Chimie des solutions

[invite00e3275f]

Bonjour, je fais appel encore une fois à vous

J'ai un soucis avec le corrigé d'un exercice que notre professeur nous a distribué.



Je ne comprends pas le résultat que j'ai encadré en rouge. Je m'explique : Afin de déterminer X, nous sommes amener dans cet exercice à résoudre une équation du second degré, jusqu'à là, aucun soucis.

x²+Cox-10^-14

Co = 0.05 donc je réalise le delta : B²-4AC soit => 0.05²-4*1*(-10^-14) ce qui me donne 2.50*10^-3

Donc pour avoir X1 = -0.05- Racine(2.50*10^-3)/2 = -0.05 X2 = -0.05+racine(2.50*10^-3)/2 = 0

J'ai un résultat négatif et un autre nul, je suis loin des 2.10^-13 de la correction :/

Merci d'avance
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[moco]

Bonjour,
Tu es victime de ton approximation et de ta calculatrice.
Je m'explique. Quand on cherche à résoudre une équation du 2ème degré y = ax² + bx + c = 0 dont le terme c est très très petit, la machine considère que ce paramètre est nul.
Exemple. Si tu veux résoudre l'équation x² + x + 10^-30 = 0, tu poses que le delta vaut :
b² - 4ac = 1² + 4·10^-30.
Et ceci, les calculatrices ordinaires considèrent que ce 10^-30 dépasse les capacités de leur mémoire, donc que delta = 1. Cela revient à remplacer l'équation de départ par : x² + x = 0, avec deux solutions : 0 et -1. Or -1 est juste. C'est zéro qui est incorrect. La vraie solution est très très petite, mais différente de zéro.

Dans ces cas là, il ne faut pas résoudre l'équation en calculant le delta. Il faut passer par une autre voie.
Si tu réécris l'équation de départ en divisant par a, tu trouves : x² + (b/a)x + c/a = 0.
Or b/a est la somme des deux solutions x₁ et x₂, et c/a est leur produit. Il faut chercher deux valeurs numériques telles que leur produit x'x" = c/a, et leur somme -b/a.
Dans ce cas on résout l'équation par la méthode ordinaire. On trove deux solutions dont l'une est différente de zéro et l'autre est nulle. On en ne carde que la solution différente de zéro, que j'appelle x' et on calcule l'autre en divisant c/a par x'.

Avec ton équation, c/a vaut 10^-14, et la méthode standard te donne deux solutions dont l'une x' est approximativement zéro et l'autre x" vaut -0.05. La première solution, calculée exactement sera donc : x' = (-10^-14)/(-0.05) = 2 10^-13

[invite00e3275f]

Merci d'avoir pris le temps de me répondre, ce n'est pas une méthode que j'ai l'habitude de voir, mais elle va mettre très utile pour résoudre des équations avec un c très petit. Il est vrai que j'aurais pu faire directement l'hypothèse que x << 0.05 mais j'aime me prendre la tête avec des calculs à rallonge. Merci pour votre explication, vous me débloquez d'un weekend de réflexion