Cosmologie , espace de De Sitter et cinquieme dimension

[JinX24]

Bonjour a tous,

Je voudrais, s'il vous plait , demander plus d 'explication/discussion concernant les relations eventuelles entre la cosmologie, l'espace de De Sitter et le concept de cinquieme dimension physique.

J'ai des competences avances en Math et Physique mais mes connaissances en cosmologie sont par contres assez limites . Donc veuillez m' excuser et me corriger s'il y Des erreurs dans mes affirmations: selon ce que j'ai pu lire , les donnees existantes sur la cosmologie sont en faveur d' un univers approximativement analogue a un espace de De Sitter a grande echelle ? Mais mathematiquenent, un espace de De Sitter se ne se decrit- il pas plutot bien avec un espace-temps de dimension 5 ?
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[Antonium]

Bonjour,

L’espace de de Sitter peut se définir en n’importe quelle dimension d, il s’agit simplement de la surface d’equation -x0^2 + x1^2+…+xd^2 = R^2. dans l’espace de Minkowski de dimension d+1.
La constante cosmologique est alors ~ 1/R^2 >0 et donc positive.

Aujourd’hui l’espace temps aux échelles cosmologiques se décrit plutôt par l’espace temps de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker, mais cette solution (qui dépend du temps) devient asymptotiquement de Sitter dans le futur. Physiquement ça vient du fait que les densités d’énergie liées à la matière, radiation et courbure se diluent toutes lorsque le volume d’espace augmente, au contraire de celle liée à la constante cosmologique qui reste constante. Donc dans le futur toutes les densités deviennent négligeable par rapport à la constante cosmologique qui devient alors la seule contribution et l’espace temps devient alors de Sitter.

[JinX24]

Je vous remercie pour votre reponse et explications. Il y a un point que je comprends un peu mal avec les modeles d'univers. En faite, par exemple pour une analogue tres simple : si nous disons que l'univers est un sphere , est ce que cela voudrais dire que la surface de la sphere correspond a l'espace et son rayon au temps et son interieur correspondrais alors a l'ensemble de tout le passe de l'univers ? Bien sur c'est juste une analogie plus ou moins grossierre mais il faudrait alors transpose l'analogie en remplacant le sphere par un espace de De Sitter (du moins asymptotiquement dans le futur comme vous avez dit) ? Il se peut que Je me trompe vraiment sur l'analogie mais c'est difficile d'imaginer une image geometrique du modele .

[yves95210]

Salut,

En faite, par exemple pour une analogue tres simple : si nous disons que l'univers est un sphere , est ce que cela voudrais dire que la surface de la sphere correspond a l'espace et son rayon au temps et son interieur correspondrais alors a l'ensemble de tout le passe de l'univers ?

Pas une sphère (surface 2D), mais une hypersphère (hypersurface 3D d'un espace-temps 4D), même si c'est bien sûr plus aisé de se le représenter comme une sphère (et l'analogie fonctionne).
Mais oui, c'est un modèle d'univers possible, décrit par la métrique de Friedmann-Lemaître (solution de l'équation d'Einstein pour un univers spatialement homogène et isotrope) avec une densité d'énergie totale supérieure à la densité critique et une courbure spatiale positive. Le rayon de l'hypersphère correspond au facteur d'échelle a(t) de la métrique, fonction strictement croissante du temps cosmologique t tant que l'univers est en expansion.
Dans ce modèle, en l'absence de constante cosmologique (ou d'"énergie sombre"), l'hypersphère grandit tant que l'univers est en expansion, mais son taux d'expansion ne cesse de diminuer jusqu'à atteindre zéro et devenir négatif, conduisant alors à une phase de contraction (la fonction a(t) devient décroissante). En revanche, en présence d'une constante cosmologique (conformément aux observations qui montrent que l'expansion est accélérée), le taux d'expansion diminue, mais tend asymptotiquement vers une valeur positive constante (a(t) reste donc croissante).

[A voir en vidéo sur Futura]

[JinX24]

Bonjour, Je vous remercie beaucoup pour ces informations et precisions. Connaissez-vous un peu plus sur la relation entre la constante cosmologique et un eventuel cinquieme dimension? Merci encore

[Antonium]

Bonjour,

En général la constante cosmologique provient de l’énergie de point zéro des champs de matière de la théorie en 4 dimensions. Cela provient de la valeur du potentiel à son minimum.
Par exemple pour un oscillateur harmonique le potentiel est (classiquement) 1/2 m w^2 x^2 et il atteint son minimum en x=0, et a comme valeur 0 : aucune énergie du vide. Il se trouve que des effets quantiques modifient ce potentiel, et la nouvelle énergie du point zéro est 1/2 hbar omega. On le voit très simplement en diagonalisant le Hamiltonien et en regardant quelle est sa valeur propre la plus petite. Souvent en mécanique quantique on ne considère pas cet effet car on dit que l’énergie n’est définie que par des différences et qu’on peut donc impunément la changer d’une constante. C’est vrai tant qu’on ne considère pas la gravitation. (Il y a une autre situation dans laquelle la valeur absolue de l’énergie est importante, et cela concerne les théories supersymmetriques.)

Il se trouve que lorsqu’on considère des dimensions supplémentaires (ça peut être 5 ou même plus), le potentiel des champs scalaires est modifié et de même pour son énergie du point zéro. Ainsi on pourrait dire «*la cinquième dimension influe la constante cosmologique*».

Il faut quand même prendre des pincettes car les motivations pour introduire des dimensions supplémentaires ne sont (à ma connaissance) jamais reliées à la constante cosmologique. C’est plutôt une conséquence d’autres principes.

Notons également que tout ceci est spéculatif et qu’à part des argument théoriques, autant solides qu’ils puissent être, on a jamais fait de mesures pour observer ces dimensions supplémentaires. C’est lié au fait que les contraintes actuelles suggèrent des dimensions très petites qui ne peuvent pas être accédées par nos technologies actuelles.

[JinX24]

Bonjour, Je vous remercie beaucoup pour votre reponse et ces explications. En fait aussi, J'ai voulu poser la question car il me semble que vous avez indique dans une reponse precedente si j ai bien compris qu'il y a une relation entre le R (qui est une sorte de rayon de l'espace de De Sitter?) et la constante cosmologique?

[Antonium]

Oui lors d’une évolution de de Sitter le «*rayon de l’univers*» grandit exponentiellement R(t) = e^(H t) où H est le rayon de Hubble relié à la constante cosmologique par H = sqrt(Lambda)

(Il peut y avoir des différences avec des facteurs 2 ou 3 suivant les conventions mais c’est la relation basique)