Métrique de Schwarzschild

[invitebdf515f4]

Bonjour,

Supposons que je souhaite calculer la longueur de la circonférence (ou du rayon) de l'horizon d'un trou noir. Je prends comme hypothèse que mon trou noir n'est pas en rotation et qu'il est non chargé (car j'ai vu ici et là que ça change pas mal de choses).

Là, je me doute de ce que l'on va me suggérer : "Il faut utiliser la métrique de Schwarzschild".

D'ailleurs, presque à chaque fois qu'on parle du rayon de l'horizon d'un trou noir, on invoque la métrique de Schwarzschild. On peut lire souvent des phrases comme "D'après la métrique de Schwarzschild, le rayon du trou noir est de 5 km".

Comme je n'y comprends rien et que je n'y comprendrais jamais rien à ces notions, je suis toujours assez étonné de cette précaution oratoire consistant à toujours précéder ce genre d'affirmation par "D'après la métrique de Schwarzschild".

D'ou ma question :

Pour calculer le rayon de l'horizon d'un trou noir sans rotation et sans charge, est-il valide ou absurde d'utiliser une autre métrique que la métrique de Schwarzschild ?

Ensuite, si c'est valide d'utiliser une autre métrique, alors est-ce que la valeur obtenue à la fin sera quasi-identique (aux arrondis de calcul près) ou bien pourra être très différente de la valeur obtenue avec la métrique de Schwarzschild ? (Du genre, on trouve 3 km dans un cas, et 30000 km dans l'autre par exemple).

(En fonction de la réponse à ces questions, j'espère mieux comprendre ce que recouvre cette notion de "métrique" en relativité générale, que je ne peux décidément pas comprendre compte tenu de mon niveau actuel en maths, malgré la lecture de Wikipedia et autres sources sérieuses)
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[invitebdf515f4]

Peut-être une autre formulation de ma question, qui ne remplace pas mais s'ajoute à la formulation précédente.

Ces deux phrases sont-elles équivalentes:
1/ "D'après la métrique de Schwarzschild, le rayon du trou noir est de 5 km".
2/ "D'après la théorie de la Relativité Générale d'Einstein, le rayon du trou noir est de 5 km".

[invitee57d2d28]

Bonjour,

Ces deux phrases sont-elles équivalentes:
1/ "D'après la métrique de Schwarzschild, le rayon du trou noir est de 5 km".
2/ "D'après la théorie de la Relativité Générale d'Einstein, le rayon du trou noir est de 5 km".

non, car d'après le no-hair theorem, un trou noir est décrit par sa masse, son moment angulaire et sa charge.

Un trou noir de Schwarzschild ayant un moment angulaire = 0 et une charge électrique = 0, toute autre configuration amènerait à des résultats différents. Or les métriques de Kerr, Kerr-Newman ou Reissner-Nordström sont aussi des solutions de l'équation d'Einstein.

[invitebdf515f4]

Oups, je parle bien sur d'un trou noir sans charge ni moment angulaire dans toute ma question.
Ai-je oublié de le mentionner ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee57d2d28]

Ben oui, j'ai bien compris, mais d'après la RG il peut y avoir plusieurs types de TN. Les propositions 1 et 2 ne sont pas équivalentes.

[invitebdf515f4]

Non, je ne crois pas que tu ai répondu précisément à ma question.
Allez, je reformule :

Ces deux phrases sont-elles équivalentes pour un trou noir sans rotation ni charge :
1/ "D'après la métrique de Schwarzschild, le rayon du trou noir est de 5 km".
2/ "D'après la théorie de la Relativité Générale d'Einstein, le rayon du trou noir est de 5 km".

[invitee57d2d28]

Heu ? j'ai dit :

Les propositions 1 et 2 ne sont pas équivalentes.

parce que la solution de Schwarzschild n'est qu'une des solutions de l'équation d'Einstein, tu ne peux donc pas généraliser en disant :

2/ "D'après la théorie de la Relativité Générale d'Einstein, le rayon du trou noir est de 5 km".

parce qu'il existe d'autres solutions.

[invitebdf515f4]

D'accord Acme, mais désolé d'insister.

Tu confirmes bien qu'il y a plusieurs solutions de l'équation d'Einstein pour le problème du trou noir sans charge et sans rotation ? Donc la solution de Schwarzschild n'est qu'une solution parmis plusieurs pour un trou noir sans charge et sans rotation ?

Donc, puisque Schwarzschild n'est qu'une solution particulière au problème du trou noir sans rotation et sans charge, je peux donc utiliser une autre métrique pour calculer le rayon d'un trou noir sans rotation et sans charge. En utilisant une autre métrique, pourrais-je trouver une valeur du rayon de mon trou noir sans rotation et sans charge qui sera complètement différente de ce que donnerais la métrique de Schwarzschild ?

[invite6c093f92]

Bonjour,

Tu confirmes bien qu'il y a plusieurs solutions de l'équation d'Einstein pour le problème du trou noir sans charge et sans rotation ?

Acme(ou d'autre..) rectifiera(ont) si nécèssaire, pour le problème d'un tn sans rotation ni charge, c'est la métrique de Schwarzschild et uniquement celle-ci qui doit etre utilisée.

Donc la solution de Schwarzschild n'est qu'une solution parmis plusieurs pour un trou noir sans charge et sans rotation ?

Donc, non.

En utilisant une autre métrique, pourrais-je trouver une valeur du rayon de mon trou noir sans rotation et sans charge qui sera complètement différente de ce que donnerais la métrique de Schwarzschild ?

Oui, mais ça sera complètement faux....
Pour calculer le rayon de ton tn sans rotation ni charge c'est Schwarzschild, pour un tn avec rotation, et charge nulle c'est Kerr, ect ect...

Cordialement,
ps:(j'éspère ne pas avoir dis de betises....)

[invitee57d2d28]

Bonjour,

Tu confirmes bien qu'il y a plusieurs solutions de l'équation d'Einstein pour le problème du trou noir sans charge et sans rotation ? Donc la solution de Schwarzschild n'est qu'une solution parmis plusieurs pour un trou noir sans charge et sans rotation ?

Ben non !

Quand tu dis :

"D'après la théorie de la Relativité Générale d'Einstein, le rayon du trou noir est de 5 km".

Ça ne signifie rien.

Si tu précises : sans charge et sans rotation, c' est un trou noir de Schwarzschild .

Ta phrase devrait être par exemple : "D'après la théorie de la Relativité Générale d'Einstein, le rayon de ce trou noir de Schwarzschild est de 5 km".

Donc, puisque Schwarzschild n'est qu'une solution particulière au problème du trou noir sans rotation et sans charge, je peux donc utiliser une autre métrique pour calculer le rayon d'un trou noir sans rotation et sans charge. En utilisant une autre métrique, pourrais-je trouver une valeur du rayon de mon trou noir sans rotation et sans charge qui sera complètement différente de ce que donnerais la métrique de Schwarzschild ?

Non plus, tu pourrais utiliser, par exemple la métrique plus générale d'un trou noir de Kerr-Newman, mais si le moment angulaire et la charge électrique sont nuls elle se réduira à celle de Schwarzschild.

[invitebdf515f4]

Ok, merci Didier941751, si tu as raison, ça change donc tout par rapport à la réponse d'Acme.

Il n'y aurait qu'une seule métrique valide en RG (celle de Schwarzschild) pour calculer le rayon d'un trou noir sans rotation et sans charge. Le rayon d'un trou noir sans rotation et sans charge serait donc parfaitement défini en RG, sans avoir besoin de préciser la métrique utilisée (puisque seule celle de Schwarzschild est valide dans ce cas).

C'est ma question, dès le départ ... mais ce qui m'inquiète, c'est que tu ne soit pas très sur de toi.

Quelqu'un pour confirmer ?

Oups ... croisement avec Acme.

[invitee57d2d28]

Il n'y aurait qu'une seule métrique valide en RG (celle de Schwarzschild) pour calculer le rayon d'un trou noir sans rotation et sans charge. Le rayon d'un trou noir sans rotation et sans charge serait donc parfaitement défini en RG, sans avoir besoin de préciser la métrique utilisée (puisque seule celle de Schwarzschild est valide dans ce cas).

Je maintiens que tu peux utiliser n'importe qu'elle métrique, là ou je ne suis pas d'accord avec toi c'est qu'elles se réduiront finalement à celle de Schwarzschild et donc donneront des résultats identiques. Le rayon sera toujours le même.

[invitebdf515f4]

J'avais bien précisé dès le début que toute ma question porte uniquement sur les trous noir sans rotation et sans charge. Mon erreur a été de ne pas le répéter dans chaque post.

Maintenant, ça me semble clair, je résume :

En RG, le rayon d'un trou noir sans rotation et sans charge est parfaitement définit. Il n'y a qu'une seule valeur possible. La valeur du rayon d'un trou noir sans rotation et sans charge n'est pas dépendant d'un choix de métrique.

C'était ma question ... merci à tous donc.

[invite6c093f92]

mais ce qui m'inquiète, c'est que tu ne soit pas très sur de toi.

Je préfère mettre des bémols quand ce n'est pas mon domaine de compétence....et là j'ai bien fait car...

Je maintiens que tu peux utiliser n'importe qu'elle métrique, .

Je ne savais pas..., Acme rèponds en toute rigueur, ce qui est nettement mieux.
Merci.
Cordialement,

[invite87feae28]

Bonjour,
J'aimerai avoir si la symétrie sphérique est l'unique symétrie rencontre dans la métrique de Schwarzschild.
merci

[phys4]

Bonjour hlbnet, la question est clairement posée.

En RG, le rayon d'un trou noir sans rotation et sans charge est parfaitement définit. Il n'y a qu'une seule valeur possible. La valeur du rayon d'un trou noir sans rotation et sans charge n'est pas dépendant d'un choix de métrique.

C'était ma question ... merci à tous donc.

La valeur numérique du rayon dépend de la métrique sphérique utilisée, mais comme elles sont toutes équivalentes, la relation de correspondance redonnera la même signification.
C'est comme si vous mesuriez une longueur avec des unités différentes : m, pouce, mile... lorsque vous effectuez la comparaison des unités, vous retrouvez la même quantité.

Pour guilau qui demande les symétries : la symétrie sphérique par rapport à un point contient toutes symétries, plans, droites passant par ce point, comme en géométrie plane.
Au revoir.

[invite6c093f92]

Bonjour,

Bonjour hlbnet, la question est clairement posée.

J'espère que hlbnet a pu approfondir la réponse d'Acme depuis 2010.
Cordialement,

[phys4]

Merci didier, j'étais remonté dans la discussion, sans penser à vérifier les dates.