Equation différentielle d'Euler

[invitecd8a9701]

Salut à tous,

Je suis en MPSI et on me demande de résoudre cette équation d'Euler : x²y''+4xy'+2y=0
D'après ce que j'ai compris, l'idée serait d'effectuer un changement de variable x= exp(t) pour trouver une équation différentielle vérifiée par la fonction z(t)=y(exp(t)) et ensuite se ramener à une équation linéaire.
Cependant, je ne vois pas comment faire...
Je demande votre aide.
Merci d'avance.
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[invitec317278e]

Et bien faisant ce changement de variable, on remarque que :
x²y"=z"

[invitecd8a9701]

Merci pour cette piste vers laquelle vous m'avancez mais je pense que le problème est que je n'arrive pas à voir à quoi correspond la fonction y(exp(t))...

[invite57a1e779]

A une bête composée : si , alors , tout simplement.

Lorsqu'on dérive la relation , on obtient immédiatement puis .
Comme on a, pour tout , , on en déduit que, pour tout , , c'est-à-dire .
Et l'on peut facilement déterminer comme solutions d'une équation différentielle à coefficients constants.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecd8a9701]

Merci beaucoup.
Désormais tout devient clair !!!
Effectivement, c'etait à portée de vue mais je n'y est même pas pensé...
Merci encore.

[invite57a1e779]

... , c'est-à-dire .

Je m'autocorrige : il faut bien évidemment lire