Cercle tournant au tour d'un autre

[shaams]

Bonjour,
On pose deux cercles superposés ou qui se touchent, qu'on nomme et le rayon du cercle vaut le tiers de celui de . On fait tourner le cercle sur le cercle pour revenir à sa position initiale. Combien de tours sur lui même a effectué le cercle pour parcourir le cercle B ?
J'ai dit 3 tours sauf que cette vidéo https://www.youtube.com/watch?v=kN3AOMrnEUs me contredit et l'expérience montre 4 tours . D'où vient ce tour supplémentaire ?
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[minushabens]

c'est comme pour la lune: selon que tu comptes les tours par rapport à une direction fixe, ou par rapport à la droite qui joint son centre au centre de la Terre, tu auras 1 ou 0 tour. Là c'est 4 ou 3.

[phys4]

Bonjour,

Bonjour, le tour supplémentaire provient de la rotation de A autour de B dans le même sens : il y a 3 tours Plus le tour de B ce qui fait 4.

Si vous faites la rotation à l'intérieur de B, le cercle supplémentaire se retranche et vous aurez seulement 2 tours.
A plus

[shaams]

Mais il y a un truc que je ne perçoit pas, normalement quand le cercle A fait un tour ça veut qu'il parcourt une distance qui est égale à sa circonférence, donc normalement en faisant 3 tours je parcours exactement le périmètre du cercle B ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[phys4]

C'est exact si vous prenez comme direction de référence la droite des centres des cercles A et B. Il y a bien 3 tours par rapport au point de contact des cercles.
L'erreur commise c'est de compter par rapport à une direction fixe, le point de contact fait un tour également qui peut s'ajouter ou se retrancher du nombre de tours.

[mach3]

Je reformule d'une autre façon. Mettons le petit cercle à midi sur le grand cercle et posons une marque à la jonction entre les deux (à midi sur le grand et 6h sur le petit). Faisons rouler le petit cercle autour du grand. A chaque fois que la marque du petit cercle se retrouve à 6h, le petit cercle à fait un tour.
quand le point de contact est sur 1h sur le grand cercle, la marque sur le petit est à 10h
quand il est à 2h, la marque est à 2h
quand il est à 3h, la marque est de nouveau à 6h --> on a fait un tour
4h - 10h -->la marque du petit cercle touche le grand
5h - 2h
6h - 6h --> on a fait un 2e tour
7h - 10h
8h - 2h -->la marque du petit cercle touche le grand
9h - 6h --> on a fait un 3e tour
10h - 10h
11h - 2h
12h - 6h --> on a fait un 4e tour

m@ch3

[minushabens]

Mais il y a un truc que je ne perçoit pas, normalement quand le cercle A fait un tour ça veut qu'il parcourt une distance qui est égale à sa circonférence, donc normalement en faisant 3 tours je parcours exactement le périmètre du cercle B ?

quand tu tiens ce raisonnement tu imagines le grand cercle "déplié" et donc le petit cercle roulant sur un segment de droite. Sur ce segment qui mesure trois fois sa circonférence le petit cercle fait trois tours. Mais ensuite il faut replier le segment pour en faire un cercle et c'est là qu'apparaît le quatrième tour.

[jiherve]

Bonsoir,
Une variante amusante:
Un disque, donc limité par un cercle(rayon R), comporte dessiné à l’intérieur un second cercle donc de rayon inférieur(rayon r), sur un rayon du cercle limitant le disque on note un point A et à l'intersection de ce rayon avec le petit cercle un point B.
On fait rouler le disque sur un plan de telle sorte que le point A ait parcouru un tour complet , la longueur parcourue est donc 2*PI*R
bien évidement le point B est toujours en regard du point A et donc le petit cercle aura "roulé" sur un segment virtuel parallèle au plan précité, il aura aussi fait un tour complet donc la longueur parcourue sera 2*Pi*r, les segment parcourus étant strictement parallèles et les points de départ et d'arrivée situés sur deux perpendiculaires à ces segment alors il en découle que :
2*PI*R = 2*Pi*r quelque soient R et r
JR

[shaams]

quand tu tiens ce raisonnement tu imagines le grand cercle "déplié" et donc le petit cercle roulant sur un segment de droite. Sur ce segment qui mesure trois fois sa circonférence le petit cercle fait trois tours.

Justement, c'est ça.

Mais ensuite il faut replier le segment pour en faire un cercle et c'est là qu'apparaît le quatrième tour.

Voila le bug, j'ai du mal à visualiser le truc parce que si je calcule 4 tours c'est comme si j'avais calculé 4 fois la circonférence.

[shaams]

Mon problème vient du nombre de tours sur lui-même du cercle A. Je comprends que le parcours du cercle A sur le cercle B compte comme un tour ( 3 tours sur lui-même +1 tour autour du B) . Ma question serait exactement pour le cercle A fait 4 révolution sur lui-même sur périmètre de 3 fois le sien ?

[minushabens]

reprenons le cas de la Lune. Suppose que le petit cercle, au lieu de rouler sur le grand cercle, glisse sur lui de sorte que le point du petit cercle qui touche le grand cercle est toujours le même. Si tu déroules le grand cercle, le petit cercle en glissant sur le segment ainsi formé ne tourne pas du tout. Il fait zéro tour. Maintenant tu enroules le segment de façon à former le grand cercle, et tu imagines les positions successives du point du petit cercle qui est en contact avec le grand cercle (on a dit que c'était toujours le même). Il décrit tout le grand cercle, donc il fait exactement un tour.

[Médiat]

Bonjour,

Je ne suis pas sûr d'aider beaucoup shaams, mais on peut noter que l'équation d'une épicycloïde est ( est justement le rapport des rayons des 2 cercles) :




Si le petit cercle roulait à l'intérieur et non à l'extérieur du grand cercle, il ferait un tour de moins et non un tour de plus, et, sans surprise, l'équation de l'hypocycloïde est :

[shaams]

reprenons le cas de la Lune. Suppose que le petit cercle, au lieu de rouler sur le grand cercle, glisse sur lui de sorte que le point du petit cercle qui touche le grand cercle est toujours le même. Si tu déroules le grand cercle, le petit cercle en glissant sur le segment ainsi formé ne tourne pas du tout. Il fait zéro tour. Maintenant tu enroules le segment de façon à former le grand cercle, et tu imagines les positions successives du point du petit cercle qui est en contact avec le grand cercle (on a dit que c'était toujours le même). Il décrit tout le grand cercle, donc il fait exactement un tour.

Donc pendant le roulement du petit cercle chacun de ses points deviendront des tangents aux cercles (petit et grand) donc tous ses points auront parcourut le grand cercle de là le petit cercle a fait un tour sur le grand cercle. Ai-je raison ?

@Mediat Ça fait des années que je n'ai plus fait des maths mon cerveau est très encrassé donc les épicycloides attendront :

[Médiat]

@Mediat Ça fait des années que je n'ai plus fait des maths mon cerveau est très encrassé donc les épicycloides attendront :

J'imaginais cela , néanmoins vous pouvez noter la présence de (q + 1) dans le premier cas et (q - 1) dans le deuxième.

[minushabens]

Donc pendant le roulement du petit cercle chacun de ses points deviendront des tangents aux cercles (petit et grand) donc tous ses points auront parcourut le grand cercle de là le petit cercle a fait un tour sur le grand cercle. Ai-je raison ?

je ne sais pas si tu as raison, je ne suis pas sûr de te comprendre. Il faut compter un tour de plus quand on compte le nombre de tours du petit cercle par rapport à une direction fixée du plan.

Quand j'étais enfant, on m'avait fait faire l'expérience suivante: il fallait tourner autour d'un arbre tout en tournant sur soi-même, jusqu'à revenir au point de départ. Tout en tournant on devait compter le nombre de fois qu'on faisait face à l'arbre central, et le nombre de fois qu'on faisait face à un arbre situé un peu plus loin (pas assez loin pour que la direction puisse être vue comme constante, mais ça ne jouait pas beaucoup). C'est difficile de maintenir deux comptes mais j'y étais arrivé et je crois que j'avais compris le problème.

[ansset]

hummm,
la question est donc de le visualiser.
voilà la mienne:
prenons la première analogie du cercle B sur la droite qui donne 3.
le petit cercle fait trois tours pour aller du point O au point O' distant de 2piR.
l'analogie propre avec les deux cercles est d'imaginer le petit cercle B dont le centre est immobile qui tourne 3 fois , pendant que ( sorte d'engrenage ) le cercle A lui fait un tour en sens inverse.
par réciprocité , si on bloque le cercle A , alors le cercle B fait un tour de plus.

[Chanur]

Le même problème est soulevé dans Le tour du monde en 80 jours de Jules Verne :
Ayant fait son tour du monde en comptant soigneusement les jours (définis comme le nombre de fois où il voit le soleil se lever, parcourir la voûte céleste et se coucher), Phileas Fogg arrive à Londres catastrophé : il a mit 81 jours et perdu son pari.
Mais son domestique, Passepartout l'emmène à son club où il est accueilli en triomphe, parce que du point de vue des gens restés à Londres, il ne s'est écoulé que 80 jours : pari gagné.