Coordonnées de genre temps ou lumière en relativité générale

[mach3]

S'il est nul, l'hypersurface est nulle ce qui implique que l'hypersurface nulle ne contient que des vecteurs nuls.

j'ai un problème avec ça...

Prenons l'espace-temps de Minkowski pour faire simple, en 4D avec des coordonnées Lorentziennes (t x y z). Je prend le vecteur (1 1 0 0) (genre nul) et je construit l'ensemble des vecteurs qui y sont orthogonaux, et bien il y en a un paquet qui sont de genre espace, comme (0 0 a b)... Donc l'hypersurface définie par orthogonalité à (1 1 0 0) ne contient pas que des vecteurs nuls...

m@ch3
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[Amanuensis]

S'il est nul, l'hypersurface est nulle ce qui implique que l'hypersurface nulle ne contient que des vecteurs nuls.

j'ai un problème avec ça...

Moi aussi. On va considérer que c'est faux.

(L'exemple donné correspond par exemple aux coordonnées (x-t, x+t, y, z). Les deux premières coordonnées sont de genre nul.)

[ordage]

j'ai un problème avec ça...

Prenons l'espace-temps de Minkowski pour faire simple, en 4D avec des coordonnées Lorentziennes (t x y z). Je prend le vecteur (1 1 0 0) (genre nul) et je construit l'ensemble des vecteurs qui y sont orthogonaux, et bien il y en a un paquet qui sont de genre espace, comme (0 0 a b)... Donc l'hypersurface définie par orthogonalité à (1 1 0 0) ne contient pas que des vecteurs nuls...

m@ch3

Salut

Je vois le problème que tu soulèves et à première vue, je pense que la réponse peut être la suivante, dans le cas de la définition de l'hypersurface et de son genre, objet de mon post précédent.

Comme tu peux le vérifier, "l'équation d'orthogonalité" que j'ai citée (tirée de l'annexe "Hypersurface" de Spacetime and geometry), contraint les coordonnées dans la variété et donc ne permet pas n'importe quelle combinaison de coordonnées dans l'hypersurface définie par la relation f(t,x, y,z) = constante. Il y a une restriction dans les vecteurs possibles dans l'hypersurface qui devrait rendre non possible la situation que tu décris.

Qu'en penses-tu?

Cordialement

[mach3]

Toujours pas convaincu.

Je prends comme fonction t-x=0 (dans un espace-temps Minkowski avec un système de coordonnée Lorentzien t, x, y, z, avec c=1 of course). Le vecteur orthogonal est donc (1 1 0 0) suivant l'équation donnée, il est donc de genre nul.
Si je prend l'évènement (2 2 0 0) et l'évènement (2 2 0 1), ils appartiennent tous deux à l'hypersurface (la fonction t-x=0 est satisfaite). Le vecteur qui lie les deux, (0 0 0 1), est contenu dans l'hypersurface et est de genre espace. Donc ça ne marche pas votre truc.

Je veux bien qu'on définisse le genre d'une hypersurface comme le genre du vecteur orthogonal, pourquoi pas, mais on ne peut pas conclure sur le genre des vecteurs contenus dans l'hypersurface, sauf dans des cas particuliers : par exemple si le vecteur orthogonal est de genre temps, il est évident que les vecteurs de l'hypersurface sont de genre espace (notons que l'inverse n'est pas vrai : si le vecteur orthogonal est de genre espace, les vecteurs de l'hypersurface peuvent être de genre temps ou espace, d'ailleurs je ne vois pas comment une hypersurface pourrait ne contenir QUE des vecteurs de genre temps en 3+1).

m@ch3

[ordage]

Salut

Je vois le problème que tu soulèves et à première vue, je pense que la réponse peut être la suivante, dans le cas de la définition de l'hypersurface et de son genre, objet de mon post précédent.

Comme tu peux le vérifier, "l'équation d'orthogonalité" que j'ai citée (tirée de l'annexe "Hypersurface" de Spacetime and geometry), contraint les coordonnées dans la variété et donc ne permet pas n'importe quelle combinaison de coordonnées dans l'hypersurface définie par la relation f(t,x, y,z) = constante. Il y a une restriction dans les vecteurs possibles dans l'hypersurface qui devrait rendre non possible la situation que tu décris.

Qu'en penses-tu?

Cordialement

Pour compléter et répondre plus précisément au cas que tu cites , (en dehors du cas de l'hypersurface), dans le cadre plus général de l'espace-temps de Minkowski qui est le cas le plus simple (ou une variété pseudo-riemannienne de dimension 4) on peut définir des bases orthogonales locales de 4-vecteurs (linéairement indépendants) dont certains peuvent être nuls (3 différents au maximum, du fait qu'un 4-vecteur nul est orthogonal à lui même) mais aussi à un panachage de 4-vecteurs espace et de 4-vecteurs nuls.
Exemple de 4-vecteurs nuls orthogonaux linéairement indépendants (t, x, y, z)

a={1,1,0,0},b= {1,0,1,0}, c={1,0,0,1}

Mais on voit qu'on peut aussi utiliser une base avec deux 4-vecteurs nuls ou un 4-vecteur nul et respectivement un ou deux 4-vecteurs espace orthogonaux (linéairement indépendants)

Avec a par exemple, on peut définir deux 4-vecteurs espace {0,0,1,0} et {0,0,0,1} pour une base et itou avec b et c et les combinaisons possibles.

Ce n'est pas parce qu'un vecteur nul est orthogonal à lui même qu'il ne peut pas être orthogonal à des vecteurs de type espace. Simplement s'il y a des vecteurs nuls le nombre de vecteurs de la base dans l'espace-temps est de 3 du fait de l'auto orthogonalité du vecteur nul (en fait de la contrainte associé à ds²=0, qui réduit le nombre de degrés de liberté de 4 à 3).

Il peut paraître étrange qu'on utilise des vecteurs nuls dans une base plutôt que 1 de genre temps et 3 de genre espace, mais rien ne l'interdit et cela se fait car dans certains cas cela simplifie considérablement les calculs. En général, à la fin, on reconvertit les résultats dans une base plus standard par un changement de base.
C'est de l'algèbre linéaire.
Cordialement

[Amanuensis]

Un cas encore plus drôle, les coordonnées "tout lumière" pour l'espace-temps de Minkowski, qui sont telles que la métrique est dudv+dudw+dudp+dvdw+dvdp+dwdp (on vérifie qu'elle est de signature qui va bien). Alors tout vecteur est dans l'orthogonal d'une des isocoordonnées. Ennuyeux si cela implique qu'il est de genre nul!!!

(Ces coordonnées sont assez amusantes, elles sont réalisées avec 4 rayons lumineux partant d'un événement dans des directions correspondant au sommet d'un tétraèdre régulier ; très symétrique!)

Edit: Croisement avec le message précédent. (Et que ce message apparemment contredit, une fois de plus.)

[mach3]

Pas de problème avec ça (je parle du message 35 de ordage), mais ça ne répond pas à mes objections, qui concernent précisément cela :

On définit le 4-vecteur N qui est par construction orthogonal à l'hypersurface (dans le sens où il est orthogonal à tous les vecteurs de l'hypersurface).
Si N est de genre temps, l'hypersurface est de genre espace et réciproquement. S'il est nul, l'hypersurface est nulle ce qui implique que l'hypersurface nulle ne contient que des vecteurs nuls.

Ne tournez pas autour du pot. Soit vous vous êtes trompé en écrivant trop vite et je ne vous en ferais pas grief, ça arrive, soit il y a un truc que j'ai pas compris, mais j'attends donc des arguments solides et formels.

m@ch3

[Amanuensis]

Annullé...............

[Amanuensis]

Il me semble qu'on peut relier le genre de N et une propriété de l'hyperespace via la métrique induite. On a les équivalences:

N de genre temps <=> La métrique induite est euclidenne (e.g., signature +++) [et donc tous les quadrivecteurs sont de genre espace]

N de genre espace <=> la métrique induite est minkowskienne (e.g., signature ++-)

N de genre nul <=> la métrique induite est dégénérée (e.g., signature 0+-)


Dans les cas des coordonnées "tout lumière", une hypersurface d'iso-p a pour métrique induite dudv+dudw+dvdw, dont on peut vérifier très facilement qu'elle a un déterminant nul, donc qu'elle est dégénérée (l'équation aux valeurs propres est x^3-3x=0, soit les valeurs propres 0 et +/- sqrt(3), la signature est 0+-).

[Mailou75]

Bonsoir,

Que pensez vous de faire même exercice en enlevant une dimension d'espace, histoire d'éliminer les superlatifs (hyper..) et de pouvoir se représenter tout ça un peu plus concrètement ? Parce que : 1 - ce qui ce conçoit bien s'énonce clairement et qu'entre spécialistes vous n'avez pas l'air d'accord.. du moins pas sur les termes et ne parlant pas votre langue, et n'étant a priori pas d'accord avec ce qui se dit dans les deux camps, je suis bien à mal de juger qui a raison... 2 - Parce que ce qui se dessine se passe (presque) d'énoncé et évite les ambiguïtés.

Mailou

[mach3]

Rapidement, en 2D+1D, et en Minkowski, il y a 3 types de plans :
Ceux qui sont définis par un vecteur de genre temps (orthogonal à tous les vecteurs du plan) et qui ne contiennent que des vecteurs de genre espace,
Ceux définis par un vecteur de genre espace, et dont les vecteurs sont de tous genres (les diagrammes de Minkowski en 1D+1D sont des exemples de tels plans),
Et ceux définis par un vecteur de genre nul et dont les vecteurs sont de genre spatial et de genre nul.

Cela se généralise pour des surfaces courbes dans du Minkowski ou dans du Riemann, à ceci près que le genre du vecteur orthogonal peut changer en fonction du point de la surface. On peut par exemple considèrer une surface sphérique dans du Minkowski 2+1, dont les vecteurs orthogonaux seront de genre temps sur les calottes et de genre espace ailleurs (et de genre nul à la jonction, of course).
Pour le cas qui nous occupe, l'horizon d'un trou noir et une (hyper)surface qui n'admet que des vecteurs orthogonaux de genre nul (exactement comme le cône de lumière en Minkowski). D'où le qualificatif qu'on peut lui donner d'être une (hyper)surface de genre lumière, même si je trouve cela maladroit du fait que les vecteurs tangents à l'horizon peuvent être de genre espace ou de genre nul.

Ajout après relecture, attention à la notion d'orthogonalité, deux vecteurs orthogonaux ne sont à angle droit dans une représentation que dans des cas particuliers. Je dis ça parce que je sais que vous allez faire des dessins et que vous risquez d'y appliquer, naïvement, une logique de géométrie euclidienne en repère orthonormé, où il y a toujours coïncidence entre orthogonalité et angle droit dans la représentation.

m@ch3

[Amanuensis]

Pour le cas qui nous occupe, l'horizon d'un trou noir et une (hyper)surface qui n'admet que des vecteurs orthogonaux de genre nul (exactement comme le cône de lumière en Minkowski). D'où le qualificatif qu'on peut lui donner d'être une (hyper)surface de genre lumière, même si je trouve cela maladroit du fait que les vecteurs tangents à l'horizon peuvent être de genre espace ou de genre nul.

En coordonnées de KS, en notant la forme métrique , l'horizon T=X a pour métrique induite , de signature disons 0++. On va trouver la même chose avec un cône lumière, la métrique de Minkowski pouvant s'écrire pareil avec g(T, X) = 1.

Avec l'exemple que j'ai donné plus tôt on peut donc distinguer au moins 4 catégories d'hypersurfaces (vectorielles, en un événement) selon la signature de la métrique induite. La signature 0++ semble indiquer qu'il n'y a que des vecteurs de genre espace ou nul. Mais avec une signature 0+-, c'est différent, l'hypersurface est de genre nul mais contient des vecteurs de tous les genres.

Je me suis demandé si on pouvait fabriquer une telle hypersurface en prenant l'engendrée par trois vecteurs, un de chaque sorte. Par exemple, en Minkowski, métrique dt²-dx²-dy²-dz², on pourrait prendre (1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0) et (0, 0, 1, 0), qui sont bien indépendants et de genre respectif temps, nul et espace. Mais l'orthogonal est (0, 0, 0, 1), de genre temps, la métrique induite est de signature ++-. Pour le moment je n'ai pas d'exemple simple de trois vecteurs tous de genre différents engendrant une hypersurface de genre nul (l'exemple donné hier doit être correct, mais expliciter trois vecteurs demande du calcul pas simple).

On peut aussi se poser la question si parler d'une signature 0-- distincte de 0++ aurait un sens (l'hypersurface ne contenant que des vecteurs de genre nul ou temps? cela ne semble pas possible, il me semble qu'on peut toujours obtenir un vecteur de genre espace à partir de deux vecteurs de genre temps).

[Amanuensis]

Que pensez vous de faire même exercice en enlevant une dimension d'espace, histoire d'éliminer les superlatifs (hyper..)

Hyper n'est pas un superlatif. En mathématique "hyperplan" dans un espace vectoriel de dimension n désigne un sous-espace vectoriel de dimension n-1. Il est raisonnable donc de comprendre "hypersurface" dans une variété de dimension n comme désignant une sous-variété de dimension n-1.

Autrement dit, en 3D, on pourrait continuer à utiliser le terme hypersurface, qui serait alors une surface (une variété de dimension 2).

Note: dans mon message précédent j'aurais d'ailleurs été plus rigoureux en écrivant "hyperplan" en lieu et place de "hypersurface"...

[Amanuensis]

il me semble qu'on peut toujours obtenir un vecteur de genre espace à partir de deux vecteurs de genre temps).

Oui, en précisant "deux vecteurs de genre temps indépendants", |w|v-|v|w

[ordage]

Pas de problème avec ça (je parle du message 35 de ordage), mais ça ne répond pas à mes objections, qui concernent précisément cela :



Ne tournez pas autour du pot. Soit vous vous êtes trompé en écrivant trop vite et je ne vous en ferais pas grief, ça arrive, soit il y a un truc que j'ai pas compris, mais j'attends donc des arguments solides et formels.

m@ch3

Salut
Suite à ton message j'ai relu le chapitre et effectivement, tes doutes sont fondés, car si le vecteur "normal " est bien orthogonal à tous les vecteurs de l'hypersurface et si on donne à l'hypersurface le genre opposé (nul étant son opposé) au vecteur normal (par convention sans doute), avec une subtilité pour le vecteur normal nul qui étant orthogonal à lui même est aussi dans l'hypersurface, cela n'implique pas que tous les vecteurs de l'hypersurface soit de son genre . Dont acte et merci.
Cordialement

[Mailou75]

Salut et merci,

Rapidement, en 2D+1D, et en Minkowski, il y a 3 types de plans :
1 Ceux qui sont définis par un vecteur de genre temps (orthogonal à tous les vecteurs du plan) et qui ne contiennent que des vecteurs de genre espace,
2 Ceux définis par un vecteur de genre espace, et dont les vecteurs sont de tous genres (les diagrammes de Minkowski en 1D+1D sont des exemples de tels plans),
3 Et ceux définis par un vecteur de genre nul et dont les vecteurs sont de genre spatial et de genre nul.

Cela se généralise pour des surfaces courbes dans du Minkowski ou dans du Riemann, à ceci près que le genre du vecteur orthogonal peut changer en fonction du point de la surface. On peut par exemple considèrer une 4 surface sphérique dans du Minkowski 2+1, dont les vecteurs orthogonaux seront 5 de genre temps sur les calottes et de genre espace ailleurs (et de genre nul à la jonction, of course).
Pour le cas qui nous occupe, l'horizon d'un trou noir et 6 une (hyper)surface qui n'admet que des vecteurs orthogonaux de genre nul (exactement comme le cône de lumière en Minkowski). D'où le qualificatif qu'on peut lui donner d'être une (hyper)surface de genre lumière, même si je trouve cela maladroit du fait que les vecteurs tangents à l'horizon peuvent être de genre espace ou de genre nul.

Serait- il possible d'avoir un ou deux dessins (vite fait à la main) des points notés en rouge ?
1, 2, 3 pour clarifier. Pour moi 4 donne un cercle, 5 avec du coup. 6 pour savoir de quoi on parle depuis quelque temps !? (en 2D+t bien sur)

Ajout après relecture, attention à la notion d'orthogonalité, deux vecteurs orthogonaux ne sont à angle droit dans une représentation que dans des cas particuliers. Je dis ça parce que je sais que vous allez faire des dessins et que vous risquez d'y appliquer, naïvement, une logique de géométrie euclidienne en repère orthonormé, où il y a toujours coïncidence entre orthogonalité et angle droit dans la représentation.

C'est le risque.. d'où la demande
..........

Un cas encore plus drôle, les coordonnées "tout lumière" pour l'espace-temps de Minkowski (...)
(Ces coordonnées sont assez amusantes, elles sont réalisées avec 4 rayons lumineux partant d'un événement dans des directions correspondant au sommet d'un tétraèdre régulier ; très symétrique!)

Pourrais tu nous en dire plus sur ce système ? Une petite formule, une petite référence, un petit croquis ?

Hyper n'est pas un superlatif. En mathématique "hyperplan" dans un espace vectoriel de dimension n (...)

C'était du second degré

Merci d'avance

Mailou

[Amanuensis]

Pourrais tu nous en dire plus sur ce système ? Une petite formule, une petite référence, un petit croquis ?

Références je n'ai pas (cela fait partie des nombreux trucs que je redécouvre dans mon coin). La description, je l'ai donnée: prendre un référentiel et construire quatre qv de genre nul partant dans les directions allant du centre aux sommets d'un tétraèdre régulier. On peut vérifier qu'ils forment une base 4D.

Formules? Aller voir la géométrie du tétraèdre. Pour construire un qv de genre nul à partir d'une direction 3D (x, y, z), facile, c'est (sqrt(x²+y²+z²)/c, x, y, z).

[Mailou75]

Salut,

On avance un peu : tétraèdre régulier (4 bases qui sont des triangles équilatéraux) et 4 segments qui partent du centre de gravité du tétraèdre pour rejoindre chacun des sommets. Ok

Pour poursuivre : que sont ces 4 segments? comment lit on des rayons lumineux ?.. etc toute info qui permettrait de décrire ce modèle ?
A t on le droit de l'utiliser ?

Merci

Mailou

[mach3]

Un exemple, l'ensemble des 4 quadrivecteurs nuls suivants (coordonnées données dans une base de Lorentz (t,x,y,z) avec c=1):
(, 1, 1, 1)
(, -1, -1, 1)
(, 1, -1, -1)
(, -1, 1, -1)
forme une base de l'espace-temps de Minkowski. Si on regarde la partie spatiale uniquement, on voit que c'est un tétraèdre régulier. Tout quadrivecteur peut être exprimé comme combinaison linéaire de ces 4 là (tout comme il peut être exprimé comme une combinaison linéaire des quadrivecteurs e_t (genre temps), e_x, e_y et e_z (genres espace) d'une base de Lorentz "habituelle").

C'est l'une des très nombreuses bases possibles (il y en a une infinité) pour décomposer les quadrivecteurs. ### corrigé à la demande de l'auteur - Gilgamesh ###.

m@ch3

[Amanuensis]

Les produits scalaires de deux qv distincts valent tous 4. Elle est tout sauf orthogonale!

On pourrait la traiter de "anti-orthogonale", car

[mach3]

Oups, j'ai biglouché sur les signes... Désolé. Ils ne sont pas orthogonaux.

Si quelqu'un peut ajouter un commentaire sur mon message pour signaler l'erreur, histoire de fluidifier la lecture...

m@ch3

[Amanuensis]

Maintenant, ce n'est pas cette base vectorielle là qui donne quatre coordonnées de genre nul.

En prenant les vecteurs moitié (ce qui fait apparaître les cosinus et sinus de 2pi/3), on a bien , mais on a vu que le genre des coordonnées est donné par la métrique duale, par les

Avec cette base, les quatre coordonnées sont néanmoins de même genre. Lequel? Il est non nul, et donc c'est un cas de coordonnées de l'espace de Minkowski toutes de genre espace ou toutes de genre temps, les deux cas étant intriguant.

Revenons à des coordonnées toutes de genre nul. Je me suis posé la question d'une base vectorielle donnant cela. Et j'aurais trouvé (à confirmer), exprimée dans les mêmes coordonnées que dans le message de Mach3 :

()
()
()
()

Divna věc

[Mailou75]

Quel est l'objectif à atteindre ? Des hypervolumes (volumes qui se deplacent dans le temps) ?
Ca risque de piquer les yeux non ?

[ordage]

Oups, j'ai biglouché sur les signes... Désolé. Ils ne sont pas orthogonaux.

Si quelqu'un peut ajouter un commentaire sur mon message pour signaler l'erreur, histoire de fluidifier la lecture...

m@ch3

Salut
Par principe, dans l'espace-temps à 4 dimensions, tu ne peux pas avoir de base de 4 vecteurs nuls tous orthogonaux entre eux. Chaque vecteur nul serait orthogonal à 4 vecteurs (dont lui même). C'est possible d'avoir une base de 4 vecteurs nuls, linéairement indépendants, mais non (tous) orthogonaux (ton exemple). C'est lié au nombre de de degrés de liberté du problème. Ne pas oublier qu'un vecteur nul impose une contrainte sur les degrés de liberté (ds² =0).
Cordialement

[Amanuensis]

Et j'aurais trouvé (à confirmer), exprimée dans les mêmes coordonnées que dans le message de Mach3 : (...)

Me suis trompé dans mes calculs. Je trouve maintenant

()
()
()
()

Ce qui paraît mieux!

Ou encore

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()
()
()

Les vecteurs sont tous de genre espace (norme 1/3-3), mais c'est quand même une base de l'espace de Minkowski. Par exemple la somme des quatre est (), de genre temps.

Donc sf erreur, c'est cette base là qui est telle que toutes les coordonnées sont de genre nul, toujours à vérifier...