accélération ressentie RG

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
dans le cadre d'une capsule en MRUA, l'accélération ressentie (accélération propre) est
avec le facteur de Lorentz. plus la vitesse relative entre l'accélérant et un observateur intertiel augmente, plus l'accélération coordonnée mesurée par l'observateur inertiel diminue.
En RG l'équivalent du facteur de Lorentz est .
La question est :
l'accélération ressentie en RG pour un observateur stationnaire à la coordonnée R d'un champ de gravitation n'est-elle pas :
?
Je propose cela parce qu'une capsule devrait accélérer pour rester stationnaire à la coordonnée R et que la vitesse de libération c'est: .

Peux-t'on me dire si ce que je propose est correct et sinon m'expliquer d'où vient mon erreur.
merci pour vos réponses
-----

[mach3]

D'abord un rappel (ou pas) :

Pour calculer l'accélération propre d'un objet, il faut prendre la dérivée covariante de sa 4-vitesse dans la direction de sa 4-vitesse, ce qui donne sa 4-accélération, prendre la valeur absolue du carré scalaire de cette 4-accélération (suivant la signature, le carré scalaire pourrait être négatif) et enfin en extraire la racine carré.

Formellement, dans le langage des coordonnées, ça donne :

(calcul des composantes de la 4-acceleration par dérivation covariante)

(calcul de l'accélération propre comme norme de la 4-accelération).

Les sont les coefficients de la métrique

Les sont les symboles de Christofell, à calculer au cas par cas selon l'expression de la métrique (avec )

Application concrète tout à l'heure.

m@ch3

[mach3]

Plaçons nous d'abord dans le cas d'un espace-temps plat avec des coordonnées de Lorentz. Les coefficients de Christofell sont nuls :



et la métrique est celle de Lorentz :

(attention, je note "a" l'accélération propre)

si on suppose un mouvement suivant x uniquement, on a :


si on dérive par rapport à , on a :



donc on a simplement : l'accélération propre est simplement la valeur absolue de la variation de rapidité par rapport au temps propre.

Si on un s'intéresse à l'accélération coordonnée, , alors :



on retrouve bien le résultat connu.

Application dans le cas Schwarzschild tout à l'heure.

m@ch3

[mach3]

En coordonnées de Schwarzschild, les composantes de la 4-accélération sont, en supposant qu'on se limite à des mouvements dans le plan équatorial :







L'accélération propre est donnée par la métrique :
(on ne développera pas l'expression)

On considère le cas d'un objet stationnaire, se maintenant en r et phi constant (donc dérivées premières et secondes nulles), ce qui simplifie les expressions :







Pour connaitre , on se sert du carré scalaire de la 4-vitesse qui doit valoir -1 :



Et comme cette expression est une constante dans notre cas stationnaire, on sait que

Les composantes de la 4-accélération sont finalement :







Il ne subsiste donc que .

Pour finir, on calcule l'accélération propre :
(qui tend bien vers l'expression newtonnienne quand r est très grand devant 2M).

On note qu'ici l'accélération coordonnée est nulle, donc il n'y a pas de comparaison pertinente à faire entre accélération propre et coordonnée.

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[ordage]

D'abord un rappel (ou pas) :



Formellement, dans le langage des coordonnées, ça donne :

(calcul des composantes de la 4-acceleration par dérivation covariante)

m@ch3

Bonjour
Au passage, on peut rappeler que:

est l'équation géodésique qui correspond à une accélération (propre) nulle.
Cordialement

[Zefram Cochrane]

Bonjour
Au passage, on peut rappeler que:

est l'équation géodésique qui correspond à une accélération (propre) nulle.
Cordialement

une chute libre donc

[Zefram Cochrane]

En coordonnées de Schwarzschild, les composantes de la 4-accélération sont, en supposant qu'on se limite à des mouvements dans le plan équatorial :







L'accélération propre est donnée par la métrique :
(on ne développera pas l'expression)

On considère le cas d'un objet stationnaire, se maintenant en r et phi constant (donc dérivées premières et secondes nulles), ce qui simplifie les expressions :







Pour connaitre , on se sert du carré scalaire de la 4-vitesse qui doit valoir -1 :



Et comme cette expression est une constante dans notre cas stationnaire, on sait que

Les composantes de la 4-accélération sont finalement :








Il ne subsiste donc que .

Pour finir, on calcule l'accélération propre :
(qui tend bien vers l'expression newtonnienne quand r est très grand devant 2M).

On note qu'ici l'accélération coordonnée est nulle, donc il n'y a pas de comparaison pertinente à faire entre accélération propre et coordonnée.

m@ch3

Merci pour les réponses rigoureusement détaillées.
Il y a une certaine logique dans cette réponse parce qu'un observateur stationnaire à la coordonnée R d'un TN se voit à une distance R' telle que:

Le rapport est-il égal à ?
cela impliquerait
et la conséquence serait que :
?

....
par contre j'ai une interrogation par rapport au principe d'équivalence qui ne semble pas s'appliquer localement puisque pour Rindler et que pour Schwarzschild
?

[mach3]

Il y a une certaine logique dans cette réponse parce qu'un observateur stationnaire à la coordonnée R d'un TN se voit à une distance R' telle que:

Que signifie "se voit à une distance" opérationnellement ?
Des arpenteurs se maintenant en R constant le long d'un cercle pourraient aisément mesurer que le périmètre de ce cercle mesure (par définition justement de R qui est le rayon aréal). Par contre mesurer depuis R=0 jusqu'à R pour savoir à quelle distance au centre on est, c'est problématique.
Si on a un astre effondré, alors la notion de distance pour des stationnaires n'a de sens qu'en partant de l'horizon, pas de distance à un centre définissable, à la rigueur une distance à l'horizon (ou plutôt à un point arbitrairement proche de).
Si on a un astre non effondré, alors la métrique est différente sous sa surface et la correction à faire pour convertir le rayon aréal en distance au centre telle que mesurée par des arpenteurs (sans compter la difficulté pratique d'arpenter sous la surface...) dépendra du profil de densité de l'astre.

Le rapport est-il égal à ?
cela impliquerait

mais c'est quoi M' ??

par contre j'ai une interrogation par rapport au principe d'équivalence qui ne semble pas s'appliquer localement puisque pour Rindler et que pour Schwarzschild
?

Le a_c dans est l'accélération coordonnée d'un stationnaire de Rindler dans les coordonnées de Lorentz. Dans les coordonnées de Rindler, ce stationnaire a une accélération coordonnée nulle (il est stationnaire en coordonnées de Rindler, donc par définition, vitesse et accélérations coordonnées nulles)
le a_c dans je ne vois pas à quoi il correspond. C'est une formule qui sort de nulle part jusqu'à preuve du contraire. Néanmoins dans les coordonnées de Schwarzschild, un stationnaire a une accélération coordonnée nulle (il est stationnaire en coordonnées de Schwarzschild, donc par définition, vitesse et accélérations coordonnées nulles). Faudrait trouver dans quel système de coordonnées l'accélération coordonnée a cette expression... peut-être un truc style Novikov au moment de la culmination.

De plus, le principe d'équivalence ne porte pas sur l'accélération coordonnée car ce n'est pas un invariant (c'est écrit dessus "coordonnée"...).

m@ch3

[Zefram Cochrane]

Que signifie "se voit à une distance" opérationnellement ?
Des arpenteurs se maintenant en R constant le long d'un cercle pourraient aisément mesurer que le périmètre de ce cercle mesure (par définition justement de R qui est le rayon aréal). Par contre mesurer depuis R=0 jusqu'à R pour savoir à quelle distance au centre on est, c'est problématique.

Opérationnellement, ce peut être une règle de longueur propre l disposée orthogonalement par rapport à la radiale avec deux alidades aux extrémités pointant vers le centre du TN. on mesure l'angle des axe de visée des alidades et par trigonométrie, on mesure la distance apparente : ie la coordonnée r' locale au niveau du statiionnaire; r étant celle du stationnaire mais d'un point de vue d'un observateur situé à l'oo.

Si on a un astre effondré, alors la notion de distance pour des stationnaires n'a de sens qu'en partant de l'horizon, pas de distance à un centre définissable, à la rigueur une distance à l'horizon (ou plutôt à un point arbitrairement proche de).
Si on a un astre non effondré, alors la métrique est différente sous sa surface et la correction à faire pour convertir le rayon aréal en distance au centre telle que mesurée par des arpenteurs (sans compter la difficulté pratique d'arpenter sous la surface...) dépendra du profil de densité de l'astre.

tu parles de la longueur propre d'un fil de plomb tendu entre le stationnaire et l'horizon du TN et qui s'obtient en intégrant les dr' de 2M à r et qui donne une longueur finie.

mais c'est quoi M' ??

si le rapport entre le rayon du TN et la distance apparente est constante à r donné, alors si alors puisque s'il voit le rayon du TN plus grand quand il se rapproche du TN il doit en déduire que sa masse M' est plus grande que M.

Le a_c dans est l'accélération coordonnée d'un stationnaire de Rindler dans les coordonnées de Lorentz. Dans les coordonnées de Rindler, ce stationnaire a une accélération coordonnée nulle (il est stationnaire en coordonnées de Rindler, donc par définition, vitesse et accélérations coordonnées nulles)
le a_c dans je ne vois pas à quoi il correspond. C'est une formule qui sort de nulle part jusqu'à preuve du contraire. Néanmoins dans les coordonnées de Schwarzschild, un stationnaire a une accélération coordonnée nulle (il est stationnaire en coordonnées de Schwarzschild, donc par définition, vitesse et accélérations coordonnées nulles). Faudrait trouver dans quel système de coordonnées l'accélération coordonnée a cette expression... peut-être un truc style Novikov au moment de la culmination.

Je vais le réécrire en reprenant ta notation:




d'où ma question par rapport au principe d'équivalence.
qu'est ce que je comprend mal?

[mach3]

Opérationnellement, ce peut être une règle de longueur propre l disposée orthogonalement par rapport à la radiale avec deux alidades aux extrémités pointant vers le centre du TN. on mesure l'angle des axe de visée des alidades et par trigonométrie, on mesure la distance apparente : ie la coordonnée r' locale au niveau du statiionnaire; r étant celle du stationnaire mais d'un point de vue d'un observateur situé à l'oo.

Honnêtement je ne suis pas sûr du tout que la mesure décrite donne . A chaud comme ça, j'ai même l'impression que ça donnerait r. Bref, il y a une nécessité de démonstration, et ça doit être bien coton, car pour avoir un angle non négligeable entre les axes de visée des alidades, il faut travailler sur un domaine trop grand pour négliger la courbure.

tu parles de la longueur propre d'un fil de plomb tendu entre le stationnaire et l'horizon du TN et qui s'obtient en intégrant les dr' de 2M à r et qui donne une longueur finie.

oui, et ça n'est pas , mais, si je ne m'abuse, quelque chose comme . Mais bon du coup, ce n'est pas de cela dont il était question, mais ça ressemble pourtant beaucoup plus à une coordonnée radiale "locale" vu que ça correspond à l'arpentage local que peut faire le stationnaire le long de la radiale où il se trouve

si le rapport entre le rayon du TN et la distance apparente est constante à r donné, alors si alors puisque s'il voit le rayon du TN plus grand quand il se rapproche du TN il doit en déduire que sa masse M' est plus grande que M.

je ne vois pas bien l'utilité.

Je vais le réécrire en reprenant ta notation:




d'où ma question par rapport au principe d'équivalence.
qu'est ce que je comprend mal?

Le premier est correct (et redémontré plus haut), le second est faux, ou en tout cas ne concerne pas un stationnaire en coordonnées de Schwarzschild qui par définition possède un nul.

m@ch3