Question élémentaire de relativité générale

[invite2e1244a5]

Bonjour,

Je me pose une question, sans doute bête mais à laquelle je ne trouve pas de réponse.

Dans tout (ou presque) bon cours de RG (par ex. Tome 2 du Landau), on explique le fait que la géométrie devienne "non euclidienne" de la façon suivante : le principe d'équivalence consiste à ne plus mettre de force gravitationnelle mais à se placer dans un référentiel accéléré donc non-inertiel. Or, la conservation de l'intervalle (ds^2=dt^2-dx^2) n'était assuré qu'entre les référentiels d'inertie. Donc l'intervalle n'est plus conservé. Or l'intervalle c'est la géométrie. Donc la géométrie change.
J'étais plutôt convaincu.
Mais ensuite, en RG, on utilise souvent la conservation de l'intervalle ! D'où ma perplexité...
Se pourrait-il que la valeur de l'intervalle demeure bien inchangé par changement de ref en RG mais que son expression explicite en fonction des coordonnée ne soit plus la même ??? Ce qui, effectivement, ferait une géométrie différente. Mais alors, il devrait être aussi conservé par passage à un ref accéléré en relativité restreinte... Bref : I need help !

D'ailleurs, question liée : y a-t-il une définition claire d'un ref inertiel ? Il me semble qu'en relativité restreinte, on prend la Terre (e, négligeant la rotation) par exemple alors qu'en RG on prend le ref en chute libre. Ils sont accélérés l'un par rapport à l'autre... C'est un peu confus dans mon esprit. Si la grav est un force (RR), faut prendre la Terre, sinon (RG) faut prendre l'ascenseur qui se casse la figure, c'est ça ?

Merci d'avance !!!
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[ordage]

Bonjour,

Je me pose une question, sans doute bête mais à laquelle je ne trouve pas de réponse.

Dans tout (ou presque) bon cours de RG (par ex. Tome 2 du Landau), on explique le fait que la géométrie devienne "non euclidienne" de la façon suivante : le principe d'équivalence consiste à ne plus mettre de force gravitationnelle mais à se placer dans un référentiel accéléré donc non-inertiel. Or, la conservation de l'intervalle (ds^2=dt^2-dx^2) n'était assuré qu'entre les référentiels d'inertie. Donc l'intervalle n'est plus conservé. Or l'intervalle c'est la géométrie. Donc la géométrie change.
J'étais plutôt convaincu.
Mais ensuite, en RG, on utilise souvent la conservation de l'intervalle ! D'où ma perplexité...
Se pourrait-il que la valeur de l'intervalle demeure bien inchangé par changement de ref en RG mais que son expression explicite en fonction des coordonnée ne soit plus la même ??? Ce qui, effectivement, ferait une géométrie différente. Mais alors, il devrait être aussi conservé par passage à un ref accéléré en relativité restreinte... Bref : I need help !

D'ailleurs, question liée : y a-t-il une définition claire d'un ref inertiel ? Il me semble qu'en relativité restreinte, on prend la Terre (e, négligeant la rotation) par exemple alors qu'en RG on prend le ref en chute libre. Ils sont accélérés l'un par rapport à l'autre... C'est un peu confus dans mon esprit. Si la grav est un force (RR), faut prendre la Terre, sinon (RG) faut prendre l'ascenseur qui se casse la figure, c'est ça ?

Merci d'avance !!!

Salut

Ton texte est un peu confus.
En gros: On définit un ds² (élément métrique infinitésimal) aussi bien en RG qu'en RR.
Il sont différents car la métrique de la RR est fixe et bien déterminée et celle de la RG n'est pas fixe car elle dépend du type d'espace temps avec sa matière-énergie.

Prenons l'exemple d'une fusée en vol au point A au temps TA (point évènement A) et au point B au point TB (point évènement B).

En RR (pure et dure où on ne considère que des référentiels galiléens, pas de mouvements accélérés!), cette fusée ne peut qu'être en vol inertiel (un seul chemin inertiel relie A à B: celui suivi par notre fusée).
On peut simplement calculer le s² par une métrique globale du type,
s² = c²t - (x²+y²+z²), car dans ce cas c'est linéaire.
Tous les observateurs galiléeens vont trouver la même chose puisque cela correspond à un phénomène physique (temps propre de l'observateur de la fusée).
L'originalité est qu'il n'y a pas à se préocuper du chemin suivi puisqu'il n'y en a qu'un seul

En RG pour aller d'un point évènement A a un point évènement B (on suppose qu'on a défini un système de coordonnées dans cet espace temps) il y a le chemin suivi par notre fusée (qui pourra par exemple être inertiel s'il est géodésique) sur lequel on peut intégrer le ds² et sur ce chemin pour cette intégrale tous les observateurs (et dans n'importe quel système de coordonnées) vont trouver le même résultat puisque là encore c'est un résultat physique: le temps propre écoulé pour l'observateur dans la fusée.

Mais il y a d'autres chemins possibles pour aller du point évènement A à B et si on fait la même intégration sur ces autres lignes d'univers nous allons trouver des résultats différents du premier, (d'où le paradoxe de Langevin) mais étant entendu que pour chaque trajectoire qui correspond à un phénomène physique les observateurs seront d'accord et constateront d'ailleurs le fameux paradoxe.

Reste le cas des mouvements où on autorise des accélérations dans un espace temps vide comme celui de la RR (non sujet à la gravitation) où on peut utiliser le formalisme de la RR mais localement sous la forme du ds² et où il faut intégrer dans l'espace temps de la RR (Minkowski) sur les chemins (accélérés entre autres) correspondants ce qui donne des résultats dépendants du chemin (mais pas de l'observateur qui évalue le résultat sur un chemin), comme en RG, sauf que cela relève de la cinématique et non pas de la dynamique.
Cela paraît un peu hybride, mais cela marche.

Moralité: Chaque fois que le paramètre mesuré correspond à un phénomène physique (ici un temps propre d'un observateur) tout le monde trouve (par principe) la même chose (le même temps propre de cet observateur, même s'il est le résultats de calculs par des formules différentes) , mais différentes choses peuvent se produire et donner différents résultats sur lesquels les observateurs s'accorderont également s'ils sont physiques.

J'ai essayé d'introduire un peu de physique là dedans pour donner quelques repères.

[invite6754323456711]

Ton texte est un peu confus.

Prenons l'exemple d'une fusée en vol au point A au temps TA (point évènement A) et au point B au point TB (point évènement B).

En RR (pure et dure où on ne considère que des référentiels galiléens, pas de mouvements accélérés!), cette fusée ne peut qu'être en vol inertiel (un seul chemin inertiel relie A à B: celui suivi par notre fusée).

La fusée subit une accélération donc une pression. Tu places un des jumeaux de Langevin dans la fusée et l'autre en chute libre nous allons observer une non réciprocité de l'effet relativiste. il existe donc plusieurs ligne d'univers qui relie les points évènements A et B.


Patrick

[invitea29d1598]

Bonjour,

Se pourrait-il que la valeur de l'intervalle demeure bien inchangé par changement de ref en RG mais que son expression explicite en fonction des coordonnée ne soit plus la même ???

c'est exactement ça... ds² est un scalaire mais le tenseur g qui permet de donner sa valeur dans un système de coordonnées est un tenseur...

Ce qui, effectivement, ferait une géométrie différente.

oui et non... faut voir aussi que quand on parle de géométrie différente dans ce contexte on parle parfois de la géométrie tridimensionnelle du genre espace... par exemple c'est le cas avec le disque en rotation pour lequel tu vois que le rapport entre le rayon et la circonférence ne peut pas être 2 pi... mais dans un espace-temps plat de Minkowski, cette courbure spatiale vue par un observateur accéléré est associée à une courbure temporelle de manière à ce que l'espace-temps dans son ensemble reste plat...

en effet, la géométrie de la variété 4-d est décrite par le tenseur de Riemann et elle est indépendante de l'observateur (même si des observateurs différents pourront observer des valeurs différentes des composantes). C'est un peu comme l'élément de longueur 3d euclidien : si tu l'exprimes en coordonnées sphériques, il a plus la même tête... mais l'espace n'est pas devenu courbe pour autant...

D'ailleurs, question liée : y a-t-il une définition claire d'un ref inertiel ?

un référentiel dans lequel le principe d'inertie s'applique... selon la RG cela correspond à un observateur non accéléré, c'est-à-dire dont le mouvement est géodésique. Si tu es immobile à la surface de la Terre, tu es accéléré et donc pas inertiel (si tu es pas accéléré par le sol tu tombes vers le centre). Si tu es immobile au centre de la Terre tu es inertiel. Y'a effectivement ici un point subtil qu'on cache sous le tapis quand on parle du paradoxe des jumeaux en RR...

[A voir en vidéo sur Futura]