Calcul méthode CLOA , orbitale moléculaire

[inviteb73ca36d]

Bonsoir, en pleine révision sur le calcul de l’équation de Schrödinger dans le cas d'une molécule diatomique homo nucléaire je suis bloqué a une étape .. alors voila :
Ce que je ne comprend c'est tout d'abord à l'étape 9 comment ils ont pu développer et enfin comment arriver à l'étape 10 .. Sachant que c'est la première fois que je vois toute ces nouvelles notations ( je suis en L3 chimie donc jamais toutes ces maths et les ressources sur le web n'explique pas ou je cherche mal .. )J'ai l'impression de rater beaucoup de chose Merci pour votre aide !!!

-----

[Resartus]

Bonjour,

Il s'agit de notations qu'on utilise dans les espaces de Hilbert. Il faudrait trouver un cours sur le sujet, car cela sera un peu difficile sinon.

En attendant que cela vous devienne plus familier, imaginez un espace vectoriel de dimension infinie, dans lequel les vecteurs ligne sont représentés comme <X| (on appelle cela des "bra") et les vecteurs colonne par des |Y> (ce sont des "ket"s ).
Il y a juste une subtilité : quand on passe du vecteur colonne |ket> au <bra|, on passe en ligne mais on prend aussi le conjugué (l'espace est bâti sur le corps C des complexes)
Quand on écrit H|X>, c'est un vecteur ket qui est l'image de |X> par la transformation représentée par la matrice H
Et quand on écrit <Y|X>, c'est une sorte de produit scalaire et <X|X> donne la norme du vecteur.
Les opérations entre ces vecteurs et les matrices ont les propriétés habituelles : linéarité, distributivité, règles de multiplication par une constante, etc.

Essayez de développer les formules de votre texte comme vous le feriez en calcul matriciel, vous allez retrouver les divers termes du développement
Bon courage!

[moco]

Bonsoir,
Il faudrait que tu nous dises ce que tu ne comprends pas. Où est le problème ? Parce que, pour moi, tout est clair. Est-ce que tu ne comprends pas la signification des caractères utilisés comme les barres verticales, ou l'usage des symboles > et < ? Est-ce que tu as compris que H n'est pas un coefficient, et ni une fonction, car c'est un opérateur. Est-ce que tu as compris par contre que E n'est ni une fonction, ni un opérateur, mais une valeur numérique, et que c'est cette valeur qu'on cherche en fin de compte ? Sais-tu ce que signifie le terme d'opérateur ? Est-ce que tu sais ce qu'est une fonction propre et une valeur propre ? Est-ce que tu sais qu'une fonction d'onde est normalisée, et ce que signifie ce mot ?

A Resartus : Je doute que note correspondant connaisse les espaces de Hilbert, les espaces vectoriels de dimension infinie et le calcul des matrices. Je peux me tromper. Il faudra probablement faire plus simple.

[inviteb73ca36d]

Bonjour à tous les deux tout d'abord merci pour vos réponses .

En ce qui concerne Resartus je crois que ce que tu veux m'expliquer et bien c'est un peu trop pour un chimiste le prof nous à jamais parlé de tout ça il nous a vraiment donner les formule tout simplement.

Moco ce que je ne comprend pas c'est le développement qui a pu se produire entre l'étape 9 et 10 car j'essaye de le faire mais sans réussite.. C'est ça mon problème
Qu'est ce qu'un opérateur et comment il fonctionne ? Sur la toile tout est un peu trop poussé ..
Pour la Valeur de E oui je sais

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

Bonjour,
Il faudrait chercher des cours d'algèbre linéaire niveau classe prépa scientifique, ou bien maths pour les physiciens (la plupart des fac proposent ce genre de module)
Quelques rudiments de théorie des groupes seraient également utiles pour poursuivre avec des molécules plus complexes

En attendant, il faut utiliser le fait que les produits matriciels ont des propriétés proches du produit habituel :
distributivité à droite et à gauche par rapport à l'addition
H |phi+psi>= H|phi>+H|psi> et <phi+psi|H=<phi|H + <psi|H
et possibilité de mise en facteur des constantes : H|c.phi>=(cH)|phi>=c.(H|phi>

Essayez avec ces règles de retrouver le passage de 9 à 10...

Attention par contre, le produit matriciel n'est pas commutatif : HK sera généralement différent de KH.

Par ailleurs, les vecteurs d'onde utilisés sont généralement normalisés, c'est à dire que <phi|phi> vaut 1 (car cela représente la probabilité totale de présence de l'électron, qui vaut 1 quand on intégre sur tout l'espace). Si ce n'est pas le cas, il faudra diviser les résultats par leur norme de la fonction d'onde pour trouver les bonnes valeurs des énergies.

Quand on fait <phi|psi>, on a une intégrale de recouvrement qui est forcément plus petite en valeur absolue que 1, mais qui peut être positive ou négative : on peut s'en faire une idée très quali en regardant les lobes de chacune des orbitales, avec leur signe, et en essayant de voir ce que peut donner le produit. S'il y a plus de zones où les signes sont les mêmes, intégrale positive, sinon négative. Et parfois, pour des raisons de symétrie cette intégrale de recouvrement sera nulle : par exemple une fonction d'onde s de l'atome 1 aura une intégrale de recouvrement nulle avec les orbitales p de l'atome 2 perpendiculaires à l'axe de la molécule.

[Sethy]

Je crois que je vois le problème. Le prof va bcp trop vite.

A la ligne 9, il faut bien sentir, que l'opérateur H s'applique à

[Sethy]

Je crois que je vois le problème. Le prof va bcp trop vite.

A la ligne 9, il faut bien sentir, que l'opérateur H s'applique à ce qui est à droite, soit :



Donc quand on multiplie par ce qui est à gauche du H et qui contient aussi 2 quantités, on obtient 4 termes :



La ligne suivante est simple, puisqu'il met juste les constantes multiplicatives en évidence.

Ensuite, il faut bien sentir ce qu'il fait en posant alpha et beta.

Si on avait un seul atome on aurait une seule équation et évidemment, il serait facile de voir que :



puisque par définition :



Dans une molécule diatomique, quand on a un terme de la forme "1-1" ou "2-2" :



Cela correspond "en gros" à l'énergie d'interaction entre l'électron et le noyau, c'est pour ça qu'on l'appelle alpha, le terme "coulombien".

A l'inverse, les termes croisés 1-2 ou 2-1, reviennent à considérer l'interaction entre l'électron et l'atome voisin, c'est pour ça qu'on appelle "beta" le terme de résonance puisque les deux systèmes considérés sont voisins.

[moco]

Bonjour,
Première chose à savoir : Un opérateur est une opération mathématique qui agit sur une fonction.
Ex.: Sinus est un opérateur et il agit sur un nombre ou sur une variable ; sinus n'existe pas en tant que tel, mais sin 0.6 ou sinx existent !
Logarithme est un opérateur. Il n'existe pas en tant que tel. Mais log 0.45, ou log x existent.
Dérivée par rapport à x est un opérateur. "Dérivé de" agit sur x ou une fonction de x, mais pas sur un nombre.
Dérivée seconde est un autre opérateur. Racine carrée est un autre opérateur, qui agit sur un nombre et sur une fonction.

2ème chose à savoir : Valeur propre et fonction propre. Une fonction propre est une fonction de x telle que l'action d'un opérateur équivaut à multiplier cette fonction par une constante, dite valeur propre.
Ex.1: L'opérateur "dérivée par rapport à x" admet comme fonction propre les exponentielles e^ax, où a est un nombre, car la dérivée de e^ax s'écrit : a·e^ax, et il admet comme valeur propre le nombre a.
Ex.2. L'opérateur sinus n'a pas de fonction propre, ni de valeur propre. L'opérateur logarithme n'a pas non plus de fonction propre. L'opérateur "racine carrée" non plus.
Ex.3. L'opérateur "dérivée seconde" admet deux sortes de fonctions propres. Ce sont les exponentielles, et les sinusoïdes.
En effet, la dérivée seconde de e^ax est a²e^ax, et la valeur propre est a².
De même sin(ax) est une fonction propre de "dérivée seconde" car la dérivée seconde de sin(ax) vaut -a²sin(ax), et la valeur propre est -a².

As-tu compris ? Si oui, tu peux lire plus avant. Si non, il faut relire, car tout cela n'est que l'entrée en matière de l'équation de Schrödinger.

L'équation de Schrödinger sert à calculer l'énergie d'un atome ou d'un électron ou d'une molécule. Pour un électron, cette énergie, vue d'un oeil classique, est la somme de l'énergie potentielle E_pot = -Ze²/r, et de l'énergie cinétique E_cin =(1/2)mv². Au niveau atomique, ce calcul n'est plus possible pour l'énergie cinétique, car l'électron n'a pas de vitesse. Sa vitesse n'est pas nulle. Non, elle n'existe pas. L'électron n'a pas plus de vitesse qu'il n'a de religion ou de couleur. Par contre, il a une énergie cinétique. Mais cette énergie cinétique ne se calcule pas selon (1/2)mv². Pour la calculer, accroche-toi !

Pour la calculer, on remplace E = -Ze²/r + (1/2)mv² par un opérateur dit "hamiltonien" symbolisé H, qui contient le produit d'une constante par l'opérateur "dérivée seconde". La "constante" est une combinaison de constantes universelles comme h, pi, la charge et la masse de l'électron. Pour trouver l'énergie de l'électron, il faut trouver la valeur propre de cet opérateur Hamiltonien lorsqu'il agit sur la fonction propre de cet Hamiltonien. Il faut donc et d'abord trouver les fonctions propres de cet Hamiltonien, puis en tirer la valeur propre.

Le hamiltonien de l'électron s'écrit : H = - Ze²/r + constante · d²/dr²

La fonction propre du Hamiltonien de l'électron s'appelle "fonction d'onde", et on l'appelle phi(x,y,z) ou psi(x,y,z), selon les cas, ou x, y et z sont les coordonnées de l'électron par rapport au noyau. Pour trouver l'énergie E de l'électron, il faut appliquer le Hamiltonien sur la ou les fonctions propres que j'appelle phi, et chercher les valeurs propres E. En bref cela s'écrit :

..... H psi(x,y,z) = E psi(x,y,z)

Cette équation est dite "Equation de Schrödinger". Et il faut plusieurs heures pour trouver d'abord les fonction psi(x,y,z) et les énergies ensuite. Il est clair que les fonctions d'onde, donc les solutions de l'équation de Schrödinger, sont des combinaisons d'exponentielles, de sinus et de cosinus. Quand on essaie de trouver les fonctions d'onde, on s'aperçoit qu'il faut introduire des nombres entiers, qui sont un peu comme les k des valeurs "phi + 2 kpi" qu'on rencontre en trigonométrie. Ces nombres entiers sont au nombre de trois et sont appelés nombres quantiques; ils prennent des valeurs dites n, l et m. Le nombre quantique n définit le numéro de la couche. Le 2ème nombre l définit l'orientation de l'électron, et sert à définir l'orbitale s, p, d ou f, que tu connais sans doute déjà.

Pour en revenir à ton problème, il faut savoir que les fonctions d'onde doivent être "normalisées". En effet, il est clair que si on trouve une fonction propre comme psi = A e^-ar, n'importe quel multiple de A e^-ar est aussi une solution de l'équation de Schrödinger, avec la même valeur propre. Pour lever cette indétermination, on a décidé que le produit de psi(r) · psi(r)* intégré sur tout l'espace, doit être égal à 1. J'ai oublié de dire que ces fonctions psi(r) contiennent peut-être des nombres complexes, et que psi(r)* est le conjugué complexe de psi(r).

Pour finir, j'espère que tu vois que, si on multiplies l'équation de Schrödinger des deux côtés par psi(r)*, et qu'on intègre sur tout l'espace, on trouve que : Intégrale de psi(r)* H psi(r) = E [intégrale de psi(r) psi(r)*] = E.

Tu as besoin de ces deux formules pour comprendre ton texte. As-tu suivi ?

[inviteb73ca36d]

Bonjour à tous excusez moi du temps de réponse je vous remercie tous infiniment , votre aide m'a apporté énormément