Droite parallèle se touche ?

[invite897ff5aa]

Bonjour =)

Hier j'ai entendu que 2 droite parallèle se touche pas dans la 2D mais dans la 3D elle se touche ( sur terre en gros ).
Perso j'ai pas trop compris on m'a tenter d'expliquer mais rien ...
J'espère que je poste bien dans le bon topic ^^
Donc une autre question :
On est sur terre la terre est ronde on le sais déjà =) ( non elle est pas plate xD )
On prend un long très long tuyau, on va dire 13.000 Km donc plus grand que le diamètre de la terre ( 12.756 Km ), le tuyau est dur, rigide, super man tout se que vous voulez =),
tout le mode tien se tuyau sur terre,le tuyau fera le tour de la terre ou va allez dans l'espace ?
Vous avez compris ? =)

Merci
-----

[invite83d165df]

Si le tuyau est droit, dans le sens où il suit le trajet d'un rayon de lumière, il ira dans l'espace et ne fera pas le tour de la terre...

en 2D ou en 3D, les parallèles ne se coupent pas.

Si par contre tu travailles dans un espace non euclidien, là elles peuvent se toucher.

Des exemples d'espace non eucldien ? la surface de la terre considérée comme un plan. si deux personnes partent en ligne droite par des chemins parallèles, ils peuvent se croiser un jour. Ca dépend aussi du hemin choisi...

Un autre exemple, l'Univers, sur de très grosses distances. Il a été prouvé en effet que de grosses masses (étoiles, galaxies,...) déforment l'espace-temps et le courbe

[invite897ff5aa]

Donc 3D aussi sa se coupe pas, j'ai du mal comprendre =)

Des exemples d'espace non eucldien ? la surface de la terre considérée comme un plan. si deux personnes partent en ligne droite par des chemins parallèles, ils peuvent se croiser un jour. Ca dépend aussi du hemin choisi...

Un autre exemple, l'Univers, sur de très grosses distances. Il a été prouvé en effet que de grosses masses (étoiles, galaxies,...) déforment l'espace-temps et le courbe

SA aussi on me la dit, mais j'arrive pas a visualiser dans ma tête les 2 droite parallèle qui se touche =X, et ni l'espace non euclidien ...

[mach3]

imagine qu'un ami et toi, vous partiez tous les deux de l'équateur, séparés de quelques mètres de distance, et que vous vous dirigiez toujours tout droit plein nord tous les deux (avec obligation de rester à la surface de la terre). Vous allez suivre des trajectoires localement parallèles, tu es d'accord.
Mais quand vous aurez fait 10000km, vous vous croiserez, au pôle nord (vous avez en fait parcouru chacun un méridien différent).
Au départ vous aviez une trajectoire parallèle, mais pourtant en allant tout droit, vous finissez par vous croiser, parce que la surface de la terre est courbe (c'est à dire non euclidienne).

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Si par contre tu travailles dans un espace non euclidien, là elles peuvent se toucher.

Des exemples d'espace non eucldien ? la surface de la terre considérée comme un plan. si deux personnes partent en ligne droite par des chemins parallèles, ils peuvent se croiser un jour. Ca dépend aussi du hemin choisi...

Je ne comprends pas la première phrase d'autant plus que la deuxième phrase donne un exemple d'espace non euclidien ou deux droites ne sont jamais parallèles, il leur est d'autant plus difficile de se toucher, il me semble.

[mach3]

en fait rigoureusement, le parallélisme n'existe plus quand l'espace n'est pas euclidien. Au mieux on peut parler de courbes (car même les droites sont à proscrire) localement parallèles.

m@ch3

[Médiat]

Je suis désolé, mais la définition de droite parallèles existent dans les espaces non-euclidiens, la preuve : dans les espaces hyperboliques, par chaque point extérieur à une droite, il passe une infinité de parallèles à cette droite.
Quant à "localement parallèle" c'est une expression que je connais dans le cadre de la géométrie euclidienne et concerne des courbes, là nous parlons de droites parallèles.

Cordialement

Médiat

[invité576543]

Je suis désolé, mais la définition de droite parallèles existent dans les espaces non-euclidiens, la preuve : dans les espaces hyperboliques, par chaque point extérieur à une droite, il passe une infinité de parallèles à cette droite.

Ce serait quoi la définition générale de "parallèle"?

Cordialement,

[invite897ff5aa]

mach3 oui mais dans se cas la on a plus des droite mais des courbes non ? ...

Une parallèle doit d'avoir une 2 droite qui parte tout les 2 droit ( mal exprimé xD ) certe mais elle doivent avoir la même longueur de séparation entre les 2, donc au moment ou les 2 critère ne sont pas respecter en cour ( je sais c'est nul xD ) on ma dit que c'est pas des droite :s, tu dis aussi que au final on se rejoint au pôle nord, normal car c'est un peu la destination =) enfin après je pense que sa varie suivant la vision de chacun :s

[Médiat]

mach3 oui mais dans se cas la on a plus des droite mais des courbes non ? ...

Non, ce sont bien des droites, mais des droites dans un espace non euclidien.

[invite0e4ceef6]

c'est un truc qui m'etonneras toujours, autant euclide semble correct dans ses définitions, un droite passe par deux points sans dévier d'un chouilla (normal elle est droite)
il ne conclue que deux droite parrallèle ne se touche jamais, c'est plus que logique.

mais dans l'esapce non-euclidien, une droite devient une courbe (amusant) ce qui rend possible le fait que deux droites bien que stricement droite et parrallèle puisse se toucher. c'est fort je ne m'en lasse pas.

je dirais plutôt que le concept de droite n'est pas valide dns un espace euclidien, et qu'il est remplacer par des courbes ceci expliquant le fait qu'elle puisse sans difficulté se rejoindre.

ce qui amusant avec une courbe c'est que précisément ce n'est pas une droite, elle ne peut-êter incluse dans une seule dimension, pour signifier la courbure, il faut nécéssaire une deuxième coordonée, sinon elle reste droite et tin-tin pour qu'elle se touche

bon j'attend que mediat m'explose tout cela.

[Médiat]

bon j'attend que mediat m'explose tout cela.

Puisque tu le demandes

mais dans l'esapce non-euclidien, une droite devient une courbe (amusant) ce qui rend possible le fait que deux droites bien que stricement droite et parrallèle puisse se toucher. c'est fort je ne m'en lasse pas.

Non dans un espace non euclidien les droites sont droites, ce qui ne les empêche pas de se toucher (je ne m'en lasse pas non plus). Tu fais une confusion entre un espace euclidien et un plongement de cet espace dans un espace euclidien.

je dirais plutôt que le concept de droite n'est pas valide dns un espace euclidien, et qu'il est remplacer par des courbes ceci expliquant le fait qu'elle puisse sans difficulté se rejoindre.

Ce concept de droites est parfaitement valide dans les géométries non euclidiennes, c'est même la base de leur axiomatisation. Je rappelle que les deux géométries non euclidiennes les plus connues (hyperbolique et sphérique (ou elliptique)) ne diffèrent de la géométrie euclidienne que par un seul axiome (leur consistance démontrant son indépendance, résultat recherché depuis longtemps).

ce qui amusant avec une courbe c'est que précisément ce n'est pas une droite, elle ne peut-êter incluse dans une seule dimension, pour signifier la courbure, il faut nécéssaire une deuxième coordonée, sinon elle reste droite et tin-tin pour qu'elle se touche

Tu vois que tu fais un plongement

[Médiat]

### discussion privée sur point désormais clos

Ben non je ne l'ai pas en tête, pas dans le cas général d'une variété riemannienne ou pseudo-riemannienne.

Le contexte est celui des géométries euclidiennes et non euclidiennes (sphériques et hyperboliques), pas celui des variétés différentielles.

[invite8ef897e4]

Je fais juste une remarque pour lilnes en passant, histoire de clarifier un peu les choses, ou dit autrement, d'expliciter la "definition generale de droite".

Sur une sphere il n'y a aucune droite dans le sens ou tu visualises une droite euclidienne ordinaire. Au plus, une telle droite peut toucher ou couper la sphere.

Comme dit par les autres participants, ici je fais reference a la sphere en tant qu'objet physique, que je peux visualiser, plonge dans un espace a 3D ou je me trouve moi-meme. Le concept de plongement est bien defini mathematiquement.

Mais tu n'as pas besoin de plonger la sphere dans un espace a 3D pour travailler avec. D'une facon generale, sur une variete geometrique telle une sphere ou une selle de cheval, le concept de droite est remplace par le concept de "geodesique" : c'est le plus court chemin entre 2 points.

Dans l'espace ordinaire plat en 3D, la droite est bien le plus court chemin entre 2 points. Lorsque l'espace est courbe, le plus court chemin n'est plus le meme. Tu prends deux points sur la sphere, le plus court chemin entre eux ne peut pas etre compte a l'exterieur de la sphere (je dis bien sphere et pas boule : la sphere est la surface de la boule). Tu ne peux pas "passer par l'espace en 3D dans lequel tu aurais plonge ta sphere". Tu dois chercher le plus court chemin sur la sphere. Et tu obtiens ce que l'on appelle (parfois) un grand cercle, ou un arc de grand cercle. Pour comprendre ou visualiser ce qu'est un grand cercle, plonge la sphere en 3D : le disque associe a un tel grand cercle passe par le centre de la sphere. Le centre d'un grand cercle en 3D et aussi le centre de la sphere.

J'espere (mais je ne suis pas sur) que ca aide.

edit
J'oubliais : j'ai propose une visualisation d'un grand cercle via un plongement en 3D et le centre de la sphere, mais la definition elle meme, par geodesique, ne necessite pas de plongement.

[invité576543]

Parce que l'on pourrait l'utiliser si elle n'existait pas ?

Le contexte est celui des géométries euclidiennes et non euclidiennes (sphériques et hyperboliques), pas celui des variétés différentielles.

Si je comprends bien, c'est uniquement la notion de parallèle sur les géométries en deux dimensions? (En trois D ou plus il y a d'autre géométries que les trois citées, non?)

Si c'est le cas, j'ai bien fait de poser la question, j'avais vu "espace non euclidien", et j'ai mal interprété ce terme. Ma faute doit être excusée, par exemple quelqu'un a donné l'espace-temps comme exemple dès le message #2.

Cordialement,

[invite8ef897e4]

Vu les remarques, je suis hautement critiquable d'avoir utilise par exemple

variete geometrique

qui est redondant (et inutile, on peut preciser "continue" ou "differentiable" ou "lisse", mais "geometrique" ca ne sert a rien...)

Bon, j'esperais juste fournir quelques elements heuristiques.

[Médiat]

Si je comprends bien, c'est uniquement la notion de parallèle sur les géométries en deux dimensions?

L'axiomatique de Hilbert (géométrie euclidienne et (géométrie de Riemann et de Lobatchevsky à un axiome près)) est plutôt une axiomatique 3D puisque les objets sont des points, des droites et des plans.

[invité576543]

(et inutile, on peut preciser "continue" ou "differentiable" ou "lisse", mais "geometrique" ca ne sert a rien...)

Inutile? Faut quand même un peu plus que différentiable pour pouvoir parler de géodésique (de droite) comme tu l'as fait, non?

Cordialement,

L'axiomatique de Hilbert (géométrie euclidienne et (géométrie de Riemann et de Lobatchevsky à un axiome près)) est plutôt une axiomatique 3D puisque les objets sont des points, des droites et des plans.

Encore une faute d'interprétation de ma part. Comme il n'y avait que trois géométries de citées, j'avais déduit, à tort, qu'il n'était que question de surface, puisqu'il y a, sauf erreur de ma part (j'en fait beaucoup), 7 géométries non euclidiennes en 3D.

Cordialement,

[invite8ef897e4]

Faut quand même un peu plus que différentiable pour pouvoir parler de géodésique (de droite) comme tu l'as fait, non?

Toutes mes varietes sont lisses (C-infinies et memes analytiques), voire simplement connexes

Pour la notion de distance, il faut "riemannienne" si je me souviens bien.

[invite897ff5aa]

Merci humanino je crois que j'ai compris se que tu voulais dire ^^

Une droite qu'on appel droite dans la géométrie ecludienne n'est pas la " même " droite dans la géométrie non eclidienne ...

En gros c'est le mot qui nous met en tors ^^ donc une droite droite dans la géométrie non eclidienne n'est en faite qu'une courbe pour pour nos yeux ... car si ... j'ai mal a ma tête xD

Le problème était tous simplement le type d'espace ou on travail ...

J'ai bon ?

[JPL]

@Quetzal: La droite étant le plus court chemin entre deux points, c'est à juste titre qu'on appelle droite tout ce qui correspond à cette définition dans quelque type d'espace que ce soit. Si tu les appelles "courbes" c'est parce que tu fais l'erreur de les regarder "de l'extérieur" à partir de ton espace familier que tu perçois euclidien.

[inviteeaee6a22]

salut
je voudrai posé une petite question a l'origine une droite elle est vertical ou
horizontal

[invite8ef897e4]

Soient deux bieres : il existe exactement une seule chaise passant par ces deux bieres. Une chaise contient toujours au moins deux bieres, et pour toute chaise il existe une biere par laquelle la chaise ne passe pas. Trois bieres par lesquelles ne passe pas une chaise definissent une table. [...] Il existe au moins quatre bieres par lesquelles ne passent aucune table.

On peut maintenant construire une bijection unique entre les points et les bieres, les chaises et les droites, et les plans et les tables.

en plus c'est connu...

[invité576543]

question de point de vue sans doute..

Pas seulement une question de point de vue.

Quand on dit "le plus court chemin entre deux points", on utilise une notion de distance.

Quand on parle de "type d'espace", on ne parle pas seulement d'un ensemble de points, mais aussi d'un ensemble de points et d'une distance. Et il n'y a pas qu'une seule notion de distance.

En faisant un plongement comme tu le fais, tu inventes des points supplémentaires dans le seul but d'obtenir une autre distance, dont les propriétés te sont plus familières.

Ce n'est pas la notion de droite euclidienne que tu cherches à restaurer, c'est la distance originelle que tu refuses.

Ce qu'on "ose" dans les espaces non euclidiens, c'est admettre qu'il existe des distances qui ne respectent pas le théorème de Pythagore (entre autres). C'est aussi admettre que sur un même espace (même ensemble de points) on peut avoir des distances différentes. Topologiquement le plan euclidien et le plan hyperbolique sont identiques, c'est "un plan". Mais ils sont munis de distances différentes.

Or, dans de nombreux cas pratiques, y compris l'espace-temps, on trouve une distance qui s'impose, qui a un usage pratique, qui a un sens. Et qui n'est pas euclidienne. Pas de bol!

Pour donner un exemple, on peut définir les couleurs par trois nombres, rouge-vert-bleu par exemple. On peut déterminer, par des tests subjectifs mais très répétitifs, la distance qu'on perçoit entre deux couleurs. Cette distance n'est pas euclidienne. Va-t-on alors décider que l'espace des couleurs doit avoir 6 dimensions, et changer la colorimétrie pour travailler dans l'espace Rouge-vert-bleu-bière-chaise-nounours pour restaurer le théorème de Pythagore?

Non. Il est plus simple d'accepter la distance pour ce qu'elle est.

Si on reprend plan euclidien et plan hyperbolique, deux distances différentes veut dire que les droites (chemins les plus courts) dans l'un sont courbes (= pas droites) dans l'autre et réciproquement. La notion de droite et la notion de distance sont intimement liées. Pourquoi choisir une distance plutôt que l'autre, c'est symétrique, non? Réponse : on choisit (en physique) la distance qui fait sens. Et ça dépend de l'application qu'on fait de l'espace en question.

On refusant de voir un espace non euclidien autrement que par plongement, tu refuses toute notion de distance ne respectant pas le théorème de Pythagore. Tu perds de vue la vraie distance (celle qui fait sens) pour la remplacer par une distance fictive; le soi-disant chemin le plus court passe par des points fictifs. A quoi ça me sert de savoir qu'on peut obtenir une "droite droite" entre deux couleurs en passant par des couleurs fictives qui n'ont strictement aucun sens pour moi? A rien. Ou plutôt juste à restaurer un théorème de Pythagore, gain négligeable devant l'abime conceptuel dans lequel me plonge l'invention de dimensions fictives pour décrire les couleurs.

Quoi que tu dises, c'est bien plus clair d'accepter que le chemin le plus court entre deux couleurs est ce qu'il est quand on dessine l'espace des couleurs sur une feuille de papier ("pas droit", pour toi), et d'appeler cela quand même la droite qui joint les deux couleurs. Parce ce que ça correspond bien à un chemin le plus court, même si pour une autre distance que l'euclidienne.

Cordialement,

[invite897ff5aa]

#### échanges autour de théorie démontrée fausse

Sinon moi j'ai piger la différence entre la géométrie eclidienne et non eclidienne ^^

Merci a vous tous en tout cas

[Médiat]

mais, sans l'idéal comment peut-tu poser que la terre soit une sphère? puisque tu ne l'a jamais vu sphérique, petit bonhome de la surface?

Parce que lorsque je trace un triangle et que je mesure ses angles avec une précision idéale (un mot qui a l'air de te plaire), je trouve un total supérieur à 180° ce qui est impossible dans le plan euclidien, même pour un petit bonhomme comme moi.

J'attends toujours ta définition mathématique des points droites et plans ...

[inviteeaee6a22]

salut
moi je veut dire ce qui na peut être jamais été dit ou du moins dans ce forum quant en vous demande de vous tenir droit vous allez adopter la position debout et c'est sa a l'origine une droite une vertical
avec une vertical vous ne risquez pas de faire un un cercle

[mach3]

moi je veut dire ce qui na peut être jamais été dit ou du moins dans ce forum quant en vous demande de vous tenir droit vous allez adopter la position debout et c'est sa a l'origine une droite une vertical

une droite n'a rien à voir avec l'orientation (verticale ou horizontale)

m@ch3

[invite8ef897e4]

avec une vertical vous ne risquez pas de faire un un cercle

Est-ce ma nature paresseuse qui me fait concevoir la droite comme "originellement creee" horizontalement ?
Serieusement, dans le contexte de cette discussion je ne crois pas qu'il soit hors sujet de faire la remaque : dans le plan une droite est un cercle de rayon infini, preuve en est le fait qu'ils se transforment les uns dans les autres sous les transformations de Mobius. Donc, bon, au moins d'un point de vue conforme.

[invité576543]

### échanges autour de théorie démontrée fausse

Les trois sont des géométries à deux dimensions, c'est à dire des espaces riemanniens complets et localement homogènes. Et dans le cas 2D, ce sont tous trois des espaces globalement homogènes. (Ce qui permet de les voir comme des groupes de Lie, une structure très puissante.)

Ils différent topologiquement en ce que la géométrie elliptique est sans bord et les autres ont un bord.

Les trois géométries existent pour n'importe quelle dimension n>=2, pas seulement en 2D.

Ceci exposé, quelle propriété mets-tu en avant pour affirmer que la géométrie euclidienne est "idéale et absolue", et pas l'une ou l'autre des deux autres géométries?

Cordialement,