Bruit de Poisson sur des a_lm et variance des C_l

**fabio123** · 19/09/2023, 01h32

Bonjour,

1) Dans un contexte cosmologique, lorsque j'ajoute un bruit de Poisson centré sur $a_{\ell m}$ et que je prends la définition d'un $C_{\ell}$ de cette manière :

$ C_{\ell}=\frac{1}{2 \ell+1} \sum_{m=-\ell}^{+\ell}\left(a_{\ell m}+\bar{a}{\ell m}^p\right)\left(a{\ell m}+\bar{a}{\ell m}^p\right)^* $
Le bruit de Poisson est-il un nombre complexe ou est-il simplement un nombre réel ? Sachant que la variance du Poisson est égale dans mon cas à :
$\operatorname{Var}\left(\bar{a}{\ell m}^p\right)=\frac{1}{n_{g a l} f_{s k y}}$ où $n_{g a l}$ est la densité de galaxies et $f_{s k y}$ la fraction du ciel observée.

2) Quelle est la variance de la partie réelle et de la partie imaginaire d'un $a_{\ell m}$ : habituellement, on dit que :
$\operatorname{Var}\left(a_{\ell m}\right)=C_{\ell}$ mais étant donné que $a_{\ell m}$ est un nombre complexe, on pourrait dire que :
$\operatorname{Var}\left(\operatorname{Re}\left(a_{\ell m}\right)\right)$ a une variance égale à $\frac{C_{\ell}}{2}$

et

$\operatorname{Var}\left(\operatorname{Im}\left(a_{\ell m}\right)\right)$ a une variance égale à $\frac{C_{\ell}}{2}$
puisque :

$ \begin{aligned} & \left|a_{\ell m}\right|^2=\operatorname{Re}\left(a_{\ell m}\right)^2+\operatorname{Im}\left(a_{\ell m}\right)^2 \ & E\left[\left|a_{\ell m}\right|^2\right]=E\left[\operatorname{Re}\left(a_{\ell m}\right)^2\right]+E\left[\operatorname{Im}\left(a_{\ell m}\right)^2\right]=C_{\ell} \end{aligned} $

Est-ce correct ?

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