Démonstration du volume comobile entre 2 redshifts

[fabio123]

Bonsoir/Bonjour,

Je voudrais obtenir de l'aide pour démontrer une expression sur le volume comobile entre 2 redshifts

1) Je n'arrive pas à trouver/justifier la relation (1) ci-dessous, à partir de la relation commune (2) d'un volume et des relations (3) (pour le cas flat).

2) Il semble que la variable soit en fait la distance comobile et non la coordonnée comobile (avec le facteur d'échelle R (t) entre les deux).

Le volume comobile d'une région couvrant un angle solide entre deux redshifts et , à trouver est:



pour un univers spatialement plat ce dernier devient :



Je voudrais le démontrer avec aussi ces relations de distance diamètre angulaire :



Pour la démonstration, j'ai essayé de partir du tenseur (0,2) de la métrique FLRW :



avec la relation :



Mais je ne sais pas comment conclure avec ces relations, notamment en introduisant l'intervalle espace-temps .


Quelqu'un pourrait-il me donner des indices / pistes / suggestions pour démontrer cette expression (1) ? c'est certainement évident pour certains d'entre-vous mais pardonnez mon ignorance.

Merci
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[fabio123]

peut-être aurai-je plus de suggestions sur le forum "questions pédagogiques" ou "discussion libres" : qu'en pensez-vous les modérateurs ?

[JPL]

JJe l’ai mis dans Discussions libres parce que ce n’est pas vraiment l’esprit du forum sur les questions de base.

[fabio123]

Ma question commence à dater un petit peu : n'y a-t-il vraiment aucune suggestion ou un indice pour arriver à retrouver l'équation (1) dans mon premier post ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[zebular]

Étonnant en effet ce peu de réponse,bien que je ne maîtrise nullement le sujet,ça semble intéressant comme exercice mathématique.

[Gilgamesh]

Tu peux peut être fouiller dans les références sur cette page
https://ned.ipac.caltech.edu/level5/Hogg/Hogg9.html

[fabio123]

@Gilgamesh, merci pour ton lien

1) je joins la capture écran montrant la définition (posée un peu comme un cheveux sur la soupe) :



Qu'appelle t-on "le flot de Hubble" ? , Est-ce que ça concerne uniquement les objets qui subissent l'expansion de Hubble-LeMaïtre ? donc la densité serait décroissante et le nombre d'objets est constant ?

2) Dans la formule (1) que j'aimerais retrouver, c'est-à-dire :



il apparaît dans le dénominateur le terme : alors qu'il n'apparaît pas dans la capture écran.

Comment le faire apparaître ?

Merci par avance

[Gilgamesh]

Le flot de Hubble désigne le mouvement des objet qui gardent sagement leur coordonnée comobile, concrètement des objets ne subissant aucune attraction gravitationnelle du voisinage (ce qui a pour conséquence de structurer l'univers). Par exemple notre Galaxie et Andromède ne sont pas strictement comobiles car elles s'attire gravitationnellement : localement (au point de rencontre) la densité va augmenter.

[Gilgamesh]

@Gilgamesh, merci pour ton lien

1) je joins la capture écran montrant la définition (posée un peu comme un cheveux sur la soupe) :

Pièce jointe 420675

Qu'appelle t-on "le flot de Hubble" ? , Est-ce que ça concerne uniquement les objets qui subissent l'expansion de Hubble-LeMaïtre ? donc la densité serait décroissante et le nombre d'objets est constant ?

2) Dans la formule (1) que j'aimerais retrouver, c'est-à-dire :



il apparaît dans le dénominateur le terme : alors qu'il n'apparaît pas dans la capture écran.

Comment le faire apparaître ?

Merci par avance

Le E(z) est défini ici : https://ned.ipac.caltech.edu/level5/Hogg/Hogg4.html
Ça résulte de l'équation de Friedmann paramétrisé par les densités (matière, rayonnement, cte cosmo)

https://en.wikipedia.org/wiki/Friedmann_equations

Mais là tu pars de la métrique. Et retrouver les équations de Friedmann en partant de la métrique c'est long et compliqué, ce qui explique ton blocage.

J'ai trouvé une vidéo qui explique la démo (20 minutes)
Friedmann Equations From The Einstein Field Equations | Friedmann Equations Derivation | FLRW Metric

[Gilgamesh]

By the way, je déplace la discussion dans le forum plus avancé, parce que la solution n'a rien de triviale, mathématiquement.

[fabio123]

En + du facteur , la présence dans l'intégrale de me gêne aussi : je ne sais pas comment le faire apparaître.

D'ou vient ces 2 termes dans la définition de ce voume ? mystère total pour moi jusqu'à présent.

La seule chose que je connaisse est :

.

@Gilgamesh : ton lien (https://ned.ipac.caltech.edu/level5/Hogg/Hogg9.html ) ne démontre pas trop l'expression du volume entre 2 redshifts. Ils font j'imagine des hypothèses logiques mais qui me
dépasse pour obtenir l'expression que je veux retrouver.

Toute remarque est la bienvenue.

[Gilgamesh]

En + du facteur , la présence dans l'intégrale de me gêne aussi : je ne sais pas comment le faire apparaître.

D'ou vient ces 2 termes dans la définition de ce voume ? mystère total pour moi jusqu'à présent.

La seule chose que je connaisse est :

.

@Gilgamesh : ton lien (https://ned.ipac.caltech.edu/level5/Hogg/Hogg9.html ) ne démontre pas trop l'expression du volume entre 2 redshifts. Ils font j'imagine des hypothèses logiques mais qui me
dépasse pour obtenir l'expression que je veux retrouver.

Toute remarque est la bienvenue.

Non on est d'accord que la démo ne concerne pas l'expression du volume entre 2 redshift, mais elle donne la trajectoire pour passer de la métrique FRLW aux équation de Friedmann. C'est en passant par ces équations (qui donnent l'évolution du facteur d'échelle en fonction du contenu de l'univers) que tu pourras calculer ce volume (en retombant sur le E(z) par exemple)

[fabio123]

Salut,

@Gilgamesh, merci pour ta réponse. Je ne vois pas trop comment je pourrais conclure.

Concernant H(z), on est d'accord que les équations de Friedmann donnent :



comme faire apparaître à partir de là le facteur pour la formule du volume ?