un paragraphe énigmatique (pour un profane) d'A.N Whitehead

[achille79]

Bonjour à tous,

Quelqu'un serait-il en mesure de m'expliquer assez précisément, mais en langue naturelle, la signification exacte (allusive, à l'évidence) du passage suivant d'un texte du mathématicien-physicien-philosophe A.N Whitehead (1934) ?

"Il y a, dans la cosmologie newtonienne, une contradiction inhérente mortelle. Elle ne considère qu'un seul mode d'occupation de l'espace, à savoir ce morceau de matière occupant cette région à cet instant sans durée. Cette occupation de l'espace est le fait réel dernier, sans référence à aucun autre instant, à aucun autre morceau de matière, ou à aucune autre région de l'espace. Or, cette doctrine newtonienne accordée, nous demandons : que devient la vitesse à un instant ? Et encore : que devient la quantité de mouvement à un instant ? Ces notions sont essentielles en physique newtonienne, et pourtant elles n'ont, pour elle, aucune signification. Vitesse et quantité de mouvement requièrent que le concept d'état de choses en d'autres temps et d'autres lieux (200) rentre dans le caractère essentiel de l'occupation matérielle de l'espace à n'importe quel instant déterminé. Mais la conception newtonienne ne tient pas compte d' une telle modification de la relation d'occupation. Par conséquent, le schème cosmologique Newtonien est intrinsèquement incohérent. Les subtilités mathématiques du calcul différentiel ne sont d'aucun secours pour supprimer cette difficulté. Nous pouvons en effet formuler le point litigieux en termes mathématiques : la notion newtonienne d'occupation correspond à la valeur d'une fonction en un point déterminé. Mais la physique newtonienne exige seulement la limite de la fonction en ce point. Et la cosmologie newtonienne ne fournit aucun indice de la raison pour laquelle le fait brut qu' est la valeur devrait être remplacé par la référence à d'autres temps et d'autres lieux qu' est la limite.

Le passage problématique est à la fin du texte, les 3 dernières phrases (peut-être en rouge dans le message, mais je ne le vois pas apparaître sur mon écran) concernant la traduction en termes mathématiques de la difficulté discutée. A quoi, - quelle équation éventuellement, et qui décrit quoi ? - Whitehead fait-il allusion ? Et quel commentaire vous inspirerait cette distinction entre la valeur et la limite de la fonction : la "notion newtonienne d'occupation" correspond à la valeur de la fonction en un point; mais la " physique newtonienne" n'exige que la limite... Comprenez-vous comment la physique newtonienne peut contredire la notion newtonienne d'occupation, ou s'en écarter ? Et en quoi la "cosmologie newtonienne", distinguée, je suppose, de la physique newtonienne, ne fournit-elle pas la justification de la substitution de la limite à la valeur ? Enfin, en quoi la limite implique-t-elle une référence à d'autres temps et d'autres lieux (que le point concerné) ?

Ce sont là, vous le voyez, des questions de profane. Je précise que je vois à peu près (si on peut ainsi parler) ce qu'est une dérivée, une fonction. Mais je ne suis ni mathématicien, ni physicien, et, si c'est possible, je souhaiterai pouvoir m'expliquer les idées de ce texte dans la langue naturelle.

Merci d'avance à ceux qui voudront bien prendre la peine de m'éclairer.

Cordialement
A
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[eudea-panjclinne]

Nous pouvons en effet formuler le point litigieux en termes mathématiques : la notion newtonienne d'occupation correspond à la valeur d'une fonction en un point déterminé. Mais la physique newtonienne exige seulement la limite de la fonction en ce point. Et la cosmologie newtonienne ne fournit aucun indice de la raison pour laquelle le fait brut qu' est la valeur devrait être remplacé par la référence à d'autres temps et d'autres lieux qu'est la limite.

Voici mon interprétation, non exclusive d'autres :
Je pense qu'il s'agit d'un texte de nature épistémologique qui fait directement référence à l'ouvrage principal de Newton les Principia. En effet, pour modéliser mathématiquement ses lois du mouvement Newton fait intervenir ce qu'il appelle la méthode des premières et dernières raisons :

NEWTON I, Principes mathématiques de la philosophie naturelle

Les quantités et les raisons des quantités qui tendent continuellement à devenir égales pendant un temps fini, et qui avant la fin de ce temps approchent tellement de l’égalité, que leur différence est plus petite qu’aucune différence donnée, deviennent à la fin égales.

Il s'agit là de l'idée, très intuitive, de ce qui deviendra, correctement formalisée, plus tard la notion de limite. On peut l'écrire très approximativement, Newton ne connait ni la notion de limite ni celle de fonction, en langage moderne de la façon suivante :

Si
avec
alors

Venons en au texte de Whitehead, Newton définit la valeur de la fonction f(t) en a non pas directement en remplaçant t par a dans l'expression de la fonction, parce que dans ce cas il ne peut pas, mais en cherchant les valeurs de la fonction en d'autres valeurs que a, en l’occurrence autour de a, mais de plus en plus près et en déduit par sa méthode formulée ici la valeur de f en a.
Newton démontre son affirmation par une démonstration par l'absurde littéraire. Le calcul différentiel est à l'époque très balbutiant et non formalisé.
Cette notion provient des recherches de Newton et des mathématiciens contemporains occupés à découvrir les principes du calcul différentiel : Ces recherches les amènent à étudier et à découvrir, de façon confuse ou dispersée, le comportement des quantités infiniment petites dans les calculs et la géométrie.
Pourquoi fait-il cela, parce qu'il en a besoin pour modéliser mathématiquement ses lois du mouvement et les résoudre. Aujourd'hui, on résout une équation différentielle en utilisant les propriétés du calcul différentiel construit sur les conséquences de la notion de limite qu'utilise, avec le langage à sa disposition, Newton.
Cela répond-il à vos questions ?

[achille79]

En tout cas, cette "méthode des premières et dernières raisons" que vous mentionnez me fournit une indication pour rechercher le sujet exact, dans Newton, de cette discussion. Ce qui demeure obscur, à mes yeux, c'est cette idée que la limite implique une "référence à d'autres temps et d'autres lieux"... à moins peut-être qu'"autres temps et autres lieux" désigne simplement "l'intervalle" qu'on explore "autour de a" quand l'epsilon varie un peu ?...

Quoi qu'il en soit, je vous remercie très vivement d'avoir pris la peine de me donner votre sentiment sur ce texte. Il n'avait guère, jusqu'à présent, retenu l'attention des visiteurs du site.

Bien cordialement,

A 79