Masse d'un trou noir

[mach3]

Par ailleurs, que savez-vous sur le «Pont de Rosen»? Me trompe-je en pensant que cela a un rapport? (Un rapport évident est le dessin!)

ça me fait aussi penser à cela. Le fait qu'il y ait deux valeurs de rho pour une seule valeur de r, ça fait penser au X de Kruskal-Szekeres sur une ligne de t de Schwarzschild constant (une diagonale passant par X=0, T=0 dans Kruskal-Szekeres), positif dans notre univers (région I) et négatif dans l' "univers parallèle" (région III), et X=0 correspondant à r=rs, qu'on appelle parfois sphère de Schwarzschild. Par contre les seules géodésiques qui "traversent" de I à III et ne passent jamais par r<rs sont de genre espace, pas de genre temps.

m@ch3
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[Amanuensis]

Oui, mais comme je l'indique quelques messages plus tôt cela ne résout pas le problème des lignes d'Univers telles que (t, r) [resp. (t, r')] tend vers (infini, 1) avec dr/dt<1 [resp. dt/dr'<1]. En KrSz on ne peut pas passer de I à III à travers l'horizon.

Mais il me semble qu'on peut «coller» I et III par les lignes (resp.) X=T et -X=T (ce qui annihile la II, et présente un «pont de Rosen» pour tout T), en gardant la continuité. Pour la causalité, faut inverser le temps en région III (1). Mais il me semble qu'on obtient des lignes d'univers non différentiables au passage de la suture (dr/dτ change de signe sans être nul), donc pas de géodésiques, donc espace-temps incomplet.

(1) J'ai des réminiscences d'avoir vu des textes avec t inversé en région III, II est TN pour la I mais TB pour la III, et vice-versa pour la IV.

[mach3]

Oui, mais comme je l'indique quelques messages plus tôt cela ne résout pas le problème des lignes d'Univers telles que (t, r) [resp. (t, r')] tend vers (infini, 1) avec dr/dt<1 [resp. dt/dr'<1]. En KrSz on ne peut pas passer de I à III à travers l'horizon.

bien d'accord

(1) J'ai des réminiscences d'avoir vu des textes avec t inversé en région III, II est TN pour la I mais TB pour la III, et vice-versa pour la IV.

Dans la page wiki anglaise sur kruskal-szekeres, il est donné comme relation entre t, T et X, tanh(t/2m) = T/X en région I et III et X/T en région II et IV, ce qui implique qu'en région III (X<0), t augmente quand T diminue à X constant et qu'en région IV (T<0), t augmente quand X diminue à T constant. Une ligne de t constant en Kruskal-Szekeres est donc une droite passant par X=0, T=0.

Si on ajoute l'angle phi, chacune de ces droites de t constant passant dans I et III donnera justement la figure en diabolo me semble-t-il (et ça fera un "hyperdiabolo" si on ajoute théta). Ce sont donc des hypersurfaces de genre espace.
Les droites de t constant passant de IV à II, sont différentes, ce sont des sphères dont la surface grossit de arbitrairement petit jusqu'à 4\pi r_s, puis rapetissent ensuite jusqu'à arbitrairement petit, et cela sur une durée propre finie (si on ne prend que l'angle phi, ça fait un genre de fuseau).

m@ch3

[Amanuensis]

Si on prend T croissant pour passé-futur en I, et T décroissant pour passé-futur en région III, impossible d'orienter II et IV de manière continue sur tout l'espace-temps. Physiquement inacceptable.

[Mailou75]

Salut,

Je donne l'avantage à mach3:

Pièce jointe 377921

Pièce jointe 377922

C’est toi qui traces des belles géodésiques 2D comme ça ? Si c’est le cas il se pourrait que je t’importune en MP pour en savoir un peu plus. Merci

(1) J'ai des réminiscences d'avoir vu des textes avec t inversé en région III, II est TN pour la I mais TB pour la III, et vice-versa pour la IV.

Si la region II est un trou blanc pour la zone III ça veut dire que le rayon lumineux part de l’horizon entre II et III. Moi ça me va bien, mais comme on pense aussi savoir qu’en region II un observateur verrait le contenu de la zone III, alors le rayon part a nouveau de la limite entre II et III, mais en sens inverse du premier. Le fait que t soit lu «à l’envers» en zone III ne serait donc pas une supposition mais une necessité ?

[Mailou75]

Si on ajoute l'angle phi, chacune de ces droites de t constant passant dans I et III donnera justement la figure en diabolo me semble-t-il (et ça fera un "hyperdiabolo" si on ajoute théta). Ce sont donc des hypersurfaces de genre espace.

Si... tu prends un t constant de KS (je ne parle que des regions I et II) et que tu le fais tourner (ton angle phi) suivant un cercle, de rayon Rs ou autre, perpendiculaire au plan de KS alors tu obtiendras un tel diabolo. Et autant de diabolos tangents le long du cercle qu’on prend de t différents. C’est une possibilté d’ajout d’une dimension a la figure mais quel sens lui donner ? Les radiales sont devenues des tangentes

[Amanuensis]

Un nouveau sous-sujet, mais toujours dans la question de la compréhension des coordonnées de Schwarzschild, d'extensibilité, et autre.

Les système de coordonnées ont énormément à voir avec la cartographie, les représentations euclidiennes de la surface d'une sphère, et donc plus généralement de surfaces courbes. Une carte d'une partie de la surface terrestre n'est rien d'autre qu'un jeu particulier de coordonnées (x, y) de cette partie, que l'on dessine en euclidien.

Partant de cette idée, j'ai cherché à illustrer, sans formules, des défauts des coordonnées de Schw. en particulier si on les prend comme ayant comme domaine de définition tout R+* pour la coordonnée r.

Voilà une carte couvrant 1/4 de la surface terrestre (la moitié de l'hémisphère nord), présentant un gros défaut:



Je ne parle pas des petits décalages à la suture, seulement dus à mon usage d'outils rudimentaires.

[À la base, cette carte utilise la projection de Miller.]

Cette carte a des propriétés qu'on attend d'une carte, en particulier toute ligne continue sur la carte est aussi une ligne continue sur la sphère. Mais elle ne respecte pas au moins une propriété importante, qui pour moi la fait considérer comme fausse, en particulier une en rapport avec l'extensibilité, qui rappelle fortement une propriété rendant inacceptable une «carte de Schw.» couvrant les régions I et II. Sauriez-vous en proposer?

[bernarddo]

On progresse. Ce n'est pas un sous-sujet quand on parle d'espace-temps, c'est même au coeur du sujet.

Une piste: la topologie. Il est stupéfiant de constater que (presque) aucun cosmologiste académique ne s'intéresse à la topologie !!

[Deedee81]

Salut,

Il est stupéfiant de constater que (presque) aucun cosmologiste académique ne s'intéresse à la topologie !!

Holà, tu t'avances un peu là ! Quand on voit ne fut-ce que les travaux de Levin ou de Luminet dans l'étude du rayonnement fossile, et même les analyses des données de Planck, c'est même douteux.

Tu aurais une référence montrant la proportion (ou des indices dans ce sens) de ceux qui s'y intéressent ? Ou est-ce juste basé sur une fausse impression toute personnelle ?

[Amanuensis]

Certes, mais les figures du genre de https://physics.stackexchange.com/qu...schild-horizon sont faciles à trouver sur le web, et souvent avec des origines universitaires.

La carte d'une portion de la surface terrestre que j'ai fabriquée et la carte d'une portion d'espace-temps qu'est la figure pointée ci-dessus ont effectivement un point commun un peu ennuyeux côté topologie. Et on peut effectivement se demander si c'est bien perçu par les auteurs. (Et si oui, alors pourquoi présentent-ils cette carte?)

[mach3]

Certes, mais les figures du genre de https://physics.stackexchange.com/qu...schild-horizon sont faciles à trouver sur le web, et souvent avec des origines universitaires.

La carte d'une portion de la surface terrestre que j'ai fabriquée et la carte d'une portion d'espace-temps qu'est la figure pointée ci-dessus ont effectivement un point commun un peu ennuyeux côté topologie. Et on peut effectivement se demander si c'est bien perçu par les auteurs. (Et si oui, alors pourquoi présentent-ils cette carte?)

D'un côté, il doit y avoir des auteurs qui connaissent bien le défaut de la représentation (mais elle n'est pour elle qu'un simple diagramme dans lequel les évènements de même valeur de champ scalaire t sont représentés sur une ligne horizontale et les évènements de même valeur de champ scalaire r sont représentés sur une ligne verticale) et qui pensent (surement à tord) que le défaut est évident pour "tout le monde" et n'en parlent donc même pas. Surement minoritaires.
D'un autre côté, il y a ceux qui prennent et diffusent cette représentation sans voir le défaut. Surement majoritaire.
Au milieu il y a ceux qui connaissent le défaut, et qui ne présenteraient pas un tel diagramme sans mettre en garde le lecteur, ou ceux qui s'opposent à l'utilisation d'une telle représentation car trop trompeuse et confusante. Surement rare (mais il y en a ici).

m@ch3

[Deedee81]

Surement rare (mais il y en a ici).

C'est clair qu'il faut éviter de comparer des échantillons de scientifiques (qu'ils soient théoriciens ou "expérimentateurs") avec des échantillons de contributeurs. Il y a un énorme biais

[Amanuensis]

Discuter de pourcentage de personnes est pour moi sans intérêt. [Notons que Mach3 ne parle pas de contributeurs, comme on voudrait le faire croire, mais d'auteurs ; mais ce n'est pas l'origine du «manque d'intérêt».]


Le point est que la représentation que je conteste est très courante, et pas seulement dans des textes de vulgarisation.

Au lieu de discuter de ce qui est plus ou moins un argument d'autorité (combien, et/ou avec quelle «réputation scientifique», présentent ou ne présentent pas cette représentation source de confusion), pourrait-on discuter du fond?

[Amanuensis]

Annulé ...

[Amanuensis]

D'un côté, il doit y avoir des auteurs qui connaissent bien le défaut de la représentation (mais elle n'est pour elle qu'un simple diagramme dans lequel les évènements de même valeur de champ scalaire t sont représentés sur une ligne horizontale et les évènements de même valeur de champ scalaire r sont représentés sur une ligne verticale) et qui pensent (surement à tord) que le défaut est évident pour "tout le monde" et n'en parlent donc même pas. Surement minoritaires.

Pour cette catégorie d'auteur là, on peut se demander pourquoi ils n'adoptent pas l'option consistant à séparer en deux parties, avec deux lignes r=r_s, séparées par un pouille d'espace. Car cela conserve l'alignement des valeurs de champ scalaire tel que décrit, tout en virant la grande majorité des défauts.

[bernarddo]

Salut,



Holà, tu t'avances un peu là ! Quand on voit ne fut-ce que les travaux de Levin ou de Luminet dans l'étude du rayonnement fossile, et même les analyses des données de Planck, c'est même douteux.

Tu aurais une référence montrant la proportion (ou des indices dans ce sens) de ceux qui s'y intéressent ? Ou est-ce juste basé sur une fausse impression toute personnelle ?

Ma formulation ne s’applique pas à toute la littérature sur le sujet, mais n’est en aucune manière fausse. Elle est simplement liée à deux surprises successives.
Ma première surprise fut de ne pas trouver, dans le manuel de Adler, Bazin, Schiffer, (qui représente, (sauf obsolescence qu’on ne manquera pas de me faire connaître), la colonne dorsale de ce qu’on doit avoir intégré pour parler de RG en connaissance de cause, les considérations générales de topologie, celles qui supportent la logique du raisonnement, là où je m’attendais à ce qu’elles me donnent la clé pour comprendre ce qui restait mystérieux pour moi :
Plus précisément, considérant la solution, dite de Schw. (6.53), qui présente deux singularités au rayon « de Sch » : coeff de dr2 infini sur le rayon, et ds2 négatif à l’intérieur, la seule retenue étant la seconde (le terme de singularité étant littéralement utilisé, qui semble nié depuis), aucune explication n’étant donnée autre que la pirouette sémantique sur le genre des courbes, qui n’a aucune conséquence mathématique en soi, notamment pour l’abandon de la singularité sur le rayon.
Sachant, (il est bien connu de tout le monde qu’on est bien embêté pour s’orienter dans l’espace aux pôles sans qu’il y ait de singularité spatiale), que les singularités peuvent résulter du système de coordonnées, ou être intrinsèques, j’aurais aimé trouver des considérations topologiques pour expliciter ce refus d’explication.

Et là, les considérations sur la singularité à l’intérieur du rayon, nous renvoient au chapitre 14, où l’on retrouve la solution intérieure de Schwarzschild !

Comment un panel de physiciens de premier plan peuvent-ils ne pas se dire, que si Sch a établi une solution intérieure, il a formulé d’abord une solution extérieure ? Ce fut peut-être là le malentendu fondamental : la solution extérieure connue était déjà « dite » de Schwarzschild, et elle était en symétrie sphérique centrée.
Les auteurs avaient une excuse, les traductions en anglais de Sch ont été faites ultérieurement, et les seuls travaux antérieurs s’appuyant sur ces travaux furent faites par Oppenheimer Volkov, équation TOV) manifestement utilisés par les rédacteurs du manuel. Il est quand même surprenant que la formule extérieure, rappelée dans ces travaux n’ait pas retenu l’attention d’Oppenheimer.

Mais la seconde surprise, bien plus grande encore, car incompréhensible, est que depuis que ces travaux ont été traduits en anglais, on a, pour la solution extérieure, deux réponses différentes au même problème, c'est une réponse de trop et il faut absolument déterminer celle qui tient la route. Et leur différence fondamentale est que les espaces de plongement sont différents, la topologie y a donc une part fondamentale.

Quand je ne comprends pas, j’expose mon problème à travers la question la plus basique possible : trente ans de pratique de réunions professionnelles m’ont convaincu qu’il n’y a rien de tel pour mettre le bazar dans une réunion d’experts qui avaient tout compris, (ce qui n’est certes pas le but premier), mais qui se révèle le plus efficace pour faire avancer le schmilblic.

D’où a question, basique : pourquoi depuis au moins 30 ans, la question fondamentale, celle de ce choix, qui devrait agiter la communauté des théoriciens, est-elle occultée, en dépit du fait que des travaux universitaires, à mon sens conclusifs, mais de nature à bouleverser la discipline, ont été déjà portés à sa connaissance.

[pm42]

D’où a question, basique : pourquoi depuis au moins 30 ans, la question fondamentale, celle de ce choix, qui devrait agiter la communauté des théoriciens, est-elle occultée, en dépit du fait que des travaux universitaires, à mon sens conclusifs, mais de nature à bouleverser la discipline, ont été déjà portés à sa connaissance.

Parce qu'il y a un complot dirigé contre toi par :
- la CIA
- les Illuminati
- Les francs-maçons
- ta concierge
- la communauté scientifique pour cacher les vraies avancées notamment la théorie de la Grande Unification finalisée par Einstein qui a donné lieu à l'Expérience de Philadelphie

Note que ce n'est pas exclusif mais barre les mentions inutiles, fait la somme des valeurs Ascii des lettres restantes et tu devrais trouver 42. Coincidence ? Je ne crois pas.

[Amanuensis]

pour la solution extérieure, deux réponses différentes au même problème, c'est une réponse de trop et il faut absolument déterminer celle qui tient la route.

De quelles deux solutions extérieures parlez-vous?

Et leur différence fondamentale est que les espaces de plongement sont différents

De quels espaces de plongement parlez-vous?

[Sans réponses claires à ces questions, tout votre texte est difficile à juger, et peut porter le flanc à des sarcasmes qu'il y aura toujours quelqu'un prêt, par pur plaisir malsain, à exprimer.]

[mach3]

Ma première surprise fut de ne pas trouver, dans le manuel de Adler, Bazin, Schiffer, (qui représente, (sauf obsolescence qu’on ne manquera pas de me faire connaître), la colonne dorsale de ce qu’on doit avoir intégré pour parler de RG en connaissance de cause, les considérations générales de topologie, celles qui supportent la logique du raisonnement

edition 1965 ou 1975? 60-70 c'est les décennies où ça a pas mal bougé, où beaucoup de choses ont été mieux comprises.

m@ch3

[bernarddo]

Rebonjour:

Deux questionnements méritent réponse :

Celui de mach3 : l’édition est la seconde, celle de 1975, les travaux de Kerr ou de Kruskal y sont d’ailleurs inclus.

Celui d’Amanuensis: elle mérite plus de développement:

La solution « classique », dite de Schwarzschild est celle rappelée par wikipédia dans son article « Métrique de Schw… »

On remarque trois choses clairement exprimées :

1 : l’hypothèse de base qui sous-tend le calcul est la symétrie sphérique, qui admet des zones d’espace non contractiles (pourvu que ces zones respectent cette symétrie sphérique), alors que le résultat s’exprime en coordonnées sphériques, celles de l’espace R4 à symétrie centrale, qui lui ne les admet pas), celui dans lequel on a plongé l’espace-temps et donc de façon discutable par rapport à l’hypothèse du calcul.

2 : la singularité mathématique sur le rayon est reconnue, puis annoncée obsolète car il existerait la démonstration que c’est une singularité de coordonnées qui ne figure pas dans la démonstration et que je n’ai vue nule part dans le manuel (et c’est bien dommage, mais cela m’a sûrement échappé et vous allez me la faire connaître).

3 : la singularité qui résulte du ds2 négatif à l’intérieur du rayon est, elle, carrément zappée. Et physiquement ce n’est pas anodin : elle implique l’existence dans l'espace réel de longueurs imaginaires. Et c’est bien ce que je refuse au post # 25, les mots (surtout quand ils appartiennent au vocabulaire mathématique) doivent avoir un sens, et aucune interprétation au monde ne pourra changer quelque chose d’imaginaire en réel (et inversement).

Voyons maintenant la solution extérieure, celle réellement de Schwarzschild. Wikipédia, en français en plus, nous la propose directement en VO en allemand puis en version anglaise.
Allant directement au résultat, on constate que la formulation est identique, r étant remplacé par R, mais que ce R diffère de r (la coordonnée radiale), et qu’il ne peut être inférieur au rayon Rs.
En suivant le calcul qui est court et clair et réduit à l'essentiel, on constate que la nouveauté de ce résultat est obtenue en introduisant une condition de continuité physique (qui n'existe pas ailleurs) pour toutes les trajectoires, expliquée par KS qui ramène au centre des coordonnées polaires la singularité mathématique en dr2 observée pour r = Rs, ce qui pourrait se justifier physiquement par le fait que le point-masse placé en ce point possède par hypothèse une singularité physique (de densité). Tel semble au moins être l'avis du brave Karl!
A noter que le résultat ne dépend que de la masse d l'étoile, ce qui lui permet de revendiquer l'unicité de la solution.
On a donc un espace non contractile, qui conserve la symétrie spatiale sphérique, mais élimine le domaine à ds2 négatif. Les trous noirs n’ont plus d’intérieur !!

[mach3]

La solution « classique », dite de Schwarzschild est celle rappelée par wikipédia dans son article « Métrique de Schw… »

Voyons maintenant la solution extérieure, celle réellement de Schwarzschild. Wikipédia, en français en plus, nous la propose directement en VO en allemand puis en version anglaise.

ce serait bien de mettre les liens, voir de reproduire ici les extraits, ça sera plus clair pour tout le monde...

3 : la singularité qui résulte du ds2 négatif à l’intérieur du rayon est, elle, carrément zappée. Et physiquement ce n’est pas anodin : elle implique l’existence dans l'espace réel de longueurs imaginaires. Et c’est bien ce que je refuse au post # 25, les mots (surtout quand ils appartiennent au vocabulaire mathématique) doivent avoir un sens, et aucune interprétation au monde ne pourra changer quelque chose d’imaginaire en réel (et inversement).

que penser alors de la métrique que je propose au message 31? implique-t-elle des longueurs imaginaires suivant si x est supérieur à 1 ou non? si vous aviez fait un peu d'effort pour voir quelle géométrie elle décrit, vous sauriez que c'est absurde... Par ailleurs il a déjà été dit :

il n'y a pourtant pas à chercher à se compliquer la vie avec les imaginaires.

On a d'un coté des formes bilinéaires symétriques définies positives g(.,.), qui quand on leur donne deux fois le même vecteur u à manger, recrachent un nombre positif g(u,u) (ou nul, si et seulement si on lui donne le vecteur nul) qu'on identifie comme étant le carré de la norme du vecteur. Un espace vectoriel doté d'une telle forme est un espace euclidien. Une variété muni d'un champ de telles formes est une variété Riemannienne. Une telle forme s'appelle une métrique.

On a d'un autre coté des formes bilinéaires symétriques indéfinies g(.,.), qui quand on leur donne deux fois le même vecteur à manger, recrachent un nombre positif, nul ou négatif, g(u,u). On ne peut pas identifier directement ce nombre comme étant le carré d'une norme de vecteur, parce qu'une norme de vecteur c'est un réel positif et que le carré d'un réel positif est positif. C'est simplement une erreur de considérer que la racine de ce nombre est la norme d'un vecteur. C'est l'application aveugle d'une règle qui marche pour une métrique dans un espace euclidien ou une variété Riemannienne. Or ici, il ne s'agit pas d'une métrique, ni d'un espace euclidien ni d'une variété Riemannienne, malgré les appellations fréquentes "pseudo-métrique", "espace pseudo-euclidien" ou "variété pseudo-riemannienne". Il s'agit de formes quadratiques, d'espaces de Minkowski ou de variétés lorentziennes.
Il y a dans ce cas 3 genres de vecteurs : ceux de genre espace, ceux de genre nul et ceux de genre temps. Pour trouver leur norme, il faut prendre la valeur absolue de g(u,u), puis extraire sa racine carré. Pour le genre espace, la norme sera une longueur, positive, pour le genre nul, la norme sera nulle et pour le genre temps, la norme sera une durée, positive. On notera que cette procédure est indépendante du choix de la signature de la "métrique"* ( ou ) qui est choisie arbitrairement.

* qui en toute rigueur n'est pas une métrique. "métrique de Minkowski", "métrique de Schwarzschild", "métrique de Kerr", etc, tout ça ce sont des abus de langages. En mathématiques une métrique est définie positive, si ce n'est pas défini positif, c'est autre chose.

mais bon, apparemment, ça ne rentre pas...

m@ch3

[Amanuensis]

ntenant la solution extérieure, celle réellement de Schwarzschild. Wikipédia, en français en plus, nous la propose directement en VO en allemand puis en version anglaise.
Allant directement au résultat, on constate que la formulation est identique, r étant remplacé par R, mais que ce R diffère de r (la coordonnée radiale), et qu’il ne peut être inférieur au rayon Rs.

Oui, et alors?

La notion de "la coordonnée radiale" n'a pas sens, i.e., il n'y en a pas qu'une. Toute coordonnée ρ fonction monotone de R, et telle que ρ/R tend vers 1 quand elles tendent vers l'infini est acceptable pour être une coordonnée radiale. Le choix est libre, et la coordonnée r de Schw. a simplement été considérée comme un mauvais candidat, comparé à R. Deux raisons à cela:

1) La métrique exprimée en (t, R), c'est à dire à la fois la métrique proposée par Schwarzschild et celle qui est retenue par la communauté, et présentée partout, est d'une expression simple :

2) R a une signification physique forte, elle est telle que l'aire propre de la surface de la sphère spatiale de coordonnée R est égale à 4πR² (et non à 4πr²).

Le point important est que la notion d'aire (propre) d'une sphère spatiale est parfaitement définie, alors que la notion de rayon ne l'est pas. Et rappelons que dans un espace courbe, il n'y a aucune nécessité, contrairement au cas euclidien, que l'aire de la sphère soit égale à 4π fois le carré de son rayon (ce peut être plus petit ou plus grand).

Clairement le terme "rayon de Schwarzschild", consacré par l'usage, est trompeur. La notion de longueur d'un rayon «partant du centre» n'a pas de sens dans cette géométrie. C'est quelque chose que K. Scharzschild ne pouvait pas savoir a priori, c'est une conséquence qu'on découvre en analysant la géométrie obtenue.

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Par ailleurs, utiliser le r de Schwarzschild amène des difficultés dès qu'on cherche à comprendre ce qu'il se passe pour R<r_s. La formule R³ = r³+r_s³ amène à r³ négatif, ce qui est difficile à interpréter. L'analyse correcte de la géométrie, amène simplement à la conclusion qu'on ne peut pas parler de «distance au centre» si R<r_s. Ce n'est un problème que pour ceux qui interprètent (à tort) le centre (là où R tend vers 0) comme un «lieu». En fait c'est un futur, et ce que représente la coordonnée R quand R<r_s est une durée, en relation avec la durée avant d'atteindre la singularité: atteindre R=0 est bien atteindre la singularité, mais c'est mesuré par R non pas en terme de distance à parcourir, mais en termes de durée de parcours.

Les problèmes de signe se résolvent alors tous seuls: si le carré d'un longueur est positif, alors le carré d'une durée est négatif en géométrie Minkowskienne. Il n'y a pas de «longueur imaginaire», mais un signe qui distingue longueurs et durées. Le changement de signe d'un dt² indique un changement de genre, pas un usage d'une valeur imaginaire d'interprétation physique difficile.

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En conclusion, non, il n'y a pas une «version originale» de K. Schwarzschild et une autre approche postérieure et différente, il n'y en a qu'une, qui est bien dans l'article de Karl Schw. Le passage par une autre coordonnée radiale (r) était simplement une étape de la construction de la solution, une sorte d'étais, dont on s'est débarrassé une fois la solution comprise, après constat que ce "r" n'amenait rien d'intéressant par rapport à la coordonnée R.

[Amanuensis]

2 : la singularité mathématique sur le rayon est reconnue, puis annoncée obsolète car il existerait la démonstration que c’est une singularité de coordonnées qui ne figure pas dans la démonstration et que je n’ai vue nule part dans le manuel (et c’est bien dommage, mais cela m’a sûrement échappé et vous allez me la faire connaître).

Faut déjà s'entendre par ce qu'on appelle «singularité de coordonnée». Si on prend les coordonnées de Schw. (t, r), avec maintenant le r qui est écrit R dans l'article de Schw., prendre r dans ]r_s, infini[ ne fait pas de r=r_s une singularité, puisque cette valeur n'est pas dans le domaine de définition. (Pas plus que r=infini n'est une singularité de coordonnée!)

Ce n'est que si on veut inclure r=r_s comme coordonnée valide que se pose le problème de l'absence de définition de la métrique exprimée en coordonnées de Schw.

Démontrer que r=r_s pose problème peut se faire de différentes manières. La plus directe est simplement de trouver un changement de coordonnées valide sur le domaine couvert par les coordonnées de Schw., et montrer que la métrique a alors une limite parfaitement définie quand r tend r_s. Il y a plein d'exemples, mon choix préféré est Kruskal Szekeres.

Mais il y a une raison bien plus forte, indépendante de la métrique, pour considérer que r=r_s est une singularité de coordonnée. Pour cela il faut examiner d'autres cas de singularité de coordonnée, ce qu'on peut faire avec des cas plus simples que l'espace-temps.

Un premier exemple est simplement les coordonnées polaires du plan (r, θ). r=0 est une singularité de coordonnée, simplement parce que (0, θ), θ variable, représente un unique point. Si on prend les coordonnées (r,θ) avec r dans R+* et θ dans ]0, 2π[, l'image du domaine est le plan moins une demi-ligne fermée, et les coordonnées sont bien un homéomorphisme entre le domaine de définition et l'image de ce domaine. Par contre si on inclut r=0, ce n'est plus le cas (par non unicité de l'image réciproque du point central). Plus subtil, si on inclut θ=0 sans inclure r=0, ce n'est pas non plus un homéomorphisme parce que le domaine de définition n'est pas un ouvert de R^2 alors que son image (le plan moins le centre) l'est.

Le deuxième exemple est celui des pôles dans une projection de Mercator ou modifiée comme la projection de Miller. Un pôle, simple point sur la sphère, est alors représenté par (est l'image de) une ligne si on inclut les latitudes extrêmes. Là encore, cette inclusion fait qu'on n'a plus homéomorphisme entre le domaine de définition et son image.

Si on inclut la ligne représentant le pôle nord dans l'intérieur de la carte (et non en limite), ce que j'ai fait dans la carte présentée il y a quelques jours, alors prendre une carte qui n'est pas un homéomorphisme a des tas d'effets curieux, comme le fait qu'une ligne dérivable traversant la «ligne du pôle» n'est pas dérivable sur la sphère (comme ce n'est pas un homéomorphisme, ce n'est pas un difféomorphisme non plus...).

Et c'est exactement ce qu'on obtient quand on inclut r=r_s dans des «coordonnées de Schwarzschild». Si les domaines de (t, r) Rx]r_s, infini[ et Rx]0, r_s[ amènent bien à des difféomorphismes (resp. extérieur et intérieur), ce n'est pas le cas du domaine joint RxR+*. La ligne r=r_s a la même propriété que la ligne représentant le pôle dans la carte que j'ai présentée: elle représente un unique point. C'est parfaitement visible en coordonnées de Kruskal. C'est donc une singularité de coordonnée au sens classique (sans s'occuper de métrique), c'est juste une correspondance qu'on ne peut pas inclure si on impose un homéomorphisme. Comme le centre en coordonnées polaires, ou les pôles en Mercator.

3 : la singularité qui résulte du ds2 négatif à l’intérieur du rayon est, elle, carrément zappée.

Ben oui, puisqu'il n'y a pas de telle singularité!

[mach3]

La métrique avec "r" au lieu de "R" dans le papier de Schwarzschild s'écrit, sauf erreur :



Je ne vois pas de changement qualitatif (si ce n'est au niveau de l'esthétique ou de la commodité) par rapport à l'écriture en grand R (celle qu'on trouve aujourd'hui partout avec un petit r). r prend, a priori, une valeur allant de -alpha à +infini (de par la définition de R en fonction de r). Si r=0, on a la même singularité de coordonnées que lorsque R=rs. Si r<0, t devient de genre espace et r de genre temps, tout comme t devient de genre espace et R de genre temps quand R=rs.
On peut être tenté d'opposer le fait que r ne pourrait pas être négatif (en commettant la bévue de se croire encore dans l'espace euclidien...), mais ce n'est pas différent de dire que R ne pourrait pas être inférieur à rs. L'argument n'a pas plus de poids, et on trouvera les mêmes arguments pour, au contraire, plaider pour une extension vers r<0 que ceux qu'on trouve pour une extension vers R<rs.
On ne fait que décaler le "problème".

m@ch3

[Archi3]

La ligne r=r_s a la même propriété que la ligne représentant le pôle dans la carte que j'ai présentée: elle représente un unique point. C'est parfaitement visible en coordonnées de Kruskal. C'est donc une singularité de coordonnée au sens classique (sans s'occuper de métrique), c'est juste une correspondance qu'on ne peut pas inclure si on impose un homéomorphisme. Comme le centre en coordonnées polaires, ou les pôles en Mercator.

et inversement, les évènements correspondants au croisement des observateurs en chute avec l'horizon ne figurent pas dans le diagramme (la ligne correspondante est un point à l'infini).

[Amanuensis]

Je ne vois pas de changement qualitatif

Il y a une différence, la possibilité de considérer que l'extension en r<0 peut se faire continument, comme en euclidien, en considérant que (t, -r) est le même événement que (t, r).

[mach3]

Il y a une différence, la possibilité de considérer que l'extension en r<0 peut se faire continument, comme en euclidien, en considérant que (t, -r) est le même événement que (t, r).

Ca me gène parce que les coefficients de la métrique ne seront pas les mêmes en (t,r) et en (t,-r), donc ça ne devrait pas pouvoir être les mêmes évènements. Cela dit, ce qui précède suppose que la métrique possède la même expression en r>0 et r<0. La même question se pose cependant à l'identique avec R : la métrique possède-t-elle forcément la même expression en R>rs et R<rs. Et en répondant à l'une, on répond pareillement à l'autre.

m@ch3

[Amanuensis]

Ca me gène parce que les coefficients de la métrique ne seront pas les mêmes en (t,r) et en (t,-r), donc ça ne devrait pas pouvoir être les mêmes évènements. Cela dit, ce qui précède suppose que la métrique possède la même expression en r>0 et r<0.

On demande juste un isomorphisme entre la région I et la région III. Et on sait que cela existe. Il faut accepter que les coordonnées KrSz exhibe effectivement une coordonnée qui peut être considérée comme radiale et qui vaut 0 à la frontière entre les régions I et III. Ce n'est pas le r de l'article original de Karl Schw, mais de nombreux arguments plus ou moins valides avec ce r s'appliquent à X.

La même question se pose cependant à l'identique avec R : la métrique possède-t-elle forcément la même expression en R>rs et R<rs. Et en répondant à l'une, on répond pareillement à l'autre.

Non. Là encore, on sait très bien que la région III ne correspond pas à R<rs, mais (par exemple) à -R <-rs. La différence est la continuité de la coordonnée à la frontière I/III.

L'approche de Barnarddo est intéressante, et ne peut pas être rejetée par des arguments simples.

Je le sais, j'ai regardé cela il y a quelques années.

[Par ailleurs, il y a plein de métriques «de même forme» pour R<r_s et R>r_s. Y compris la «formule» de Schwarschild.]

[mach3]

On demande juste un isomorphisme entre la région I et la région III. Et on sait que cela existe. Il faut accepter que les coordonnées KrSz exhibe effectivement une coordonnée qui peut être considérée comme radiale et qui vaut 0 à la frontière entre les régions I et III. Ce n'est pas le r de l'article original de Karl Schw, mais de nombreux arguments plus ou moins valides avec ce r s'appliquent à X.

alors dans ce cas, ce ne doit pas être ce champs scalaire "r" (*) qu'il faut considérer, car ce "r" là nous amène dans la région II quand il est négatif (si r<0, r est de genre temps et t de genre espace). Un champ scalaire de type , avec en plus une transformation qui amène rs et -rs sur 0 conviendrait mieux pour passer de I à III non?

* : celui du papier de Schwarzschild, tel que avec l'aire propre d'une sphère de R constant

m@ch3

[bernarddo]

Oui, et alors?

La notion de "la coordonnée radiale" n'a pas sens, i.e., il n'y en a pas qu'une. Toute coordonnée ρ fonction monotone de R, et telle que ρ/R tend vers 1 quand elles tendent vers l'infini est acceptable pour être une coordonnée radiale. Le choix est libre, et la coordonnée r de Schw. a simplement été considérée comme un mauvais candidat, comparé à R. Deux raisons à cela:

1) La métrique exprimée en (t, R), c'est à dire à la fois la métrique proposée par Schwarzschild et celle qui est retenue par la communauté, et présentée partout, est d'une expression simple :

2) R a une signification physique forte, elle est telle que l'aire propre de la surface de la sphère spatiale de coordonnée R est égale à 4πR² (et non à 4πr²).

Il me semble que votre lecture sur Wikipédia n’a pas été suffisamment attentive (comme d’ailleurs celle de mach 3)
Lorsque, en raison 1, vous indiquez que la métrique en r (celle de Wikipédia) et celle en R (celle de Schwarzschild, que je vais appeler Karl pour gagner du temps de frappe) sont d’une expression simple, vous les réunissez de fait dans une seule qui serait retenue par la communauté. Donc, il n’y a plus de problème et mach3 a raison de dire dans son post #84 qu’il n’y a pas de différence.
Dans cette hypothèse, votre raison 2 devient un truisme, car la signification physique forte de R est la même que celle de r, chacun sachant depuis longtemps que la surface d’une sphère ne dépend pas de la graphie de son rayon !

La lecture a manqué d’attention deux fois :
1 - D’abord sur l’expression de la métrique (attribuée à) de Karl, celle en r (petit r) rappelée directement dans l’article Wiki :
Personnellement j’y lis :
r est la coordonnée radiale du point (mesurée comme la circonférence, divisée par 2π, de la sphère centrée sur l'objet massif et passant par le point),
Nous sommes dans un système de coordonnées polaires centré qui est cohérent avec l’hypothèse de symétrie sphérique dans lequel il est nécessaire de se placer pour justifier les simplifications utilisées dans la construction de la métrique.

Et cela va à l’encontre de votre affirmation initiale que « la coordonnée radiale » n’a pas de sens » parce qu’elle est imposée par la symétrie sphérique

Remarquons au passage que l’hypothèse de l’espace à symétrie sphérique est différent d’un espace à symétrie sphérique centrée, (lequel exclut tout défaut de continuité de trajectoire dans cet espace, y compris pour celles passant par le point origine), et si elle implique la notion de coordonnée radiale, elle n’impose pas la notion de coordonnée polaire.
2 – Ensuite sur la lecture de la métrique de Karl :
Deux lignes sont utiles pour apprécier la différence entre r et R:
la première, celle de la définition de r, qu’il présente en coordonnées cartésiennes, mais simplement pour constater qu’elle est celle d’un rayon identifiable au r précédent en coordonnées polaires.
def de r.JPG

Ensuite la lecture de la métrique elle même

def R.JPG

A côté de la formule, que vous jugez à juste titre d’expression simple, et après la virgule, il y a la relation entre r et R qui les distingue définitivement, et dont vous ne pipez mot.
Et c’est là toute la différence avec la métrique précédente en r :
Quand r est plus petit que alpha, R devient négatif.
Ce n’est d’ailleurs pas grave pour Karl, car quand r = r_s, on est sur le bord intérieur de l’espace, et la symétrie sphérique est conservée. Simplement il n’y a plus d’espace à l’intérieur pour r.
On a deux solutions vraiment différentes, pour le même problème.
On ne peut aller plus loin sans démontrer laquelle est la bonne.

C’est un coup de chance, cela nous ramène 100 ans en arrière, ça me ferait du bien de rajeunir un peu !