paradoxe des jumeaux

[jimreid]

Je ne sais pas si quelqu'un aura le temps de m'expliquer mais au cas où, je poste le message. j'essaie de comprendre le paradoxe des jumeaux et en particulier la citation d'Einstein suivante:


« Si nous placions un organisme vivant dans une boîte… on pourrait s'arranger pour que cet organisme, après un temps de vol aussi long que voulu, puisse retourner à son endroit d'origine, à peine altéré, tandis que les organismes correspondants, qui sont restés dans leur position initiale auraient depuis longtemps cédé la place à de nouvelles générations. Car pour l'organisme en mouvement, la grande durée du voyage était un court instant, à condition que le mouvement ait été effectué quasiment à la vitesse de la lumière12. »

Je n'arrive pas à comprendre ce paradoxe et j'aimerais savoir où est l'erreur dans le raisonnement suivant parce que j'aurais sans doute besoin de partir de ce raisonnement simplifié pour comprendre par moi-même:


Imaginons que Boule est sur la planète Terre considérée comme immobile. A chaque seconde, il y a un éclair et l'horloge de Boule marque un éclair à chaque seconde. Bill lui est parti sur une nouvelle fusée qui voyage à la moitié de la vitesse de la lumière. Au bout d'une seconde, Bill a parcouru 150,000 km. La lumière de l'éclair va le rattraper et Bill va parcourir encore 150,000 km pendant que la lumière parcourra 300,000km. L'horloge de Bill indique donc deux secondes pour le premier éclair. A t=2 secondes, le second éclair arrive. Sur l'horloge de Boule il est indiqué 2s. Mais il faudra 1 seconde pour parcourir la distance qui sépare l'éclair de l'endroit où se situe Bill à t=2s. On est donc à t=3s. Pendant ce temps là Bill a parcouru 150,000 et ce n'est qu'à t=4s que Bill verra le second éclair. A ce moment là Bill a parcouru 600,000 km. Il verra le troisième éclair à t=6s pour une distance de 900,000km et l'on pourrait continuer ainsi longtemps.

Bill fait demi-tour (à la même vitesse) à t=3s pour Boule, t=6s pour lui et à une distance de 900,000km. Le 4ème éclair émis sur Terre à t=4s est émis au moment où Bill a parcouru à l'aller une distance de 600 (en milliers). A t=7s pour Bill, Bill est à une distance 750 et le rayon a atteint 900. Donc le rayon a croisé Bill entre t=6s et t=7s. A t=8s pour Bill, Bill est à 600. Le cinquième rayon est à 900, le sixième est à 600. Donc t=8s pour Bill correspond à t=6s pour Boule sur Terre. A t=10s pour Bill, le rayon est à 300 et Bill capte le rayon t=9s pour Boule qui met une seconde pour arriver à Bill. Enfin à t=12s pour Bill correspond t=12s pour Boule qui est resté sur Terre. Le temps a donc passé à la même vitesse.

Je sais bien que c'est faux mais je ne comprends pas pourquoi. Quelqu'un pourrait-il m'expliquer le paradoxe en me montrant l'erreur dans ce raisonnement car ce serait le meilleur moyen pour moi de comprendre. Merci d'avance à la ou les personnes.
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[invite69406436]

L'erreur est de considérer que les horloges de Boule et Bill battent à la même vitesse ce qui n'est pas les cas. Vue de Boule l'horloge de Bill est ralentie.

[phys4]

Bonjour jimreid,

C'est un excellent calcul, mais l'erreur est de ne pas utiliser la formule exacte qui donne l'espacement entre les éclairs.
Tout d'abord, pour les deux sens de déplacement les écarts entre les éclairs sont en rapport inverse : pour la moitié de la vitesse de la lumière, ils valent racine(3) et 1/racine(3)
Si tu prend un exemple avec des nombres simples, comme vitesse 4/5 de la lumière,
écart en éloignement : chacun met 3 S pour recevoir un éclair
écart en rapprochement : chacun reçoit 3 éclairs par seconde
alors tu trouveras les bons résultats.

[invite06459106]

Bonjour,
@Viiksu: je trouve que ce que tu dis peut amener à confusion, au pire c'est faux, au mieux mal exprimé.

L'erreur est de considérer que les horloges de Boule et Bill battent à la même vitesse ce qui n'est pas les cas.

Alors si je ramène l'horloge de Bill à coté de celle de Boule, leurs tic-tac respectifs n'auront pas la même vitesse?(question qui vient directe à l'esprit,et il faut alors expliquer par quels mécanismes, les durées(secondes) ont ralenties et/ou accélérées suivant que l'on parle par rapport à tel ou tel référentiel). La différence entre les horloges vient que elles n'ont pas parcourues la même "distance" dans l'espace-temps et donc la "longueur" de leurs chemins est différente.
Voir par ex la 2ème partie ce message de mach3 pour la façon de voir:

http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post5177435
IL y en a d'autre, faut chercher, je me rappelle que Mariposa en avait fait une sympa avec // Euclidien Mikowskien, Amanuensis aussi, puis d'autres...bonne recherche.
Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[rik 2]

L'erreur est de considérer que les horloges de Boule et Bill battent à la même vitesse ce qui n'est pas les cas. Vue de Boule l'horloge de Bill est ralentie.

Malheureusement —ou plutôt heureusement— non. Le temps propre est un invariant dans un changement de repère.

[tierri]

Alors si je ramène l'horloge de Bill à coté de celle de Boule, leurs tic-tac respectifs n'auront pas la même vitesse?

hihi, il nous manquait ce débat !
Pour moi il n'y a pourtant aucune discussion possible, la réponse est OUI.
La RR me semble parfaitement claire sur ce point, c'est la vitesse qui crée cette différence.
Ce que décrit Jimreid est un simple effet doppler, il ne compte pas cet effet relativiste due à la vitesse et forcément à la fin il trouve le même résultat pour les deux protagonistes.
Il existe un effet doppler relativiste qui prend en compte les deux facteurs à la fois mais pour comprendre le problème on n'a pas besoin de l'effet doppler, seul le résultat final nous intéresse, l'écart entre les deux pendules, il dépend de la vitesse de déplacement et de la durée du voyage.
Pour une description plus précise de cet effet, une page wiki : http://fr.wikipedia.org/wiki/Relativit%C3%A9_restreinte

[jimreid]

Merci à tous pour vos réponses. J'ai l'impression qu'il faudrait que je passe trop de temps pour comprendre donc je vais probablement abandonner. Si vous avez des conseils de bons livres de vulgarisation simples, cela m'aiderait. Dans ta réponse de phys4, il me semble que tu veux dire que je dois utiliser la formule de Lorentz pour calculer le temps. Mais le problème, c'est que j'ai besoin de comprendre la formule de Lorentz elle-même. Je ne sais pas s'il y a une solution mais est-ce que l'on ne tourne pas en rond? Est-ce que cela ne revient pas à dire: pour comprendre la relativité, il faut comprendre la relativité. La première impression (évidemment fausse) quand on commence à essayer de comprendre, c'est que les formules de la transformation de Galilée sont bonnes mais que les appareils de mesure reçoivent les informations à la vitesse de la lumière. Par conséquent la transformation de Lorentz donne l'impression de prendre seulement en compte le temps pour la lumière de donner une information. Ce qui m'amène à une autre question de base dont je ne connais pas la réponse. Pourquoi la vitesse de la lumière est-elle constante quel que soit le référentiel? Quelle est la preuve que si je suis immobile le rayon devant moi avance à 300(000km:s) et que si j'avance à c/2 (150) en suivant le rayon, le même rayon ira toujours à 300? Bref, ce n'est sans doute pas possible de répondre comme cela rapidement sur un forum mais peut-être que ces questions vous donneront des idées de liens ou de livres qui s'accordent pédagogiquement à ces réflexions. Il me semble que cela peut donner une idée de mon niveau (très faible) mais aussi de ce que je recherche, des explications basées plus sur des expériences de pensées que sur des équations (évidemment, s'il y en a un minimum comme dans le livre grand public écrit par Einstein, ça va et j'y arrive un peu mais c'est surtout que ça m'ennuie - ma limite est Penrose dont j'avais abandonné le livre trop matheux et donc trop compliqué pour moi, "the road of the universe"). Donc si vous avez des liens ou des idées de livres, n'hésitez pas. J'ai trouvé un lien sur un blog que j'aime bien: http://jeanzin.fr/ecorevo/sciences/relativi.htm. Merci d'avance.

[invite06459106]

Voici un lien:
http://www.lacosmo.com/relativite.html
Ton bonheur, tu y trouvera...j'espére.
Cordialement,
Ps: l' ai lu en diagonale, ça me semble correspondre à ta recherche.

[jimreid]

cool, ça a l'air parfait. merci.

[phys4]

Vous allez trouver beaucoup d'éléments dans toutes ces références, j'examinerai seulement les questions directes posées ici.

Par conséquent la transformation de Lorentz donne l'impression de prendre seulement en compte le temps pour la lumière de donner une information. Ce qui m'amène à une autre question de base dont je ne connais pas la réponse. Pourquoi la vitesse de la lumière est-elle constante quel que soit le référentiel? Quelle est la preuve que si je suis immobile le rayon devant moi avance à 300(000km:s) et que si j'avance à c/2 (150) en suivant le rayon, le même rayon ira toujours à 300?

La constance de la vitesse de la lumière provient de la constance des lois physiques : il n'existe pas de vitesse zéro absolu, donc la notion d'immobilité, comme la notion de vitesse ne peut être que relative. En avançant à c/2, la lumière ira toujours à c par rapport à vous. Sinon il suffirait d'accélérer encore de c/2 pour que la lumière disparaisse!!!!

Si vous utilisez des informations plus lentes que la vitesse limite, la démonstration ne vous permettra pas d'avancer. Par exemple vous reprenez votre exemple initial avec le son, alors les résultats seront exacts, mais ne vous apprendront rien.

[jimreid]

"La constance de la vitesse de la lumière provient de la constance des lois physiques : il n'existe pas de vitesse zéro absolu, donc la notion d'immobilité, comme la notion de vitesse ne peut être que relative"

Merci phys4 mais je crois que j'ai trop de lacunes pour comprendre par des explications aussi rapides. Parce que j'en arrive aussitôt aux questions suivantes:

- Quel est le lien entre la constante des lois et la constance de la vitesse de la lumière? S'il existe une équivalence mathématique entre la constance des lois et la constance de la vitesse de la lumière, est-ce que cela ne revient pas à dire que la vitesse de la lumière est constante parce que la vitesse de la lumière est constante? Bref, je ne comprends pas et l'explication me donne une impression de circularité causale.

- Ensuite il y a le problème qui consiste à ramener une explication à une autre. Même si l'on me faisait bien comprendre la causalité entre la constance des lois et la constance de c, je ne comprendrais pas pour autant la constance des lois. Bien sûr cette constance peut être prouvée par les calculs mais je ne comprends pas intuitivement la constance des lois. D'ailleurs des physiciens comme Boltzmann, Feynman et récemment Smolin ou Peirce en philosophie se sont interrogés à ce sujet.


Pour revenir plus au centre du sujet, il y a dans wikipédia (http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_des_jumeaux) un bon diagramme de Minkowski du problème. C'est sympathique de prendre le temps de me répondre mais j'ai l'impression que ce serait sans fin car j'ai trop de lacunes. Ce qui pourrait être intéressant pour d'autres personnes du forum serait de se focaliser sur l'exemple du diagramme de Minkowski de wikipédia pour en donner l'explication en détail. Sinon si tu as des références de livres, je suis intéressé. J'ai commandé un Wheeler pas trop cher mais la plupart des livres de Wheeler sont chers. Je pense me focaliser sur les livres de Feynman et de Wheeler à ce sujet, en plus du livre de vulgarisation d'Einstein. Si tu as des conseils de livres, n'hésite pas.

[phys4]

Ce sont d'excellents points de départ, et cela m'indique d'où il faut partir

- Quel est le lien entre la constante des lois et la constance de la vitesse de la lumière? S'il existe une équivalence mathématique entre la constance des lois et la constance de la vitesse de la lumière, est-ce que cela ne revient pas à dire que la vitesse de la lumière est constante parce que la vitesse de la lumière est constante? Bref, je ne comprends pas et l'explication me donne une impression de circularité causale.

Avant le 19eme siècle, le principe de relativité, posé au départ par Galilée, "la vitesse est comme rien" ne posait aucune difficulté car l'électromagnétisme était inconnu. Galilée s'était aperçu que les expériences sont indépendantes de la vitesse de l'observateur.
Les découvertes entourant l'électromagnétisme ont tout changé, car la propagation des ondes, dont la lumière est liée à des constantes physiques. Des physiciens et divers ingénieurs ont alors imaginé des expériences qui permettraient de mesurer la vitesse absolue, puisque les constantes physiques auraient dépendre de cette vitesse. Ce fut un échec total et il fallu admettre qu'il n'y a pas de vitesse absolue et donc des propriété invariables avec la vitesse.

Pour revenir plus au centre du sujet, il y a dans wikipédia (http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_des_jumeaux) un bon diagramme de Minkowski du problème. C'est sympathique de prendre le temps de me répondre mais j'ai l'impression que ce serait sans fin car j'ai trop de lacunes. Ce qui pourrait être intéressant pour d'autres personnes du forum serait de se focaliser sur l'exemple du diagramme de Minkowski de wikipédia pour en donner l'explication en détail. Sinon si tu as des références de livres, je suis intéressé. J'ai commandé un Wheeler pas trop cher mais la plupart des livres de Wheeler sont chers. Je pense me focaliser sur les livres de Feynman et de Wheeler à ce sujet, en plus du livre de vulgarisation d'Einstein. Si tu as des conseils de livres, n'hésite pas.

Je regarderai cette source pour la suite, mais j'ai bien peur pour vous, qu'il considère les bases comme acquises.

[jimreid]

Bon, il est évident que je ne pourrais pas comprendre tout ça en quelques échanges mais cela me donne les pistes de réflexions à explorer. Et il semble essentiel de comprendre Maxwell. Mais j'ai toujours du mal à comprendre, cela prendra du temps. Par exemple, l'idée de vitesse absolue semble logique car toute vitesse semble liée à un référentiel. Mais déduire de l'absence de vitesse absolue les propriétés invariables avec la vitesse, là déjà je ne fais pas la connexion. Je vais poster un nouveau fil de discussion qui concerne les expériences de pensées, comme celle des deux pierres de Galilée je crois ou Copernic (je les confonds tout le temps). Donc ça pourrait être il me semble un post intéressant. Merci encore.

[jimreid]

Pour information, la discussion est ouverte dans physique - expériences de pensées si vous voulez corriger ou ajouter des expériences de pensées de l'histoire de la physique et des sciences.

[Zefram Cochrane]

Bonjour,

Vous trouverez ci-dessous l'explication la plus simple et la plus naturelle que j'ai pu trouver pour le fameux paradoxe.
http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post5177463

Cette exlication ne prend en compte que l'aspect temporel de l'affaire.

Cordialement,
Zefram

[invite69406436]

Hello,

Le soi-disant paradoxe des jumeaux est un faux paradoxe. La relativité nous dit que du point de vue du sédentaire le temps du voyageur s'écoule plus lentement que pour lui et inversement puisque voyageur peut considérer que c'est la terre qui s'éloigne de lui, du point de vue de voyageur le temps de sédentaire s'écoule plus lentement que pour lui, d'ou le paradoxe. Ce paradoxe est faux car on oublie les 3 changements de référentiel de voyageur: voyage aller - voyage retour et arrêt dans celui de sédentaire. Tout cela explique simplement que voyageur aura passé moins de temps pour son voyage que sédentaire à l'attendre.

Ceci n'a rien à voir avec les notions d'accélération pour faire demi-tour et s'explique par deux chose:

Une vitesse est limite: celle de la lumière,
Les phénomènes physiques sont invariants dans des référentiels inertiels.

[rik 2]

Le temps propre étant invariant avec la vitesse il est clair que les temps propres des jumeaux sont les mêmes dans les deux référentiels. Il n'y a donc pas de paradoxe car les temps propres sont identiques.

[invite69406436]

Les temps propres sont invariants certes mais le paradoxe vient du fait que chacun voit le temps de l'autre ralenti mais qu'à la fin seul le temps du voyageur aura été ralenti.

[Zefram Cochrane]

Il y a un point important concernant ce paradoxe.

Si le Voyageur est inertiel par rapport au Sédentaire, qu'à t=t'=0, x=x'=0 mais que la vitesse relative est V non nulle et que lorsqu'il revient à V vers le Sédentaire après avoir rebondi contre un mur ( choc élastique parfait) et lorsqu'il revient au niveau du Sédentaire, il poursuit sa course à V, s'il tracte un ruban derrière lui, celui-ci ne subit aucune déformation longitudinale lors du rebond.

Si on imagine que ce ruban soit constitué d'une nappe de billes n'interagissant pas les unes avec les autres, chaque bille peut rebondir contre le mur et le ruban conservera sa structure avant et après rebond.

Si on imagine à présent que ces billes sont liées entre elles, on peut considérer alors que c'est le Voyageur qui entraine la flexion du ruban. On ne peut donc pas savoir avec le rebond qu'elle est la nature du ruban.

Par contre si le Voyageur était stationnaire avec t=t'=0 par rapport au Sédentaire et qu'il le redevient lors de son retour, le ruban va subir une tension en extension ou en compression car il y a modification de la vitesse.

Je ne pense pas que dans ce cas, le temps propre demeure invariant.
Cordialement,
Zefram

[rik 2]

Je ne pense pas que dans ce cas, le temps propre demeure invariant.

Ben tu penses mal!

[Zefram Cochrane]

Le temps propre étant invariant avec la vitesse il est clair que les temps propres des jumeaux sont les mêmes dans les deux référentiels. Il n'y a donc pas de paradoxe car les temps propres sont identiques.

A oui? comment expliques tu alors qu'il y ai une différence d'écoulement du temps entre le Voyageur et le Sédentaire?

[rik 2]

Ben justement il n'y en pas de différence.

[Deedee81]

Salut,

Rik2 a raison (même si quelques explications sur la terminologie peuvent être utiles => ci-dessous)

Attention de ne pas confondre :
- temps propre (qui est invariant et identique pour tous, on peut dire que chacun "sent" le temps s'écouler de la même manière)
- temps coordonnées (important car en RR on choisit toujours des conventions précises. Il y a plus de liberté en RG)
- temps écoulé lors des retrouvailles (qui peut être différent si les trajectoires sont différentes. Le temps propre s'écoule de la même manière, mais "l'accumulation de temps propre le long de la trajectoire" peut être différent. Techniquement ça se traduit par une intégrale de dtau dans le cas général)

[rik 2]

"l'accumulation de temps propre le long de la trajectoire" peut être différent.

Peux-tu expliciter, stp?

[invite06459106]

Si je comprends ce que veut dire Deedee, cela signifie que même si les intégrales de temps propre d'une même trajectoire sont les mêmes pour tous les observateurs, la durée temporelle mesurée par un observateur peut différée de la durée temporelle mesurée par un autre observateur.

C'est juste pour te donner une réponse si t'es préssé mais bon, il te répondra demain, pour confirmer ou infirmer,
Cordialement,

[Zefram Cochrane]

Salut,

Rik2 a raison (même si quelques explications sur la terminologie peuvent être utiles => ci-dessous)

Attention de ne pas confondre :
- temps propre (qui est invariant et identique pour tous, on peut dire que chacun "sent" le temps s'écouler de la même manière)
- temps coordonnées (important car en RR on choisit toujours des conventions précises. Il y a plus de liberté en RG)
- temps écoulé lors des retrouvailles (qui peut être différent si les trajectoires sont différentes. Le temps propre s'écoule de la même manière, mais "l'accumulation de temps propre le long de la trajectoire" peut être différent. Techniquement ça se traduit par une intégrale de dtau dans le cas général)

Salut Deedee,
le temps propre est probablement à l'échelle du point de l'espca-temps, mais est-ce judicieux de le définir comme étant

dans le cas d'un mouvement suivant x, l'expérience de l'automobile de Poincaré me semble démontrer
que l'intevalle d\tau le plus petit mesurable correspond à un allez et retour de photon entre les miroirs de la voiture?

Cordialement,
Zefram

[Deedee81]

Salut,

C'est juste pour te donner une réponse si t'es préssé mais bon, il te répondra demain, pour confirmer ou infirmer,

Je confirme.

Si on considère un petit bout de trajectoire avec un temps propre écoulé dtau. Alors le temps total écoulé est juste la somme de tous ces petits dtau, c'est-à-dire une intégrale.

le temps propre est probablement à l'échelle du point de l'espca-temps, mais est-ce judicieux de le définir comme étant

Ca l'est puisque cela correspond aux définitions du temps, de l'espace et de l'usage des horloges en relativité restreinte. Dans un référentiel où l'horloge est immobile, les dx, etc... s'annulent et on a dtau = dt, c'est-à-dire que le temps propre de l'horloge est le temps qu'elle indique. Et la définition ci-dessus donne à ce dtau (contrairement à dt !!!) un caractère invariant, c'est-à-dire que le temps qui s'écoule pour l'horloge est toujours le temps qu'elle indique, et ce pour tout observateur. C'est assez lapalissisque (je viens d'inventer le mot ) comme définition.

dans le cas d'un mouvement suivant x, l'expérience de l'automobile de Poincaré me semble démontrer
que l'intevalle d\tau le plus petit mesurable correspond à un allez et retour de photon entre les miroirs de la voiture?

Heu, dtau "le plus petit" ? Un infinitésimal ? On ne compare pas des infinitésimaux de même ordre. Je pense que tu veux parler de la durée totale sur l'aller-retour, c'est-à-dire après intégration (ou alors en le notant . Là oui, c'est possible. La durée totale dépend de la ligne d'univers sur laquelle on intègre le temps propre.

Bidjou, heureusement que je me relis, j'avais écrit le linge d'univers

[invite06459106]

@ Deedee, il y a eu caraffouillage (dans la série j'invente des mots) dans ta 2ème citation du message précédent...elle est de Zefram, pas moi.
J'ai corrigé, merci de l'avoir remarqué Deedee81
Sinon, ce qui m'étonne c'est que zefram puisse penser que le temps-propre puisse varier.....après quasi 3000messages en grande partie sur la Relativité, des tartines de Latex, donc calculs et tout ça pour ça...
Peut-être que revoir tout depuis le début d'une autre façon serait une éventualité à envisager non? parce que là....moi à ta place zefram, m'inquiéterais un p'tit peu
Cordialement,

[Zefram Cochrane]

@ Deedee, il y a eu caraffouillage (dans la série j'invente des mots) dans ta 2ème citation du message précédent...elle est de Zefram, pas moi.5/

C'est ce que j'allais dire: Heureusement que Deedee se relit . Pour une fois qu'on était d'accord

Sinon, ce qui m'étonne c'est que zefram puisse penser que le temps-propre puisse varier.....après quasi 3000messages en grande partie sur la Relativité, des tartines de Latex, donc calculs et tout ça pour ça...
Peut-être que revoir tout depuis le début d'une autre façon serait une éventualité à envisager non? parce que là....moi à ta place zefram, m'inquiéterais un p'tit peu
Cordialement,

Si tu découpes l'expérience de l'automibile Poincaré étape par étape sur un déplacement dx, la lumière faisant un aller et retour sur une distance dy = dx.

tu as c²dt² = c²dt'² + v²dt² pour l'aller et c²dt² = c²dt'² + v²dt² pour le retour.
Dans le cadre de la RR avec MRU à V, tu peux supposer que et donner la définition que j'ai rappelée dans mon message précédent.

Par contre pour un cadre plu général et notemment lors du 1er et troisième changement de référentiel rappelé par Viiksu cela m'étonnerai car si je prend la cage d'ascenseur d'Einstein et que je lui met des roulettes, la trajectoire des rayons lumineux va être courbée et O' ne pourra plus affirmer, me semble t'il que .

Je pense que cela affecte l'horloge du Voyageur, reste à voir comment.

Coridalement,
Zefram

[curieuxdenature]

Je pense que cela affecte l'horloge du Voyageur, reste à voir comment.

Bonjour

je plussoie ce que disent les autres, dans le référentiel du voyageur il n'y a jamais de variation puisqu'il est immobile, de même que son horloge, ça va de soi.
S'il y a variation c'est toujours par rapport à un autre référentiel en MRU et dans ce cas on a besoin de comparer les temps donnés par les deux horloges.
La difficulté du concept réside dans le fait qu'aucun des deux n'a le droit de se prétendre privilégié par rapport à l'autre et les lois de la physique sont invariantes pour chaque observateur.
C'est pour cela qu'on les appelle 'propres', dans le sens de 'à soi', c'est le premier postulat de la RR.