Masse d'un trou noir

[mach3]

Sur l’exemple précis, “When r is taken less than 2m, the signs (...) change, g_11 is then positive and g_00 is then negative,”
l’enseignement que j’ai reçu fait que je tire une conclusion beaucoup plus prudente du « it would thus appear natural ro reinterpret… », du type « tout se passe comme si on pouvait réinterpréter… » et c’est vous qui voulez remplacer la forme originale, assez dubitative, qui sonne presque comme une suggestion, par votre « il est donc naturel …», qui écarte toute velléïté de questionnement physique, qui êtes du côté de la « conviction » que vous me reprochez.

Et en l’occurrence je refuse d’interpréter car je ne peux accepter la ligne suivante « indeed, a world line along the t axis (r, teta, phi constants) has ds^2 < 0 and is a spacelike curve » parce que ds^2 négatif entraîne que ds est alors une longueur imaginaire, ce qui enlève tout sens physique à ces « courbes de type espace ».
Et il est heureux que je ne sois pas seul à avoir bien compris, peut-être parce que bien d’autres partagent ce refus d’introduction de l’imaginaire dans l’espace-temps.

Petit exercice.

Soit la métrique :



On voit qu'il y a deux domaines de définition pour x, x>1 et x<1. Dans l'un x est de genre espace et t de genre temps, dans l'autre t est de genre espace et x de genre temps. La métrique n'est pas définie en x=1 dans ce système de coordonnée, c'est ce qu'on appelle une singularité de coordonnées. C'est donc assez similaire à ce qui se passe pour les coordonnées r et t de Schwarzschild dans la métrique du même.

Pourtant, un examen un peu approfondi montrera que cette métrique décrit un espace-temps sans aucune singularité, ni aucune nécessité de nombre imaginaire, et que les champs scalaires t et x définis sur cet espace-temps sont simplement mal fichus. Je vous laisse méditer cela.

m@ch3
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[Deedee81]

Salut,

Donc fixer arbitrairement une limite sur ce qui peut être "réel" ou interpréter les méthodes de calculs uniquement à cette aune me semble très risqué.

Cette fois j'ai compris et je te rejoins.

Pourtant, un examen un peu approfondi montrera que cette métrique décrit un espace-temps sans aucune singularité, ni aucune nécessité de nombre imaginaire, et que les champs scalaires t et x définis sur cet espace-temps sont simplement mal fichus. Je vous laisse méditer cela.

Très joli l'exemple, qui a l'avantage d'être particulièrement simple.

[bernarddo]

Ouh la la, que de réactions (et même des amorces de débat !) pour avoir rappelé que ce qui gravite c’est de la matière, et que la racine d’un nombre négatif est un imaginaire !

Je ne vais pas pouvoir faire toutes les citations précises, aussi je vais réagir en citant simplement les posts auquels je réagis.

Le plus simple : à Amanuensis (#30) sur sa remarque finale

La rédaction était évidemment fautive, il fallait lire je n’étais pas le seul à n’avoir pas bien compris

Un très important : à DeeDee81 (# 26)

Sur l’introduction d’un imaginaire dans l’espace-temps :

J’adhère parfaitement au second alinéa, sur la combinaison de 2 grandeurs physiques mesurables simultanées, pour représenter directement la grandeur physique résultante. Encore faut-il que ces grandeurs combinées soient simultanées.

L’exemple de l’alinéa 1 en est l’illustration la plus simple dès qu’il s’agit de représenter des ondes caractérisées par leur amplitude et leur phase.
L’imaginaire est alors lié à un espace de représentation, pas à un espace réel.

Mais en l’espèce ds (ou s) est une grandeur physique unique, une longueur, il n’y a rien à combiner, c’est une longueur en Pythagore 2D, aussi en Pythagore 3D, et aussi une longueur en Pythagore espace-temps.
Pour moi, pas de combinaison, pas d’imaginaire.

A pm42 (# 29)

En physique, le fait de relier ce que l’on fait mathématiquement à des aspects expérimentaux n’est pas une possibilité, c’est une obligation. Les théories et/ou modèles qui y dérogent peuvent partir en « poulie folle »

A didier941751 (# 24)

Merci, et pas de souci pour moi non plus

A didier941751 (# 18)
Je suis tout à fait d’accord avec le fait que le système de coordonnées peut créer des singularités qui ne sont pas intrinsèques à l’espace, et que séparer l’intrinsèque de ce que vous appelez artefact est difficile.
D'ailleurs, sur la solution dite de Schwarzschild [chez Adler, relation 6.53] et avant d’entrer, pour r < 2m, dans l’espace imaginaire que je conteste, une singularité apparaît pour r = 2m, qui pose problème puisque là nous sommes toujours dans l’espace-temps réel.
Il se trouve que cette singularité est une singularité de coordonnées, et qu’on peut l’annuler en remplaçant r par ρ suivant : r = 2m (1 + ln ch ρ) (log népérien et cos hyperbolique)
Le calcul est simple, je vous laisse vérifier.

A Amanuensis (# 16)

L’espace-temps résultant est donc non contractile, mais partout continu, il n’y a plus de géodésiques incomplètes, et il devient naturel de renoncer à rechercher une extension, puisque ce problème résultait de coordonnées inadaptées. La démarche naturelle, celle de Karl S, devient plutôt de rechercher la solution intérieure.

Pour tous :

La légitimité des calculs du temps de chute peut être remise en cause :

Toujours dans Adler, (chap 6, justification équation 6.2)
Dans les hypothèses d’établissement de la solution, qualifiées de raisonnables et pratiques, les coordonnées utilisées sont telles qu’elles excluent le terme croisé dt.dr (t étant noté x0 dans le calcul).
On peut ce demander pourquoi, puisqu’il respecte la symétrie sphérique et a bien un sens dans les conditions de chute radiale.
D’où, l’équation 6.4 devrait s’écrire en ajoutant un terme : D(r) dr dt

Dans le chapitre 7, Eddington a réécrit la solution classique avec un changement de marqueur temps, dit temps d’Eddington, changement suivant eq 7.1, et a réécrit la solution suivant 7.2.
L’intéressant, c’est que cette formulation introduit le terme croisé : dt dr, et semble plus adéquate pour calculer le temps de chute : il n'est pas fait dans le manuel, je vous propose de faire l’exercice et de comparer avec plus haut.

Je m’excuse pour la longueur du post, et vous remercie d’avoir pu l’envoyer.

[mach3]

Mais en l’espèce ds (ou s) est une grandeur physique unique, une longueur, il n’y a rien à combiner, c’est une longueur en Pythagore 2D, aussi en Pythagore 3D, et aussi une longueur en Pythagore espace-temps.
Pour moi, pas de combinaison, pas d’imaginaire.

il n'y a pourtant pas à chercher à se compliquer la vie avec les imaginaires.

On a d'un coté des formes bilinéaires symétriques définies positives g(.,.), qui quand on leur donne deux fois le même vecteur u à manger, recrachent un nombre positif g(u,u) (ou nul, si et seulement si on lui donne le vecteur nul) qu'on identifie comme étant le carré de la norme du vecteur. Un espace vectoriel doté d'une telle forme est un espace euclidien. Une variété muni d'un champ de telles formes est une variété Riemannienne. Une telle forme s'appelle une métrique.

On a d'un autre coté des formes bilinéaires symétriques indéfinies g(.,.), qui quand on leur donne deux fois le même vecteur à manger, recrachent un nombre positif, nul ou négatif, g(u,u). On ne peut pas identifier directement ce nombre comme étant le carré d'une norme de vecteur, parce qu'une norme de vecteur c'est un réel positif et que le carré d'un réel positif est positif. C'est simplement une erreur de considérer que la racine de ce nombre est la norme d'un vecteur. C'est l'application aveugle d'une règle qui marche pour une métrique dans un espace euclidien ou une variété Riemannienne. Or ici, il ne s'agit pas d'une métrique, ni d'un espace euclidien ni d'une variété Riemannienne, malgré les appellations fréquentes "pseudo-métrique", "espace pseudo-euclidien" ou "variété pseudo-riemannienne". Il s'agit de formes quadratiques, d'espaces de Minkowski ou de variétés lorentziennes.
Il y a dans ce cas 3 genres de vecteurs : ceux de genre espace, ceux de genre nul et ceux de genre temps. Pour trouver leur norme, il faut prendre la valeur absolue de g(u,u), puis extraire sa racine carré. Pour le genre espace, la norme sera une longueur, positive, pour le genre nul, la norme sera nulle et pour le genre temps, la norme sera une durée, positive. On notera que cette procédure est indépendante du choix de la signature de la "métrique"* ( ou ) qui est choisie arbitrairement.

* qui en toute rigueur n'est pas une métrique. "métrique de Minkowski", "métrique de Schwarzschild", "métrique de Kerr", etc, tout ça ce sont des abus de langages. En mathématiques une métrique est définie positive, si ce n'est pas défini positif, c'est autre chose.

m@ch3

[Amanuensis]

A Amanuensis (# 16)

L’espace-temps résultant est donc non contractile, mais partout continu, il n’y a plus de géodésiques incomplètes, et il devient naturel de renoncer à rechercher une extension, puisque ce problème résultait de coordonnées inadaptées. La démarche naturelle, celle de Karl S, devient plutôt de rechercher la solution intérieure.

Résultant de quoi ?

Que signifie «non contractile» ? (Du moins dans le contexte...) (Et si c'est ce que j'imagine--homotopie non triviale-- faudrait expliciter de quel «espace-temps» il est question.)

L'affirmation «il n’y a plus de géodésiques incomplètes» doit être démontrée.

Par ailleurs, oui, les coordonnées de Schwarzschild sont inadaptées pour exhiber une solution complète (i.e., sans géodésique extensible).

Dans le chapitre 7, Eddington a réécrit la solution classique avec un changement de marqueur temps, dit temps d’Eddington, changement suivant eq 7.1, et a réécrit la solution suivant 7.2.
L’intéressant, c’est que cette formulation introduit le terme croisé : dt dr

Oui, ce qui rend ces coordonnées difficiles à manipuler. Cela est corrigé en passant aux coordonnées de Kruskal-Szekeres, qu'on obtient par un changement de coordonnées à partir du système d'Eddington, et qui, ô miracle, s'étend naturellement en une carte d'espace-temps sans géodésique extensible, et sans singularité de coordonnées.

[Amanuensis]

Ouh la la, que de réactions (et même des amorces de débat !)

Pas vraiment place à débat. Comme déjà dit, c'est des maths, et la discussion porte sur des incompréhensions, ce qui n'est pas pareil qu'un débat.

[Amanuensis]

PS: Pour rappel faudrait préciser quel type de TN dont on parle. Le messages #1 parle d'un TN statique éternel, et correspond à une solution du vide, sans masse nulle part. (L'espace-temps complet pouvant alors se décrire avec les coordonnées de Kruskal).

Il y a d'autres possibilités, avec une région extérieure vide dont la partie la plus extérieure peut se décrire avec les coordonnées de Schw., et une région intérieure non vide, qui ne peut pas se décrire avec les coordonnées de Schw.

Faut éviter de confondre les deux cas.

Personnellement, je reste dans le cadre de la discussion, posé par le message #1, et mes interventions ne concernent que la solution du vide de symétrie spatiale sphérique et asymptotiquement plat, sans rotation, sans charge, ce qui est usuellement compris quand on parle d'un TN statique éternel.

[bernarddo]

Petit exercice.

Soit la métrique :



On voit qu'il y a deux domaines de définition pour x, x>1 et x<1. Dans l'un x est de genre espace et t de genre temps, dans l'autre t est de genre espace et x de genre temps. La métrique n'est pas définie en x=1 dans ce système de coordonnée, c'est ce qu'on appelle une singularité de coordonnées. C'est donc assez similaire à ce qui se passe pour les coordonnées r et t de Schwarzschild dans la métrique du même.

Pourtant, un examen un peu approfondi montrera que cette métrique décrit un espace-temps sans aucune singularité, ni aucune nécessité de nombre imaginaire, et que les champs scalaires t et x définis sur cet espace-temps sont simplement mal fichus. Je vous laisse méditer cela.

m@ch3

C'est une blague ?
Restons dans le domaine de la physique.
ds^2 = .... c'est une signature de métrique, c'est la recherche de la famille de géodésiques.
Ici, on a deux coordonnées t et x, l'espace est donc un espace à deux dimensions: dans le seul que je connais, les géodésiques sont des droites.
donc la seule signature possible est ds^2 = dx^2 + dt^2 avec les noms de coordonnées choisies.

C'est un problème résolu depuis longtemps ! Je n'ai pas vu l'espace-temps !

[Amanuensis]

C'est une blague ?

non

Restons dans le domaine de la physique.

C'est de la physique. Cela pourrait être un exo posé dans le cadre d'une formation universitaire en physique sur la RG. (Pour ceux que cela intéresse, envoyer la réponse à Mach3, qui corrigera si nécessaire.)

ds^2 = .... c'est une signature de métrique, c'est la recherche de la famille de géodésiques.

Non

Ici, on a deux coordonnées t et x, l'espace est donc un espace à deux dimensions: dans le seul que je connais

Il y a une infinité de variétés à deux dimensions munies d'une forme métrique. Un sur l'infini, ça ne fait pas beaucoup.

donc la seule signature possible est ds^2 = dx^2 + dt^2 avec les noms de coordonnées choisies.

Pardon? C'est une blague? Le nom des coordonnées est important?

C'est un problème résolu depuis longtemps !

C'est une blague? Références?

[Amanuensis]

PS:

Cela pourrait être un exo posé dans le cadre d'une formation universitaire en physique sur la RG. (Pour ceux que cela intéresse, envoyer la réponse à Mach3, qui corrigera si nécessaire.)

Avec la démo... On publiera la plus simple (le jury sera mézigue et Mach3), prix à déterminer par la modé...

[mach3]

C'est une blague ?
Restons dans le domaine de la physique.
ds^2 = .... c'est une signature de métrique, c'est la recherche de la famille de géodésiques.
Ici, on a deux coordonnées t et x, l'espace est donc un espace à deux dimensions: dans le seul que je connais, les géodésiques sont des droites.
donc la seule signature possible est ds^2 = dx^2 + dt^2 avec les noms de coordonnées choisies.

C'est un problème résolu depuis longtemps ! Je n'ai pas vu l'espace-temps !

0) ce n'est pas une blague

1) une signature de métrique c'est ça : https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_signature (et en toute rigueur on ne devrait pas parler de signature de métrique, mais de signature de forme bilinéaire)

2) n'est pas une signature de métrique mais l'expression d'une métrique (enfin plutôt d'une forme bilinéaire symétrique) dans un système de coordonnées. Il s'agit d'une notation quelque peu simplifiée. Une façon plus rigoureuse est , avec le produit tensoriel, et des 1-formes, les gradients des champs scalaires t et x définis sur la variété et qui servent ici de coordonnées.
D'une manière générale, l'expression d'une métrique est dans un système de coordonnées (), et elle s'écrira de façon simplifiée

3) j'ai mis deux coordonnées seulement pour simplifier, j'aurais très bien pu prendre , ça ne change pas la portée de l'exercice, x et t changent de genres en x=1 et pourtant la géométrie de la variété considérée est on ne peut plus banale, ce dont on peut se rendre compte par un simple changement de coordonnées

4) comme déjà mentionné par amanuensis, des variétés à 2 dimensions, il y en a une palanquée. Par exemple :

est la métrique d'une sphère

m@ch3

[Archi3]

L'exemple de Mach3 est très bon effectivement pour séparer les forumeurs en deux catégories : ceux qui comprennent l'exemple, savent y répondre et comprennent son interêt pédagogique, et ceux qui ne le comprennent pas .
[mode aparté*] Après je pense que Bernarddo n'a pas tout à fait tort en disant que la RG "c'est de la physique". Evidemment c'est aussi une construction mathématique, mais la physique newtonienne ou l'électromagnétisme sont aussi une construction mathématique - et néanmoins aussi de la physique. Le caractère physique de la RG réside justement dans la correspondance entre la mathématique et les notions concrètes mesurées d'espace et de temps, qu'on peut "tester expérimentalement" (et éventuellement infirmer) , alors que la cadre mathématique n'a pas besoin lui d'être vérifié, on sait qu'il est correct. [/aparté]

[bernarddo]

Je n'ai pas contesté, au delà de l'emploi certes fautif du terme de signature, la validité l'exemple en soi, et son aspect pédagogique, mais contesté son application dans le monde réel.

Simplement, dans un espace à deux dimensions, le physicien de base, (ou le foruneur obstiné), n'ira pas spontanément chercher sa géodésique dans celui où il n'existe que des fils (des cordes?) et le temps, mais plutôt chez Pythagore dans l'espace de la géométrie plane, et ceci même s'il reconnaît que les mathématiques lui en donnent la permission.

[mach3]

Simplement, dans un espace à deux dimensions, le physicien de base, (ou le foruneur obstiné), n'ira pas spontanément chercher sa géodésique dans celui où il n'existe que des fils (des cordes?) et le temps, mais plutôt chez Pythagore dans l'espace de la géométrie plane, et ceci même s'il reconnaît que les mathématiques lui en donnent la permission.

Le physicien de base verra immédiatement que la métrique en question ne peut pas décrire un plan euclidien, à cause de sa signature (1,1,0) alors que la métrique du plan euclidien est (0,2,0).

Je n'ai pas contesté, au delà de l'emploi certes fautif du terme de signature, la validité l'exemple en soi, et son aspect pédagogique, mais contesté son application dans le monde réel.

La métrique de Schwarzschild (que se soit en coordonnées du même, ou dans son extension maximale en coordonnées de Schwarzschild), n'a guère plus d'application dans le monde réel que la métrique de mon exemple. L'univers réel n'est pas à symétrie sphérique. C'est un autre débat, mais on peut très bien approximer des cas réels dans le cadre de la géométrie de Schwarzschild (et ça marche assez bien, on y prédit l'avance du périhélie de Mercure par exemple...), pour peu que ce qui écarte la situation réelle de la symétrie sphérique soit négligeable, de même, on peut bien approximer des cas réels dans le cadre d'un espace-temps 1+1D pour peu que la situation réelle se déroule sur une ligne.

Bref, au lieu d'essayer de noyer le poisson, il faut mettre les mains dans le cambouis et trouver la géométrie décrite par la métrique proposée. Ce sera une occasion de comprendre des choses non comprises sur le chemin, choses qui pourront être ensuite transposées à la géométrie de Schwarzschild.

m@ch3

[Deedee81]

EDIT j'ai croisé march3

Après je pense que Bernarddo n'a pas tout à fait tort en disant que la RG "c'est de la physique"

Non, sans rire Il est clair que tout le monde est d'accord avec ça. Après il faut tout de même :
- ne pas oublier qu'il faut s'exprimer quantitativement, rigoureusement et donc dans le langage approprié
- ne pas confondre math et physique en critiquant qu'il ne faut pas confondre math et physique (non cette phrase n'est pas idiote j'ai vu ça trente-six fois)

Je n'ai pas contesté, au delà de l'emploi certes fautif du terme de signature, la validité l'exemple en soi, et son aspect pédagogique, mais contesté son application dans le monde réel.

C'est là où tu as tort (en plus d'être hors charte sur Futura puisqu'on ne peut pas nier ça ici, mais bon, faut pouvoir expliquer). Qu'est-ce qui te permet d'affirmer que telle modélisation s'applique ou pas ???

Simplement, dans un espace à deux dimensions, le physicien de base, (ou le foruneur obstiné), n'ira pas spontanément chercher sa géodésique dans celui où il n'existe que des fils (des cordes?) et le temps, mais plutôt chez Pythagore dans l'espace de la géométrie plane, et ceci même s'il reconnaît que les mathématiques lui en donnent la permission.

Mais qu'est-ce qui te permet d'affirmer que la géométrie euclidienne (Pythagore tout ça) s'applique à l'espace décrit par les coordonnées r, t ? Ta boule de cristal ? Ton obstination qui en devient du négationnisme de la réalité physique ?

Pour savoir ce qui doit s'appliquer, il faut savoir quelle est la géométrie de cet espace(-temps) (r,t). Et pas la "deviner" ou "aller chercher chez Pythagore" (difficile de remonter plus loin, la prochaine fois tu vas peut-être nous citer Cro-Magnon ?) Et pour ça, il faut regarder les relations entre les grandeurs (longueurs, durées) dans diverses expériences (qui montrent la réalité physique, à moins de nier la réalité, ce qui arrive quand on connait très mal la physique et qu'on est un forumeur obstiné). Et là, le résultat est sans appel (voir tout bon livre de relativité) c'est la géométrie de Minkowski et non celle de Euclide qui s'applique, et l'invariant (ou le théorème de Pythagore généralisé) est bel et bien dx²-dt² (avec c = 1).
Mais pour l'espace, du moins en relativité restreinte, ça reste Euclide : dx²+dy²

Je ne vais pas faire un copier-coller de la RR ici, à lire : http://fr.scribd.com/doc/166636239/C...restreinte-pdf
j'y aborde la relativité par :
une analyse physique en profondeur
la recherche des postulats à appliquer
l'étude des expériences de base qui permettent de conclure
etc.... dont la géométrie de cet espace(-temps).

[Archi3]

3) j'ai mis deux coordonnées seulement pour simplifier, j'aurais très bien pu prendre , ça ne change pas la portée de l'exercice, x et t changent de genres en x=1 et pourtant la géométrie de la variété considérée est on ne peut plus banale, ce dont on peut se rendre compte par un simple changement de coordonnées

je suppose que tu as voulu écrire , avec x étant une coordonnée spatiale pour x >1 et un choix de signe positif de la métrique pour la coordonnée temporelle, sinon l'autre est possible aussi mais ça décrit un autre espace-temps .

[mach3]

je suppose que tu as voulu écrire , avec x étant une coordonnée spatiale pour x >1 et un choix de signe positif de la métrique pour la coordonnée temporelle, sinon l'autre est possible aussi mais ça décrit un autre espace-temps .

Je me suis posé la question en mettant les signes, mais cela m'a paru sans importance, car il me semble que ça ne fait que changer la convention de signes et n'a pour seul effet d'échanger les régions où t est genre temps et x espace, et t genre espace et x genre temps (donc c'est la même géométrie, mais pas les mêmes champs scalaires x et t), mais je n'ai pas approfondi, j'ai peut-être zappé quelque chose.

m@ch3

[Archi3]

bah oui mais x et t n'ayant pas le même rôle dans la métrique, ça change la "forme" (et la dynamique) de l'espace -temps si tu mets un signe ou l'autre !
pour comparer, si tu prends la métrique de Schwarzschild et que tu changes le signe de la partie angulaire (r^2 d/omega^2 ), ça ne décrit plus du tout le même espace -temps ...

[Amanuensis]

Je me suis posé la question en mettant les signes, mais cela m'a paru sans importance

Dit autrement la métrique n'est pas «symétrique» par permutation de x et t, donc le signe importe. Ce serait différent pour par exemple xdt²-tdx². Ou dt²-dx².

[Archi3]

à la réflexion en fait je pense que tu as raison sur cet exemple, changer les signes revient simplement à changer la convention sur ds^2 et simultanément à intervertir la région x> 1 et x<1 ...

[Amanuensis]

[Le message précédent s'adressait à Mach3, un pb venant j'imagine d'un certain retard...]

Sur le fond, je ne vois pas comment c'est le cas, le changement de variable que j'ai est très dissymétrique en x et t ; mais je me suis peut-être gouré quelque part.

(Par ailleurs, intuitivement, comme la translation du x par 1 est arbitraire, cela semble difficile d'imaginer que permuter les deux régions marche, mais bon, à vérifier...)

[Amanuensis]

Après réflexion, il semble bien que Mach3 et Archi3 aient raison, i.e., que le signe de dy²+dz² n'importe pas. Mais j'arrive à cela pour des raisons différentes des explications en privé de Archi3 (et j'ai encore des doutes sur l'idée de permutations des régions).

La raison que je trouve est spécifique à l'espace-temps dont il est question. Pour cet espace-temps là (mais ce n'est pas généralisable), s'il admet des coordonnées telles que la métrique ait la forme a²(t,x)dt² - b²(t,x)dx² -dy²-dz², alors a²(t,x)dt² - b²(t,x)dx² +dy²+dz² aurait la même géométrie...

Je vais voir pour une démo, mais d'une certaine manière c'est presque évident en pensant en termes d'espaces produits E x R².

[bernarddo]

Je vais vous répondre plutôt qu'à Mach3, pour qui vaut aussi ma réponse, car votre lecture de ma réponse est celle la plus attentive qui ait été faite de ma réaction, et que, du coup, vous avez compris ce qui s'est passé.

Pardon? C'est une blague? Le nom des coordonnées est important?
C'est une blague? Références?

Oui, je me suis planté par manque d'attention, n'ayant pas fait attention au fait que les signes de la métrique étaient opposés, ce qui me plaçait dans le cadre de la géométrie euclidienne 2D, où Pythagore est déjà solidement établi, la seule interprétation possible de ma réaction! Il ne restait donc plus que le nom des coordonnées pour faire la différence!

D'ailleurs, je l'avais reconnu benoîtement quand j'avais dit "je n'ai pas vu l'espace-temps"

Tant que j'en suis à reconnaître mes erreurs par manque d'attention, je confesse être tombé dans le piège que vous indiquez en # 37 sur le sujet même du fil.
Là c'est au terme "éternel" que je n'avais pas prêté attention.

Et qui semble bien antinomique avec le big bang; est vrai que les tout premiers instants sont hors RG !

Pour moi ce trou noir éternel n'existe nécessairement dès lors que l'on postule théoriquement l'existence d'un espace-temps dépourvu de matière, soit nier formellement le principe de Mach, alors que son effet d'entrainement du système de coordonnées est admis dans le manuel d'Adlercommentaire après 7.115) dans la compétition citée.

Heureusement que c'est un fantôme qui se bat au titre des conditions aux limites!

Je vous dois aussi (# 35) une réponse pour contractile.
Elle sera triviale, géométrique et en 3D: c'est l'image du pneu ou du diabolo, celui-ci étant plus parlant qui va à l'infini. En 4D, c'est plus difficile à imaginer.
Si on prend, comme la RG classique, des coordonnées sphériques centrales, les trajectoires sur le diabolo s'interrompent au plus petit cercle (dit de gorge), alors qu'elles sont continues sur le diabolo. Il faut pour celà trouver un système de coordonnée qui évite la singularité sur le cercle de gorge.

En 4 D, c'est pareil, et le changement de variable existe, que j'ai déjà indiqué dans ma réponse à Didier (# 33) !

[Amanuensis]

Je vous dois aussi (# 35) une réponse pour contractile.
Elle sera triviale, géométrique et en 3D: c'est l'image du pneu ou du diabolo, celui-ci étant plus parlant qui va à l'infini. En 4D, c'est plus difficile à imaginer.
Si on prend, comme la RG classique, des coordonnées sphériques centrales, les trajectoires sur le diabolo s'interrompent au plus petit cercle (dit de gorge), alors qu'elles sont continues sur le diabolo. Il faut pour celà trouver un système de coordonnée qui évite la singularité sur le cercle de gorge.

Je pense (sans en être sûr) comprendre l'idée, en rapprochant de réflexions miennes sur le sujet.

En termes mathématiques, en partant des coordonnées de Schw. (t, r), ce serait considérer que (t, r) et (t, r_s²/r) représente le même événement. L'image du domaine de définition est alors bivaluée (surjection).

En termes mathématiques, en prenant r_s=1 (pour alléger les formules), le changement r-> r'=1/r pour r>1 (et donc r'<1) donne dr = dr'/r'², et la métrique devient

(1-r')dt² - 1/r'²(1-r') dr'² - 1/r'² dΩ²

(Le coefficient de dΩ² représente le carré du rayon aréal, et le cas r=r'=1 est un minimum de ce coefficient, c'est la «gorge» en question.)

Comme 1-r'>0, on observe bien un phénomène «d'inversion de genre» pour une ligne t constante.

Mais cela ne résout pas le problème des lignes d'Univers telles que (t, r) [resp. (t, r')] tend vers (infini, 1) avec dr/dt<1 [resp. dt/dr'<1]. Un temps propre converge aussi bien à l'intérieur qu'à l'extérieur en une valeur fini, et ces lignes ne sont pas prolongeables de l'autre côté.

Il y a des pistes à explorer pour le prolongement, par exemple inverser le temps, ou un temps cyclique, avec prolongation d'une ligne (t, r) tendant vers (infini, 1) avec dr/dt<1 , en une ligne (t, r') tendant vers (-infini, 1) avec dt/dr'<1.

Mais je ne vois pas comment ces pistes peuvent amener un modèle satisfaisant du point de vue physique.

[mach3]

En 4 D, c'est pareil, et le changement de variable existe, que j'ai déjà indiqué dans ma réponse à Didier (# 33) !

A propos de ce changement de variable. r est croissant pour rho>0 et décroissant pour rho<0, son minimum étant 2m. Supposons une ligne d'univers dont l'évolution est monotone en rho, cela signifie un rebond sur l'horizon. L'accélération propre doit diverger en rho=0 (à vérifier). Les géodésiques qui atteignent rho=0 ne peuvent pas se poursuivre (que ce soit les rho<0 ou >0).

m@ch3

[Amanuensis]

A propos de ce changement de variable. r est croissant pour rho>0 et décroissant pour rho<0, son minimum étant 2m. Supposons une ligne d'univers dont l'évolution est monotone en rho, cela signifie un rebond sur l'horizon.

?? L'horizon n'est pas atteignable par une ligne d'Univers en coordonnées (t, ρ), pas plus qu'en coordonnées (t, r), puisque t tend vers une valeur infinie pour toute ligne d'univers (de genre temps) telle que r tend vers 0.

[mach3]

?? L'horizon n'est pas atteignable par une ligne d'Univers en coordonnées (t, ρ), pas plus qu'en coordonnées (t, r), puisque t tend vers une valeur infinie pour toute ligne d'univers (de genre temps) telle que r tend vers 0.

je pense plus en terme de valeur des champs scalaires r et rho le long d'une ligne d'univers. Si la ligne d'univers (partant d'un événement de rho positif) atteint un événement où le champ scalaire rho vaut 0 (et donc où le champ scalaire r vaut 2m), alors elle ne peut que continuer dans une region où le champ scalaire rho n'est plus défini et ou le champ scalaire r est inférieur à 2m

m@ch3

[Amanuensis]

Mais est-ce que Bernarddo parle de cela?

[bernarddo]

Je donne l'avantage à mach3:

diabolo.jpg

géodésiques.jpg

[Amanuensis]

Sauf que justement Mach3 explique que ce que vous dessinez n'est pas possible. Du moins sous condition d'une certaine interprétation.

Vous donneriez les maths de ce que représentent les dessins, et des objections adaptées seraient fournies, je commence à avoir quelques idées sur le problème.

Par ailleurs, que savez-vous sur le «Pont de Rosen»? Me trompe-je en pensant que cela a un rapport? (Un rapport évident est le dessin!)