Coordonnées de Kruskal-Szekeres

[Mailou75]

Salut,

C'est surtout vide de sens si on ne précise pas le référentiel (un système de coordonnées, plus rigoureusement) (1). La notion de vitesse est relative à un référentiel, et ne peut pas être employée en absolu comme dans ces phrases.

Je dirais bien le réferentiel de celui qui chute mais je t'entends deja dire que dans ce referentiel il n'a pas de vitesse... Dans ce cas c'est la vitesse de l'espace qui defile, dans son referentiel.
Disons qu'il y a une route qui mène au trou noir et que le voyageur est en voiture. La vitesse dont je parle sera celle qu'indique son compteur. Si il sort sa main et touche la route il en sera convaincu!
Ce qu'on pourrait objecter c'est que si cette route existe alors elle est composée de petits troncons avec des moteurs qui accelerent pour pouvoir rester sur place. On est alors en train de definir une vitesse par rapport a des objets accelerés... c'est un peu ce que montre KS il me semble

(1) Et il n'y a aucun système de coordonnées relativement auquel le passage se fait à c !!! Soit on a un système de coordonnées (une carte) couvrant le passage (cas des coordonnées de KS), et le passage est à vitesse <c pour cette carte ; soit la carte ne représente pas le passage (cas des coordonnées de Schw.), et on peut à la rigueur parler d'une vitesse tendant vers c, mais pas de la vitesse au passage.

Tout d'abord je ne suis pas entierement d'accord avec cette "continuité" que tu accordes à KS, parce que tant que le repere ne sert qu'à transposer les r et t de Schw alors le passage de Rs reste indéfini. L'intersection de Rs et t=oo devient la droite complete de l'horizon. A moins qu'il n'existe de formule donnant directement une trajectoire de chute libre dans KS cad X et T définis pour le passage ?

Ce que tu appelles coordonnées de Schw (la courbe verte t en fonction de r) est obtenue en partant de la bleue, une trajectoire de chute libre "classique" à laquelle on a appliqué deux deformations : RG pour la masse et RR pour la vitesse. Et la dessus je n'ai aucun doute puisque la premiere fois que j'ai tracé ces courbes (justes) c'etait sans formule, à la mano.. Donc cette trajectoire "referente" est elle meme issue d'autre chose, la trajectoire bleue, la vitesse de la bagnole, celle qui ne vaudra c en Rs que si tu es parti de l'infini, sinon (z+1)c

Peut etre serait il interessant de trouver quel est le systeme de coordonnees approprié à la trajectoire bleue pour laquelle le passage est parfaitement defini?

Merci
Mailou
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[Mailou75]

PS : Je ne crois pas qu'il soit possible de définir de vitesse chez KS en tant qu'angle que formerait une trajectoire avec la vitesse de la lumiere (droite a 45°). Simplement parce que suivant le zero choisi pour t' la trajectoire donnerait des angles differents tout le temps. On pourrait meme trouver des vitesses negatives, en fixant le depart sur l'axe X par exemple, la trajectoire commence par suivre une hyperbole et donc avoir une vitesse négative ! Si c'est pour y lire les coordonnées r et t on est aussi bien chez Schw

Sinon je me suis rendu compte en relisant un vieil echange que tu avais dejà utilisé le terme de "loupe". Mais j'avais du le lire sans comprendre.. je te rend donc ce qui t'appartient.

[Amanuensis]

Je dirais bien le réferentiel de celui qui chute mais je t'entends deja dire que dans ce referentiel il n'a pas de vitesse...

!!

Dans ce cas c'est la vitesse de l'espace qui defile, dans son referentiel.

Il n'y a pas "d'espace" à un sens absolu. Et "son" référentiel définit l'espace (un espace). Pour parler d'espace en mouvement, d'un autre espace, faut un autre référentiel. Et si la vitesse d'un observateur est nulle dans un référentiel A (par exemple un référentiel de chute libre), alors la vitesse d'un référentiel B ("de l'espace", défini par B) est simplement la vitesse de l'observateur relativement à B (à quelques "détails" près, dont le signe).

La notion de vitesse relative entre deux référentiels, en un même événement, est bien définie (et a une valeur dans l'un et une autre dans l'autre).

Disons qu'il y a une route qui mène au trou noir et que le voyageur est en voiture. La vitesse dont je parle sera celle qu'indique son compteur. Si il sort sa main et touche la route il en sera convaincu!

Non. C'est une vision héritée de l'expérience commune, mais même dans ce cas c'est bien une vitesse relative à un autre référentiel, le terrestre. On ne sent pas "avec la main" la vitesse par rapport au référentiel héliocentrique (30 km/s, plus de trente fois une vitesse de projectile d'arme à feu, vaut mieux pas le sentir "avec la main").

Ce qu'on pourrait objecter c'est que si cette route existe alors elle est composée de petits troncons avec des moteurs qui accelerent pour pouvoir rester sur place. On est alors en train de definir une vitesse par rapport a des objets accelerés... c'est un peu ce que montre KS il me semble

Oui, le référentiel de KS est "accéléré", ce n'est pas un référentiel de chute libre. Le référentiel de Schwarzschild en région I est aussi un référentiel accéléré, et on peut tout aussi bien dire que la vitesse en coordonnées de Schw est une vitesse par rapport à des objets accélérés.

Notons que même dans un référentiel de chute libre A, il y a des mouvements de chute libre qui n'ont pas une vitesse nulle. Pour ces mouvements, "l'espace" (de A) a une vitesse non nulle par rapport à un autre référentiel B de chute libre où l'observateur en chute aurait une vitesse nulle.

Tout d'abord je ne suis pas entierement d'accord avec cette "continuité" que tu accordes à KS, parce que tant que le repere ne sert qu'à transposer les r et t de Schw alors le passage de Rs reste indéfini. L'intersection de Rs et t=oo devient la droite complete de l'horizon.

C'est inverser les choses. D'une certaine manière la carte de KS est la "bonne", car elle montre tout l'espace-temps. La carte de Schw. pour l'extérieur sert à transposer en des coordonnées proches de celle de la mécanique de Newton, et cela n'est réussi que pour r>>Rs. Pour les r "petits" c'est un peu n'importe quoi, et en particulier les passages de l'horizon se retrouvent "en limite de carte", en (t, r) tendant vers (Rs, infini) sans les atteindre.

A moins qu'il n'existe de formule donnant directement une trajectoire de chute libre dans KS cad X et T définis pour le passage ?

Bien sûr que ça existe! C'est même ce qui est dessiné correctement en rouge dans la représentation message #47.

Ce n'est pas parce qu'il n'y a pas de manière simple de l'écrire qu'elle "n'existe" pas.

Je ne comprends pas trop le point de vue, là, je dois dire.

Ce que tu appelles coordonnées de Schw (la courbe verte t en fonction de r) est obtenue en partant de la bleue, une trajectoire de chute libre "classique" à laquelle on a appliqué deux deformations : RG pour la masse et RR pour la vitesse.

??? Ce n'est pas une bonne manière de voir les choses. On n'a pas besoin de "partir du classique". Une chute libre a une définition physique et mathématique générale en RG. Par exemple un mouvement "comobile" dans un espace-temps modélisant l'univers en expansion est une chute libre, et on ne la comprendra pas, ni ne la dessinera, en "partant du classique".

Les coordonnées de Schw. approximent le classique pour r>>Rs, et on s'attend que les mouvements de chute libre se présentent approximativement pareil. Mais ce n'est pas valable pour r petit, et il ne faut pas voit alors une "déformation du cas classique". Cette vision ne peut que foirer totalement pour continuer la chute libre vers la singularité.

Peut etre serait il interessant de trouver quel est le systeme de coordonnees approprié à la trajectoire bleue pour laquelle le passage est parfaitement defini?

Il y en plein (Novikov, Eddigton-Finkelstein, ...). Et les KS en font partie!

Notons que ce qui fait que les coordonnées de Schw. sont inadaptées n'est pas que le "passage ne soit pas parfaitement défini", mais simplement que l'horizon n'a pas de coordonnées de Schw. Il est "hors cartes".

Dès qu'un système de coordonnée couvre les points de l'horizon (ce qui est le cas en KS, ce sont les points X=T, avec X>0), couvrir voulant dire que la carte contient le point et un voisinage du point, alors le "passage est bien défini". Il n'y a pas de discontinuité d'une quelconque nature, le passage d'une ligne d'Univers (chute libre ou non, pareil) en un événement de l'horizon est aussi bien "défini" que le passage en n'importe quel autre événement couvert par la carte.

[ordage]

Peut etre serait il interessant de trouver quel est le systeme de coordonnees approprié à la trajectoire bleue pour laquelle le passage est parfaitement defini?

Merci
Mailou

Salut

A première vue cela ressemble aux coordonnées de Painlevé.
Mais les coordonnées sont arbitraires de toute façon. L'intérêt de celles de Kruskal c'est qu'elles décrivent l'extension analytique maximale de la solution relativiste au problème de l'espace-temps extérieur à une masse unique à symétrie sphérique, mais ce ne sont pas les seules.

Quelques remarques sur le fil.

On a l'impression que la solution de référence c'est celle de Schwarzschild et que les autres s'en déduisent par des changements de coordonnées. Ce n'est pas le cas, par exemple, Kruskal (Physical Review-vol 119, number 5, p.1743-1744 sept 1- 1960) a déduit directement sa solution d'une forme générique de métrique (à symétrie sphérique) en imposant que le cône de lumière soit partout constant avec une pente de 1, ce qui le conduit à une métrique générique:

ds² = f²(-dv²+du²) + r²(dw²)

où f et r sont des fonctions. Il applique l'équation d'Einstein, qui est Rmn = 0, où Rmn est le tenseur de Ricci, et les conditions aux limites et trouve sa solution.

Il montre ensuite sa correspondance avec la solution de Schwarzschild. Autre point qu'il souliqne, c'est la topologie spatiale qui unit deux topologies de type "espace euclidien 3D" par un pont (trou de ver).

A noter que bien d'autres avant lui avaient appliqué la méthode: définir une métrique générique dans des coordonnées qu'on choisit et appliquer l'équation d'Einstein (Painlevé en 1921 avec les coordonnées "sphériques " qui avait montré que la forme de Schwarzschild n'était qu'un cas particulier parmi une "double infinité de solutions", Lemaître en 1932, ..).

Quant aux "vitesses " je ne pense pas que cela ait un sens en RG, une variété n'étant pas un espace vectoriel. Il y a des lignes d'univers, dont une classe intéressante est la classe des géodésiques. Ce qui est utile aussi c'est le cône de lumière local qui permet de déterminer topologiquement où sont les lignes d'univers de type temps. D'ailleurs on peut montrer que sur une ligne d'univers de type temps, quand on a franchi l'horizon on ne peut pas "remonter" vers l'horizon (c'est topologiquement impossible), le cône de lumière pointant vers la singularité centrale, en tout point sous l'horizon, et ceci dans n'importe quelles coordonnées.

Cordialement

[Amanuensis]

Ce n'est pas le cas, par exemple, Kruskal (Physical Review-vol 119, number 5, p.1743-1744 sept 1- 1960) a déduit directement sa solution d'une forme générique de métrique (à symétrie sphérique) en imposant que le cône de lumière soit partout constant avec une pente de 1, ce qui le conduit à une métrique générique:

ds² = f²(-dv²+du²) + r²(dw²)

où f et r sont des fonctions. Il applique l'équation d'Einstein, qui est Rmn = 0, où Rmn est le tenseur de Ricci, et les conditions aux limites et trouve sa solution.

Voilà qui répond directement à une des questions dans un message sur ce fil d'il y a quelques jours, http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post5799980.

Je ne trouve sur le web que des versons payantes de l'article en question.

Quelqu'un a-t-il un lien vers une version libre?

[ordage]

Voilà qui répond directement à une des questions dans un message sur ce fil d'il y a quelques jours, http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post5799980.

Je ne trouve sur le web que des versons payantes de l'article en question.

Quelqu'un a-t-il un lien vers une version libre?

Bonjour

Effectivement, il faut un abonnement pour consulter la Physical Review. Pour trouver des versions libres il faudrait que le copyright ait expiré (l'article date de 1960), sinon c'est du piratage.
Son article de 2 pages ne détaille pas vraiment les calculs, il décrit la méthode et les résultats.

Cordialement

[Mailou75]

Salut et merci à vous,

@Amanuensis

La notion de vitesse relative entre deux référentiels, en un même événement, est bien définie (et a une valeur dans l'un et une autre dans l'autre).
> Peut-on dire que la courbe bleue est la vitesse par rapport aux référentiels locaux tout au long de la chute ? (c'est Zef qui a raison ? ) Si c'est le cas alors une autre logique se perd.. le temps coordonnée d'un observateur en Ro est t'=t*z+1 où t est celui de Schw, observateur à l'infini et z+1=racine(1-Rs/Ro). Et pour la vitesse coordonnée c'est l'inverse on divise par z+1. Dans ce cas, quand il se croisent les observateurs ne seront pas d'accord sur la valeur, pourquoi ? Localement chez Minko ils peuvent diverger sur le temps et l'espace mais jamais sur la vitesse..

On ne sent pas "avec la main" la vitesse par rapport au référentiel héliocentrique (30 km/s, plus de trente fois une vitesse de projectile d'arme à feu, vaut mieux pas le sentir "avec la main").
> C'est juste parce qu'il n'y a pas de route


Oui, le référentiel de KS est "accéléré", ce n'est pas un référentiel de chute libre. Le référentiel de Schwarzschild en région I est aussi un référentiel accéléré, et on peut tout aussi bien dire que la vitesse en coordonnées de Schw est une vitesse par rapport à des objets accélérés.
> Tout ceci serait normal, bien que plus "évident" chez KS que chez Schw...

Par exemple un mouvement "comobile" dans un espace-temps modélisant l'univers en expansion est une chute libre, et on ne la comprendra pas, ni ne la dessinera, en "partant du classique".
> C'est amusant que tu parles de ça, parce que d'une part je trouve que la courbe verte extérieure s'apparente à la courbe de l'expansion et d'autre part parce que la courbe bleue peut être tracée avec une formule qu'avait donnée Gloubi dont les données d'entrée (Ro et Vo) s'apparentent à un "taux d'expansion" et un "paramètre de densité" (c'est même cette formule que j'utilise réellement). On pourra revenir dessus

Dès qu'un système de coordonnée couvre les points de l'horizon (ce qui est le cas en KS, ce sont les points X=T, avec X>0), couvrir voulant dire que la carte contient le point et un voisinage du point, alors le "passage est bien défini". Il n'y a pas de discontinuité d'une quelconque nature, le passage d'une ligne d'Univers (chute libre ou non, pareil) en un événement de l'horizon est aussi bien "défini" que le passage en n'importe quel autre événement couvert par la carte.
> Ok d'accord c'est aussi ce qu'à l'air de dire Ordage, mais tu sais moi sans "preuves"...


.........

@Ordage

A première vue cela ressemble aux coordonnées de Painlevé.
> Pas encore faites celles là, au programme si je trouve les bonnes formules..

On a l'impression que la solution de référence c'est celle de Schwarzschild et que les autres s'en déduisent par des changements de coordonnées. Ce n'est pas le cas, par exemple, Kruskal (Physical Review-vol 119, number 5, p.1743-1744 sept 1- 1960) a déduit directement sa solution d'une forme générique de métrique (à symétrie sphérique) en imposant que le cône de lumière soit partout constant avec une pente de 1 (...)
> Oui c'est effectivement la démarche que j'ai suivie parce que je n'en connais pas d'autre, et c'est sans doute ce qui m'amène à considérer que le passage de Rs n'est pas défini, parce que l'étape Schw "crame" les coordonnées en les renvoyant à l'infini.

Il montre ensuite sa correspondance avec la solution de Schwarzschild. Autre point qu'il souliqne, c'est la topologie spatiale qui unit deux topologies de type "espace euclidien 3D" par un pont (trou de ver).
> Oui j'ai vu ça, et il se ferme en un temps Rs/c ne laissant pas à la lumière le temps de traverser puisque le rayon fait Rs. L'horizon qui recule aussi vite que le photon avance (?), il faudrait que je me penche dessus quand j'aurais le temps, trop de pistes a suivre ... arg

Quant aux "vitesses " je ne pense pas que cela ait un sens en RG, une variété n'étant pas un espace vectoriel. Il y a des lignes d'univers, dont une classe intéressante est la classe des géodésiques. Ce qui est utile aussi c'est le cône de lumière local qui permet de déterminer topologiquement où sont les lignes d'univers de type temps. D'ailleurs on peut montrer que sur une ligne d'univers de type temps, quand on a franchi l'horizon on ne peut pas "remonter" vers l'horizon (c'est topologiquement impossible), le cône de lumière pointant vers la singularité centrale, en tout point sous l'horizon, et ceci dans n'importe quelles coordonnées.
> Oui j'ai aussi croisé ça, passé Rs chez Schw le cône futur passe à l'horizontale en direction de la singularité et effectivement chez KS le cône a beau être toujours constant à 45°, passé Rs il ne vise que la singularité. Les choses s'éclaircissent doucement...

Pour trouver des versions libres il faudrait que le copyright ait expiré (l'article date de 1960), sinon c'est du piratage.
> Ces formules appartiennent à la postérité, c'est quoi cette histoire ?

Merci
Mailou

[Amanuensis]

> Peut-on dire que la courbe bleue est la vitesse par rapport aux référentiels locaux tout au long de la chute ?

La courbe ne présente pas une vitesse, mais une position en fonction d'un instant. La pente (dX/dT) représente la vitesse par rapport au référentiel défini par les coordonnées.

Pour avoir la vitesse en un point (X,T) par rapport à un référentiel de chute libre (si c'est bien ça un "référentiel local"), faudrait dessiner le mouvement de chute libre du référentiel et passant par (X, T) et l'angle entre les deux courbes aurait un rapport avec la vitesse par rapport à ce second référentiel.

Si c'est le cas alors une autre logique se perd.

J'ai l'impression qu'il y a beaucoup de "logiques" à faire perdre...

> Ok d'accord c'est aussi ce qu'à l'air de dire Ordage, mais tu sais moi sans "preuves"...

Difficile de savoir ce que signifie "preuve" alors. Du point de vue des maths, ça coule pratiquement tout seul à partir des définitions et des concepts...

qui m'amène à considérer que le passage de Rs n'est pas défini, parce que l'étape Schw "crame" les coordonnées en les renvoyant à l'infini.

Le passage n'est pas défini en coordonnées de Schw. C'est aussi simple que ça.

[ordage]

Salut et merci à vous,




1- Pas encore faites celles là, au programme si je trouve les bonnes formules..

2- Oui c'est effectivement la démarche que j'ai suivie parce que je n'en connais pas d'autre, et c'est sans doute ce qui m'amène à considérer que le passage de Rs n'est pas défini, parce que l'étape Schw "crame" les coordonnées en les renvoyant à l'infini.

3-Ces formules appartiennent à la postérité, c'est quoi cette histoire ?

Merci
Mailou

Salut

Quelques éléments de réponse.

1- Par exemple, pour la solution "trou noir" ("espace-temps en effondrement"):

ds² = -(1- 2GM/)dT² + 2sqrt(2GM/r) dr.dT + dr² + r²( d_theta² + sin²theta.d_phi²) = -dT² +[dT.sqrt(2GM/r)+dr]²+ r²( d_theta² + sin²theta.d_phi²)

Si tu traces la courbe T(r) dans ces coordonnées, pour un observateur en chute libre radiale (définir les conditions initiales), tu auras une courbe du type de ta courbe bleue.

A noter que pour l'observateur en chute libre (géodésique) depuis l'infini (avec comme condition initiale que sa vitesse est nulle à l'infini), la coordonnée temps est le temps propre. (Par ailleurs curieusement, on retrouve aussi les équations de chute libre de la mécanique Newtonienne dans ce cas).

Ajoutons que la 4-vitesse covariante d'un observateur géodésique dans ces conditions est constante sur la géodésique et vaut : U_µ = {-1,0,0,0}.
En fait la géodésique, définie dans ces coordonnées, dans ce cas, est orthogonale à l'hypersurface spatiale (euclidienne) définie en tout point par T = Constante

Si la vitesse n'est pas nulle, et/ou que le point départ n'est pas l'infini, ces équations se généralisent (il y a alors de "boosts" de Lorentz, entre autres).

On utilise le même type de coordonnées que Schwarzschild (une coordonnée temps T, qui est différente de celle t de Schwarzschild, et les mêmes coordonnées spatiales sphériques r, theta, phi).

Cette forme déduite directement d'une métrique générique à symétrie sphérique et de l'équation d'Einstein par Painlevé en 1921, n'est pas singulière sur l'horizon. Les sections spatiales (à T = constante) sont euclidiennes.

A noter que, si le signe du produit dr.dT est négatif, on obtient la solution "trou blanc", symétrique du trou noir, (espace-temps en "expansion").
Ce qui fait que cette forme, par ce paramétrage, définit l'extension analytique maximale. Kruskal fait mieux en unifiant ces deux formes.

2- Voir réponse Amanuensis.
3- Les équations oui, mais pas l'article.
Cordialement

[ordage]

Salut

Quelques éléments de réponse.

1- Par exemple, pour la solution "trou noir" ("espace-temps en effondrement"):

ds² = -(1- 2GM/r)dT² + 2sqrt(2GM/r) dr.dT + dr² + r²( d_theta² + sin²theta.d_phi²) = -dT² +[dT.sqrt(2GM/r)+dr]²+ r²( d_theta² + sin²theta.d_phi²)

Si tu traces la courbe T(r) dans ces coordonnées, pour un observateur en chute libre radiale (définir les conditions initiales), tu auras une courbe du type de ta courbe bleue.

A noter que pour l'observateur en chute libre (géodésique) depuis l'infini (avec comme condition initiale que sa vitesse est nulle à l'infini), la coordonnée temps est le temps propre. (Par ailleurs curieusement, on retrouve aussi les équations de chute libre de la mécanique Newtonienne dans ce cas).

Ajoutons que la 4-vitesse covariante d'un observateur géodésique dans ces conditions est constante sur la géodésique et vaut : U_µ = {-1,0,0,0}.
En fait la géodésique, définie dans ces coordonnées, dans ce cas, est orthogonale à l'hypersurface spatiale (euclidienne) définie en tout point par T = Constante

Si la vitesse n'est pas nulle, et/ou que le point départ n'est pas l'infini, ces équations se généralisent (il y a alors de "boosts" de Lorentz, entre autres).

On utilise le même type de coordonnées que Schwarzschild (une coordonnée temps T, qui est différente de celle t de Schwarzschild, et les mêmes coordonnées spatiales sphériques r, theta, phi).

Cette forme déduite directement d'une métrique générique à symétrie sphérique et de l'équation d'Einstein par Painlevé en 1921, n'est pas singulière sur l'horizon. Les sections spatiales (à T = constante) sont euclidiennes.

A noter que, si le signe du produit dr.dT est négatif, on obtient la solution "trou blanc", symétrique du trou noir, (espace-temps en "expansion").
Ce qui fait que cette forme, par ce paramétrage, définit l'extension analytique maximale. Kruskal fait mieux en unifiant ces deux formes.

2- Voir réponse Amanuensis.
3- Les équations oui, mais pas l'article.
Cordialement

Correction de la première équation

ds² = -(1- 2GM/r)dT² + 2sqrt(2GM/r) dr.dT + dr² + r²( d_theta² + sin²theta.d_phi²) = -dT² +[dT.sqrt(2GM/r)+dr]²+ r²( d_theta² + sin²theta.d_phi²)

[Amanuensis]

Pour trouver des versions libres il faudrait que le copyright ait expiré (l'article date de 1960)

Pas nécessairement. Il y a quelque flou sur le sujet, d'une part le copyright de la publication n'est pas nécessairement exclusif, et d'autre part il y a un certain laxisme sur les "brouillons". Cela justifie poser la question et/ou faire un peu de recherche sur le Web, et ce sans que ce soit pris pour de l'illégalité.

Ceci dit, sans le calcul, l'article ne semble pas intéressant comparé à ce qu'on trouve par ailleurs. (Et pour la preuve d'existence, si ça se trouve ce n'est qu'une application de l'existence systématique en 2D d'un système de coordonnées tel que la métrique est conforme, c'est ce que j'imaginais déjà.)

[Mailou75]

Salut et merci,

La courbe ne présente pas une vitesse, mais une position en fonction d'un instant. La pente (dX/dT) représente la vitesse par rapport au référentiel défini par les coordonnées.

Oui bien sur j'ai pris un raccourci, la tangente à la bleue donne la vitesse locale Vl celle dont on parle (voir http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post4472312) qui est donc la vitesse que mesurent entre eux le voyageur en chute libre et l'observateur statique au même évènement. L'ennui c'est que ça ne correspond pas quand ils se croisent avec les vitesses coordonnées des différents observateurs Voo et autres. Je ne comprends pas comment un observateur lamba peut avoir une courbe générale du type Voo (qui peut dépasser c ? voir courbe bleue foncé) et mesurer quand même au passage du voyageur une vitesse Vl ?

Pour avoir la vitesse en un point (X,T) par rapport à un référentiel de chute libre (si c'est bien ça un "référentiel local"), faudrait dessiner le mouvement de chute libre du référentiel et passant par (X, T) et l'angle entre les deux courbes aurait un rapport avec la vitesse par rapport à ce second référentiel.

Je ne te suis pas... l'angle entre deux trajectoires de chute libre donnera la vitesse relative entre deux voyageurs, pas la vitesse locale. Ce serait plutôt chez KS l'angle entre la trajectoire de chute libre et une hyperbole (r constant), non? Mais l'angle n'est pas facile à interpréter (angle hyperbolique ?) et comme je le disais il dépendra surement du choix du Zero de l'axe t' ?

Difficile de savoir ce que signifie "preuve" alors. Du point de vue des maths, ça coule pratiquement tout seul à partir des définitions et des concepts...

Preuve = la formule "cachée" qui donne (X;T) au passage ;)

........

1- Par exemple, pour la solution "trou noir" ("espace-temps en effondrement"):
ds² = -(1- 2GM/)dT² + 2sqrt(2GM/r) dr.dT + dr² + r²( d_theta² + sin²theta.d_phi²) = -dT² +[dT.sqrt(2GM/r)+dr]²+ r²( d_theta² + sin²theta.d_phi²)
Si tu traces la courbe T(r) dans ces coordonnées, pour un observateur en chute libre radiale (définir les conditions initiales), tu auras une courbe du type de ta courbe bleue.
A noter que pour l'observateur en chute libre (géodésique) depuis l'infini (avec comme condition initiale que sa vitesse est nulle à l'infini), la coordonnée temps est le temps propre. (Par ailleurs curieusement, on retrouve aussi les équations de chute libre de la mécanique Newtonienne dans ce cas).

Je ne saurais pas exploiter cette formule en l'état je ne suis pas assez matheux, snif
Mais j'ai trouvé ça www-cosmosaf.iap.fr/cours_2_2011.pdf et j'ai l'impression que les formules 3.3.1 et 3.3. 2 donnent les courbes T=cst c'est à dire celles de l'observateur en chute libre depuis l'infini (vraisemblablement à différentier de celui de Schw qui est statique à l'infini ?). Donc le long de ces courbes isochrones on lira le temps propre de cet observateur et tous les évènements qui seront sur une courbe seront synchronisés pour lui. Est-ce son espace tel qu'une diagonale chez KS ?
Ensuite la formule page 10 va nous donner sa trajectoire en coordonnées r (de Schw) et T (de Painlevé), je présume qu'il n'y aura pas de point de départ.. mais on choisis apparemment un point d'arrivée à . Mais je ne comprend pas bien si je vais obtenir la courbe rouge (fig 8.1a) ou la trajectoire (8.2) et je ne sais pas trop où doivent être lues les valeurs de T, .. ?

Enfin, si on voulait comparer les résultats avec nos voyageurs de chez Rs qui partent avec une vitesse nulle depuis une altitude donnée Ro et non depuis l'infini (car celui ci n'a pas une vitesse nulle en Ro) il faudrait une autre formule.. :)

Et d'une manière générale j'ai vraiment du mal a comprendre comment un voyageur parti de l'infini peut avoir une durée de chute finie !??

Ajoutons que la 4-vitesse covariante d'un observateur géodésique dans ces conditions est constante sur la géodésique et vaut : U_µ = {-1,0,0,0}.
En fait la géodésique, définie dans ces coordonnées, dans ce cas, est orthogonale à l'hypersurface spatiale (euclidienne) définie en tout point par T = Constante

Si en 1D+t "l'hypersurface" est une droite parallèle à l'axe r, que signifie "orthogonale" ?

Merci d'avance
Mailou

[Amanuensis]

qui est donc la vitesse que mesurent entre eux le voyageur en chute libre et l'observateur statique au même évènement.

Oui, en gardant en tête l'aspect arbitraire (dépendant du référentiel) de "statique".

L'ennui c'est que ça ne correspond pas quand ils se croisent avec les vitesses coordonnées des différents observateurs Voo et autres. Je ne comprends pas comment un observateur lamba peut avoir une courbe générale du type Voo (qui peut dépasser c ? voir courbe bleue foncé) et mesurer quand même au passage du voyageur une vitesse Vl ?

Toujours et encore les effets de choix de référentiels (ou plus précisément de systèmes de coordonnées). C'est une des difficultés essentielles de l'espace-temps courbe.

Je ne te suis pas... l'angle entre deux trajectoires de chute libre donnera la vitesse relative entre deux voyageurs, pas la vitesse locale. Ce serait plutôt chez KS l'angle entre la trajectoire de chute libre et une hyperbole (r constant), non?

J'ai l'impression que nous parlons de la même chose?

Mais l'angle n'est pas facile à interpréter (angle hyperbolique ?)

Oui

et comme je le disais il dépendra surement du choix du Zero de l'axe t' ?

Peut-être. Faut voir en détail. L'angle hyperbolique n'est pas conservé par tous les systèmes de coordonnées. Ceux qui le font sont dit "conformes" ; les coordonnées de KS sont conformes si on les limitent aux mouvements radiaux (théta et phi constants). Donc en KS, l'angle entre mouvements (radiaux) est bien représentatif de la vitesse relative, celle qu'on mesure dans un système de coordonnées tangent et de Minkowski.

Preuve = la formule "cachée" qui donne (X;T) au passage

Pour les chutes libres, on peut la donner indirectement comme solution d'une équation différentielle (plutôt horrible), solution que je ne sais pas exprimer par une formule (et je n'ai pas trouvé de publi en donnant une, même en utilisant dans la formule des fonctions "ad hoc" comme la fonction de Lambert). D'un point de vue de mathématicien, c'est quasiment donner la formule, et il existe des heuristiques de calcul numérique pour en donner une approximation numérique.

On doit aussi pouvoir la donner en partant des coordonnées de Schw., mais je suis d'accord que prouver que le raccordement est "propre" (Cinfini) n'est pas immédiat. (En plus je ne sais pas trop comment calculer la partie intérieure sans passer par un système propre pour le passage. Il me semble que c'est ce que tu as fait, le raccordement entre intérieur et extérieur s'est appuyé sur les coordonnées de KS, non?)

[Mailou75]

Toujours et encore les effets de choix de référentiels (ou plus précisément de systèmes de coordonnées). C'est une des difficultés essentielles de l'espace-temps courbe.

Humm y'a quand meme un souci..

J'ai l'impression que nous parlons de la même chose?

Tant mieux ^^

Peut-être. Faut voir en détail.

J'ai un doute mais je vais regarder ça

On doit aussi pouvoir la donner en partant des coordonnées de Schw., mais je suis d'accord que prouver que le raccordement est "propre" (Cinfini) n'est pas immédiat. (En plus je ne sais pas trop comment calculer la partie intérieure sans passer par un système propre pour le passage. Il me semble que c'est ce que tu as fait, le raccordement entre intérieur et extérieur s'est appuyé sur les coordonnées de KS, non?)

J'ai juste transposé chaque point de la courbe verte (r;t) chez KS en (r;t'). Je suis allé aussi près que je pouvais de l'horizon de chaque cotés, les coordonnées de Schw se raccordent naturellement sans connaitre precisement le point de passage, qui ne peut pas etre localisé par des coordonnées (Rs;oo). Il n'y a pas de systeme independant pour l'interieur, ils sont symetriques : si tu pars d'un point à ~3 de temps propre sur la courbe bleue et que tu projette le point sur la courbe verte tu vas tomber au croisement avec l'horizontale rouge. Elle croise donc deux fois la trajectoire. Coté KS cette droite est la diagonale notée Rs/c et on peut imaginer sa symétrie par rapport a l'horizon qui croiserait la trajectoire à ~3 de temps propre.

Mailou

[ordage]

Salut et merci,

1- Je ne comprends pas comment un observateur lamba peut avoir une courbe générale du type Voo (qui peut dépasser c ? voir courbe bleue foncé) et mesurer quand même au passage du voyageur une vitesse Vl

2-Et d'une manière générale j'ai vraiment du mal a comprendre comment un voyageur parti de l'infini peut avoir une durée de chute finie !??

3-Si en 1D+t "l'hypersurface" est une droite parallèle à l'axe r, que signifie "orthogonale" ?

Merci d'avance
Mailou

Salut
1- Ta courbe bleu-foncé décrit une fonction t(r). Pour r=0 on voit que dt/dr = 0 autrement dit dr/dt = l'infini.
Mais c'est une vitesse de coordonnées qui n'a aucun sens physique, elle peut avoir n'importe quelle valeur y compris >c.
2- Il faut entendre à très grande distance finie (par exemple un milliard de rs)
3- Orthogonale au sens de la relativité. L'hypersurface 3 d est définie par theta = constante 1et phi = constante 2 et r).
Cordialement

[Mailou75]

Merci,

1- Ta courbe bleu-foncé décrit une fonction t(r). Pour r=0 on voit que dt/dr = 0 autrement dit dr/dt = l'infini.
Mais c'est une vitesse de coordonnées qui n'a aucun sens physique, elle peut avoir n'importe quelle valeur y compris >c.

Oui je comprends.. un peu comme chez Rindler où l'accéleration percue par exemple (distance parcourue vue/ temps passé lu) n'a aucun sens physique. C'est justement parce que les effets RG et RR sont deja comptés que la courbe verte a une valeur de perception. Il faudra quand meme que je clarifie ce qui se passe au croisement.

2- Il faut entendre à très grande distance finie (par exemple un milliard de rs)

Entre 1 milliard et 2 milliard de Rs ca fait une difference et on est pas encore à l'infini! Je crois que je vais l'entendre comme l'inverse d'une trajectoire de libération dont on connait la date de départ . Mais j'ai quand meme du mal a imaginer comment en prolongeant la courbe il y a un moment (temps fini) où j'atteindrai l'infini...

3- Orthogonale au sens de la relativité. L'hypersurface 3 d est définie par theta = constante 1et phi = constante 2 et r)

Orthogonal au sens : le temps est toujours "orthogonal" aux trois axes d'espace (eux meme orthogonaux entre eux) ? Sinon pas grave je comprendrais peut-être plus tard

Merci
Mailou

[Amanuensis]

Oui je comprends.. un peu comme chez Rindler où l'accéleration percue par exemple (distance parcourue vue/ temps passé lu) n'a aucun sens physique. C'est justement parce que les effets RG et RR sont deja comptés que la courbe verte a une valeur de perception.

Même pas. Ce n'est pas "perçu", c'est calculé. Calculé au sens on cherche à parler d'un événement et on lui assigne des coordonnées. Et ensuite, on calcule une accélération à partir de ces coordonnées.

Pour parler de perception, faut s'intéresser aux rayons lumineux entre l'événement et l'observateur, quand arrivent-ils, avec quel décalage fréquentiel. Parler d'accélération "perçue" n'a rien d'évident, la dérivée du décalage fréquentiel?

Orthogonal au sens : le temps est toujours "orthogonal" aux trois axes d'espace (eux meme orthogonaux entre eux) ?

Grossièrement, oui. Rigoureusement orthogonal s'applique à des vecteurs (4D) et signifie que le "produit scalaire" est nul, ce produit étant le produit minkowskien, celui donné par la "métrique". On peut parler d'axes, mais alors on parle du vecteur directeur de l'axe. Pour les axes d'espace, la notion d'orthogonalité est la même qu'en euclidien, qu'en géométrie élémentaire.

Un axe de coordonné temporel ("le temps", pour les coordonnées) n'est pas nécessairement orthogonal aux axes d'espace. Ce n'est pas le cas s'il y a un terme en dtdr dans la métrique par exemple (ce qui est le cas pour les coordonnées de Painlevé).

Faut noter aussi qu'un vecteur nul (la quadrivitesse d'un rayon lumineux) est orthogonal à lui-même.

[Mailou75]

Salut,

Pour parler de perception, faut s'intéresser aux rayons lumineux entre l'événement et l'observateur, quand arrivent-ils, avec quel décalage fréquentiel. Parler d'accélération "perçue" n'a rien d'évident, la dérivée du décalage fréquentiel?

Je pense que tu te trompes, la courbe verte traduit justement le décalage fréquentiel. Elle ne dit pas quand le message est reçu mais elle dit comment. Le tracé de rayons lumineux doit donner le même résultat.

Sinon j'ai réfléchi a ton histoire de double formule (int/ext). En fait tu as raison, il y a bien deux formules, ce sont celles données par Kruskal (int/ext). Et vraisemblablement les coordonnées de Painlevé sont elles aussi discontinues (représentées en Schw) puisqu'il y a aussi deux formules. La seule courbe réellement continue c'est la bleue.

A première vue cela ressemble aux coordonnées de Painlevé.

Oui ça a même l'air d'être exactement ça puisque Painlevé donne T (temps propre du voyageur en chute libre depuis l'inf) en fonction de r. Si la courbe bleue partait de l'infini ce serait exactement un observateur de Painlevé.

Bon je récupère mon ordi demain je vais me remettre aux calculs pour éclaircir tout ça.

Mailou

[Amanuensis]

La seule courbe réellement continue c'est la bleue.

Sur la figure message #57? Si oui, la courbe rouge aussi est continue (elle est Cinfini).

[Mailou75]

Sans doute, il faut juste la formule qui donne directement X et T sans avoir a passer par r et t (donc pas le changement de coordonnées donné au post 1, car deux formules = discontinuité)
Ça veut dire quoi Cinfini ?

[Amanuensis]

Ça veut dire quoi Cinfini ?

S'écrit normalement avec indice, ; mais j'ai la flemme.

On dit aussi "lisse" ("smooth" en anglais). Continue et dérivable, de dérivée continue et dérivable, de dérivée seconde continue et dérivable, de dérivée troisième continue et dérivable, ..., aussi loin qu'on voudra.

Continue = C0 ou plus, dérivable de dérivée continue = C1 ou plus, etc.

x -> |x| est seulement C0 (continue mais non dérivable en 0). Toute fonction polynomiale est Cinfini, tout comme cos, sin, exp, ln, cosh, etc.

Cf. https://en.wikipedia.org/wiki/Smoothness, en anglais, curieusement pas de page correspondante en français...

[Amanuensis]

Sans doute, il faut juste la formule qui donne directement X et T sans avoir a passer par r et t (donc pas le changement de coordonnées donné au post 1, car deux formules = discontinuité)

Pas "il faut", mais "il serait utile". Malheureusement, comme déjà dit plusieurs fois, il y a peu de chance qu'elle existe, du moins en utilisant seulement les fonctions "usuelles" pour l'exprimer. Cela n'empêche en rien d'être sûr de la continuité (et plus), les maths sont faites pour ça (et plus).

[Mailou75]

Re,

Pas "il faut", mais "il serait utile".

On va faire sans et supposer la continuité en attendant la levée du secret

[Mailou75]

Painlevé, Schwarzschild et Kruskal

Painlevé (bleu)

Suite à l'intervention d'Ordage je suis allé voir du coté de Painlevé et effectivement la courbe du temps propre que je traçais était du même type. La différence est que l'observateur de Painlevé chute depuis l'infini et pas depuis une hauteur déterminée (Rmax). N'ayant pas réussi à trouver de formule convenable j'ai utilisé l'ancienne avec Rmax=1.000.000Rs (suffisant pour les besoins mais si quelqu'un la connaît ce serait plus satisfaisant ) :



où Tmax est calculé au préalable pour Rmax avec la même formule. La tangente à la trajectoire donne la vitesse locale, c'est dans cette représentation qu'elle vaut c (45°) au passage en Rs. Dans la logique j'ai plutôt considéré un voyageur qui s'éloignait à Vlib sinon j'y serais encore... on notera qu'il doit théoriquement partir de 0 avec une vitesse infinie
Précédemment on positionnait arbitrairement une échelle t' pour KS, cette fois comme il n'y a pas de date de départ on va décider que le voyageur arrive à t=0 (observateur à l'infini de Schw) valable pour tous les repères.

Dans le repère de Painlevé les courbes à t constant dites isochrones sont représentées en rouge (Notons qu'elles seraient différentes si le voyageur partait de Rmax et non de l'infini, ce qui fait du repère de Painlevé un repère "particulier" parmi les valeurs possibles de Rmax). Après avoir bataillé avec des formules qui ne marchaient j'ai fini par l'écrire moi même, attention gros niveau :



Pour comprendre comment les lire j'ai noté A B C D E les cinq intersections de la trajectoire avec les isochrones +Rs/c, 0 et -Rs/c qu'on retrouve chez Schw et KS. Le temps propre se lit sur l'axe de temps. On va s'intéresser à la trajectoire de l'observateur de Painlevé entre t=-Rs/c et 0 soit entre r=0 et ~1,4Rs (A). étant compté "à rebours" depuis une valeur d'arrivée finie on voit que =0 est décalé de A (lui même étant une approximation de 1,4). Le voyageur compte (exactement) 1,1 Rs/c (~11μs pour Rs=3km, masse solaire). Ces petites approximations permettent de simplifier la lecture d'ensemble, enfin moi ça m'aide

Schwarzschild (vert)

Cette fois c'est t qui est lu sur l'axe des ordonnées et on a toujours r en abscisse. La trajectoire pour la chute libre depuis l'infini est donnée par (l'unicité de la formule entre I et II est due à la valeur absolue, r=Rs donne t=oo) :



Pour obtenir le temps propre le long de la trajectoire il faut ramener la trajectoire bleu dans de repère de vert et "projeter" les valeurs sur vert comme exposé dans le mess #57 (http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post5810148). Vous l'aurez remarqué la mesure du temps de chute (total, je ne parle pas de ce qui est vu) pour l'observateur à l'infini t est inférieure à celui du voyageur , ce qui est atypique...

Kruskal (orange)

Le passage en coordonnées de KS se fait comme décrit dans le mess cité plus haut. On retrouve la trajectoire de notre voyageur "particulier" de Painlevé qui compte 1,1 Rs/c entre ~A et E. Sur tous les graphs on trouve en plus clair la trajectoire de deux autres voyageurs arrivant Rs/c plus tôt et Rs/c plus tard (valeur de t). Chez Painlevé et Schw ce sont des "parallèles". Chez KS on voit que les trajectoires en t négatif vont rapidement s'approcher de c sans jamais l'atteindre (sauf à être parti depuis l'infini passé ?! )

[Mailou75]

Dans le Kruskal joint on voit plusieurs trajectoires "parallèles" à Rs/c d'écart de notre référent Orange qui arrive à t=0. Les hyperboles en pointillé montrent que l'histoire se répète, les voyageurs mesurent tous le même entre 1,4Rs et 0, et le même "décalage" de pour toute valeur de r.

L'hyperbole r=0 semble être la trajectoire de la singularité balayée par le temps t. Les voyageurs y arrivent régulièrement au même intervalle de temps duquel ils sont partis (Rs/c), depuis l'infini

De manière générale, ce que disent les coordonnées c'est que pour l'observateur à l'infini, lorsque que Orange à atteint le ~A du graph précédent, il est aussi "en même temps" en E r=0. A l'intérieur le temps compte alors à l'envers jusqu'à la rencontre en un temps infini sur r=Rs avec son "homologue entrant" !! On peut lire parfois qu'à l'intérieur temps et espace s'inversent, mais j'ai l'impression qu'il n'y a que le temps qui s'inverse

Merci d'avance pour vos réponses

Mailou

[Mailou75]

lorsque que Orange à atteint le ~A du graph précédent

Erratum : Le B bien sur ...

Bonne nuit

[ordage]

Painlevé, Schwarzschild et Kruskal

Painlevé (bleu)

Suite à l'intervention d'Ordage je suis allé voir du coté de Painlevé et effectivement la courbe du temps propre que je traçais était du même type. La différence est que l'observateur de Painlevé chute depuis l'infini et pas depuis une hauteur déterminée (Rmax). N'ayant pas réussi à trouver de formule convenable j'ai utilisé l'ancienne avec Rmax=1.000.000Rs (suffisant pour les besoins mais si quelqu'un la connaît ce serait plus satisfaisant ) :



où Tmax est calculé au préalable pour Rmax avec la même formule. La tangente à la trajectoire donne la vitesse locale, c'est dans cette représentation qu'elle vaut c (45°) au passage en Rs. Dans la logique j'ai plutôt considéré un voyageur qui s'éloignait à Vlib sinon j'y serais encore... on notera qu'il doit théoriquement partir de 0 avec une vitesse infinie
Précédemment on positionnait arbitrairement une échelle t' pour KS, cette fois comme il n'y a pas de date de départ on va décider que le voyageur arrive à t=0 (observateur à l'infini de Schw) valable pour tous les repères.

Dans le repère de Painlevé les courbes à t constant dites isochrones sont représentées en rouge (Notons qu'elles seraient différentes si le voyageur partait de Rmax et non de l'infini, ce qui fait du repère de Painlevé un repère "particulier" parmi les valeurs possibles de Rmax).

Bonjour

Il existe une équation (dans la forme de Painlevé), donnée par Gautreau et Hoffmann en 1978, qui décrit le cas général (point de départ à une distance finie r0 ). Cette solution est également décrite dans "Gravitation" p. 659-664. Cette équation peut être encore généralisée en ajoutant un boost en r0.
J'ai cela dans un fichier PDF mais je n'arrive pas à coller la "sélection" dans le message. Bref, tout cela existe.

Cordialement

[Amanuensis]

Cette équation peut être encore généralisée en ajoutant un boost en r0.

?? (tournure bizarre), = vitesse non nulle en r0 ?

[Mailou75]

Salut et merci,

Il existe une équation (dans la forme de Painlevé), donnée par Gautreau et Hoffmann en 1978, qui décrit le cas général (point de départ à une distance finie r0 ).

La formule que tu decrit donne la meme chose a priori, celle que je demande c'est pour r=oo directement (comme celle donné pour t(r) où on ne trouve pas de Rmax)

?? (tournure bizarre), = vitesse non nulle en r0 ?

Ouep, comme ça on aurait le resultat pour un départ depuis n'importe quelle hauteur à n'importe quelle vitesse. Je la veux bien cette formule !! (pour l'instant je ne savais pas depasser Vlib(r) comme vitesse de depart pour une altitude (r), avec cette formule ce serait complet)

Merci d'avance

[ordage]

?? (tournure bizarre), = vitesse non nulle en r0 ?

Salut
C'est une manière de spécifier les conditions initiales (temps, position, vitesse).
Sur une trajectoire radiale, conditions initiales :coordonnées t= t0, r=r0, et la vitesse de coordonnées v= v0 = dr/dt en r0, t0 .
Souvent on suppose que dr/dt =0 à t0, r0. ( On "lâche" une particule à une distance r0).
Mais on peut très bien supposer qu'il y a une vitesse v0 = dr/dt non nulle en r0.
A noter que pour la vitesse de coordonnées, il y a des variantes où c'est l'énergie ( de la particule de test) qui est utilisée (il y a une relation entre les deux).
Cela généralise la solution.
Cordialement