Dilatation du temps

[chaverondier]

On se retrouve dans un cas de figure où on sait associer à un observateur O, qui suit une ligne d'univers Lo, un espace de référence qui est un espace vectoriel réel Euclidien de dimension 3 ? En quelque sorte l'espace "physique usuel" 3D.

Non, pas du tout. L'espace 3D associé à un référentiel n'est pas forcément un espace vectoriel d'une part (c'est une variété 3D) et, d'autre part, il n'est pas associé à un seul observateur, mais à un feuilletage en feuillets 1D d'une variété 4D pseudo-Riemanienne. Chaque feuille 1D, si elle est de type temps, y représente un observateur (un "point en mouvement dans l'espace-temps"). La variété 3D est donc une famille d'observateurs "jointifs" (une sorte de "botte de foin" dans une variété 4D).

On ne peut pas définir la longueur d'un objet vu par un seul observateur (un point), mais seulemement la longueur d'un objet mesurée de proche en proche par une famille d'observateurs formant cet objet. Pour définir la longueur d'une courbe, il faut mettre des "petits mètres" les uns derrière les autres en allant "d'un observateur au suivant infiniment proche" (et ainsi de suite) le long de cette courbe.

Si, dans un référentiel donné (un feuilletage 1D d'une variété 4D pseudo-riemanienne) la distance dl entre observateurs "voisins" (dl = c/2 x le temps dt d'aller retour) reste constante au cours du temps (sous-entendu, au cours du temps propre de ces observateurs), la variété 3D formée par ces observateurs peut-être munie d'une métrique spatiale. Une courbe dans cet espace 3D (chaque point y étant un observateur) y possède alors une longueur indépendante de toute considération de simultanéité et invariante au cours du temps. C'est le cas, par exemple, du référentiel tournant dans l'espace-temps de Minkowski ou encore du référentiel de Schwarzschild dans l'espace-temps de Schwarzschild.

Il existe un autre cas où il est possible de définir la longueur d'objets au repos dans un référentiel : celle pour laquelle un feuilletage 1D de type temps (d'une variété 4D pseudo-riemanienne) possède un feuilletage orthogonal en feuillets 3D de simultanéité (c'est le cas ssi la dérivée extérieure du champ de vecteurs unitaires tangents à ce feuilletage 1D est nulle, c'est à dire, en gros, ne tourne pas).

Dans ce cas, les observateurs de ce référentiel partagent une même notion de simultanéité (contrairement au cas du référentiel tournant). Il devient alors possible de définir une notion de longueur d'un objet au repos dans ce référentiel à un instant donné même si la métrique spatiale n'y est pas statique (cas du référentiel des observateurs de Lemaître dans l'espace-temps de Schwarzschild) et même pire à savoir une métrique spatio-temporelle non stationnaire (c'est le cas, par exemple, du référentiel comobile dans les espace-temps de Friedmann-Lemaître, espace-temps en expansion ou en expansion puis contraction).
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Tout à fait, d'accord. Ce n'est pas possible dans le cas général. Dans le cas général, on peut seulement définir la métrique spatiale et non la longueur propre d'un objet car se pose la question de savoir à quel "moment" (c'est à dire par intégration de la métrique spatiale dans quel feuillet 3D de type espace) on la mesure.

C'est cependant possible dans certains cas particuliers comme vous l'avez signalé d'ailleurs (j'ai lu les deux posts que vous m'avez indiqués) notamment :

• Dans le cas de référentiels dont les métriques sont stationnaires (cf Landau et Lifchitz Tome 4 théorie des champs, § 84 distances et intervalles de temps). Il s'agit, par exemple, de tout référentiel tournant dans un espace-temps de Minkowski ou encore du référentiel de Schwarzschild dans un espace-temps de Schwarzchild.
  
• Dans le cas de référentiels possédant un feuilletage en feuillets 3D de simultanéité (comme un référentiel uniformément accéléré dans un espace-temps de Minkowski par exemple). Dans un tel référentiel, un objet immobile (un feuilletage 1D d'une sous variété 4D d'une variété 4D pseudo-Riemanienne, ce feuilletage 1D formant une variété 3D quotient de cette sous-variété 4D) définit par lui-même son référentiel. Il a une longueur propre définie sans ambiguité, mais, toutefois, à des notions d'instant qui lui sont propres (les instants définis par son feuilletage orthogonal associé en feuillets 3D de simultanéité).

Un cas particulier intéressant est celui des espace-temps de la RG possédant un référentiel privilégié unique (un éther au sens mathématique défini ci-dessous) caractérisé (il me semble) par les 4 propriétés suivantes :

1. être en chute libre
2. posséder un feuilletage orthogonal en feuillets 3D de simultanéité
3. être tel que le temps s'écoulant entre feuillets 3D de simultanéité soit indépendant de l'observateur au repos dans de ce référentiel privilégié
4. être le seul référentiel à posséder ces 3 propriétés (je pense qu'elles devraient suffire pour le caractérisier de façon unique dans les cas visés ci-dessous).

C'est le cas par exemple:

• du référentiel formé des observateurs de Lemaître dans un espace-temps de Schwarzschild
• de l'unique référentiel formé des observateurs comobiles dans un espace-temps de Friedman-Lemaitre
• de l'unique référentiel immobile de l'espace-temps statique hypertorique (même géométrie que l'espace-temps de Minkowski, il est tout plat, mais, grâce à sa topologie amusante, le jumeau en mouvement peut croiser régulièrement son jumeau sédentaire sans avoir à faire demi-tour. Il constate donc que sa vitesse, et non son accélération, ralentit son vieillissement)

Un cas très particulier, est celui de l'espace temps de Minkowski. Il a la même géométrie que l'espace-temps statique hypertorique (il est plat lui aussi) mais, du fait de sa topologie triviale, il possède une infinité de référentiels privilégiés (et non un seul) possédant les 3 premières propriétés. Dans ce cas là aussi il est possible de définir la longueur propre d'un objet (un feuilletage 1D) dès qu'il est au repos dans un référentiel inertiel.

Cette longueur propre est reconnue comme telle par tous les observateurs inertiels, même ceux qui sont en mouvement par rapport à lui. Si l'objet en question n'a pas la bonne longueur propre (sa longueur propre au repos dans un état libre de contrainte) on sait qu'il est en traction (ou qu'il en a subi une et qu'il a flué ou s'est déformé plastiquement par exemple).

Physiquement, un objet au repos dans un référentiel inertiel (un cristal par exemple) doit être maintenu dans un état de traction s'il est élastique (pas de fluage ni de plasticité) et s'il a une longueur propre plus grande que sa longueur propre de repos.

C'est ce qui se passe, par exemple, si on tend une élastique entre deux fusées (la ficelle de Bell) et qu'on fait accélérer ses deux extrémités en même temps de la même façon (du point de vue d'un référentiel inertiel particulier). Si la limite de rupture de l'élastique est atteinte quand sa longueur double, le phénomène se produit quand les deux fusées atteignent 87% de la vitesse de la lumière ( v_rupture = c (1 - (L_propre_0/L_propre_rupture)^2)^(1/2) ).

La notion de longueur propre d'un objet physique n'est donc pas une simple notion mathématique arbitraire dénuée de sens physique. Elle a des répercussions sur l'état de contrainte et de déformation induit quand on augmente la longueur propre de l'objet par rapport à sa longueur propre de repos (par exemple en empêchant un objet accéléré de subir la contraction de Lorentz induite par l'augmentation de sa vitesse).

Ca ne m'empêche cependant pas d'être totalement d'accord avec toutes vos remarques en fait (désolé, je n'avais pas lu certains de vos posts) et ce que je dis là ne les contredit pas.

Nota : dans le cas de l'élastique de Bell, je passe sous silence un tas de petits détails embêtants, qui noieraient l'illustration physique de la contraction de Lorentz dans un flot de détails de deuxième ordre. Je passe en particulier sur le fait qu'il faudrait, en toute rigueur (en pinaillant la quatorzième ou la quinzième décimale environ après la virgule) réduire l'accélération des extrémités de l'élastique à l'approche des 87% de c, de façon:

• à laisser aux oscillations dynamiques de l'élastique le temps de s'amortir
• à pouvoir sensiblement identifier le référentiel accéléré à son référentiel inertiel tangent (à un instant donné au sens de la notion d'instant relative au référentiel inertiel où les deux extrémités de l'élastique ont la même accélération en même temps).

Pour information, tous les référentiels sont en mouvement.

[chaverondier]

Pour information, tous les référentiels sont en mouvement.

Pour information ce n'est pas le cas du référentiel immobile de l'espace-temps 4D statique hypertorique.