Le calcul tensoriel en physique

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
je viens d'acheter le livre du titre mentionné dans l'intitulé et j'aurais certainement beaucoup de question à vous poser.
la base de discusion est un espace vectoriel de dimension 4 avec une base contravariante notée:
ei = (e1;e2;e3;e4)

pour passe de la base contravariante ei à la base covariante ej, j'ai besoin de connaitre les seize fonctions gij.
xj =xi.gij

question n° 1

l'auteur dit que : gij = aij /g
où : g est le déterminant de la matrice ; d'où ma question : quel est le sens physique en géométrie vectorielle du déterminant?
aij est le coefficient de développement du terme gij dans le déterminant g sachant que :
aij est un déterminant qui se déduit en remplaçant le ième vecteur colonne du déterminant g par le vecteur xj de second membre (à vos souhaits).
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[invite60be3959]

Bonjour,
je viens d'acheter le livre du titre mentionné dans l'intitulé et j'aurais certainement beaucoup de question à vous poser.
la base de discusion est un espace vectoriel de dimension 4 avec une base contravariante notée:
ei = (e1;e2;e3;e4)

pour passe de la base contravariante ei à la base covariante ej, j'ai besoin de connaitre les seize fonctions gij.
xj =xi.gij

question n° 1

l'auteur dit que : gij = aij /g
où : g est le déterminant de la matrice ; d'où ma question : quel est le sens physique en géométrie vectorielle du déterminant?
aij est le coefficient de développement du terme gij dans le déterminant g sachant que :
aij est un déterminant qui se déduit en remplaçant le ième vecteur colonne du déterminant g par le vecteur xj de second membre (à vos souhaits).

Bonjour,

difficile de faire le tri dans ce que dit, mais j'imagine que le formule qui t'es donnée permet de la calculer la matrice inverse de la métrique, en calculant le mineur de celle-ci(et en multipliant ce mineur par ). Quant au sens physique du déterminant de la métrique il est lié à la courbure intrinsèque de l'espace que décrit cette métrique.

[Deedee81]

Salut,

Je me demande si tu n'aurais pas plus de réponse dans le forum de physique ?

où : g est le déterminant de la matrice ; d'où ma question : quel est le sens physique en géométrie vectorielle du déterminant?

L'élément de volume invariant en relativité générale est :


(la démo n'est pas difficile mais de tête je ne sais plus du tout comment on fait)

Je ne me suis jamais trop penché là-dessus. Je crois me souvenir que cela a aussi un rapport avec le poids d'un tenseur. Mais je ne sais plus du tout comment ça va.

J'espère que tu auras des réponses plus complètes.

EDIT : croisement, complémentaire

[invite60be3959]

Salut,

Je me demande si tu n'aurais pas plus de réponse dans le forum de physique ?



L'élément de volume invariant en relativité générale est :


(la démo n'est pas difficile mais de tête je ne sais plus du tout comment on fait)

Je ne me suis jamais trop penché là-dessus. Je crois me souvenir que cela a aussi un rapport avec le poids d'un tenseur. Mais je ne sais plus du tout comment ça va.

oui, c'est à peu près ça. On parle plutôt du poids de la densité d'un tenseur, qui n'est autre que la puissance du Jacobien de la transformation de coordonnées x->x'. Comme la densité scalaire est de poids -1 et que est de poids 1, la quantité est de poids 0 c'est-à-dire invariante dans un changement de coordonnées quelconque. Mais tout cela n'a pas grand chose de physique !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Quant au sens physique du déterminant de la métrique il est lié à la courbure intrinsèque de l'espace que décrit cette métrique.

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[Zefram Cochrane]

Bonsoir,
Je n'en suis pas tout à fait là
algèbre tensoriel s'étudie au chapître 3 du livre et j'en suis au chapître 1 (et c'est pas gagné)
je suis sur la partie espace vectoriel euclydien,
j'imagine que je reviendrai sur les tenseurs plus tard (j'espère).
je voudrais savoir à quoi sert le déterminant?
qu'elle différence faites-vous entre les coordonnées covariantes et les coordonnées contravariantes?

Salut,

Je me demande si tu n'aurais pas plus de réponse dans le forum de physique ?

peut être, comme je pourrais aussi aller sur le forum de maths, mais, comme je voudrais comprendre les tenseurs dans le cadre de la RG, je me demande s'il n'est pas plus judicieux de rester ici.

L'élément de volume invariant en relativité générale est :


(la démo n'est pas difficile mais de tête je ne sais plus du tout comment on fait)

Je ne me suis jamais trop penché là-dessus. Je crois me souvenir que cela a aussi un rapport avec le poids d'un tenseur. Mais je ne sais plus du tout comment ça va.

J'espère que tu auras des réponses plus complètes.

EDIT : croisement, complémentaire

dois-je comprendre que le déterminant en RG représenterait un volume invariant?
X^4 est un volume d'espace temps n'est ce pas?
Qu'est ce qu'un Jacobien?

[invite60be3959]

dois-je comprendre que le déterminant en RG représenterait un volume invariant?

non, uniquement la racine du déterminant de la métrique multiplié par l'élément de volume espace-temps d⁴x.

Qu'est ce qu'un Jacobien?

Le jacobien, est le déterminant de la matrice jacobienne. Tu trouveras des tas d'infos sur internet.

Ta question initiale se situe au niveau de l'algèbre linéaire. Selon ce que tu as mis, l"inverse de la matrice gij est calculée par la méthode des cofacteurs(voir au paragraphe "méthode des cofacteurs"). Dans ce paragraphe tu pourras aller au lien "comatrice" et ainsi faire le lien avec ce que j'ai déjà dit sur le mineur d'une matrice.
Ces choses ne sont pas forcément simple. Ne cherches pas à redémontrer tout l'algèbre linéaire, tu dois admettre certains résultats et avancer dans l'étude du cours. Lors de l'étude d'un cours, on ne peut jamais tout comprendre lors de la 1ère, ni même la 2ième lecture. On avance en laissant éventuellement quelques points de côté, sur lesquels on pourra revenir plus tard.