Signification de la métrique de Minkowski

[Daniel1958]

Bonjour

J'essaye de comprendre géométriquement (sans matrice, ni vecteur) la métrique de Minkowski qui me semble être "une convention"
Si je lis sur Wikipédia je ne suis pas plus avancé c'est des maths pures et dures

Le tenseur métrique de Minkowski, ou plus simplement la métrique de Minkowski, est une métrique définissant les propriétés de l'espace de Minkowski qui a un rôle fondamental dans le domaine des théories de la relativité. Cette métrique a la propriété d'être conservée par une transformation de Lorentz.

Puis-je faire un Parallele sommaire pour les coordonnées avec la diagonale d'un parallélépipède rectangle car s'y retrouve (x²+y²+z²)^1/2qui mis au carré se compare alors à c/SUP]*t². On peut aussi utiliser cette formule pour des variation minimes "d".

Bon c'est très maladroit mais cette métrique est intrigante et finalement peu expliquée de façon simple. J'ai le livre de David Mermin qui est une synthèse de la relativité restreinte et il n'évoque pas la métrique de Minkowski.

Cordialement
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[Deedee81]

SAlut,

J'essaye de comprendre géométriquement (sans matrice, ni vecteur) la métrique de Minkowski qui me semble être "une convention"

Non. Le choix du signe est une convention. Mais la métrique n'est pas une convention.

Puis-je faire un Parallele sommaire pour les coordonnées avec la diagonale d'un parallélépipède rectangle[/B] car s'y retrouve (x²+y²+z²)^1/2[B]qui mis au carré se compare alors à c/SUP]*t². On peut aussi utiliser cette formule pour des variation minimes "d".

Ce n'est pas sommaire. C'est tout juste. Dans un espace-temps de Minkowski, à un instant donné (dans un référentiel donné) : l'espace est purement euclidien. Donc Pythagore et tout ça.
C'est l'espace-temps qui est différent de l'espace + temps newtonien (à strictement parler avec Galilée/Newton il n'y a pas d'espace-temps mais deux choses séparées).

peu expliquée de façon simple

Je suppose que tu plaisantes ? Recherche google : un million et demi de résultats dont beaucoup sont simples et très bien.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_de_Minkowski (bon c'est encyclopédique donc on y trouve aussi des maths mais c'est pas la seule référence)
https://fr.wikipedia.org/wiki/C%C3%B4ne_de_lumi%C3%A8re
https://www.techno-science.net/gloss...Minkowski.html
https://www.futura-sciences.com/scie...el-614/page/2/
http://www.astrosurf.com/luxorion/re...onelumiere.htm
https://fr-academic.com/dic.nsf/frwiki/436587
etc......

Suffit de chercher un peu pour trouver ce qui te convient.

[Daniel1958]

bonjour

Ben merci

Tout ce que j'avais trouvé c'était des matrices. Et des explications uniquement mathématiques. C'est un peu incomprehensible, pour moi, car il parle tout de suite de tenseur. Donc je ne voyais de façon intuitive le lien.

Mais je vais voir tes liens

Cordialement

[Deedee81]

Les matrices c'est juste des tableaux de nombre, cétou. Mais après les calculs peuvent être un peu abscons en effet.

Bonnes recherches (tu peux faire d'autres recherches avec "géométrie de Minkowski", "espace de Minkowski", "diagramme de Minkowski", "cône relativiste", .... attention, y a des trucs techniques, des trucs bien vulgarisés, des trucs très/trop court, y a de tout, et même quelques.... débilités.... heureusement pas trop nombreuses. Faut donc bien chercher, cliquer, vérifier etc....).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Daniel1958]

Bien tu as raison mais franchement c'est souvent rigide les maths

Ex soit E inclus dans le groupe des entiers naturels soit quel que soit E "bref cela devient à limite du charabia pour moi" et décourage pas mal de personnes sur cet aspect des maths
J'ai vu dans un mes dicos de maths 16 pages avec une moyenne de 35 entrées concernant les symboles utilisés. C'est décourageant. Regarde, rien que pour la formulation des dérivées. Après on te dit que le gens ne comprennent pas les maths. Pour moi il y a trop de symboles différents.
Je te remercie pour tes liens. Quand je regarde la métrique de Minkowski sur Wikipédia je vois un g_uv qui semble un tenseur de 4 sur 4 cela devient hélas ésotérique et réservé aux vrais physiciens. On le retrouve dans l'équation de champ d'einstein


Allez pour détendre l'atmosphère (qui n'est pas tendue) une anecdote dans le dernier livre de Bobroff une dernière blague belge (après les Ovni ce n'est pas méchant)?
.
Un vote a dû être refait car une candidate avait obtenu 4338 voix dans le canton de Schaerbeek au lieu de 242 soit 4096 de voix en plus (16*256). Le nombre était déjà suspect car le nombre de votant était inférieur. Et bien en conclusion un rayon cosmique avait dû influer sur l'ordinateur.
Je rappelle un truc pour éviter une explosion prématurée de la bombe atomique les inventeurs l'on entourée d'une couche de bore (excellent absorbeur de neutrons et autres particules cosmiques)

Sinon je te conseille le livre de Bobroff (Abanxii l'a déj lu et il me semble être aussi être un grand spécialiste de la matière). Les nouvelles idées sont géniales et les gens formidables (et je pèse mes mots). On se dit comment font-ils ? Mais le taux d'erreur si faible soit-il est rédhibitoire hélas. L'avenir pour l'instant des ordis quantiques est sombre mais pas leurs débouchés peuvent être multiples. J'aime cette science là (fantastique)


Cordialement

[albanxiii]

Sinon je te conseille le livre de Bobroff (Abanxii l'a déj lu et il me semble être aussi être un grand spécialiste de la matière).

Julien Bobroff est surtout spécialiste de physique expérimentale des solides, en particulier de RMN. Mais c'est un très bon vulgarisateur. Dans son dernier livre il présente un grand nombre d'expériences qui utilisent l'intrication, et on a presque l'impression de comprendre

[Daniel1958]

Bonjour

Et ce n'est pas moi qui vais contredire quoi que ce soit. Pour un néophyte comme moi je me régale (avec ses pointeurs). Bon je ne doute pas des efforts et du niveau "immense" derriere tout ça. Un Génie apparait "Shor" mais bizarrement j'ai plus d'empathie pour les expérimentateurs qui finalement peut-être résoudront "à la sueur de leur front" un par un les problèmes". Enfin c'est une image car ils sont tous de très hauts niveaux. L'école française est à l'honneur.
C'est vrai que Bobroff est très "matériaux et supraconduction". Mais ses conférences sont supers. il va dans le cœur du sujet. Finalement il y a un peu de Feynmann en lui (enlever ce qui est dispensable pour le commun des mortels comme moi).

Cordialement

[ThM55]

Pour comprendre la métrique de Minkowski, il suffit d'imaginer un objet immobile au centre d'un système inertiel. A l'instant zéro, cet objet émet une impulsion qui se propage à la vitesse c (2.99x10^8 m/s) sous forme d'une onde sphérique. Cela peut être de la lumière, quoique une onde électromagnétique devrait plutôt être dipolaire, mais pour simplifier j'imagine qu'une onde sphérique à vitesse c est émise.

On voit donc cette sphère dont le rayon croît avec le temps. A l'instant t un point de coordonnées (x,y,z) situé sur le front d'onde sphérique est à la distance du point d'origine. Donc on a la relation x^2+y^2+z^2- c^2 t^2 = 0.

Maintenant, un autre observateur inertiel se déplace par rapport à celui-ci à une vitesse fixée V (qui importe peu, seulement on a |V|<c), et son horloge, qui mesure sa coordonnée t', est réglée à zéro elle aussi quand l'impulsion est émise. Il voit aussi un front d'onde et comme pour lui la vitesse est également c (postulat d'Einstein ou conséquence de la transformation de Lorentz, comme vous préférez), et lui aussi pour les coordonnées d'un point du front d'onde va écrire x'^2+y'^2+z'^2-c^2t'^2.

On voit donc que cette forme quadratique des coordonnées est conservée par les transformations de Lorentz. C'est la métrique de Minkowski. C'est tout à fait analogue à la conservation d'une forme définie positive x^2+y^2+z^2 lors d'une rotation dans l'espace autour de l'origine. Minkowski a juste poussé cette analogie et proposé de considérer la TL comme une sorte de "rotation" généralisée dans un espace où le temps est considéré comme une coordonnée (x0 = ct) comme les autres et où les distances ne sont plus définies positives et peuvent même être nulles. C'est tout, il n'y a vraiment rien de plus à comprendre. Si tu as compris ce qui précède, tu as quasi tout compris.

Pas tout à fait cependant: avec mon front d'onde, je n'ai que des intervalles nuls x^2+y^2+z^2- c^2 t^2 = 0. Si une autre onde à vitesse x < c est émise en même temps, son intervalle sera négatif: x^2+y^2+z^2- c^2 t^2 < 0 puisque . Elle traîne derrière l'autre. Mais il est facile à partir des transformations de Lorentz de voir que cet intervalle est lui aussi invariant, il sera mesuré exactement à la même valeur par l'autre observateur.

On arrive donc réellement à une sorte de "géométrie" ou "pseudo-géométrie" pseudo-euclidienne. L'intervalle n'est pas une vraie distance puisque deux points distincts peuvent être séparés d'un intervalle nul, mais les mécanismes algébriques sont très similaires à l'effet du groupe des déplacement dans un espace euclidien.

[mach3]

Pour faire juste géométrique, on va d'abord faire un crochet par la métrique d'Euclide.

On prend le plan ou l'espace euclidien. En tout point s'y trouve une "machine" capable de transformer un couple de vecteur en un nombre, la métrique d'Euclide, qu'on connait plus souvent sous le nom de produit scalaire. La métrique d'Euclide permet d'accéder à la longueur, ou norme, d'un vecteur (racine carré du carré scalaire, produit scalaire d'un vecteur par lui même), permet de définir l'orthogonalité (deux vecteurs non nuls sont orthogonaux ssi leur produit scalaire est nul), et même de définir les angles (le produit scalaire entre deux vecteurs de norme 1 donne le cosinus de l'angle entre les deux vecteurs). Elle contient en fait toute la géométrie euclidienne, et en particulier le théorème de Pythagore dont elle permet une démonstration immédiate ( si AC et CB sont orthogonaux, on a donc AB²=AC²+CB² dans un triangle ABC rectangle en C), mais aussi l'inégalité triangulaire, Al-Kashi et bien d'autres choses.

La métrique de Minkowski est une machine similaire, qui transforme un couple de vecteur en un nombre et se comporte un peu comme un produit scalaire, mais un peu plus riche, qui se trouve en chaque évènement de l'espace-temps à 4 dimensions. En effet, le carré scalaire d'un vecteur non nul était forcément positif avec Euclide, alors qu'avec Minkowski, il peut être positif, négatif ou nul. Comme celle d'Euclide, elle va permettre d'accéder à des "longueurs", à l'orthogonalité et à des "angles", donc de générer tout une géométrie, mais de manière plus riche, et aussi plus bizarre (notamment on constate que les vecteurs dont le carré scalaire est nul sont orthogonaux à eux-mêmes). On y retrouvera des variantes du théorème de pythagore et de l'inégalité triangulaire (impliqués d'ailleurs dans l'expérience de pensée de jumeaux de Langevin).
La métrique de Minkowski est telle que si je prend au hasard 4 vecteurs tous orthogonaux entre eux (mais pas avec eux-mêmes) alors l'un des 4 aura un carré scalaire de signe opposé aux 3 autres. A partir de là il faut choisir une convention de signe (la signature), ici on dira qu'il y en a un de carré négatif et 3 autres de carré positif. On aura deux normes différentes, l'une pour les vecteurs de carré scalaire positif (racine carré du carré scalaire), qui sera leur longueur, et une autre pour les vecteurs de carré scalaire négatif (racine carré de l'opposé du carré scalaire), qui sera leur durée ! Les premiers sont dits de genre espace, les seconds de genre temps, et ceux dont le carré scalaire est nul sont dits de genre nul (ils n'ont ni longueur ni durée). L'ensemble des vecteurs de genre temps et l'ensemble des vecteurs de genre espace sont séparés par les vecteurs de genre nul qui forment les fameux "cônes de lumière".
On aura, en plus de l'angle "habituel", un nouveau type d'angle, la rapidité, qui est à la vitesse ce que l'angle euclidien est à la pente.

m@ch3

(croisement avec ThM)

[ThM55]

Très bien expliqué, c'est complémentaire à ma description plus "physique" avec fronts d'onde. J'aime bien visualiser les choses sur l'écran interne de mon cerveau.

[pm42]

Très bien expliqué

Je trouve aussi, cela mériterait d'être archivé.

[mtheory]

chapitre 11, 15,16 et 17 en intraveineuse https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_toc.html avec https://archive.org/details/relativi...ge/n9/mode/2up et enfin https://archive.org/details/einstein..._x0w8/mode/2up

[Daniel1958]

Bonsoir

D'abord un grand merci. J'apprécie que l'on m'explique sans le formalisme

Mais je ne suis pas une lumière. Alors je procède par étape comme le tour de France. Je comprends très vite mais il faut m'expliquer très très longtemps. C'est relatif tout ça. Ben oui je suis lent

Maintenant, un autre observateur inertiel se déplace par rapport à celui-ci à une vitesse fixée V (qui importe peu, seulement on a |V|<c), et son horloge, qui mesure sa coordonnée t', est réglée à zéro elle aussi quand l'impulsion est émise. Il voit aussi un front d'onde et comme pour lui la vitesse est également c (postulat d'Einstein ou conséquence de la transformation de Lorentz, comme vous préférez), et lui aussi pour les coordonnées d'un point du front d'onde va écrire x'^2+y'^2+z'^2-c^2t'^2.

C'est expliqué clairement et pédagogiquement Mais j'ai un doute (dans ma compréhension)

Certes x^2+y^2+z^2- c^2 t^2 = 0 et =x'^2+y'^2+z'^2-c^2t'^2. Mais grande question (pas si simple) dans l'exemple t' peut-il être diffèrent de t. En fait pour dire Est-ce finalement la formulation qui est invariante par rotation angulaire qui est considérée comme la métrique ou la conservation des valeurs . Est-ce une symétrie par rotation sur n'importe quel rayon de la sphère ?

C'est dur de s'exprimer sans être ridicule. Cela me semble quand même limité à C qui est un absolu pour l'espace-temps


Concernant Mach3 qui est un expert qui traite ici le sujet de manière vectorielle. C'est abrupt quand on a oublié ces concepts mais simple sur le fonds. Je dois d'abord relire mon chapitre de maths sur les vecteurs. Voici ce que j'avais écrit à son propos dans un autre fil je citais le livre "Théories de la relativité" de Jean-Philippe Uzan (Auteur) Nathalie Deruelle (Auteur). Bon là c'est bourré de formules de démonstrations. C'est fait par une personne désignée comme celle connaissant le mieux la RG en France. Attention c'est une bible mais peu de pédagogie. Mieux vaut connaitre tous les symboles. Ce livre traite aussi des relativités Newtoniennes, de celles de l'électromagnétisme et pas mal de celles de Nordström
Mais ça ne remplace pas la pédagogie et la "classe" de Mach3 qui répond clairement. Dans les bouquins certaines équations sont arides si on ne les explique pas



Ps Astuces >> il faut aller en mode avancé et utiliser l'éditeur de texte plus complet pour les exposants. il permet aussi les annotations pour les tenseurs

[Daniel1958]

Ah c'est rigolo car dans son cours traduit "en français" il démarre en disant la seule chose importante à savoir pour la RR c'est 1/racine (1-V²/C²)

Merci pour le lien

Cordialement

[MissJenny]

bonjour,

si jamais tu cherches des informations du côté des maths plutôt que de la physique, sache que cette notion de métrique y est connue sous le nom de "forme quadratique".

[mach3]

Certes x^2+y^2+z^2- c^2 t^2 = 0 et =x'^2+y'^2+z'^2-c^2t'^2. Mais grande question (pas si simple) dans l'exemple t' peut-il être diffèrent de t. [B]

t' DOIT être différent de t. Ce sont deux coordonnées temporelles différentes (Elles ont (dans l'exemple considéré) la même valeur uniquement dans un plan particulier de l'espace-temps).

Est-ce finalement la formulation qui est invariante par rotation angulaire qui est considérée comme la métrique ou la conservation des valeurs . Est-ce une symétrie par rotation sur n'importe quel rayon de la sphère ?

pas vraiment compréhensible comme question... mais on va développer un peu pour soit permettre de la poser de façon plus claire, soit pour y répondre incidemment. Bon, c'est un peu un pavé désolé, mais il n'y a rien de très compliqué dedans, il suffit d'y aller pas à pas.

La métrique c'est l'objet géométrique, la "machine" à transformer un couple de vecteur en un scalaire (un tenseur).
Choisir un système de coordonnées (t,x,y,z), c'est choisir une base de 4 vecteurs (qui peuvent varier en chaque évènement dans le cas général, mais ici on considérera le cas particulier pour lesquels ces vecteurs ne varient pas, sinon on va tout compliquer pour rien) qu'on va pouvoir donner à la métrique par couples et ainsi calculer ses coefficients dans ce système de coordonnées (les fameux , ou, quand on travaille en espace-temps plat, ). Ces coefficients vont permettre l'écriture de l' "expression de la métrique dans le système de coordonnée (t,x,y,z)". Cette expression est souvent nommée métrique par métonymie (mauvaise habitude "entre bandits"). L'utilité de cette expression est de pouvoir utiliser la métrique en lui donnant directement les composantes des vecteurs dans le système de coordonnée choisi : elle permet de faire les calculs sur des réels (ou sur des fonctions à valeur réelle) plutôt que sur des objets géométriques.
Il existe des systèmes de coordonnées de l'espace-temps plat tels que l'expression de la métrique est toujours la même, les systèmes de coordonnées de Lorentz, et on peut passer de l'un à l'autre par les transformations du groupe de Poincaré, qui inclut les fameuses transformations de Lorentz.

Faisons un crochet par la géométrie euclidienne pour mieux comprendre sur un exemple simple et plus palpable. On choisit un système de coordonnées cartésien, x,y,z, mais on va les noter x¹, x², x³ de manière générique (1, 2 et 3 ne sont pas des exposants mais des indices haut). Coordonnées cartésiennes, cela veut dire un repère orthonormé, ce qui implique une base dont les trois vecteurs sont de norme 1 et tous orthogonaux entre eux. On note souvent ces vecteurs i,j,k, mais ici on va les noter e₁, e₂ et e₃ de manière générique. Les coefficients de la métrique dans ce système de coordonnées sont :

, avec i et j des entiers allant de 1 à 3 et "." le produit scalaire.

On peut alors traduire formellement "une base dont les trois vecteurs sont de norme 1 et tous orthogonaux entre eux". On aura :

, et (les 3 vecteurs de base ont une norme 1)

et :

, et

L'expression générale de la métrique dans un système de coordonnées x¹, x², x³ est :

(j'ai mis le symbole de sommation pour plus de clarté, mais il est souvent omis volontairement, c'est la notation d'Einstein)

est une machine (une forme linéaire) qui sert à transformer un vecteur en sa composante suivant le vecteur de base
est le produit (tensoriel) de et , qui est une autre machine un peu plus compliquée (un tenseur de rang 2) qui transforme un couple de vecteur en le produit de la composante du premier vecteur suivant le vecteur de base et la composante du second vecteur suivant le vecteur de base

Ici, avec les coefficients que l'on a calculé pour notre système de coordonnées cartésiennes, cela donne simplement :



ou encore, avec la notation plus courante :



Si on a un vecteur v dont on connait les coordonnées cartésiennes, , alors on veut calculer son carré scalaire ainsi :

(dx² appliqué sur le couple v,v donne le carré de la composante suivant x de v, vx², pareil pour dy² qui donne le carré de la composante suivant y, etc)

Si on a en plus un vecteur u, , alors on peut calculer le produit scalaire u.v :

(dx² appliqué sur le couple u,v donne le produit des composantes suivant x de u et v, uxvx, pareil pour dy² qui donne le produit des composantes suivant y, etc)

L'expression de la métrique d'Euclide a une forme très simple à manipuler dans notre système de coordonnées cartésien. Et on peut noter que ce sera cette expression là pour tous les systèmes de coordonnées cartésiens possibles et imaginables : on peut faire exactement la même démonstration pour tous vu qu'on a fait qu'utiliser les propriétés de l'orthonormalité. Les transformations de coordonnées entre systèmes de coordonnées cartésiens forment le groupe d'Euclide qui contient les translations (changement d'origine du repère), les rotations euclidiennes (changement des axes tous en les gardant orthonormés) et les inversions. Ces transformations laissent invariante l'expression de la métrique d'Euclide.
En aparté, il y a plein d'autres système de coordonnées qui donnent une expression différente de la métrique, par exemple les coordonnées sphériques ou cylindriques, et pour certains on peut également trouver des groupes de transformation qui laisse ces expressions invariantes (rotations pour les sphériques, rotation autour de z et translation le long de z pour les cylindriques).

Revenons à Minkowski. La mécanique sera la même avec un système de coordonnées de Lorentz t,x,y,z. Il est semblable à un système cartésien (les vecteurs de base sont orthogonaux et de norme 1) à ceci près que 3 vecteurs sont de genre espace et 1 est de genre temps.
Si on note (0,1,2 et 3 ne sont pas des exposants), alors les coefficients de la métrique dans ce système de coordonnées sont :

, avec et des entiers allant de 0 à 3 et "." le produit scalaire.

On aura donc :

(norme 1, mais genre temps, donc carré scalaire négatif)
, et (norme 1)

et :

, et , et

L'expression de la métrique sera donc :



Et on obtiendra cette expression pour tous les systèmes de coordonnées de Lorentz. Les transformations de coordonnées entre systèmes de coordonnées de Lorentz forment le groupe de Poincaré qui contient le groupe d'Euclide auquel on ajoute, entre autre, les transformations de Lorentz. Ces transformations de Lorentz (ainsi que celle du groupe d'Euclide) laissent invariante l'expression de la métrique de Minkowski.



m@ch3

[Tom200]

Bravo.
Ne pas oublier une chose. La métrique de Minkowski est utilisée parce que la contraction des longueurs et la dilatation du temps sont considérés comme étant des phénomènes d'origine géométriques. Il faut donc leur trouver une expression géométrique, ce que fait cette métrique.

[Deedee81]

Salut,

Attention quand même : ce n'est pas sa seule motivation, ni en soi ni historiquement (dans tout bon bouquin on part des deux postulats traditionnel ou mieux des résultats expérimentaux qui les supportent, et on trouve cette métrique très facilement. Les constructions qu'on trouve un peu partout comme chez Elbaz, chez Ougarov, etc... sont toujours fort simples. Et les explications de mach3 ci-dessus donnent plus que nécessaire pour la base pour comprendre). Et c'est après (autant historiquement que chez les auteurs précités) qu'on montre que cette métrique conduit à la contraction et la dilatation. De plus, la réciprocité de ces effets (comme pour la parallaxe d'ailleurs) est aussi une conséquence de ces postulats et la réciprocité implique directement le caractère géométrique.

Bon, il y a moyen de construire la RR de trente-six manières (*) mais partir de la dilatation/contraction n'est sans doute pas la plus élégante, la plus pédagogique et/ou la plus physique.
(moi j'aime bien l'approche algébrique sans partir de ces deux postulats, pour avoir la formulation la plus générale possible, mais elle est assez longue et indigeste, c'est juste une question de goût, dans un cours ce n'est certainement pas ça qu'il faut employer)

(*) c'est comme les démonstrations du théorème de Pythagore, beaucoup ce sont amusé avec ça

[Daniel1958]

Bonjour

Je suis en train de "décoder"

Jusque-là ça va sans problème

t' DOIT être différent de t. Ce sont deux coordonnées temporelles différentes (Elles ont (dans l'exemple considéré) la même valeur uniquement dans un plan particulier de l'espace-temps).

Est-ce finalement la formulation qui est invariante par rotation angulaire qui est considérée comme la métrique ou la conservation des valeurs . Est-ce une symétrie par rotation sur n'importe quel rayon de la sphère ?
pas vraiment compréhensible comme question... mais on va développer un peu pour soit permettre de la poser de façon plus claire, soit pour y répondre incidemment. Bon, c'est un peu un pavé désolé, mais il n'y a rien de très compliqué dedans, il suffit d'y aller pas à pas.

La métrique c'est l'objet géométrique, la "machine" à transformer un couple de vecteur en un scalaire (un tenseur).
Choisir un système de coordonnées (t,x,y,z), c'est choisir une base de 4 vecteurs (qui peuvent varier en chaque évènement dans le cas général, mais ici on considérera le cas particulier pour lesquels ces vecteurs ne varient pas, sinon on va tout compliquer pour rien) qu'on va pouvoir donner à la métrique par couples et ainsi calculer ses coefficients dans ce système de coordonnées (les fameux , ou, quand on travaille en espace-temps plat, ). Ces coefficients vont permettre l'écriture de l' "expression de la métrique dans le système de coordonnée (t,x,y,z)". Cette expression est souvent nommée métrique par métonymie (mauvaise habitude "entre bandits"). L'utilité de cette expression est de pouvoir utiliser la métrique en lui donnant directement les composantes des vecteurs dans le système de coordonnée choisi : elle permet de faire les calculs sur des réels (ou sur des fonctions à valeur réelle) plutôt que sur des objets géométriques.
Il existe des systèmes de coordonnées de l'espace-temps plat tels que l'expression de la métrique est toujours la même, les systèmes de coordonnées de Lorentz, et on peut passer de l'un à l'autre par les transformations du groupe de Poincaré, qui inclut les fameuses transformations de Lorentz.

Faisons un crochet par la géométrie euclidienne pour mieux comprendre sur un exemple simple et plus palpable. On choisit un système de coordonnées cartésien, x,y,z, mais on va les noter x1, x2, x3 de manière générique (1, 2 et 3 ne sont pas des exposants mais des indices haut). Coordonnées cartésiennes, cela veut dire un repère orthonormé, ce qui implique une base dont les trois vecteurs sont de norme 1 et tous orthogonaux entre eux. On note souvent ces vecteurs i,j,k, mais ici on va les noter e1, e2 et e3 de manière générique. Les coefficients de la métrique dans ce système de coordonnées sont :

Après c'est le changement de notations que je dois examiner avec la plus grande attention x , x1,j, e1. je ne dis pas que c'est infaisable mais me il faut vraiment de l'attention.

Est-ce finalement la formulation qui est invariante par rotation angulaire qui est considérée comme la métrique ou la conservation des valeurs . Est-ce une symétrie par rotation sur n'importe quel rayon de la sphère ?

J'avais du mal à exprimer que cette expression de la métrique x^2+y^2+z^2- c^2 t^2 = 0 est toujours la même (pas forcément la même présentation ni les mêmes valeurs) et ce quel que soit l'orientation d'un observateur externe. il retrouvera toujours en RR cette équation pour un évènement lumineux.

Je vais travailler le reste mais le tenseur g_uv est-il celui qui est à la base (que l'on doit découvrir) dans l'équation de champ de la RG ? Si oui on a (moi) un nouvel éclairage sur la RG (dans cas le nom de Minkowski aurait dû y être)

Grand merci pour ce cours avec un aspect de la géométrie vectorielle, de l'algèbre avec des tenseurs et de la physique poussée et de la phénoménologie du redshift (pour expliquer l'impact temporel de la gravité). Pas mal d'être un peu universaliste pour la pédagogie.

Je vois quand même que cette métrique qui a l'air simple ne l'est pas tant que ça (au niveau de sa signification pure). Après Minkowski était certes un prof mais aussi un génie avec Hilbert de la grande époque des maths allemandes.


Cordialement je continue

[yves95210]

le tenseur g_uv est-il celui qui est à la base (que l'on doit découvrir) dans l'équation de champ de la RG ? Si oui on a (moi) un nouvel éclairage sur la RG (dans cas le nom de Minkowski aurait dû y être)

Tu ne confonds pas le tenseur métrique g avec le tenseur d'Einstein G ?

Ceci dit G est calculé à partir du tenseur de Riemann, et donc des dérivées secondes du tenseur métrique. Donc quand on "découvre" l'un on découvre l'autre...

[jacknicklaus]

Bonsoir,

le tenseur g_uv est-il celui qui est à la base (que l'on doit découvrir) dans l'équation de champ de la RG ?

si tu fais référence au g dans l'expression , le tenseur g est bien la métrique.

[mtheory]

.

Je vois quand même que cette métrique qui a l'air simple ne l'est pas tant que ça (au niveau de sa signification pure). Après Minkowski était certes un prof mais aussi un génie avec Hilbert de la grande époque des maths allemandes.


Cordialement je continue

Non, non c'est très simple, ça peut se comprendre au Lycée, voir au collège, je parle d'expérience, faut vraiment faire ce que j'ai dis, bosser le petit bouquin d'Einstein et les cours de Feynman. https://www.amazon.fr/Relativit%C3%A...lbert+Einstein

[Daniel1958]

Bonsoir

Merci je viens de déterrer ce livre aux editions Dunod. Il n'est pas du tout difficile accès. Je comprends mieux pourquoi mon fils me l'avait "piqué" j'ai dû le racheter. Franchement je ne sais pas pourquoi je ne l'avais pas vu. Bon c'est "light" en RG " plus complet en RR mais toutes les idées sont là ;

C'est plus simple de lire des livres de vulgarisation. On (moi) se laisse aller trop à la facilité.

Et en plus il a l'air agréable à lire et clair sniff….

Après il faut passer "outre" le vieux langage comme continuum euclidien. Ce n'est pas vraiment un langage de collégien.

Livre écrit en Décembre 1916. Impressionnant.


Cordialement et merci

[Daniel1958]

Bonsoir

Ceci dit G est calculé à partir du tenseur de Riemann, et donc des dérivées secondes du tenseur métrique. Donc quand on "découvre" l'un on découvre l'autre...

je n'en doute pas

En fait c'était surtout l'idée sous-jacente. Il reprend l'intégralité du tenseur de Minkowski comme support de son équation maitresse.

Ce tenseur fait le lien entre les deux. Je sais qu'il était furieux (façon de parler) contre Minkowski car il avait du mal à comprendre (sur un temps très court) mathématiquement cette métrique pour son espace-temps. Il aurait dit "qu'est qu'il m'a fait je ne comprends plus rien".

Je vois que cette base tenseur est le fondement même de sa RG avec la courbure. C'est pour moi (qui découvre) un lien direct. On ne devrait plus parler des relativités. Mais de la relativité seulement.

Bien sûr il a fallu des coups de génie pour la création son équation de champs et de la prouver en la testant. Mais tout ceci prouve que c'était un vrai génie pas un génie autoproclamé.

Cordialement

[Daniel1958]

Bonsoir

Yes, tout à fait

Je te remercie de d'avoir montré l'équation.

Cordialement

[JPL]

Fermé à la demande de Daniel1958.