Relativité restreinte et référentiel

[eglyn18]

Bonjour à tous,

J'ai une question qui me trotte dans la tête que je n'arrive pas à éclaircir ^^

Si j'ai bien compris (dans les très grande lignes) la relativité restreinte, c'est que si on considère un point A avec une horloge et un point B avec une autre horloge qui sont synchronisées et que le point B fait un petit voyage dans l'espace avec une vitesse proche de C, alors lorsqu'il va revenir près de A leurs 2 horloges ne seront plus synchronisée, celle de B aura moins avancée que celle de A.

Mais ce que je ne comprends pas, c'est que si on se place du point de vue de B, c'est A qui se déplace à une vitesse proche de la lumière et qui revient.

Pourquoi ce serait l'horloge de B qui avancerait ? On m'a toujours dit que la vitesse était relative à un autre objet ^^. Du coup, pourquoi ce serait B qui se déplace ? quel moyen j'ai de savoir que c'est B qui va faire le voyage et non A ?

Merci d'avance de vos réponses
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[mach3]

Il faut bien prendre en compte le fait que A est en mouvement rectiligne uniforme, contrairement à B. La situation n'est pas symétrique.

Le mouvement de A se représente par une ligne d'univers droite, alors que le mouvement de B se représente par une ligne d'univers brisée ou courbe.

En géométrie euclidienne, si je relie deux points P et M par un segment droit d'une part et par une ligne brisée ou une ligne courbe d'autre part, alors je sais que la ligne brisée ou courbe est plus longue que le segment, cela dérive de l'inégalité triangulaire et donc de la métrique Euclidienne.

Il se passe quelque chose d'analogue dans l'espace-temps, dont la géométrie est celle dite de Minkowski. Si on relie deux évènements (des lieux-moment) E et F par un segment droit (mouvement rectiligne uniforme) d'une part et par une ligne brisée ou courbe (mouvement quelconque) d'autre part, alors la ligne brisée ou courbe est plus courte que le segment, cela dérive d'une inégalité triangulaire spécifique, qui dérive de la métrique de Minkowski. Et la "longueur" du segment ou de la ligne brisée ou courbe entre E et F correspond à la durée que mesure des horloges dont le mouvement serait représenté par ce segment ou cette ligne brisée ou courbe.

A noter que je n'ai nulle part utiliser la notion de référentiel qui n'est absolument pas utile pour comprendre la base de la relativité restreinte, et cette notion est même contre-productive tant qu'elle n'est pas vraiment maitrisée. La relativité restreinte, c'est avant tout de la géométrie.

m@ch3

[Deedee81]

Salut,

Le mouvement de A se représente par une ligne d'univers droite, alors que le mouvement de B se représente par une ligne d'univers brisée ou courbe.

Les diagrammes dans wikipedia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_des_jumeaux
montrent bien l'explication de mach3.

[eglyn18]

Ok, merci de ta réponse, j'ai du la relire 4 fois avant de la saisir, mais ça va
En regardant ça d'un point de vue géométrique je le comprends, même si le segment rectiligne est plus "long" que le courbe, ce qui est assez contre-intuitif

Donc, pour mon exemple le point B a une ligne d'univers courbe à cause de l'accélération et la décélération qu'il subit lors de son voyage.
Du coup l'horloge de B mesure une durée plus courte que celle de A à cause de cette courbure qui est plus "courte" c'est bien ça ? (ça en fait des guillemets)

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

Repost pour compléter :


Il y a trois façons complémentaires traiter le problème:
-l'approche géométrique (on utilise le théorême de pythagore et/ou la trigonométrie version Minkowski, pas de référentiel, pas de coordonnées)
-l'approche observationnelle (on utilise l'effet Doppler)
-l'approche par les référentiels et les systèmes de coordonnées

Considérons trois évènements :
A : départ de la Terre
B : demi-tour à la moitié du voyage
C : retour sur Terre
Considérons que la Terre est en mouvement rectiligne uniforme (on pourrait prendre en compte son vrai mouvement, mais ça n'apporterait rien, surtout que dans notre cas l'effet serait négligeable) et que le voyageur, en dehors des phases de départ, de retour et d'arrivée qui seront considérée comme des accélérations instantanées (on pourrait très bien traiter des phases d'accélérations "raisonnables" pour le départ, le demi-tour et l'arrivée, cela se fait très bien, mais c'est une complication inutile pour notre propos), est également en mouvement rectiligne uniforme entre A et B, puis entre B et C. On considère que la durée pour le sédentaire est de 10 ans et que celle pour le voyageur est de 5 ans

approche géométrique

l'intervalle AC vaut 10 ans, les intervalles AB et BC valent 2.5 ans chacun. On ajoute l'évènement D, tel que AD est colinéaire à AC et orthogonal à DB. On peut montrer facilement que l'intervalle AD vaut 5 ans (démo sur demande).
Le théorème de Pythagore dans le triangle ADB rectangle en D donne AB²=AD²+DB², donc DB²=AB²-AD²=2.5²-5²=-25*3/4=-18.75. DB est donc un intervalle de genre espace qui vaut 2.5√3 ~4.33 années-lumières (la racine de 18.75).
La tangente hyperbolique de l'angle hyperbolique DAB est donné par le rapport du coté opposé sur le coté adjacent à l'angle : DB/AD = √3/2. C'est la vitesse relative entre la Terre et le voyageur pour l'aller, qui est donc de ~0.866 années-lumières par an, soit à peu près 260 000 km/s.
De façon similaire on montre que la vitesse relative entre la Terre et le voyageur est la même pour le retour (mais orientée dans le sens inverse).


approche observationnelle

durant 2 ans et demi, le voyageur va voir la Terre s'éloigner de lui à 260 000km/s. Le délai de propagation des images de la Terre (elles voyagent à la vitesse de la lumière) vers le voyageur fait que sur ces deux ans et demi il ne verra que 8 mois s'écouler sur Terre, en effet, avec une telle vitesse d'éloignement, l'effet Doppler ralenti ce qu'on voit de la Terre d'un facteur ~3.73. Ensuite, durant 2 ans et demi, le voyageur voit la Terre s'approcher de lui à 260 000km/s. L'effet Doppler s'inverse, en deux ans et demi, il voit 2.5x3.73=9 ans et 4 mois d'écouler sur Terre. Ce qui, avec les 8 mois vu pendant l'aller, nous fait bien 10 ans au total
Inversement, durant 9 ans et 4 mois, les personnes restées sur Terre voient le voyageur s'éloigner à 260 000 km/s et l'effet Doppler fait qu'ils voient, pendant ces 9 ans et 4 mois, 2 ans et demi s'écouler dans le vaisseau. Puis durant 8 mois, les personnes restées sur Terre voient le voyageur s'approcher à 260 000 km/s, l'effet Doppler s'inverse, en 8 mois, ils voient 2 ans et demi s'écouler pour le voyageur

(Pour ces schémas on a ajouté un évènement E qui est le départ d'un signal lumineux de la Terre de façon à ce qu'il atteigne le vaisseau au moment de son demi-tour et un évènement F qui est la réception par la Terre d'un signal lumineux émit par le voyageur au moment où il fait demi-tour (les trajets des signaux étant matérialisés par les flèches jaunes))

enfin l'approche par les référentiels/les coordonnées

On considère 3 référentiels.
R1 dans lequel la Terre est immobile, la datation étant le calendrier terrestre (choix arbitraire) et l'origine spatiale la Terre
R2 dans lequel le voyageur est immobile durant l'aller, la datation étant telle qu'elle coïncide avec celle de R1 en l'évènement A (choix arbitraire) et l'origine spatiale coincidant avec le vaisseau pendant l'aller
R3 dans lequel le voyageur est immobile durant le retour, la datation étant telle qu'elle coincide avec celle de R1 en l'évènement C (choix arbitraire) et l'origine spatiale coincidant avec le vaisseau pendant le retour
Dans R1, les dates et lieux de évènements sont :
A : janvier 2000, à l'origine de l'espace
B : janvier 2005, à 4.33 AL de l'origine
D : janvier 2005, à l'origine de l'espace
C : janvier 2010, à l'origine de l'espace

Dans R2 :
A : janvier 2000, à l'origine de l'espace
B : juin 2002, à l'origine de l'espace
D : janvier 2010, à 8.66 AL de l'origine
C : janvier 2020, à 17.32 AL de l'origine

Dans R3 :
A : janvier 1990, à 17.32 AL de l'origine
B : juin 2007, à l'origine de l'espace
D : janvier 2000, à 8.66 AL de l'origine
C : janvier 2010, à l'origine de l'espace

Le passage de l'un à l'autre se faisant par les transformations de Lorentz.


(vous me ferez grâce du schéma pour R3...)

m@ch3

[mach3]

En regardant ça d'un point de vue géométrique je le comprends, même si le segment rectiligne est plus "long" que le courbe, ce qui est assez contre-intuitif

C'est la métrique de Minkowski, il faut s'habituer. Autre bizarrerie de cette métrique : il y a des vecteurs dont le carré scalaire est positif (normal), d'autre dont le carré scalaire est négatif et même dont le carré scalaire est nul (alors que ce ne sont pas le vecteur nul...).

Donc, pour mon exemple le point B a une ligne d'univers courbe à cause de l'accélération et la décélération qu'il subit lors de son voyage.
Du coup l'horloge de B mesure une durée plus courte que celle de A à cause de cette courbure qui est plus "courte" c'est bien ça ? (ça en fait des guillemets)

Pas vraiment "à cause", parce que l'accélération n'est ni nécessaire, ni suffisante et l'effet n'est aucunement proportionnel à celle-ci.

Encore repost :

Le rôle de l'accélération est assez trouble. Ce qui compte vraiment c'est la longueur (au sens de Minkowski) des lignes d'univers.

Pour faire une analogie géométrique parlante : On prend un segment AB, on place un point C à l'extérieur du segment. La ligne brisée A-C-B est plus longue que le segment AB. A quoi ce fait évident en géométrie euclidienne doit-il être imputé? Dire que c'est en raison de l'angle ACB que la ligne brisée est plus longue que le segment, c'est exactement la même chose que dire que le voyageur reviens plus jeune que le sédentaire parce qu'il a accéléré pour faire demi-tour. A chacun de juger l'intérêt qu'il y a à considérer l'angle ACB comme raison de la plus grande longueur de la ligne brisée...

La seule raison vraiment valable et intéressante, c'est la métrique. C'est de la métrique d'Euclide que découle la fameuse inégalité triangulaire, celle qui implique que la ligne brisée A-C-B est forcément plus longue que le segment AB. En relativité restreinte, la métrique est celle de Minkowski, et il en découle une autre inégalité triangulaire impliquant qu'une ligne brisée A-C-B de genre temps (avec A, C et B des évènements se succédant dans cet ordre), est plus courte que le segment de genre temps AB.

Autre argument pour évacuer l'accélération du problème : on peut simplement considérer 3 horloges en mouvement rectiligne uniforme (aucune n'accélère, jamais), telles que chacune croisera les deux autres en des évènement distincts. Supposons que A et B se croisent en premier, et qu'elles se synchronisent à ce moment, qu'ensuite B va croiser C et que C se synchronisera alors sur B, alors au dernier croisement, quand C rencontre A, la première a du retard sur la seconde. C'est la version la plus simple et la plus factuelle du "paradoxe des jumeaux", sans paradoxe, sans jumeaux et sans accélération.

Pour bien voir que ce n'est pas le nombre et l'intensité des accélérations qui comptent, mais bien la ligne d'univers dans son ensemble, on peut par exemple imaginer deux jumeaux voyageurs. Chacun part (1ere accélération) de la Terre, s'immobilise à une certaine distance (2nd accélération), puis après une certaine période d'arrêt repart dans l'autre sens (3e accélération), et enfin s'arrête sur Terre (4e accélération). Supposons que ces 4 accélérations soient les mêmes pour les 2 jumeaux, et bien sauf cas particulier, ils auront quand même un age différent.
Pour avoir l'analogue géométrique de cela, construire un trapèze ABCD, avec AD comme grande base et BC comme petite base. Tracer une droite parallèle à AD qui coupe AB en E et CD en F pour obtenir un second trapèze AEFD. Les angles AEF et EFD sont les mêmes que les angles ABC et BCD, pourtant AE+EF+FD est différent de AB+BC+CD. Certes la présence des angles implique bien que AD est plus court que AE+EF+FD ou AB+BC+CF, mais les valeurs de ces angles ne permet pas de quantifier, on a besoin de la position des angles pour ça.
En RR, il n'y a pas que l'intensité et la durée des accélérations qui comptent, mais aussi et surtout le moment où elles se produisent sur la ligne d'univers.

Dernier argument, d'une nature différente : si la topologie de l'espace-temps est multiplement connexe (par exemple hypertorique), alors il est possible qu'un jumeau fasse le tour de l'univers ce qui lui permet de revenir sans faire demi-tour, donc sans accélérer, et il sera plus jeune à son retour. Evidemment, ici, il y a un biais : les jumeaux sédentaires et voyageurs n'ont pas des rôles symétriques parce que l'espace-temps lui-même présente une dyssimétrie.

m@ch3

[eglyn18]

Wow merci beaucoup pour ces réponses !
L'approche géométrique est claire du coup

Mais du coup, par rapport à ta remarque sur l'accélération, comment on différencie un mouvement rectiligne dans l'espace-temps d'un mouvement "courbe", ou "brisé" ? Car à part le changement de vitesse je ne vois pas (et du coup l'accélération). Et un changement de "direction" ça veut dire quelque chose dans l'espace-temps ? (j'ai du mal sans référentiel, je me dit que tout bouge autour de moi sauf moi, donc j'ai un mouvement rectiligne uniforme, mais chaque objet dans l'univers peut se dire ça non?)

Car je saisi bien les schéma avec les triangles en 2D et que j'ai un point de vue extérieur, mais dans l'espace-temps comment je sais que, moi, par exemple j'ai un mouvement rectiligne uniforme ou non ?

[Deedee81]

Salut,

Perso je ne suis pas contre l'usage des référentiels car ils sont utilisés même en physique classique et ça peut aider. L'article wikipedia devrait être bien fait sinon je laisse mach3 continuer.... bon week end

[mach3]

Mais du coup, par rapport à ta remarque sur l'accélération, comment on différencie un mouvement rectiligne dans l'espace-temps d'un mouvement "courbe", ou "brisé" ? Car à part le changement de vitesse je ne vois pas (et du coup l'accélération). Et un changement de "direction" ça veut dire quelque chose dans l'espace-temps ?

La différence est dans ce qu'on appelle l'accélération propre. C'est ce que mesure un accéléromètre. Un accéléromètre en mouvement libre (mouvement rectiligne uniforme en l'absence de gravitation ou chute libre si gravitation présente) mesure strictement 0. Un accéléromètre en mouvement non libre (mouvement non rectiligne unforme en l'absence de gravitation, ou chute non libre si gravitation présente, repos au sol inclus) indique l'accélération propre. Elle correspond à celle que l'on ressent, car nos corps sont bardés de capteurs dont plusieurs jouent le rôle d'accéléromètre (dans l'oreille interne notamment).
Cette accélération propre est un invariant, il ne dépend pas du référentiel ou du système de coordonnées contrairement à l'accélération "coordonnée" qui est la dérivée seconde de la position (position exprimée par rapport à un référentiel ou dans un système de coordonnées). Accélération propre et "coordonnée" ne coïncident que dans les référentiel dit de chute libre, ou dans les systèmes de coordonnées dites "normales".

Flottant librement dans l'espace loin de tout, un accéléromètre indique 0, il est en mouvement rectiligne uniforme. Attaché à une fusée qui accélère constamment, il indique une valeur non-nulle : le mouvement n'est pas uniforme. Attaché à la périphérie d'un tourniquet (toujours flottant dans l'espace) en rotation, il indique une valeur non-nulle : le mouvement n'est pas rectiligne.
Ouverture sur la relativité générale : en orbite ou en trajectoire balistique (avec frottement atmosphériques négligeables) un accéléromètre indique 0, il est localement en mouvement rectiligne uniforme par rapport à un référentiel dit de chute libre. Posé au sol, un accéléromètre indique la valeur de la pesanteur, il est localement en mouvement accéléré par rapport à un référentiel de chute libre.

Perso je ne suis pas contre l'usage des référentiels car ils sont utilisés même en physique classique et ça peut aider.

Je ne suis pas contre non plus, mais je préfère m'en passer quand ça ne complique pas les choses, car ils sont souvent tellement mal compris (et en plus ceux qui les comprennent mal croient souvent les avoir bien compris) que cela génère souvent bien plus de confusions qu'autre chose.

m@ch3

[eglyn18]

Ok l'accélération propre est indépendante d'un quelconque référentiel et tout ceci répond donc à mes questions, vraiment merci beaucoup pour toutes ces réponses !

[caraibe13]

Pour faire simple:
je voyage à 260 000 Km/s
d'après mes calculs le rapport temps relatif est de 2
sur un allé retour qui va durée 2 ans pour le voyageur avec la supposition mathématique qu'il atteint cette vitesse presque instantanément et qu'il décélère de la même façon à l'arrivée
Pour ceux restés sur terre 4 ans auront passé alors que 2 ans pour lui seulement...Ai-je juste ?
Ce qui est gênant c'est que la terre a la même vitesse relative mais ce qui fait que c'est pas symétrique c'est elle n'est pas soumise aux accélération décélération du vaisseau spatial ..Sans entrer dans des formules mathématiques compliquées et intuitivement je vois les choses comme ça

[caraibe13]

J'ai une question qui me trotte dans la tête que je n'arrive pas à éclaircir ^^

Si j'ai bien compris (dans les très grande lignes) la relativité restreinte, c'est que si on considère un point A avec une horloge et un point B avec une autre horloge qui sont synchronisées et que le point B fait un petit voyage dans l'espace avec une vitesse proche de C, alors lorsqu'il va revenir près de A leurs 2 horloges ne seront plus synchronisée, celle de B aura moins avancée que celle de A.

Mais ce que je ne comprends pas, c'est que si on se place du point de vue de B, c'est A qui se déplace à une vitesse proche de la lumière et qui revient.

Pourquoi ce serait l'horloge de B qui avancerait ? On m'a toujours dit que la vitesse était relative à un autre objet ^^. Du coup, pourquoi ce serait B qui se déplace ? quel moyen j'ai de savoir que c'est B qui va faire le voyage et non A ?

Merci d'avance de vos réponses

C'est exactement la question qu'on se pose avec mon fils (Sup, Spé + centrale Nantes) donc une certaine culture mathématique et scientifique ..j'ai tenté de lui expliquer la non symétrie de la vitesse et qu'on ne peut pas appliquer à la terre le rapport temps relatif de la relativité par le fait que l'observateur terrestre n'a pas eu à subir l'accélération du voyageur pour aboutir à une vitesse proche de C

Salut Mach3
Je t'avoue que je n'ai pas compris ta démonstration géométrique (pour tout dire je n'y ai rien compris oupss) : Voudrais tu dire que pour un allé retour à cette vitesse le rapport temps voyageur/temps sur terre ne serait pas de 1/2 ?

[caraibe13]

durant 2 ans et demi, le voyageur va voir la Terre s'éloigner de lui à 260 000km/s. Le délai de propagation des images de la Terre (elles voyagent à la vitesse de la lumière) vers le voyageur fait que sur ces deux ans et demi il ne verra que 8 mois s'écouler sur Terre, en effet, avec une telle vitesse d'éloignement, l'effet Doppler ralenti ce qu'on voit de la Terre d'un facteur ~3.73. Ensuite, durant 2 ans et demi, le voyageur voit la Terre s'approcher de lui à 260 000km/s. L'effet Doppler s'inverse, en deux ans et demi, il voit 2.5x3.73=9 ans et 4 mois d'écouler sur Terre. Ce qui, avec les 8 mois vu pendant l'aller, nous fait bien 10 ans au total
Inversement, durant 9 ans et 4 mois, les personnes restées sur Terre voient le voyageur s'éloigner à 260 000 km/s et l'effet Doppler fait qu'ils voient, pendant ces 9 ans et 4 mois, 2 ans et demi s'écouler dans le vaisseau. Puis durant 8 mois, les personnes restées sur Terre voient le voyageur s'approcher à 260 000 km/s, l'effet Doppler s'inverse, en 8 mois, ils voient 2 ans et demi s'écouler pour le voyageur

Oups Mach3 j'avais pas bien lu cela !!! donc à la louche c'est bien 10 ans sur terre pour 5 ans voyageur ..désolé !! ...Je m'étais trop concentré à essayer de comprendre tes représentations géométriques ..

[Lansberg]

Bonjour,

Salut Mach3
Je t'avoue que je n'ai pas compris ta démonstration géométrique (pour tout dire je n'y ai rien compris oupss) : Voudrais tu dire que pour un allé retour à cette vitesse le rapport temps voyageur/temps sur terre ne serait pas de 1/2 ?

10 ans pour l'observateur terrestre et 5 ans pour le voyageur, ça ne fait pas 1/2 !!

[caraibe13]

Comment 5/10 ça fait pas 1/2 ??? je sais plus diviser par 2
Le temps du voyageur dure la moitié du temps de l'observateur terrestre
Et celui de l'observateur terrestre 2 fois celui du voyageur.

[caraibe13]

Un article intéressant sur la question posée:

https://scienceetonnante.com/2020/03...e-des-jumeaux/

Abordé un peu différemment que sur wikipedia.

Pas si simple en fait !

[caraibe13]

En tout cas pour les satellites GPS ça fonctionne : obligé de calculer la correction temps en tenant compte de la correction gravité et de la correction vitesse qui pour la vitesse d'un Sat GPS est inférieure à celle de la gravité.
Me suis occupé à faire un petit programme sur la gravitation et les astres en général pendant le confinement dont voici un extrait
Vérifiez c'est bien la correction que trouve mon soft qui est appliquée pour avoir une bonne précision GPS



Le calcul est fait en de temps bien sûr