Effet Shapiro en 2D+t

[Mailou75]

Bonsoir,

La question porte sur la possible différence de la valeur de l'effet Shapiro entre un rayon lumineux radial et un orthoradial.

.....

Si on part de la métrique de Schwarzschild, pour seulement 2D+t :



En prenant comme notations et la valeur du redshift gravitationnel perçu par un observateur éloigné regardant un immobile en r :



On peut l'écrire sous la forme :



.....

Dans le cas de rayons lumineux, on sait que (intervalle d’espace-temps nul)

- On trouve que, pour une trajectoire radiale soit :



cad que l'observateur éloigné aura l'impression que la vitesse (coordonnée) de la lumière en radial est ralentie d'un facteur

c'est ce qu'on appelle l'effet Shapiro

- On trouve que, pour une trajectoire orthoradiale soit :



cad que l'observateur éloigné aura l'impression que la vitesse (coordonnée) de la lumière en orthoradial est ralentie d'un facteur

c'est ce qu'on pourrait appeler l'effet "Shapiro orthoradial"

.....

Il y aurait, selon moi, au moins trois sources qui vont dans le sens de ce qui est décrit : pour un observateur éloigné la lumière semble ralentie de (z+1)² en radial et de (z+1) en orthoradial.

- La première est le calcul ci dessus

- La seconde est le paraboloïde de Flamm. On peut voit sur cet exemple https://forums.futura-sciences.com/d...ml#post6451284, à droite, que la projection plane (ce qui est vu par l'observateur éloigné) est compressée radialement mais pas orthoradialement. Le premier facteur (z+1) est dû à l'étirement local du temps dans un repère de Schwarzschild et le second, applicable seulement radialement, est dû à la compression visuelle. [Plus précisément sur le dessin d devient r car d est l'intégrale de (z+1) donc de manière infinitésimale c'est (z+1) qui s'applique]

- La troisième est la figure 1 sur laquelle je suis tombé récemment http://chaours.rv.pagesperso-orange....s/schwarzs.htm qui montre que le cône de lumière dans un repère de Schwarzschild "2D+t", à l'approche de Rs, va s'étirer verticalement (le premier z+1) et se compresser radialement (mais pas orthoradialement, c'est le second).

.....

La question est simple, Vrai ou Faux ? Jusqu'ici je pensais vrai car tout m'y avait mené, mais j'ai aujourd'hui de gros doutes...

Merci d'avance

Mailou
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[mach3]

Oui, la vitesse coordonnée de la lumière (donc celle utilisée pour prédire l'effet Shapiro), est diminuée comme tu le décris, radialement et orthoradialement. Cela sort directement de la métrique de Schwarzschild quand on prend ds²=0 comme tu l'as fait.

Pour le cas orthoradial, cela permet une pseudo-explication avec les mains de la deviation de la lumière double de celle prédite par Newton : la lumière, allant plus lentement qu'attendu en rasant l'astre, passe plus de temps au plus proche de l'astre que Newton ne le prédit et est donc plus déviée.

m@ch3

[Mailou75]

Salut mach3,

Merci pour cette réponse prompte et claire.

Il n'y pas si longtemps je l'aurais pris comme une confirmation de ce que je pensais, mais si je pose la question aujourd'hui c'est que je suis tombé sur un os au passage en 2D. En gros le changement de repère, entre l'observateur éloigné et un observateur en r, convertit bien les vitesses (apparemment) mais pas le "découpage de l'espace temps", bref... c'est impossible à expliquer, il faudrait que je fasse un petit dessin, j'essayerai de trouver le temps, il faut tirer cela au clair

Merci, à bientôt

[Mailou75]

Salut,

Question n°2 : la différence entre la vitesse orbitale classique et la vitesse orbitale relativiste justifie-t-elle le fait que le cône de lumière devienne asymétrique à l'approche de Rs ?

Partons de la vitesse orbitale chez Newton, en écriture "Schwarzschild" (Rs est le rayon de Schw) elle vaut simplement :

(1) à multiplier par c pour avoir des mètres/secondes

La vitesse orbitale relativiste (source Phys4 je crois), qui serait une vitesse locale, vaut :

(2) équivalente à la première pour Rs "négligeable"

Pour définir la valeur du redshift perçu par un observateur éloigné quand il regarde en r, j'utilise la notation :

toujours supérieur à 1, pour le mal de crane...

On constate après deux trois manips que :

(3)

.....

Sur cette image https://forums.futura-sciences.com/d...ml#post6441871 on peut voir deux exemples d'orbites autour d'un TN. Prenons au hasard Rouge qui orbite à r=1,71Rs. Un immobile à ce même r, Vert foncé, est vu Redshifté par un observateur éloigné de z+1=1,551 (étiré verticalement, dans le temps t) et compressé radialement.

A droite c'est de repère de Schw "normal", celui de l'observateur éloigné, la vitesse coordonnée de Rouge vaut B₁=0,540. Et dans le troisième en partant de la droite, celui de Vert foncé, la vitesse locale de Rouge vaut B₂=0,838.

La figure montre que le passage de B₂ à B₁ se fait simplement sur le même modèle que Vert foncé, étirement vertical et compression radiale, mais la compression radiale n'a aucun impact sur une vitesse orthoradiale. C'est donc comme si on étirait simplement la trajectoire de Rouge verticalement de z+1 ce qui explique graphiquement la relation B₂=(z+1)B₁ soit 0,838=1,551x0,540 dans notre exemple.

.....

Cette interprétation corrobore le fait que le cône de lumière devient asymétrique à l'approche de Rs : il n'y pas de compression orthoradiale. Et comme vous l'aurez compris, B₁ est la vitesse coordonnée dr/dt et B₂ est bien une vitesse locale, un β.

La question est de savoir si cette interprétation est la bonne, si la formule de Newton (1) donne la vitesse coordonnée de Schw dr/dt et que la formule "de Phys4" relativiste (2) donne la vitesse locale ? Dans le cas contraire il faudrait que je revoie ma copie...

Merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[Mailou75]

Remoi,

Question n°3 : là où ça se complique...

J'ai préparé un petit croquis, à la main, par flemme, parce qu'il est peut être faux et parce que ça m'évite de faire des calculs précis. C'est extrêmement grossier mais le but est de décrire un principe.

C'est le passage en Schw 2D. A droite on est dans repère d'un immobile en r. La lumière parcourt le cube d'espace temps en diagonale, à 45°, elle va à c localement, que ce soit dans le sens radial ou orthoradial, car localement rien ne doit sembler anormal. On suppose soit que r=1,5Rs soit que les photons sont guidés par une fibre optique circulaire. Plus proche du trou noir elle ralentit (en vitesse coordonnée) et plus loin elle accélère, un observateur éloigné sera vu blueshifté.

A gauche, dans le repère d'un observateur éloigné, la lumière va à 45° localement et ralentit de plus en plus à l'approche de l'horizon jusqu'à devenir nulle (trajectoire verticale).

Ce que montre le dessin c'est que, pour changer d'observateur, le cube local en r est compressé à la fois radialement et orthoradialement dans le repère de l'observateur éloigné, l'homothétie est égale dans les deux directions. C'est du au fait que c'est le repère de "tous les éloignés disposés en cercle".

On constate que la vitesse coordonnée est alors égale dans les deux directions soit c/(z+1)².

.....

Ceci va à l'encontre de ce qui a été dit jusqu'ici, mais comment concilier les deux ? Je veux bien que les formules, les sources, les validations... amènent à une certaine logique, mais si en passant en 2D+t il devient impossible de mettre bout à bout des tronçons de trajectoires, c'est qu'il y a un os quelque part

Je vous laisse méditer sur le sujet, j'attends vos réponses avec impatience

Merci

Mailou

[mach3]

Il va falloir un peu de temps pour traduire ce texte dans le "langage habituel" (en usant de la métrique et de l'équation des geodesiques notamment). Il va aussi falloir que je me replonge dans les chapitres concernant la géométrie de Schwarzschild et ses geodesiques dans le MTW.

m@ch3

[Mailou75]

D’ac merci, bonne méditation

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
En RG Vorb étant la vitesse coordonnée en R mesurée par l'observateur à l'oo ( pour R=3GM ; Vorb= c )
que localement pour un stationnaire en R:

et

on a localement :

[Zefram Cochrane]

(2) équivalente à la première pour Rs "négligeable"

La question est de savoir si cette interprétation est la bonne, si la formule de Newton (1) donne la vitesse coordonnée de Schw dr/dt et que la formule "de Phys4" relativiste (2) donne la vitesse locale ? Dans le cas contraire il faudrait que je revoie ma copie...

la formule Newton ne donne pas la vitesse coordonnée puisqu'il s'agit de la vitesse (2).
Il me paraîtrait aussi plus naturel que parce que pour R=3GM la vitesse orbitale serait égale à c localement et la vitesse coordonnée serait ce qui voudrait dire que la vitesse coordonnée de la lumière est indépendante de la direction dans laquelle elle se propage.
Donc la question est comment établit-on et à quoi correspond-elle physiquement.

[Mailou75]

Salut,

Bonjour,
En RG Vorb étant la vitesse coordonnée en R mesurée par l'observateur à l'oo ( pour R=3GM ; Vorb= c )

Et donc une vitesse locale supérieure à c? Can’t believe it...

Il me paraîtrait aussi plus naturel que parce que pour R=3GM la vitesse orbitale serait égale à c localement

T’as pas la réponse mais au moins t’as compris le problème

ce qui voudrait dire que la vitesse coordonnée de la lumière est indépendante de la direction dans laquelle elle se propage.

J’aimerais bien cette conclusion aussi, mais ça ne doit pas une contrainte.

A suivre...

[mach3]

Je sens comme un problème de "sens" quand je lis : "ce qui voudrait dire que la vitesse coordonnée de la lumière est indépendante de la direction dans laquelle elle se propage".

Quand il s'agit de coordonnées à la mode cartésienne, des x, y et z, tous des longueurs, on a des vitesses coordonnées en mètres par seconde, les dérivées des x, t et z par rapport au temps coordonnée t. Mais quand il s'agit de coordonnées de type polaires (cylindrique, sphériques, etc) il y a des coordonnées qui sont des longueurs et d'autres qui sont des angles. Le sens de "vitesse coordonnée" ne me parait pas bien clair dans ce cas (et je ne parle même pas de cas où les coordonnées sont biscornues, parce qu'on peut vraiment inventer quasiment tout ce qu'on veut). Pour une vitesse radiale coordonnée, ok, pas de souci. Par contre pour une vitesse orthoradiale coordonnée, je ne vois pas très bien, il y a ambiguïté...

Va falloir préciser cela avant de réfléchir à la validité d'une phrase comme "la vitesse coordonnée de la lumière est indépendante de la direction dans laquelle elle se propage". A mon avis il y a beaucoup de sous-entendus et une introspection est nécessaire.

m@ch3

[mach3]

Bon, après réflexion, considérons comme vitesse coordonnée orthoradiale, dans ce cas la vitesse coordonnée de la lumière est bien anisotrope.

D'ailleurs, si on fait le changement de variables classique () vers (x,y,z), on a l'apparition de termes rectangles (non diagonaux, en dxdy, dxdz, dydz) dans la partie spatiale de la métrique, ce qui caractéristique d'une anisotropie (si on était en cartographie, les indicatrices serait des ellipses)*

On peut utiliser d'autre coordonnées que celles de Schwarzschild, les coordonnées dites isotropes (voir https://arxiv.org/pdf/0904.4184.pdf , page 20), la métrique s'écrivant alors :



avec et

Dans ce cas là le passage en cartésien (ou le rho joue le rôle de r) donne une expression sans termes rectangles, et mieux encore, les termes en dx², dy² et dz² ont le même coefficient, on est isotrope (en cartographie, les indicatrices seraient des cercles, d'une taille variant avec la distance au centre).

m@ch3

* : attention, terme rectangle implique anisotropie, mais anisotropie n'implique pas forcément de terme rectangle

[Mailou75]

Salut mach3,

Merci d'avoir pris le temps de faire des recherches. Pas mal le recueil de formules, c'est dense, faut déjà être au courant du sujet

Merci pour les coordonnée sphériques isotopiques mais j'ai déjà du mal à m'en sortir en Schwarzshild "simple". Je préfère encore avoir une lumière isotopique que me faire des nœuds supplémentaires...

Bon, après réflexion, considérons comme vitesse coordonnée orthoradiale, dans ce cas la vitesse coordonnée de la lumière est bien anisotrope.

Ok, soit. Dans ce cas comment expliquer qu'il est impossible de changer de repère sans avoir de compression orthoradiale (voir image du message 5) ? Car il doit être possible de changer d'observateur par rotation. Chaque figure exige une symétrie centrale, je dirais même que c'est la base de Schw. Est quelle est la bonne formule pour la vitesse coordonnée, qui ne soit pas incohérente ? Il y a un vrai problème de synthèse... help !

Merci d'avance

[mach3]

Ok, soit. Dans ce cas comment expliquer qu'il est impossible de changer de repère sans avoir de compression orthoradiale (voir image du message 5) ? Car il doit être possible de changer d'observateur par rotation. Chaque figure exige une symétrie centrale, je dirais même que c'est la base de Schw. Est quelle est la bonne formule pour la vitesse coordonnée, qui ne soit pas incohérente ? Il y a un vrai problème de synthèse... help !

Je dois dire que je ne comprend pas vraiment la question. Alors on va décortiquer, pas à pas.

Premier pas, la relation sur la vitesse coordonnée. On part de la métrique appliquée à un 4-vecteur U (dont la composante suivant phi est nulle pour être en 2D+1) :



avec lambda le paramètre de la ligne d'univers à laquelle U est tangent (et tel que , détail technique).

On peut réarranger tout ça en :



-Si on est en genre nul, U²=0, donc :



et on retrouve en radial et en orthoradial

-Si on est en genre temps, le paramètre peut être le temps propre du corps en mouvement (), il s'en suit que U²=1, donc :



donc en radial on a :
et en orthoradial on a :

(on voit que le genre nul pourrait se déduire du genre temps en posant , ce qui est logique, le temps propre ne s'écoulant pas le long d'une ligne de genre nul, mais attention, c'est pas très propre, car rigoureusement il n'y a pas de temps propre sur une ligne de genre nul...)

On a ainsi une base solide pour démarrer, mais c'est tout pour l'instant, la suite une prochaine fois.

m@ch3

[Mailou75]

Salut et merci,

Je dois dire que je ne comprend pas vraiment la question.

Les questions 1 et 2 ont pour réponse : la vitesse coordonnée de la lumière est isotrope, il y a un facteur z+1 entre les vitesses radiale et orthoradiale. La question 3 montre que, par changement de repère, si la lumière est anisotrope localement alors elle l'est en coordonnées.

Sinon ça veut dire que Schwarzschild n'est plus un repère "valide par rotation". Il me semble qu'en disposant des observateurs éloignés en cercle autour du trou noir ils doivent tous être d'accords sur les évènements en terme de datation/espace, donc ils ont un repère commun.

et on retrouve en radial et en orthoradial

Ok, bien joué. Pour tout te dire, j'ai construit pas mal de schémas sur ce principe qui deviendraient obsolètes, snif... je préfèrerais comprendre où je me trompe et construire un Schw 2D+t qui marche avec les calculs.

Un piège peut être sur la valeur de r.dθ en mètres dans la formule de Schw ? En définissant une distance au centre R(r)=(z+1)r comme celle du repère d'un immobile en r (à droite dans le dessin) alors la valeur attribuée à R(r).dθ n'a pas la même signification (pour un même dθ en radians la distance est plus grande) et continent un facteur z+1 qui pourrait rétablir l'équilibre... dans la force.

donc en radial on a :
et en orthoradial on a :

C'est avec ça que tu vas trouver les vitesses orbitales locale/coord ? J'aimerais pas être à ta place...

On a ainsi une base solide pour démarrer, mais c'est tout pour l'instant, la suite une prochaine fois.

Ok, snif... J'espère que tu as saisi où est le bug, c'est plus motivant si ça pique ton propre intérêt.

A bientôt, merci

[Zefram Cochrane]

Bonjour,

-Si on est en genre nul, U²=0, donc :

et on retrouve en radial

Comme localement : et
->
pas de problème donc pour le cas radial.

et en orthoradial

Comme selon moi : localement pour un stationnaire à la coordonnée r,
et
donc
et donc localement dans le cas orthoradial, la vitesse de la lumière est

.......................
Si la vitesse orbitale est pour l'observateur à l'oo : localement, sera-t-elle ?
c'est à dire la formule donnée par Phys4?
.......................
J'obtenais les même Vsat et V'sat en considérant que localement la vitesse coordonnée de la lumière était localement la même, ie dans le cas radial et orthoradial.
il faudrait vérifier que la formule donnée par Phys 4 est la bonne.

[Mailou75]

Si la vitesse orbitale est pour l'observateur à l'oo : localement, sera-t-elle ?
c'est à dire la formule donnée par Phys4?

C'est ça, c'est la "Question n°2", tout est lié : SI l'observateur éloigné voit toujours des vitesses orbitales newtoniennes, que localement ce soit la même vitesse augmentée d'un facteur z+1 ET que le cône passé/futur devient asymétrique à l'approche de Rs ALORS les calculs sont cohérents MAIS il est impossible de les représenter dans un repère de Schwarzschild 2D+t.

On a pas tellement avancé

[Mailou75]

On a ainsi une base solide pour démarrer, mais c'est tout pour l'instant, la suite une prochaine fois.

Tu entendais quoi par «une prochaine fois» ? lol

Parce que mine de rien on en est au même stade qu’au post #1. J’ai toujours une super métrique de Schwarzschild infaillible en 1D+t mais inepte en 2D+t. Impossible d’ajouter une dimension et de dessiner une géodésique lumière (pour commencer) avec les formules sur lesquelles nous sommes, malheureusement, d’accord.

Merci d’avance

Mailou