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Equation différentielle d'Euler



  1. #1
    Padraig

    Equation différentielle d'Euler


    ------

    Salut à tous,

    Je suis en MPSI et on me demande de résoudre cette équation d'Euler : x²y''+4xy'+2y=0
    D'après ce que j'ai compris, l'idée serait d'effectuer un changement de variable x= exp(t) pour trouver une équation différentielle vérifiée par la fonction z(t)=y(exp(t)) et ensuite se ramener à une équation linéaire.
    Cependant, je ne vois pas comment faire...
    Je demande votre aide.
    Merci d'avance.

    -----

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  3. #2
    Thorin

    Re : Equation différentielle d'Euler

    Et bien faisant ce changement de variable, on remarque que :
    x²y"=z"
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  4. #3
    Padraig

    Re : Equation différentielle d'Euler

    Merci pour cette piste vers laquelle vous m'avancez mais je pense que le problème est que je n'arrive pas à voir à quoi correspond la fonction y(exp(t))...

  5. #4
    God's Breath

    Re : Equation différentielle d'Euler

    A une bête composée : si , alors , tout simplement.

    Lorsqu'on dérive la relation , on obtient immédiatement puis .
    Comme on a, pour tout , , on en déduit que, pour tout , , c'est-à-dire .
    Et l'on peut facilement déterminer comme solutions d'une équation différentielle à coefficients constants.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Padraig

    Re : Equation différentielle d'Euler

    Merci beaucoup.
    Désormais tout devient clair !!!
    Effectivement, c'etait à portée de vue mais je n'y est même pas pensé...
    Merci encore.

  8. #6
    God's Breath

    Re : Equation différentielle d'Euler

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    ... , c'est-à-dire .
    Je m'autocorrige : il faut bien évidemment lire
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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