Dilatation du temps

[chaverondier]

Il n'y a pas de choix de ligne quand on parle d'une trajectoire.

La plupart (tous ?) des usages du terme durée propre parle d'une trajectoire donnée (et pas choisie).

Dans ce cas, quand on considère la longueur propre d'un objet en mouvement inertiel, la simultanéité non plus n'est pas choisie mais donnée (elle est donnée par l'objet en question).

Pour encore mieux voir que la longueur propre d'un objet en mouvement inertiel ne dépend pas d'une convention de simultanéité, il suffit de définir sa longueur propre sans passer par des considérations de simultanéité (comme cela, on élimine toute ambiguité à ce sujet). Cette longeur propre est la distance entre deux observateurs au repos aux deux extrémités de l'objet en mouvement inertiel. Cette distance est, par définition, la moitié (divisée par c) du temps d'aller-retour d'un signal lumineux entre ces deux observateurs.

C'est avec cette notion de distance là que l'on définit, plus généralement, la notion de métrique spatiale dans les référentiels non nécessairement inertiels (les feuilletages 1D d'un espace-temps 4D pouvant même être une variété 4D pseudo-Riemanienne quelconque) quand la distance entre observateurs "voisins" ne varie pas au cours du temps.

On peut alors définir une métrique spatiale dans ce référentiel, même si le référentiel en question ne possède pas de feuilletage orthogonal en feuillets 3D de simultanéité.
dl = (1/c) temps d'aller retour d'un signal lumineux entre observateurs voisins (= quantité indépendante de l'évènement de départ dans les référentiels dont la métrique (spatio-temporelle) est stationnaire) y définit la métrique spatiale.

C'est comme ça que l'on peut définir (si on veut rentrer dans le détail) la métrique spatiale du référentiel tournant alors que ce référentiel ne possède pas de feuilletage orthogonal en feuillets 3D de simultanéité (la dérivée extérieure du champ des quadri-vecteurs unitaires tangents à ces observateurs est non nul car ce champ de vecteurs "tourne").

Cela dit, on voit immédiatement (sans avoir à faire de longs développements) que la métrique spatiale du référentiel tournant vaut

dl² = dr² + (r dthêta)²/(1-v²/c²)^(1/2) (+ dz²)

Cela exprime le fait que le mètre de l'observateur tournant, un objet dont la longueur propre vaut 1 m (c'est à dire, par exemple, formé d'environ 10^10 atomes d'hydrogène mis "bout à bout") est contracté seulement quand il est orienté en direction circonférentielle. De ce fait, la distance qu'il trouve en mesurant la circonférence du cercle de rayon R (=R pour lui comme pour son jumeau immobile) sur lequel il tourne (en mettant bout à bout ses mètres raccourcis) est trouvée plus longue que 2 pi R.

C'est l'analogue spatial du fait que les durées propres mesurées par un observateur tournant sont trouvées plus courtes que celles mesurées par son jumeau immobile (dans le référentiel inertiel où l'axe de rotation est au repos).
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[Amanuensis]

Dans ce cas, quand on considère la longueur propre d'un objet en mouvement inertiel, la simultanéité non plus n'est pas choisie mais donnée (elle est donnée par l'objet en question).

Ce n'est pas comme cela que je vois les choses, j'ai déjà expliqué mon point de vue, je ne vais pas le répéter.

Par exemple, ceci :

Cette distance est, par définition, la moitié (divisée par c) du temps d'aller-retour d'un signal lumineux entre ces deux observateurs.

je l'ai déjà écrit et expliqué dans ce fil ci.

J'imagine que expliqué par M. Chaverondier, cela a plus de poids.

[chaverondier]

Par exemple, ceci :

Ce n'est pas crucial, mais j'en profite pour corriger une petite coquille dans mon post.

la distance est, par définition, la moitié (divisée par c) du temps d'aller-retour d'un signal lumineux entre ces deux observateurs. dl = (1/c) temps d'aller retour d'un signal lumineux entre observateurs voisins

C'est dl = c x temps d'aller retour d'un signal lumineux entre observateurs voisins.

PS : je vais lire plus attentivement vos posts dans ce fil (je ne les ai pas tous lu) car, si je comprends bien, un écart d'interprétation par rapport à mon dernier post y est expliqué.

[Amanuensis]

(...)

Message #197

[Amanuensis]

Un objet dont les deux extrémités sont immobiles chacune par rapport au référentiel comobile a une "longueur" invariable, celle obtenue en appliquant la métrique aux coordonnées spatiales qui sont invariables par hypothèse d'immobilité. On pourrait appeler cela "longueur propre" de l'objet.

En relisant le message je note une petite ambiguïté quand la compréhension possible de la partie en rouge. Il s'agit de la métrique spatiale, l'euclidienne, la sphérique ou l'hyperbolique selon la courbure spatiale. Dans le cas plat, cela se lirait "en appliquant la métrique euclidienne aux coordonnées spatiales".

PS : Il y avait aussi un complément message #204

[invite7863222222222]

Et le problème ne vient pas juste de 1D contre 3D, il est plus profond et lié à la notion d'objet.

Je suis d'accord on peut essayer de parler de la distance entre "premier" "sous-objet" (atome par exemple) qui constitue le début de l'objet dont on veut parler de longueur propre, et le "second" sous-objet etc. de proche en proche on définit plein de petit et leur somme totale donnerait la longueur propre de l'objet. Comme on voit le problème semble effectivement lié à la notion d'objet.

[Amanuensis]

Je suis d'accord on peut essayer de parler de la distance entre "premier" "sous-objet" (atome par exemple) qui constitue le début de l'objet dont on veut parler de longueur propre, et le "second" sous-objet etc. de proche en proche on définit plein de petit et leur somme totale donnerait la longueur propre de l'objet.

Je n'ai pas abordé la question de l'additivité parce que ma compréhension n'est pas suffisamment claire.

Mais la difficulté essentielle est bien qu'il me semble qu'il n'y a pas additivité dans le cas général (accéléré, que ce soit mouvement accéléré en RR ou la RG) si on prend comme définition de la longueur propre 1/2c de la durée AR des rayons lumineux.

C'est additif dans le cas très particulier d'une "immobilité inertielle", i.e., espace-temps plat et objet immobile relativement à un référentiel inertielle. Mais la non-additivité (qui me semble être) dans les autres cas rend encore plus difficile une notion générale de "longueur propre d'un objet".

Ce qui jette au passage une lueur intéressante sur les "mètres" le long du bord du disque tournant dans l'expérience de pensée discutée plut tôt dans cette discussion.

Comme on voit le problème semble effectivement lié à la notion d'objet.

La non additivité ne peut que renforcer cette idée.

[inviteccac9361]

Bonjour,

dl² = dr² + (r dthêta)²/(1-v²/c²)^(1/2) (+ dz²)

Cela exprime le fait que le mètre de l'observateur tournant, un objet dont la longueur propre vaut 1 m (c'est à dire, par exemple, formé d'environ 10^10 atomes d'hydrogène mis "bout à bout") est contracté seulement quand il est orienté en direction circonférentielle. De ce fait, la distance qu'il trouve en mesurant la circonférence du cercle de rayon R (=R pour lui comme pour son jumeau immobile) sur lequel il tourne (en mettant bout à bout ses mètres raccourcis) est trouvée plus longue que 2 pi R.

Tres interressant,
je comprend peut-être mieux la notion de referentiel proposée ici.

Et la lecture locale de la metrique qu'il faut en faire.

C'est en quelque-sorte un décalage du fait de la mobilité(?) de la metrique et l'aspect fixe du referentiel.

C'est deux manieres de voir les choses, d'en haut, ou de l'interieur.
De l'exterieur on peut faire une analogie avec le champ magnetique :

Voir les deux shemas à droite dans la section Origine Relativiste.

En 1905, Albert Einstein montra comment le champ magnétique apparaît, comme un des aspects relativistes du champ électrique[20], plus précisément dans le cadre de la relativité restreinte.

Il se présente comme le résultat de la transformation lorentzienne d'un champ électrique d'un premier référentiel à un second en mouvement relatif.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Champ_magn%C3%A9tique

[Zefram Cochrane]

S'il y a une nuance, je ne la vois pas.

Dans toutes les théories de la physique sauf la RG, l'espace-temps est posé en préalable, comme une scène sur laquelle se déroule l'action. Un événement (un choc entre particules par exemple) est présenté comme "se passant", "étant", quelque part dans l'espace-temps.

Cela consiste à voir l'espace-temps comme l'"arrière-plan", c'est son rôle et son statut.

Il est possible (et pas facile) de voir les choses autrement, de nier que l'expression "espace-temps" corresponde à une "réalité". Selon cette vue, l'espace-temps n'est qu'un "artifice de calcul", une manière simple et efficace de parler des relations entre particules. C'est ce que j'appelle "un espace-temps d'arrière-plan", quelque chose qu'on utilise par commodité.

Avec la présentation jusque là, ce n'est guère qu'un débat de philo sur l'ontologie de l'espace-temps, est-ce qu'il "existe", est-il un "élément de la réalité", et on ne voit pas le rapport avec la RG.

Le point est qu'on peut analyser la RG comme non seulement ne présentant pas l'espace-temps comme un "arrière-plan fixe", mais même impliquant que le choix de ce qu'on décrit comme "espace-temps" est libre. Autrement dit, c'est une variable libre de la théorie (ou du moins comporte une partie libre, dont le choix est arbitraire).

On peut présenter la RG comme ne parlant pas d'espace-temps, mais de champs définis les uns par les autres. (Dont des champs comme la métrique ou la courbure, ceux qui vont être opérant pour modéliser la gravitation.) Seules les coïncidences importent.

En prenant un exemple simple mais faux, imaginons que les coïncidences (chocs, relations ponctuelles entre champs) soient discrètes. Alors on peut remplir les "trous", les espaces "vides" entre les chocs comme on veut, arbitrairement, sans que cela change en quoi que soit les prédictions observables de la théorie.

Ou encore, une partie des propriétés qu'on attribue nécessairement à quelque chose qu'on appelle "espace-temps" sont arbitraires, au sens où les prédictions observables de la physique sont indépendantes du choix.

Cela n'empêche pas d'utiliser et décrire "un" espace-temps servant d'arrière-plan (heureusement, c'est bien commode), mais cette description ne peut pas être celle d'une "réalité" parce qu'une partie est arbitraire.

La seule "réalité" décrite est celle des coïncidences entre champs. En "changeant l'espace-temps", on change les champs, mais pas les relations (coïncidences) entre les champs, et donc pas les prédictions observables.

Merci de m'avoir permis de suivre le fil de la discussion.

[invite6754323456711]

[SIZE="1"]
Parler de "distance propre" d'un segment spatial bien défini (une portion d'une ligne continue de genre espace) ne pose aucun problème, et se fait de manière identique à la notion de durée propre pour un intervalle de trajectoire.

«*Les expériences ne nous font connaître que les rapports des corps entre eux ; aucune d'elles ne porte, ni ne peut porter, sur les rapports des corps avec l'espace, ou sur les rapports mutuels des diverses parties de l'espace.*»
H. POINCARE

Notre vision aurait évolué depuis ?

Patrick

[invite6754323456711]

Cette longeur propre est la distance entre deux observateurs au repos aux deux extrémités de l'objet en mouvement inertiel.

Cela repose donc sur deux observateurs au repos aux deux extrémités. Comment cela ce vérifie t-il expérimentalement ? La notion de repos est absolu ou c'est le repos de l'un par rapport à l'autre ?

Patrick

[Deedee81]

Salut,

«*Les expériences ne nous font connaître que les rapports des corps entre eux ; aucune d'elles ne porte, ni ne peut porter, sur les rapports des corps avec l'espace, ou sur les rapports mutuels des diverses parties de l'espace.*»
H. POINCARE

Notre vision aurait évolué depuis ?

La longueur propre ce serait plutôt le rapport du corps avec.... lui-même ! C'est presque une tautologie. Pas étonant qu'elle soit invariante

Je dis presque car on peut comparer des parties du corps avec d'autres partie du corps ou, plus prosaiquement, le corps avec une règle étalon située au même endroit et immobile par rapport à lui (en en utilisant le postulat zéro, le nom est de moi , de la relativité : deux événements se produisant au même endroit et au même moment sont un seul et même événement).

"Au même endroit" c'est évidemment difficile, à moins de superposer les atomes du corps et de la règle étalon mais en pratique on sait que les justaposer, ça marche.

[invite7863222222222]

Cela repose donc sur deux observateurs au repos aux deux extrémités. Comment cela ce vérifie t-il expérimentalement ? La notion de repos est absolu ou c'est le repos de l'un par rapport à l'autre ?

Patrick

Il faut aussi fixer un temps t donné pour pouvoir parler d'immobile, entendu comme immobile "au temps t".

Humm et est-ce que pour un objet dont la longueur varie tout le temps, par exemple un ressort, la longueur propre continue-t-elle à pouvoir être définie ?

[Deedee81]

Humm et est-ce que pour un objet dont la longueur varie tout le temps, par exemple un ressort, la longueur propre continue-t-elle à pouvoir être définie ?

Oui.... mais dépend de la définition du temps c'est-à-dire ici de la convention de synchronisation des horloges.

[invite7863222222222]

Oui.... mais dépend de la définition du temps c'est-à-dire ici de la convention de synchronisation des horloges.

Puisque que l'on peut décémment dire que les deux extrémités bougent dans le cas d'un ressort par exemple, la notion de observateur immobile aux deux extrémités n'a pas de sens. Qu'est-ce qui peut alors arbitrer le choix d'une convention plutôt qu'une autre ?

A moins de dire que la longueur propre c'est simplement la longueur d'un objet, je ne vois pas d'autres solutions.

[Deedee81]

Puisque que l'on peut décémment dire que les deux extrémités bougent dans le cas d'un ressort par exemple, la notion de observateur immobile aux deux extrémités n'a pas de sens.

Ah oui, ça c'est clair. Mais l'étalon (la règle en métal, pas le cheval) placé a coté pour mesurer la longueur propre elle n'a pas ce problème (du moins en première approximation).

Qu'est-ce qui peut alors arbitrer le choix d'une convention plutôt qu'une autre ?

L'utilité, le caractère "naturel",....

Lorsque j'explique la règle de synchronisation d'Einstein j'explique souvent qu'on peut utiliser autre chose que la lumière comme le son et que la méthode d'Einstein est exactement celle que tout le monde utilise en entendant le tonnerre (même celui de Brest). Elle est naturelle et intuitive.

Et évidemment son utilité est patente.

Ah oui, il faut aussi qu'elle respecte les postulats de la théorie comme, ici, le principe de relativité.

A moins de dire que la longueur propre c'est simplement la longueur d'un objet, je ne vois pas d'autres solutions.

Pourquoi cela ? Un nom est un nom, mais ils ont des significations précises et consensuelles. Si on mélange on risque de ne plus s'y retrouver.

[invite7863222222222]

Ah oui, ça c'est clair. Mais l'étalon (la règle en métal, pas le cheval) placé a coté pour mesurer la longueur propre elle n'a pas ce problème (du moins en première approximation).

Justement comment pouvez-vous donner un sens à longueur propre lorsque l'objet est un ressort ? Ce n'est pas possible.
De wikipédia :

Ainsi, la longueur propre d'un objet est sa longueur mesurée dans un référentiel inertiel où il est immobile.

Un ressort en action, n'a donc pas de longueur propre.

Lorsque j'explique la règle de synchronisation d'Einstein j'explique souvent qu'on peut utiliser autre chose que la lumière comme le son et que la méthode d'Einstein est exactement celle que tout le monde utilise en entendant le tonnerre (même celui de Brest). Elle est naturelle et intuitive.

Je ne crois pas qu'Einstein utilise la lumière autrement que comme une idéalité, la seule chose qui compte c'est qu'il s'agit là d'une constante physique : constance de la vitesse de propagation du signal de synchronisation, après que ce soit la lumière qui se rapproche le plus de cette constante et non le son, par exemple, est un problème qui touche plus à la nature de la lumière qu'à la théorie de la relativité.

Pourquoi cela ? Un nom est un nom, mais ils ont des significations précises et consensuelles. Si on mélange on risque de ne plus s'y retrouver.

Oui merci d'ailleurs de vos réponses, j'ai à présent compris que la longueur propre ne pouvait pas être définie quelque soit les objets et les situations (ce qui n'empêche pas de parler de la longueur d'un objet dans un référentiel inertiel, bien sûr).

[invite6754323456711]

Lorsque j'explique la règle de synchronisation d'Einstein j'explique souvent qu'on peut utiliser autre chose que la lumière comme le son et que la méthode d'Einstein est exactement celle que tout le monde utilise en entendant le tonnerre (même celui de Brest). Elle est naturelle et intuitive.

Il semble que Reichenbach a eu une autre intuition avec sont critère de simultanéité d'epsilon-simultanéité qui conduit à un espace local de repos qui ne serait pas orthogonal à la ligne d'univers (si espsilon est différent de 1/2). La simultanéité ainsi définie n'aurait pas de rapport direct avec le tenseur métrique g.

Patrick

[Amanuensis]

Puisque que l'on peut décémment dire que les deux extrémités bougent dans le cas d'un ressort par exemple, la notion de observateur immobile aux deux extrémités n'a pas de sens. Qu'est-ce qui peut alors arbitrer le choix d'une convention plutôt qu'une autre ?

A moins de dire que la longueur propre c'est simplement la longueur d'un objet, je ne vois pas d'autres solutions.

Je ne pense pas qu'on puisse utiliser la notion de "longueur propre" autrement que dans un cas "stationnaire", c'est intrinsèque à la définition que j'avais proposée.

Si on mesure par la durée aller-retour d'un signal, on ne peut parler d'une "longueur propre de l'objet" que si la mesure ainsi faite est constante pendant une durée (très) supérieure à la durée mesurée. = cas stationnaire.

Sinon, la "longueur" va dépendre de choix arbitraires (référentiel, observateur). Cette indétermination est d'autant plus grande que la vitesse relative (définies par la variation de "longueur" pour un observateur donné par unité de temps pour cet observateur) est plus grande. En pratique, l'indétermination est négligeable pour un ressort par exemple, et prendre n'importe quel observateur est une approximation valable.

PS : Redondant, mais pas contradiction avec les messages récents...

[Deedee81]

Un ressort en action, n'a donc pas de longueur propre.

Oh ! D'accooord ! Je viens de comprendre (on est vendredi)

Oui, on peut parler de sa longueur mesurée (dans un repère donné) mais pas de sa longueur propre. Et chaque petite portion a une longueur propre mais les additionner pour avoir une longueur n'a pas de sens puisque ces longueurs varient dans le temps.

Désolé, tu avais bon de bout en bout
(et je vois avec la fin de ton message que mes incompréhensions ne t'on pas trop perturbé, ouffffff)

Je ne crois pas qu'Einstein utilise la lumière autrement que comme une idéalité, la seule chose qui compte c'est qu'il s'agit là d'une constante physique : constance de la vitesse de propagation du signal de synchronisation, après que ce soit la lumière qui se rapproche le plus de cette constante et non le son, par exemple, est un problème qui touche plus à la nature de la lumière qu'à la théorie de la relativité.

Oui, je suis d'accord.

Quand je donne les explications je dis toujours "ou tout signal à vitesse connue (que voilà une formule bien facile ) sachant que la lumière à l'avantage d'une vitesse constante et invariante dans le vide".

Et je parle toujours aussi de l'ambiguité dans la définition des vitesses, des liens avec l'électromagnétisme etc....

[invite6754323456711]

Quand je donne les explications je dis toujours "ou tout signal à vitesse connue (que voilà une formule bien facile ) sachant que la lumière à l'avantage d'une vitesse constante et invariante dans le vide".

Utiliser c/2 c'est supposer un RTT (Round Trip Time) symétrique non ?

Patrick

[Amanuensis]

Utiliser c/2 c'est supposer un RTT (Round Trip Time) symétrique non ?

Pas nécessairement. La symétrie découle de la contrainte "constante pendant une durée suffisante". Car alors, et seulement alors, on peut montrer (et exploiter) que c'est symétrique (sous condition d'isotropie de c).

[Deedee81]

Pas nécessairement. La symétrie découle de la contrainte "constante pendant une durée suffisante". Car alors, et seulement alors, on peut montrer (et exploiter) que c'est symétrique (sous condition d'isotropie de c).

En effet, ou d'ajouter le principe de relativité

(EDIT : correction : ET d'ajouter le PR. La constance est nécessaire, tu as raison.)

Ce que je fais toujours ans vergogne puisque j'estime qu'on peut le voir comme un principe logique : les phénomènes physiques ne dépendent pas des choix arbitraires que nous faisons pour donner des coordonnées aux événements, et plus simplement, ne dépendent pas du repère. Il est donc naturel d'imposer le principe de relativité pour éviter d'introduire des artefacts, des effets dépendant du repère et de nos choix mais qui n'auraient pas une cause physique.

C'est un choix et une conception philosophique mais elle me semble assez claire (au moins pour un physicien).

[Amanuensis]

Ce que j'écrivais là était pensé dans le cadre de la relativité restreinte (et cela marcherait en relativité galiléenne itou).

Avec le modèle de la relativité générale j'ai du mal à me faire une idée claire sur ce que pourrait être une longueur propre autre que "infinitésimale" (autrement dit le principe que la métrique tangente est universellement celle de Minkowski).

Pour les longues distances, on peut en définir plusieurs en RG, toutes défendables. Pour les objets liés, le fait d'être lié change sûrement quelque chose, mais ce n'est pas clair si cela change la conclusion qui suit. Il semble plus simple de penser que la notion de "longueur propre" n'est qu'une approximation, d'amplitude d'autant plus négligeable que la longueur est faible et/ou les accélérations faibles et/ou la courbure faible, mais néanmoins une approximation qui ne disparaît, si on peut dire, qu'aux longueurs nulles.

Par contre je ne vois de tels problèmes avec le temps propre, ce qui me fait le prendre comme "base conceptuelle" dans mes constructions mentales.

[chaverondier]

Avec le modèle de la relativité générale j'ai du mal à me faire une idée claire sur ce que pourrait être une longueur propre autre que "infinitésimale" (autrement dit le principe que la métrique tangente est universellement celle de Minkowski).

Tout à fait, d'accord. Ce n'est pas possible dans le cas général. Dans le cas général, on peut seulement définir la métrique spatiale et non la longueur propre d'un objet car se pose la question de savoir à quel "moment" (c'est à dire par intégration de la métrique spatiale dans quel feuillet 3D de type espace) on la mesure.

C'est cependant possible dans certains cas particuliers comme vous l'avez signalé d'ailleurs (j'ai lu les deux posts que vous m'avez indiqués) notamment :

• Dans le cas de référentiels dont les métriques sont stationnaires (cf Landau et Lifchitz Tome 4 théorie des champs, § 84 distances et intervalles de temps). Il s'agit, par exemple, de tout référentiel tournant dans un espace-temps de Minkowski ou encore du référentiel de Schwarzschild dans un espace-temps de Schwarzchild.
  
• Dans le cas de référentiels possédant un feuilletage en feuillets 3D de simultanéité (comme un référentiel uniformément accéléré dans un espace-temps de Minkowski par exemple). Dans un tel référentiel, un objet immobile (un feuilletage 1D d'une sous variété 4D d'une variété 4D pseudo-Riemanienne, ce feuilletage 1D formant une variété 3D quotient de cette sous-variété 4D) définit par lui-même son référentiel. Il a une longueur propre définie sans ambiguité, mais, toutefois, à des notions d'instant qui lui sont propres (les instants définis par son feuilletage orthogonal associé en feuillets 3D de simultanéité).

Un cas particulier intéressant est celui des espace-temps de la RG possédant un référentiel privilégié unique (un éther au sens mathématique défini ci-dessous) caractérisé (il me semble) par les 4 propriétés suivantes :

1. être en chute libre
2. posséder un feuilletage orthogonal en feuillets 3D de simultanéité
3. être tel que le temps s'écoulant entre feuillets 3D de simultanéité soit indépendant de l'observateur au repos dans de ce référentiel privilégié
4. être le seul référentiel à posséder ces 3 propriétés (je pense qu'elles devraient suffire pour le caractérisier de façon unique dans les cas visés ci-dessous).

C'est le cas par exemple:

• du référentiel formé des observateurs de Lemaître dans un espace-temps de Schwarzschild
• de l'unique référentiel formé des observateurs comobiles dans un espace-temps de Friedman-Lemaitre
• de l'unique référentiel immobile de l'espace-temps statique hypertorique (même géométrie que l'espace-temps de Minkowski, il est tout plat, mais, grâce à sa topologie amusante, le jumeau en mouvement peut croiser régulièrement son jumeau sédentaire sans avoir à faire demi-tour. Il constate donc que sa vitesse, et non son accélération, ralentit son vieillissement)

Un cas très particulier, est celui de l'espace temps de Minkowski. Il a la même géométrie que l'espace-temps statique hypertorique (il est plat lui aussi) mais, du fait de sa topologie triviale, il possède une infinité de référentiels privilégiés (et non un seul) possédant les 3 premières propriétés. Dans ce cas là aussi il est possible de définir la longueur propre d'un objet (un feuilletage 1D) dès qu'il est au repos dans un référentiel inertiel.

Cette longueur propre est reconnue comme telle par tous les observateurs inertiels, même ceux qui sont en mouvement par rapport à lui. Si l'objet en question n'a pas la bonne longueur propre (sa longueur propre au repos dans un état libre de contrainte) on sait qu'il est en traction (ou qu'il en a subi une et qu'il a flué ou s'est déformé plastiquement par exemple).

Physiquement, un objet au repos dans un référentiel inertiel (un cristal par exemple) doit être maintenu dans un état de traction s'il est élastique (pas de fluage ni de plasticité) et s'il a une longueur propre plus grande que sa longueur propre de repos.

C'est ce qui se passe, par exemple, si on tend une élastique entre deux fusées (la ficelle de Bell) et qu'on fait accélérer ses deux extrémités en même temps de la même façon (du point de vue d'un référentiel inertiel particulier). Si la limite de rupture de l'élastique est atteinte quand sa longueur double, le phénomène se produit quand les deux fusées atteignent 87% de la vitesse de la lumière ( v_rupture = c (1 - (L_propre_0/L_propre_rupture)^2)^(1/2) ).

La notion de longueur propre d'un objet physique n'est donc pas une simple notion mathématique arbitraire dénuée de sens physique. Elle a des répercussions sur l'état de contrainte et de déformation induit quand on augmente la longueur propre de l'objet par rapport à sa longueur propre de repos (par exemple en empêchant un objet accéléré de subir la contraction de Lorentz induite par l'augmentation de sa vitesse).

Ca ne m'empêche cependant pas d'être totalement d'accord avec toutes vos remarques en fait (désolé, je n'avais pas lu certains de vos posts) et ce que je dis là ne les contredit pas.

Nota : dans le cas de l'élastique de Bell, je passe sous silence un tas de petits détails embêtants, qui noieraient l'illustration physique de la contraction de Lorentz dans un flot de détails de deuxième ordre. Je passe en particulier sur le fait qu'il faudrait, en toute rigueur (en pinaillant la quatorzième ou la quinzième décimale environ après la virgule) réduire l'accélération des extrémités de l'élastique à l'approche des 87% de c, de façon:

• à laisser aux oscillations dynamiques de l'élastique le temps de s'amortir
• à pouvoir sensiblement identifier le référentiel accéléré à son référentiel inertiel tangent (à un instant donné au sens de la notion d'instant relative au référentiel inertiel où les deux extrémités de l'élastique ont la même accélération en même temps).

[papy-alain]

Je vais aller prendre une aspirine.

[chaverondier]

Ce que je fais toujours ans vergogne puisque j'estime qu'on peut le voir comme un principe logique : les phénomènes physiques ne dépendent pas des choix arbitraires que nous faisons pour donner des coordonnées aux événements, et plus simplement, ne dépendent pas du repère.

Ca n'a pas de rapport avec le principe de relativité (c'est beaucoup plus général). Le principe de relativité est beaucoup plus physique que de simples considérations de logique. Il exprime le fait que les lois de la physique sont invariantes par action du groupe de Poincaré. Si cette symétrie s'étendait au groupe des transformations affines par exemple, la notion d'angle droit, notamment, deviendrait relative à l'observateur (on aurait des atomes "en biais" par exemple, mais cette notion serait relative) et les lois de la physique garderaient la même expression mathématique même (notamment) en passant dans un système de coordonnées non orthonormé.

[Amanuensis]

(...)

Merci !

Vous répondez au passage à une question non posée cachée dans mon texte. Quand j'ai rappelé la définition par AR divisé par 2c constant pendant un certain temps, j'avais fait bien attention de dire qu'elle s'appliquait au cas minkowski inertiel sans rien dire dans l'autre sens (je ne les ai pas présentées comme équivalentes !). Ce qui laissait ouverte la question s'il y avait d'autres cas où la constance de l'AR pendant un certain temps était possible et permettait de parler d'une longueur propre ayant un sens.

Vous en donnez des exemples.

J'imagine que ce n'est pas exhaustif, doit y avoir par exemple des cas, autres que le 3-tore ("cubique"), d'espace-temps avec espace compact (je pense au dodécaédrique de Poincaré cher à JP Luminet).

[chaverondier]

doit y avoir par exemple des cas, autres que le 3-tore ("cubique"), d'espace-temps avec espace compact (je pense au dodécaédrique de Poincaré cher à JP Luminet).

Les espace-temps de Friedmann Lemaître que j'ai cités (dont ceux à géométrie spatiale hypersphérique, mais les autres, de feuillets 3D de simultanéité non compacts, aussi). Toutefois, le caractère compact du feuilletage orthogonal en feuillets 3D de simultanéité (quand il existe) n'est pas requis. Il permet seulement d'étendre la définition de la notion de longueur propre d'un objet au repos dans un référentiel à des référentiels où la métrique (spatio-temporelle) n'est pas stationnaire.

L'espace temps de Schwarzschild n'est pas compact. Pourtant, on peut y trouver des référentiels dans lesquels la métrique spatio-temporelle y est stationnaire (celui de Schwarzschild et celui de Lemaître, la métrique spatiale étant constante seulement dans le référentiel de Schwarzschild). Des objets au repos y ont donc une longueur propre bien définie et jugée valable par d'autres observateurs.

En particulier, quand la métrique spatiale (d'un référentiel dont la métrique spatio-temporelle est stationnaire) ne dépend pas du temps, la longueur propre d'un objet est obtenue par intégration de proche en proche de la métrique spatiale, c'est à dire de la durée propre d'aller retour de la lumière multiplié par c/2 entre un observateur et son voisin "très proche" au repos dans le référentiel considéré (sans qu'on ait à se soucier de rester dans un feuillet de simultanéité du référentiel en question pendant l'intégration).

C'est précisément ce qui se passe dans le référentiel tournant dans un espace-temps de Minkowski (référentiel qui, au passage, ne possède pas de feuiulletage orthogonal en feuillets 3D de simltanéité. La simultanéité au sein du référentiel tournant ne peut-être définie que localement (et, localement, la lumière semble isotrope pour les observateurs tournants). Globalement, dans le référentiel tournant, l'anisotropie de la vitesse de la lumière se manifeste et se traduit par l'effet SAGNAC.

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En particulier, quand la métrique spatiale (d'un référentiel dont la métrique spatio-temporelle est stationnaire) ne dépend pas du temps,

On se retrouve dans un cas de figure ou on sait associer à un observateur O, qui suit une ligne d'univers Lo, un espace de référence qui est un espace vectoriel réel Euclidien de dimension 3 ? En quelque sorte l'espace "physique usuel" 3D. Un champ de 4-vecteur v (t), défini le long de Lo est fixe par rapport à O si pour tout t, v(t) = vⁱ e_i(t) ou vⁱ sont quatre constantes.
De même un point matériel sera dit fixe par rapport à l'observateur O ssi les coordonnées spatiales xⁱ dans le référentiel de O sont les mêmes pour tous les évènements de la ligne d'univers du point matériel.

Patrick