Kerr Newman

[inviteafe88240]

Bonjour, la métrique de Kerr Newmann et la métrique autour d'un trou noire chargé en rotation. Néanmoins auriez vous des liens(Internet de préférable surtout si vous avez des fichiers PDF mais si c'est des livres ou autres je suis preneur.). qui démontre comment construire cette métrique je vous prie? Par ailleurs le champ électro-magnétique généré par une charge possède une densité volumique d'énergie. Contrairement aux cas Schwarzschild ou Kerr, ce n'est plus une "solution du vide" que l'on cherche (tenseur de Ricci nul), mais une solution avec un tenseur de Ricci particulier non nul. Donc que faut il que je sache sur le tenseur énergie impulsion pour étudier la construction de cette métrique je vous prie?(J'ai en effet quelques lacunes en mécanique des milieux continu qui ont fait que je n'ai jamais pu étudier en détail le tenseur énergie impulsion de manière rigoureuse.).

Merci d'avance et bonne après midi.
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[ThM55]

Je connais deux excellentes références qui dérivent la solution de Kerr et celle de Kerr-Newman:
1. S.Chandrasekhar, The mathematical theory of black holes (Oxford university press)
2. N. Straumann, General relativity. (Springer)
Il y a aussi le traité de 'Adler,Bazin et Schiffer, qui donne une dérivation assez simple mais il est épuisé. On peut encore le trouver en bibliothèques.
Il y a enfin un truc, la substitution de Newman-Janis, qui permet de trouver la solu de Kerr en quatre ou cinq lignes. Mais comme c'est un changement de coordonnées complexe, on la considère plutôt comme une méthode heuristique. Elle est expliquée dans:
Lewis Ryder, Introduction to General Relativity (Cambridge university press).
Il n'est pas difficile de vérifier à la main ou avec un programme de calcul symbolique que ces solutions satisfont aux équations d'Einstein. Noter qu'il s'agit des équations du vide, le tenseur d'énergie est nul.

[ThM55]

Je suis distrait, il y a évidemment le tenseur énergie du champ électrostatique, Kerr-Newman.

[inviteafe88240]

Bonjour et merci de vos réponses. Mais sinon au niveau PDF pourquoi n'y a t il pas ces démonstrations je vous prie?

Pour des introductions(Schwarzschild, équations d'Einstein, géodésiques.). on trouve beaucoup de cours mais dès qu'on essaye d'aller plus loin tout en tachant d'être rigoureux dans les démonstrations il n'y a plus grand chose.

Merci d'avance et bonne après midi.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6c093f92]

Bonjour,
http://homepages.ulb.ac.be/~cschomb/black.pdf
Cordialement,

[ThM55]

Mais cela ne répond pas à la question, et ne fait que donner un exemple de plus confirmant la remarque de physic_theory.

[inviteafe88240]

Bonjour et merci du cours mais idem. Without demonstration. Same as usuall as I see.. Néanmoins c'est un très bon résumé.

Je pense que je vais regardé dans les livres conseillé par ThM55.

Mais quand même si d'autre ont des références n'hésitez pas.

Merci d'avance et bonne après midi.

[invite6c093f92]

Sorry...je pensais plus à l'index[11] de la bibliographie, aurais du prendre le temps de le dire:
-[11] S. Chandrasekhar. The mathematical Theory of Black Holes. Oxford University
Press, repr. 2000
Maintenant, ne connaissant pas ce livre, il se peut que cela ne réponde pas encore à la question.
Cordialement,
Edit: ha bah ça doit aller, puisque ThM55 le donne plus haut...

[invite60be3959]

Bonjour et merci de vos réponses. Mais sinon au niveau PDF pourquoi n'y a t il pas ces démonstrations je vous prie?

Pour des introductions(Schwarzschild, équations d'Einstein, géodésiques.). on trouve beaucoup de cours mais dès qu'on essaye d'aller plus loin tout en tachant d'être rigoureux dans les démonstrations il n'y a plus grand chose.

Merci d'avance et bonne après midi.

Bonjour,

Le livre de Chandrashekhar est téléchargeable en version électronique au format djvu étant donné qu'il date de 1983. Le livre de Straumann aussi d'ailleurs(1984), mais la 1ère édition ne contient pas la dérivation de la métrique de Kerr.
A la fois c'est assez compréhensible que ce genre de démo ne court pas les rues. C'est extrêmement long!! Rien que la métrique de Schwarschild doit environ prendre une dizaine de pages(je parle de la "véritable" dérivation avec l'écriture explicite des symboles de Christoffel non-nuls pour pouvoir les dériver, incontournable(y'en a peut-être qui peuvent le faire de tête, mais pas moi!)). Dans Chandrasekhar, pour la métrique de Kerr, ça lui prend 25 pages, et encore il expose directement les composantes non-nulles du tenseur de courbure.

[ThM55]

Je doute que ces téléchargements soient légaux. Mais bon, ce n'est pas la question. En effet, c'est long et compliqué. Landau et Lifschitz dans leur cours disent que cela ne vaut pas la peine de l'étudier à cause de cette complexité. Je ne suis pas d'accord avec eux. En fait à la base il y a des idées algébriques très simples. Je vais y réfléchir et si j'arrive à écrire une étude assez brève, je le publierai. Mais je n'ai jamais fait d'étude bibliographique sérieuse sur cette question, c'est la première chose à faire, il faut que je prenne le temps de le faire.

En fait, Chandra va plus loin que tous les autres (comme toujours avec ce génie de Chandrasekhar) et cela présente un intérêt particulier: il part d'une métrique très générale, parce qu'il a en vue les perturbations des solutions exactes. Et en résolvant cette métrique, il trouve d'emblée la solution de Kerr et celle de Schwarzschild comme cas particulier. Cela lui permet dans la suite d'étudier en toute généralité les perturbations de la solution de Schwartzschild. Il consacre la fin de son livre à celle de la métrique de Kerr, et il est vraiment le seul à avoir publié un bouquin sur ce sujet d'un incroyable complexité calculatoire (je me suis arrêté eu milieu, je n'avais vraiment pas la patience de passer par tous ces calculs).

[ThM55]

Une autre méthode qui marche parfois, mais qui est me semble-t-il incorrecte mathématiquement, est de partir d'une métrique d'une forme donnée (par ex avec une symétrie axiale), et lui appliquer le principe variationnel d'Einstein-Hilbert. Je me souviens avoir lu un article qui dérivait la métrique de Kerr de cette façon en deux ou trois pages. Je vais essayer de retrouver ça si j'ai le temps.

[ThM55]

On peut faire plus court pour Schwardzschild: les symboles de Christoffel se calculent avantageusement en une simple page par l'équation d'Euler-Lagrange des géodésiques. La méthode des formes différentielles de Cartan est encore plus rapide.

[ordage]

Bonjour, la métrique de Kerr Newmann et la métrique autour d'un trou noire chargé en rotation. Néanmoins auriez vous des liens(Internet de préférable surtout si vous avez des fichiers PDF mais si c'est des livres ou autres je suis preneur.). qui démontre comment construire cette métrique je vous prie? Par ailleurs le champ électro-magnétique généré par une charge possède une densité volumique d'énergie. Contrairement aux cas Schwarzschild ou Kerr, ce n'est plus une "solution du vide" que l'on cherche (tenseur de Ricci nul), mais une solution avec un tenseur de Ricci particulier non nul. Donc que faut il que je sache sur le tenseur énergie impulsion pour étudier la construction de cette métrique je vous prie?(J'ai en effet quelques lacunes en mécanique des milieux continu qui ont fait que je n'ai jamais pu étudier en détail le tenseur énergie impulsion de manière rigoureuse.).

Merci d'avance et bonne après midi.

Salut

Au départ tu as l'article (très court: 2 pages) de Kerr (Gravitationnal field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics) Physical Review letter 1 september 1963.
Réservé aux mathématiciens , je l'ai lu plusieurs fois , je n'ai toujours pas compris.

En fait la solution n'est pas simple à établir, ce qui explique qu'elle n'ait été trouvée qu'en 1963, tout à fait incidemment par un pur mathématicien, qui d'ailleurs de son propre aveu n'en n'avait pas saisi toute l'importance. K. Thorne relate comment, on lui avait accordé 10mn entre deux conférences d'astrophysique pendant un symposium astrophysique, où par chance il y avait un auditeur qui ne dormait pas et qui a saisi l'intérêt de la chose.

J'avais consulté le bouquin de Chandrasekar à la bibliothèque du CEA, j'en avais besoin pour certains travaux. Je n'avais pas regardé ce point là. Certaines parties sont abordables, mais dans l'ensemble c'est plutôt indigeste. La précédente consultation du bouquin datait de 15 ans, c'est dire s'il est peu consulté.

Un bon article (une dizaine de pages) est celui de B. Carter "Global structure of the Kerr family of gravitationnal fields" Physical Review 1968. Il n'établit pas la métrique, mais fait une synthèse des travaux à l'époque et puis établit une solution analytique exacte pour le cas général du TN de Kerr-Newmann, discute aussi de la "machine temporelle" (La Carter time machine).

Si tu peux te le procurer, il me paraît être une bonne introduction, très synthétique, pour approfondir ensuite les aspects plus mathématiques.

Je pense que ces articles ne sont pas d'accès libre.

Concernant le cas du TN chargé, avec un champ électrique et un champ magnétique (un dipole), le tenseur énergie impulsion à l'extérieur de la singularité (en anneau) n'est pas nul (il est cependant de trace nulle), mais il respecte les symétries du problème sans charge (on l'appelle électro-vide) et l'extension de la solution sans charge à celle chargée n'et pas très compliquée (couplage de la métrique relativiste à faire avec les équations de Maxwell).

Il y a surement des documents en accès libre, mais de toute façon, la solution formelle demande une bonne culture mathématique.

Bon courage

[ThM55]

@physic_theory:

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[inviteafe88240]

C'est vidé. Merci à tous pour vos réponses.

Bonne après midi.