Bonjour, j'ai un DM corsé de Physique-Chimie à faire pour la semaine prochaine et je souhaiterais de l'aide.
Voici la partie chimie où je n'arrive pas du tout (les deux premières parties ont été faites en classe) :
On applique la méthode d'Euler à la pollution d'un réservoir de volume constant V contenant initialement de l'eau "pure". Il reçoit une eau polluée à la concentration C(0) et évacue, au même débit d, une eau "mélangée".
Ne vous souciez pas de la longueur du sujet car, comme déjà dit, plus de la moitié a déjà été fait en classe. Il y a au final 6 questions (histoire de rassurer).
I.Mise en équation
On appelle n(t), la quantité de matière polluante à l'instant t dans le réservoir et C(t), la concentration correspondante.
a)Exprimer la quantité de matière ne qui entre dans le réservoir pendant l'instant dt, en fonction de C(0) et d.
n(t) = C(t) X V
ne = d X dt X C(0)
b)Exprimer, pendant le même intervalle de temps dt, la quantité de matière ns qui s'échappe du réservoir, en fonction de n(t), V, d et dt.
ns = d X dt X C(t)
= (d X dt X n(t)) / V
c)En déduire la variation de quantité de matière entre les instants t et t+dt : n(t+dt)-n(t).
n(t+dt) - n(t) = ne - ns = d X dt (C(0) - C(t))
(n(t+dt) - n(t)) / dt = d(C(0) - C(t))
d)En déduire l'équation différentielle vérifiée par n(t). Indiquer la condition initiale.
dn / dt = d(C(0) - n(t)/V)
dn/dt + d/V (n(t)) = d.C(0)
Condition initiale : n(0) = 0 ou C(0) = 0.
e)Quelle est la solution analytique de cette équation différentielle ?
n(t) = A + B.e(αt)
II.Calculs
En vue d'une réalisation expérimentale, on fixe les valeurs suivantes :
C(0) = 10^-2 mol/L (eau salée), V = 100mL et d = 0,8 mL/s.
Calculer, à l'aide d'un tableur, les valeurs successives de n(t) en utilisant la méthode d'Euler.
(n(t+dt) - n(t)) / dt = d.C(0) - d/V (n(t))
n(t+dt) - n(t) = (dC(0) - d/V n(t)).dt
n(t+dt) = n(t) + (d.C(0) - d/V n(t)).dt
n(t+dt) = n(t) + (10^-2 X 8.10^-4 - 8.10^-3 X n(t)).dt
n(t+dt) = n(t) + 8.10^-6 (1 - 10^3 X n(t)).dt
condition initiale : n(0) = 0
III. Cas de la dépollution d'un réservoir
Le réservoir pollué à la concentration C(0), reçoit de l'eau "pure".
Reprendre le même calcul que précédemment.
1)Expliciter l'équation différentielle vérifiée par n(t)?
2)Quelle est la condition initiale vérifiée par n(t) ?
3)On pose : τ = V/d , montrer que τ a la dimension d'un temps.
4)Donner la solution de l'équation différentielle vérifiée par n(t) puis en déduire l'expression de C(t).
On expérimente le procédé de dépollution, en mesurant la conductivité d'une solution d'eau salée. Le volume du réservoir est V = 118mL. Le tableau suivant donne la concentration C(t) au cours du temps :
t(s) 0 20 40 60 80 100 120 140 160
C(t) 10 8.57 7.62 6.75 5.73 5.09 4.5 3.79 3.36
t(s) 180 200 220 240 260 280 300 320 340
C(t) 2.99 2.55 2.26 1.99 1.68 1.5 1.3 1.12 0.97
t(s) 360
C(t) 0.87
C(t) en mmol/L
5)Exploiter ces données pour déterminer la concentration initiale de la solution d'eau salée et le débit d, en décrivant la méthode et les outils utilisés.
6)Au bout de combien de temps la concentration atteint-elle un centième de la valeur initiale ?
Merci d'avance pour votre aide car j'ai vraiment beaucoup de mal avec les équations différentielles ...
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