Dilatation du temps...

[inviteba0a4d6e]

Salut

Nous savons que la dilatation du temps est plus conséquente lorsque la gravitation augmente...

Et nous savons aussi que cette dilatation temporelle est d'autant plus importante lorsque la vitesse/accélération d'un système augmente...

Maintenant, laquelle de ces deux horloges atomiques verra son temps ralentir/se dilater le plus ?
Celle placée au rez-de-chaussée d'un building (où la gravitation est plus importante) ou celle placée au 30ème étage (où la vitesse est supérieure à celle de l'autre par rapport au centre de la Terre) ?

Ou bien il n'y a pas de différence car ces configurations s'annulent l'une l'autre ?

P.S. : le building est construit à l'équateur...
-----

[invite2c62579a]

Oui, la dilatation du temps dépends de la vitesse: plus elle est grande est près de «c», plus l'effet est marqué. Je ne saisis pas bien ta première phrase cependant.

L'horloge en haut de l'édifice mesure un temps plus long, car elle est dans un champ gravitationnel plus faible. Quelqu'un travaillant dans le bas d'un édifice va donc vivre plus longtemps que ceux en haut (de quelques millisecondes, bon ok )

[invite8c514936]

Lorsqu'on tient compte de la vitesse ET du champ de gravitation, la formule donnant le changement de période st la suivante

où est la métrique, dans laquelle il y a les effets du champ de gravitation et représente la composante i de la vitesse.

Selon les situations, (vitesse et champ de gravité), il peut y avoir allongement ou contraction des durées.

[invité576543]

Sans vérification, il me semble qu'au premier ordre (faible vitesse et faible champ), c'est directement lié à l'énergie "classique".

Dans le cas proposé par Karma, la différence d'énergie potentielle est gh, en gros 1000 J/kg avec h=100 m, et la différence d'énergie cinétique de l'ordre de 1/2( (h/R) 2PI R/ 24 heures)², soit 27 µJ/kg. Y'a pas photo!

(D'ailleurs cela a un rapport entre la partie de la pesanteur qui est due à la gravité et celle due à la rotation de la Terre, et il est clair que la gravité est très dominante, même à l'équateur!)

Me goure-je?

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteba0a4d6e]

Conclusion siouplaît ? .oO(j'ai un peu de mal avec les... hiéroglyphes)

Dilatation temporelle plus importante au sol ou au sommet du building ? Et dans le cas où ce serait la première solution, quelle devrait être la hauteur du building pour que la dilatation temporelle soit plus conséquente pour la seconde horloge ? Merki...

[invité576543]

Conclusion siouplaît ? .oO(j'ai un peu de mal avec les... hiéroglyphes)

Dilatation temporelle plus importante au sol ou au sommet du building ? Et dans le cas où ce serait la première solution, quelle devrait être la hauteur du building pour que la dilatation temporelle soit plus conséquente pour la seconde horloge ? Merki...

L'influence de la gravité domine largement. Maintenant, dilatation ou l'inverse, ça dépend de la référence, non?

Cordialement,

[invitefa5fd80c]

Conclusion siouplaît ? .oO(j'ai un peu de mal avec les... hiéroglyphes)

Dilatation temporelle plus importante au sol ou au sommet du building ? Et dans le cas où ce serait la première solution, quelle devrait être la hauteur du building pour que la dilatation temporelle soit plus conséquente pour la seconde horloge ? Merki...

Salut,

C’est un petit problème intéressant.
La façon rigoureuse de traiter ce type de situation est celle donné par deep-turtle.
Cependant, étant donné que le champ gravitationnel de la terre est « faible », on peut traiter la question de la façon simple suivante.

Introduisons une horloge H située « hors » du champ gravitationnel de la terre et qui est au repos par rapport à la terre, mais sans suivre le mouvement de rotation de la terre sur elle-même.
Soient :
r la distance entre le centre de la terre et une horloge H(r) située dans le building
t un intervalle de temps écoulé sur l’horloge H
t(r) l’intervalle de temps correspondant écoulé sur l’horloge H(r)
tg(r) la portion de l’écart E(r)=(t - t(r)) attribuable au ralentissement gravitationnel
et tv(r) la portion attribuable à la vitesse de H(r) par rapport à H

Pour le ralentissement gravitationnel, on a tg(r) = GM/c²r t
Pour le ralentissement dû à la vitesse, on a tv(r) = 1/2 v²/c² t

On a donc : E(r) = (GM/c²r + 1/2 v²/c²) t
Etant donné que v = r, où est la vitesse angulaire de la rotation de la terre sur elle-même (2/24 heures) on a finalement :
E(r) = (GM/c²r + 1/2 ²r²/c²) t

Comme on le voit, E(r) tend vers l’infini en r->0 et en r->infini. Donc il y a au moins un extremum entre les deux. Il est facile de voir qu’il n’y a qu’un seul extremum et que c’est un minimum se trouvant en un certain Rm. Prenant la dérivée de E(r) et l’égalant à 0, on obtient :
Rm = (GM/²)^1/3

Plaçant les valeurs pour la terre, on a Rm = 42369 km

Donc, partant du centre de la terre, le ralentissement de H(r) diminue jusqu’à r=Rm pour ensuite augmenter. Etant donné que le rayon de la terre est de 6370 km, et bien l’horloge située au rez-de-chaussée va plus lentement que celle située au 30ème étage. Pour que la situation s’inverse, il faudrait que le building ait une hauteur de (42369km-6370km), soit environ 36000km.

Méchant saut en bonji

A+

[invité576543]

On a donc : E(r) = (GM/c²r + 1/2 v²/c²)

Cela n'est loin de ce que je disais, la formule donnant l'énergie, à un signe près(et une constante multiplicative). T'es sur du signe + pour le terme gravitationnel??

Cordialement,

[invitefa5fd80c]

Cela n'est loin de ce que je disais, la formule donnant l'énergie, à un signe près(et une constante multiplicative). T'es sur du signe + pour le terme gravitationnel??

Cordialement,

J'ai défini le E(r) comme l'écart entre un intervalle de temps sur l'horloge H et celui sur l'horloge H(r). Le choix de "E" pour représenter cet écart peut effectivement porter à confusion avec l'énergie.

[invité576543]

J'ai défini le E(r) comme l'écart entre un intervalle de temps sur l'horloge H et celui sur l'horloge H(r). Le choix de "E" pour représenter cet écart peut effectivement porter à confusion avec l'énergie.

Ce n'est pas ce que voulais dire. Il y a un raisonnement simple qui conclut que le facteur de dilatation est lié directement à l'énergie. Or ta formule est bien de ce type (en fait ton facteur est sans dimension, mais c'est pareil), sauf que le terme d'énergie potentielle gravitationnelle devrait être négatif, pas positif. Il est en -1/r, il augmente avec la distance, pas le contraire.

Mais peut-être erre-je?

Cordialement,

[invitefa5fd80c]

Ce n'est pas ce que voulais dire. Il y a un raisonnement simple qui conclut que le facteur de dilatation est lié directement à l'énergie. Or ta formule est bien de ce type (en fait ton facteur est sans dimension, mais c'est pareil), sauf que le terme d'énergie potentielle gravitationnelle devrait être négatif, pas positif. Il est en -1/r, il augmente avec la distance, pas le contraire.

Mais peut-être erre-je?

Cordialement,

Le terme gravitationnel qui figure dans E(r) origine de la solution de Schwartschild des équations de la RG pour la métrique autour d'une masse M.
Pour pouvoir répondre à ta question, il faudrait que je connaisse le raisonnement auquel tu fais allusion.

Oups je viens de voir le post dans lequel tu en parles. Toutes mes excuses. Je te reviens là-dessus

[invité576543]

il faudrait que je connaisse le raisonnement auquel tu fais allusion.

Le "raisonnement" je ne l'ai pas expliqué. Simplement énergie multipliée par une durée, c'est une action, et l'unité d'action est invariante (constante h!). Donc l'unité d'énergie par l'unité de temps est invariante. La RG peut se voir comme un changement d'unité en fonction du lieu. Dilatation de temps -> inverse de la dilatation d'énergie et réciproquement.

Par exemple, un photon émis de bas et absorbé en haut doit changer de fréquence (dilatation du temps) pour compenser la différence d'énergie de la masse (la masse du bas diminue par perte du photon, et la masse du haut augmente par absorption du photon). Et celle-ci est bien la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle de gravitation.

Ou qque chose comme ça...

Cordialement,

[invitefa5fd80c]

Ce n'est pas ce que voulais dire. Il y a un raisonnement simple qui conclut que le facteur de dilatation est lié directement à l'énergie. Or ta formule est bien de ce type (en fait ton facteur est sans dimension, mais c'est pareil), sauf que le terme d'énergie potentielle gravitationnelle devrait être négatif, pas positif. Il est en -1/r, il augmente avec la distance, pas le contraire.

Mais peut-être erre-je?

Cordialement,

Le facteur de dilatation entre une horloge située en A et une horloge située en B est reliée à la différence d'énergie potentielle _B - _A

Le "raisonnement" je ne l'ai pas expliqué. Simplement énergie multipliée par une durée, c'est une action, et l'unité d'action est invariante (constante h!). Donc l'unité d'énergie par l'unité de temps est invariante. La RG peut se voir comme un changement d'unité en fonction du lieu. Dilatation de temps -> inverse de la dilatation d'énergie et réciproquement.

Îci je dois avouer que je ne comprends pas de quoi tu parles.

[invité576543]

Le facteur de dilatation entre une horloge située en A et une horloge située en B est reliée à la différence d'énergie potentielle _B - _A

On est bien d'accord, et le facteur de la RR est lié à la différence d'énergie cinétique. Maintenant, faut additionner les deux, et faut faire attention aux signes. Je pense que dans ta formule, les signes ne sont pas corrects.

Cordialement,

[invitefa5fd80c]

On est bien d'accord, et le facteur de la RR est lié à la différence d'énergie cinétique. Maintenant, faut additionner les deux, et faut faire attention aux signes. Je pense que dans ta formule, les signes ne sont pas corrects.

Cordialement,

Reprenons ma formule :
E(r) = (GM/c²r + 1/2 v²/c²) t
Reprenons aussi l'horloge H située à l'"infini" et au repos par rapport à la terre.
Si une horloge H1 a une vitesse par rapport à H, son rythme est ralenti par rapport à celui de H en vertu de la RR.
Si de plus, H1 est dans le champ gravitationnel de la terre, son rythme est ralenti d'une quantité additionnelle en vertu de la RG.
Les deux effets sont donc additifs. Par conséquent, dans l'expression pour E(r), les deux contributions doivent nécessairement être de même signe. Non ?

[inviteba0a4d6e]

Donc, partant du centre de la terre, le ralentissement de H(r) diminue jusqu’à r=Rm pour ensuite augmenter. Etant donné que le rayon de la terre est de 6370 km, et bien l’horloge située au rez-de-chaussée va plus lentement que celle située au 30ème étage. Pour que la situation s’inverse, il faudrait que le building ait une hauteur de (42369km-6370km), soit environ 36000km.

Là où orbitent les satellites géostationnaires... Une coïncidence ?

[invité576543]

les deux contributions doivent nécessairement être de même signe. Non ?

Les contributions des différences, oui. Vu du bas, pour aller plus haut et plus vite, il faut ajouter de l'énergie; d'une part pour aller plus vite (terme en v²/2) et d'autre part pour l'énergie potentielle, donc en -GM/r, qui augmente bien avec la hauteur, d'où à fournir -GM/r+v²/2. La dilatation temporelle devrait être en (-GM/r₁ + v₁²/2)/(-GM/r₂+v₂²/2), avec bien un - devant GM/r.

Au premier ordre avec v1=0, v2=v, et r2-r1 = h petit, ça fait à peu près 1 - h/r - v²r/2GM, les termes h/r et v²r/2GM s'additionnent bien dans le même sens.

Pour moi on doit avoir E(r) = (-GM/(c²r) + 1/2 v²/c²) dt pour que les deux termes aillent dans le même sens! parce que v augmente avec r, et -1/r augmente avec r

Cordialement,

[invitefa5fd80c]

Là où orbitent les satellites géostationnaires... Une coïncidence ?

Surement une coïncidence. Les satellites GPS sont situés à une altitude de 20000km et orbitent autour de la terre en une période de 12 heures.

[invitefa5fd80c]

Les contributions des différences, oui. Vu du bas, pour aller plus haut et plus vite, il faut ajouter de l'énergie; d'une part pour aller plus vite (terme en v²/2) et d'autre part pour l'énergie potentielle, donc en -GM/r, qui augmente bien avec la hauteur, d'où à fournir -GM/r+v²/2. La dilatation temporelle devrait être en (-GM/r₁ + v₁²/2)/(-GM/r₂+v₂²/2), avec bien un - devant GM/r.

Au premier ordre avec v1=0, v2=v, et r2-r1 = h petit, ça fait à peu près 1 - h/r - v²r/2GM, les termes h/r et v²r/2GM s'additionnent bien dans le même sens.

Pour moi on doit avoir E(r) = (-GM/(c²r) + 1/2 v²/c²) dt pour que les deux termes aillent dans le même sens! parce que v augmente avec r, et -1/r augmente avec r

Cordialement,

E(r) représente la quantité de temps additionnel qui s'écoule sur l'horloge H à l'infini par rapport à une horloge H(r) située à une distance r du centre de la terre et allant à une vitesse v.

Si on prends la formule que tu proposes, soit :
E(r) = (-GM/(c²r) + 1/2 v²/c²) dt
on voit que pour M= 0, on a E(r) = + 1/2 v²/c² dt, ce qui donne bien l'écart entre H et H(r) en l'absence de champ gravitationnel.
Maintenant, si on prends M différent de 0 mais v= 0, on obtient E(r) = - GM/(c²r) dt !!! ce qui voudrait dire que l'horloge au repos dans le champ gravitationnel irait à un rythme plus rapide que l'horloge située hors du champ gravitationnel. Ce ne peut pas être le cas. La formule que tu proposes mène donc à une contradiction.

[invité576543]

E(r) représente la quantité de temps additionnel qui s'écoule sur l'horloge H à l'infini par rapport à une horloge H(r) située à une distance r du centre de la terre et allant à une vitesse v.

Si on prends la formule que tu proposes, soit :
E(r) = (-GM/(c²r) + 1/2 v²/c²) dt
on voit que pour M= 0, on a E(r) = + 1/2 v²/c² dt, ce qui donne bien l'écart entre H et H(r) en l'absence de champ gravitationnel.
Maintenant, si on prends M différent de 0 mais v= 0, on obtient E(r) = - GM/(c²r) dt !!! ce qui voudrait dire que l'horloge au repos dans le champ gravitationnel irait à un rythme plus rapide que l'horloge située hors du champ gravitationnel. Ce ne peut pas être le cas. La formule que tu proposes mène donc à une contradiction.

Pourquoi?

Le problème dans ces formules, et c'est là que je me perds, est que le signe du terme de vitesse, en v², ne change pas quand on permutte les points de vue: A voit le temps de B ralenti et réciproquement. Mais le terme gravitationnel n'a pas l'air de changer, si A voit le temps de B ralenti, B voit le temps de A accélérér. Il y a donc nécessairement besoin de faire très attention à ce dont on parle, de quel référentiel on parle. Le calcul de l'énergie est pour moi plus simple à suivre: dans un repère extérieur, qui ne tourne pas, mais fixe par rapport au centre de la Terre, l'énergie massique est bien c²-GM/r+v²/2.

Il est fort possible que je me trompe, mais alors au moins une de ces propositions est fausse

* le raisonnement par l'énergie est correct (à savoir que l'écoulement du temps est inversement proportionnel à l'énergie massique, tous les termes étant calculés dans le même référentiel)

* l'énergie massique dans le repère géocentrique extérieur non tournant est, en première approximation, c²-GM/r+v²/2.

* ce qu'on cherche à calculer est le rapport des écoulements du temps vu de ce référentiel là.

Avec le ou lesquels de ces trois points ton approche diverge?

Cordialement,

[henri66]

bonjour!

effectivement on vit légèrement plus vieux au rez de chaussée d'un gratte ciel qu'au dernier étage et je conseille à tout le monde les rivages de la mer morte à -100 ou à -200 mètres par rapport aux stations de ski.
je me pose une question peut-etre débile;n'obtiendrait-on
pas un résultat assez paradoxal au voisinage d'un trou noir à la masse infinie avec arret du temps et finalement non aspiration dans ce trou noir,ce serait le secret de la vie éternelle mais il y aurait un problème de ravitaillement en nourriture et oxygène;quelqu'un peut-il me répondre?

@+

[Garion]

pas un résultat assez paradoxal au voisinage d'un trou noir à la masse infinie avec arret du temps et finalement non aspiration dans ce trou noir,ce serait le secret de la vie éternelle mais il y aurait un problème de ravitaillement en nourriture et oxygène;quelqu'un peut-il me répondre?

D'abord, il faut savoir que la masse d'un trou noir est finie, c'est sa densité qui serait infinie.
Ensuite, il faut voir qu'une personne soumise à un tel champs de gravitation ne se rendrait pas compte qu'il vivrait plus vieux, son horloge indiquerait toujours une durée de vie normale.
De plus, en dehors du problème de nourriture et d'oxygène, la personne serait écrasée par la gravité.

[invite6f044255]

C'est en effet bien expliqué au premier chapitre du bouquin de Thorne "trous noirs et distorsions du temps".
En se mettant très proche de l'horizon d'un trou noir, on vieillit normalement, mais ceux qui en sont loin veillissent très vite pour nous....
Donc, c'est un bon moyen pour voir ce qui se passera dans des milliers d'années, mais ce n'est pas encore le secret de la vie éternelle

[invité576543]

De plus, en dehors du problème de nourriture et d'oxygène, la personne serait écrasée par la gravité.

Bonjour,

Il me semble qu'on serait "étiré" par l'effet de marée et déchiquetés en petits morceaux bien avant avoir des problèmes de nourriture et d'oxygène, et avant de "voir" beaucoup du "futur". Qui plus est le décalage vers le bleu (je pense) de la lumière fera qu'on ne verra rien d'usuel, et même que l'on prendra une bonne de X ou gamma peut-être avant même d'être écartelé. (Détails à vérifier...)

Super comme programme...

Cordialement,

[Garion]

Bonjour,

Il me semble qu'on serait "étiré" par l'effet de marée et déchiquetés en petits morceaux bien avant avoir des problèmes de nourriture et d'oxygène, et avant de "voir" beaucoup du "futur". Qui plus est le décalage vers le bleu (je pense) de la lumière fera qu'on ne verra rien d'usuel, et même que l'on prendra une bonne de X ou gamma peut-être avant même d'être écartelé. (Détails à vérifier...)

Super comme programme...

Ce que je voulais dire c'est que si on vivait prés d'un trou noir, ça suppose un plancher sur lequel se poser, et on serait bien écrasé sur ce plancher par la gravité. Les forces de marée, c'est plutôt en chute libre et beaucoup plus proche du trou noir qu'on y serait soumis.

[invité576543]

Ce que je voulais dire c'est que si on vivait prés d'un trou noir, ça suppose un plancher sur lequel se poser, et on serait bien écrasé sur ce plancher par la gravité. Les forces de marée, c'est plutôt en chute libre et beaucoup plus proche du trou noir qu'on y serait soumis.

La "force de marée" n'existe pas seulement en chute libre, elle est juste due à la variation de la force en fonction de la distance. Si la force est en GM/r², sur une distance h, elle varie de de GMh/2r³, il y a donc une distance r telle que sur h = 1 m cette différence de force vale disons 2000 Newton: un corps humain ne va pas résister longtemps!

Quand au plancher, il va être attiré par le trou noir itou! Aucun moyen de le faire tenir! Sauf peut-être la mise en orbite suffisamment proche pour que les effets de la RG soient sensibles. Mais alors tous les raisonnements changent, parce qu'il y une vitesse importante (d'où effet relativiste), force d'entrainement centrifuge, etc.

Cordialement,

[Garion]

Je vais faire le tatillon, mais si on imaginais une sphère qu'on pose autour du trou noir, il servirait de plancher et pourrait tenir sans bouger étant donné qu'il serait attirée de tout les cotés à la fois.
Dans ce cas là, suivant la distance à laquelle se trouve le "plancher" par rapport au trou noir, on pourrait bien être écrasé sur la plancher bien avant que l'effet de marée puisse avoir un effet notable.

[invité576543]

Je vais faire le tatillon, mais si on imaginais une sphère qu'on pose autour du trou noir, il servirait de plancher et pourrait tenir sans bouger étant donné qu'il serait attirée de tout les cotés à la fois.
Dans ce cas là, suivant la distance à laquelle se trouve le "plancher" par rapport au trou noir, on pourrait bien être écrasé sur la plancher bien avant que l'effet de marée puisse avoir un effet notable.

Pourquoi pas. On peut faire plus simple avec un treillis, genre tétraèdre ou autre zome.

Faudrait un matériau qui résiste bien dans tous les sens (traction, compression, flexion...). Doit y avoir moyen de calculer jusqu'à quelle distance on peut faire cela avec des caractéristique de matériau donné.

Il y a peut-être un problème de stabilité?

Si on continue, va falloir déplacer les messages dans un autre fil, "comment installer son camping-car au plus près d'un trou noir?"

Cordialement,

[invitefa5fd80c]

Là où orbitent les satellites géostationnaires... Une coïncidence ?

Surement une coïncidence. Les satellites GPS sont situés à une altitude de 20000km et orbitent autour de la terre en une période de 12 heures.

Je relisais le fil et je me suis rendu compte que j'avais mal lu ta question. Tu parlais de satellites géostationnaires et non des satellites GPS. Toutes mes excuses

Si vraiment les satellites géostationnaires sont habituellement placés sur une orbite située à la même altitude que je donnais, alors c'est effectivement une coïncidence bien étrange. A investiguer davantage...

A+

[invitefa5fd80c]

Pourquoi?

Le problème dans ces formules, et c'est là que je me perds, est que le signe du terme de vitesse, en v², ne change pas quand on permutte les points de vue: A voit le temps de B ralenti et réciproquement.

C’est le fameux paradoxe des jumeaux. Les personnes situées dans le building sont entraînées dans la rotation de la terre sur elle-même. Si on veut étudier le fil des événements de leur point de vue, cela risque d’être passablement complexe.
Par contre pour l’horloge H située « hors » du champ gravitationnel de la terre et qui est au repos par rapport au centre de la terre sans orbiter autour de celle-ci, on peut utiliser les résultats de la RR (ralentissement des horloges) comme je l’ai fait plus haut.

Mais le terme gravitationnel n'a pas l'air de changer, si A voit le temps de B ralenti, B voit le temps de A accélérér. Il y a donc nécessairement besoin de faire très attention à ce dont on parle, de quel référentiel on parle.

Effectivement, il faut faire très attention au référentiel que l’on choisit comme je l’ai mentionné ci-dessus.

Le calcul de l'énergie est pour moi plus simple à suivre: dans un repère extérieur, qui ne tourne pas, mais fixe par rapport au centre de la Terre, l'énergie massique est bien c²-GM/r+v²/2.

Il est fort possible que je me trompe, mais alors au moins une de ces propositions est fausse

* le raisonnement par l'énergie est correct (à savoir que l'écoulement du temps est inversement proportionnel à l'énergie massique, tous les termes étant calculés dans le même référentiel)

* l'énergie massique dans le repère géocentrique extérieur non tournant est, en première approximation, c²-GM/r+v²/2.

* ce qu'on cherche à calculer est le rapport des écoulements du temps vu de ce référentiel là.

Avec le ou lesquels de ces trois points ton approche diverge?

Pour les champs gravitationnels faibles, il est relativement facile de montrer rigoureusement à partir de la RG que l’écart E(r) que j’ai introduit plus haut a bien la valeur que j’ai donnée :
E(r) = (GM/c²r + 1/2 v²/c²) t
Puisque le raisonnement par l’énergie ne donne pas le même résultat, mon approche et la proposition 1 divergent nécessairement.
Mais d’où vient ce raisonnement par l’énergie ? Je ne vois pas de justification rigoureuse.

A+