Univers fini et homogénéité...

[yves95210]

Oups, merci, donc je mettais l'isotropie dans la même case qu'homogénéité, ok.

Salut,

Il y a quand-même un lien entre les deux : dès qu'un espace homogène est isotrope en un point, il est isotrope en tout point. Et réciproquement, un espace isotrope en tout point est homogène.
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[Amanuensis]

Et réciproquement, un espace isotrope en tout point est homogène.

Hmm... Faut faire attention aux définitions précises, là.

Par exemple, si on définit isotropie comme une isotropie spatiale purement locale, dire que la métrique en tout événement est localement Minkowskienne implique une isotropie spatiale locale pour l'espace défini par les coordonnées telles que la métrique est Minkowski (cette métrique ne favorise aucune direction spatiale). Avec une telle définition, tout espace-temps est localement isotrope pour au moins un référentiel en un événement donné, alors que l'homogénéité est exceptionnelle.

(Et c'est cette notion d'isotropie qui intervient quand on dit que les lois physiques ne dépendent pas de l'orientation (l'homogénéité parlant d'indépendance par rapport à la «position» spatio-temporelle de l'événement).)

[Mais si on parle d'isotropie «globale», une symétrie par rotation de tout l'espace-temps, c'est différent.]

[Amanuensis]

Désolé d'avoir écrit des choses complètement fausses et d'avoir ainsi contribué à égarer la discussion dans le n'importe quoi.

Ce n'est pas complètement faux, et pas n'importe quoi. Mon «problème» est que la notion de variété topologique «fermée» (variété compacte sans bord) n'est pas facile à définir, et que le mot «fini» est très ambigu.

Si on pouvait définir «compacte» par «on revient toujours à un même point», cela simplifierait pas mal la terminologie, et donc la clarté des discussions. Malheureusement ce n'est pas le cas. La compacité est bien liée plus ou moins à une idée proche, par exemple à «revenir tôt ou tard "pas très loin" d'un point passé dans le temps mais donc "on s'est éloigné" entretemps», difficile à la fois à mathématiser simplement et à vulgariser.

Et la relation avec une «finitude» est difficile si on ne commence pas par définir les notions purement topologiques correctement. («fini» ne peut s'appliquer qu'à des mesures, et demande une notion permettant de parler de mesure, comme une métrique ou une notion de volume).

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Précisons: ma réflexion de base porte sur l'aspect répétitif de ce genre de discussion, y compris d'ambigüités de terminologie. La solution serait une entrée de FAQ, à laquelle référer dès qu'un nouveau venu aborde le sujet. Mais pour faire cela, faudrait d'abord clarifier parfaitement de quoi il est sujet. Or les termes «fini» et «infini» ne sont pas clairs, «sans bord» est utilisé bizarrement (pas exactement au sens mathématique), la notion même d'espace pose problème, etc. Bref, il y a une première phase de défrichage, de «rigorisation» du sujet qui est rarement démarrée, et jamais aboutie, dans les répétitives discussions sur le sujet.

[yves95210]

Hmm... Faut faire attention aux définitions précises, là.

Oui. Je me rappelais avoir lu ça dans le cours de RG de Gourgoulhon (section 7.2.1), mais effectivement il aurait mieux valu que je cite le texte complet, où l'auteur prend bien soin de définir ce qu'est l'isotropie en un point:

Un espace (E , g) est dit isotrope en un point P ∈ E ssi étant donnés deux vecteurs quelconques en P : v ∈ T_P (E ) et w ∈ T_P (E ), il existe une isométrie qui laisse P invariant et qui transforme v en un vecteur colinéaire à w.

Est-ce que ça va mieux comme ça ?

Et c'est cette notion d'isotropie qui intervient quand on dit que les lois physiques ne dépendent pas de l'orientation (l'homogénéité parlant d'indépendance par rapport à la «position» spatio-temporelle de l'événement).

En l'occurrence, à propos de l'univers (en expansion), il ne s'agit que d'une homogénéité spatiale, et non spatio-temporelle.

[Amanuensis]

Est-ce que ça va mieux comme ça ?

Un peu mieux. Et il me semble que c'est l'isotropie locale, et donc qui ne devrait pas impliquer «isotropie partout => homogénéité».

[Le problème est si l'isométrie en question est locale ou globale, i.e., si la conservation du produit scalaire concerne seulement Tp(E) ou tout le fibré vectoriel et/ou les durées et longueurs de lignes... Mais l'expression indiquée se limite bien, à première vue, à un point unique.]

En l'occurrence, à propos de l'univers (en expansion), il ne s'agit que d'une homogénéité spatiale, et non spatio-temporelle.

Oui, et même mieux, cela ne concerne que l'espace défini par des coordonnés comobiles. (Et donc suppose qu'un tel système de coordonnées soit bien défini, ce qui est le cas pour le modèle mathématique abstrait mais pas pour l'Univers tel qu'observé.)

[yves95210]

Un peu mieux. Et il me semble que c'est l'isotropie locale, et donc qui ne devrait pas impliquer «isotropie partout => homogénéité».

[Le problème est si l'isométrie en question est locale ou globale, i.e., si la conservation du produit scalaire concerne seulement Tp(E) ou tout le fibré vectoriel et/ou les durées et longueurs de lignes... Mais l'expression indiquée se limite bien, à première vue, à un point unique.]

Aïe... Gourgoulhon aurait-il tort ? Il ne démontre pas ce point (isotropie partout => homogénéité) dans son cours, et je n'ai pas fait l'effort de chercher ailleurs (j'aurais peut-être été capable de répondre moi-même à la question il y a 40 ans, mais il y a trop longtemps que je n'ai pas fait de maths sérieusement...).

Oui, et même mieux, cela ne concerne que l'espace défini par des coordonnés comobiles. (Et donc suppose qu'un tel système de coordonnées soit bien défini, ce qui est le cas pour le modèle mathématique abstrait mais pas pour l'Univers tel qu'observé.)

Oui, bien sûr. Mais c'est habituellement dans le cadre d'un tel modèle qu'on se place quand on parle de cosmologie... (ce qu'il est possible de remettre en question compte-tenu de l'échelle à partir de laquelle l'univers commence effectivement à paraître homogène, mais c'est un autre débat)

[Amanuensis]

Aïe... Gourgoulhon aurait-il tort ?

Ce serait étonnant. L'isométrie en question doit donc être globale (respect des durées et des longueurs pour toute ligne). Une propriété exceptionnelle, rencontrée seulement pour des modèles abstraits...

Oui, bien sûr.

Ce serait bien si c'était «bien sûr» pour tous ceux qui écrivent sur le sujet (et aussi pour tous les lecteurs sans qu'on ait besoin d'indiquer les conditions d'application...).

[pm42]

ce qu'il est possible de remettre en question compte-tenu de l'échelle à partir de laquelle l'univers commence effectivement à paraître homogène, mais c'est un autre débat

A ce propos, de quelle échelle parle t-on ?
Je pense notamment aux grands vides comme celui du Bouvier qui imposent des contraintes sur la dite échelle non ?

[yves95210]

A ce propos, de quelle échelle parle t-on ?
Je pense notamment aux grands vides comme celui du Bouvier qui imposent des contraintes sur la dite échelle non ?

Plusieurs centaines de Mpc, disons de l'ordre du milliard d'années-lumière. Donc loin d'être négligeable par rapport au rayon de l'univers observable...

[Pio2001]

Ce n'est pas complètement faux, et pas n'importe quoi. Mon «problème» est que la notion de variété topologique «fermée» (variété compacte sans bord) n'est pas facile à définir, et que le mot «fini» est très ambigu.

Merci pour la mise au point