper pole" (la ou les coordoonnes ne sont plus une applications, genre ) ?
De meme pour l'univers (avec par exemple k=1), il y a t il des poles ?

Desole si ca parait bete, mais bon

[Rincevent]

salut,

en fait tes diverses questions sont toutes plus ou moins liées alors je vais tenter de te faire une réponse qui devrait t'éclairer (enfin, elle va essayer ) sur tout ça de manière "générale" et pis "avec les mains" (on est dans le forum astro ou on y est pas )

le truc, c'est que si tu regardes la définition d'une carte centrée sur un point p d'une variété (= un système de coordonnées locales dont p est l'origine), tu vois qu'il s'agit d'une application qui doit être définie sur un voisinage ouvert de p. Or, les variétés sont compactes et ne peuvent donc pas, par définition, être recouvertes par un seul système de coordonnées (cf S1, S2, etc)...

pour ce qui est des domaines des angles dans le cas général, tu peux t'amuser à regarder ce site :

http://perso-info.enst-bretagne.fr/~...hs/sphere.html

tu verras d'ailleurs vers la fin un truc amusant sur la façon dont varie le volume de la boule délimitée par quand n tend vers l'infini (si tu connais pas déjà...)

sinon, voici une façon intuitive de comprendre ça :

peut être regardée comme R² auquel on a ajouté "le point à l'infini" (cf la sphère de Riemann). C'est donc plus grand que R² et on peut comprendre qu'une carte ne suffise pas. Idem en dimensions supplémentaires.

en revanche, H², l'hyperboloïde, est plus petit que R² : on peut démontrer qu'une surface de courbure négative est toujours "plongeable" dans R² sous la forme d'une machin de surface finie (cf le disque d'Escher-Poincaré).

conclusion : en généralisant en dimensions plus élevées (S³ vue comme R³ plus un point, etc), on comprend qu'une carte ne suffise pas pour S³ mais que cela puisse suffire pour un truc ouvert...

après, reste que je te parle là uniquement des trucs simplement connexes...

[GrisBleu]

Salut !!

merci pour les explications. Je savais que l'ensemble de depart etait un ouvert, effectivement, aux "poles" des hyper spheres y a des problemes avec une seule carte.
Mais Deep-tortue m'ayant donnees les coordonnees comobiles comme applicable partoutje me demande finalement : Si l'univers a une courbure globalement positive (cas k=1), une seule carte ne suffit plus. Donc les coordonnees comobile, on en prend 2 (au moins) systemes ? Par exemple avec S2, on prend la projection selon le pole nord et celle selon le pole sud pour avoir un atlas complet. Piur l'univers, combien de carte necessaire.
Desole si ca vous ennuie de repeter A priori y a une subtilite qui m'echappe, amis bon.

Merci d'avance ++

[Rincevent]

salut,

en attendant une éventuelle réponse d'expert de Deep (mon expérience en RG "appliquée à la cosmo" n'est pas très grande), je vais te faire une réponse "de bon sens" : quand tu t'intéresses à la géographie terrestre, tu utilises toujours une seule carte, non ? tu sais que le système longitude-latitude est incomplet à un pôle, mais il est bon pour tout le reste donc ça suffit largement (un seul point = un ensemble de mesure nulle)

or, dans le cas de la cosmo, c'est encore plus vrai : par hypothèse d'isotropie, on sait que "le pôle" en question est totalement arbitraire et n'est absolument pas un point particulier de l'Univers. Résultat, comme la plupart des applications de la RG en cosmo concernent de la physique locale (calculs de densités, etc), tu t'en fiches complètement s'il manque un point dans ton Univers... la question peut devenir plus cruciale si tu cherches à réfléchir sur des choses globales (des histoires de complétude de géodésiques où je sais pas quoi peut-être). Mais ceci est assez rare, et ce d'autant plus qu'il ne faut pas oublier que l'Univers observable est probablement beaucoup plus petit que l'Univers lui-même (à moins qu'un modèle multiplement connexe tel l'Univers ballon de foot soit valable, ce qui reste spéculatif).

remarque : si toutefois tu cherches à calculer la masse de l'Univers (en le supposant donc compact pour que celle-ci ne soit pas infinie, hypothèse d'homogénéité), tu te retrouves alors dans une situation similaire à celle où tu es lorsque tu calcules la surface d'une sphère : encore une fois le problème de l'absence d'une carte réellement globale n'est pas important. En clair, tant que tu considères des modèles homogènes isotropes à courbure constante, le seul truc qui peut compliquer le jeu, c'est une éventuelle topologie complexe. Si ton Univers est juste S³, pas de problème (cf S², S¹ sur lesquels tu sais travailler).

Donc les coordonnees comobile, on en prend 2 (au moins) systemes ?

cf ce que je viens de te dire : si l'Univers est S³ (ce qui semble contredit par toutes les observations récentes), en toute rigueur 2 cartes sont nécessaires. Mais une seule suffit en pratique (cf la géographie terrestre).

Par exemple avec S2, on prend la projection selon le pole nord et celle selon le pole sud pour avoir un atlas complet. Pour l'univers, combien de carte necessaire.

même principe. Mais cela dépend du pourquoi le "nécessaire" l'est... comme je te l'ai dit, la plupart du temps une seule suffit. Deep ou d'autres auront têt des exemples pratiques à te donner où l'on a effectivement besoin de couvrir tout l'Univers.

[deep_turtle]

en attendant une éventuelle réponse d'expert de Deep (mon expérience en RG "appliquée à la cosmo" n'est pas très grande), je vais te faire une réponse "de bon sens"

Ben moi elle me va a merveile ta réponse !!

Deep ou d'autres auront têt des exemples pratiques à te donner où l'on a effectivement besoin de couvrir tout l'Univers.

Je n'en connais pas, à part les questions liées à la topologie que tu mentionnes avant. A toutes fins utiles, ce qu'on a besoin de connaitre c'est une tranche spatio-temporelle d'Univers contenant les phénomènes qu'on observe, ce qui représente toujours une sous-partie de l'Univers... Mais si quelqu'un a un exemple en tête ça serait intéressant d'en discuter.

[GrisBleu]

Ok j'ai compris !
enfin je crois
le coup de l'isotropie qui rend le pole quelconque, je n'y avais pas pense
Merci d'avoir repondu a mes questions
++