petite question à la con : 1+1

[inviteb5edeb78]

voila donc les choses les plus simples sont très souvent les plus difficiles à prouver... partant de ce point, je souhaiterais savoir ss'il est possible de prouver que 1+1=2 ? Avec une démonstration mathématique biensur, pas des exemples genre une pomme plus ine pomme égal deux pommes...les exemples n'étant pas une preuve!

Si cette démonstration est possible, où puis-je la trouver?

Charte du forum :

La courtoisie est de rigueur sur ce forum: pour une demande de renseignements bonjour et merci devraient être des automatismes.

JPL, modérateur
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[invite2ed08286]

Si 1+1=2 n'est pas un axiome...

[invitec314d025]

Si 1+1=2 n'est pas un axiome...

Pas un axiome, mais pas loin.
Pour le démontrer, il faudrait repartir de la construction de l'ensemble N des entiers naturels avec les axiomes de Peano. Définir 1 et 2, ça c'est pas trop dur: 1 est le successeur de 0, 2 est le successeur de 1 (pas de démonstration, ce la revient juste à nommer des objets mathématiques). Ensuite, redéfinir l'addition sur les entiers naturels. Mais comme faire +1 consiste à prendre le successeur, il n'y a pas grand-chose à faire.

[invite4793db90]

Salut,

tout dépend comment tu définis les entiers naturels.
Dans l'axiomatique de Peano, on dispose d'une opération de succession (le +1) et donc on appelle 2 le successeur de 1, qui est lui-même le successeur de 0 (et il y a un axiome qui dit que 0 n'est le successeur d'aucun nombre).

Cordialement.

EDIT: devancé par Matthias.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite19415392]

J'ajouterais à cela que je n'aimerais pas être à la place d'un instituteur qui doit expliquer ça à des enfants :
"1+1=2
- Mais pourquoi ?
- Euh ...."

[invitec314d025]

J'ajouterais à cela que je n'aimerais pas être à la place d'un instituteur qui doit expliquer ça à des enfants :
"1+1=2
- Mais pourquoi ?
- Euh ...."

une pomme plus une pomme ...
Les enfants en CP exigent rarement une démonstration rigoureuse et une approche axiomatique.

[invite4b9cdbca]

et puis... Si un petit malin te demande une démo rigoureuse, pour pas te casser la tête tu dis que ça dépend comment tu définis ton univers de nombres... Entiers naturels en base 10 ou alors en binaire... auquel cas 1+1=10... Bon je pinaille pour pasgrand chose... pour rien, meme...

[invite7cd5a1d4]

une pomme plus une pomme ...
Les enfants en CP exigent rarement une démonstration rigoureuse et une approche axiomatique.

Pourquoi que 1 pomme + 1 pomme = 2 pommes n'est pas une démonstration ?
... A la base, quand les nombres ont été inventés, il n'y a pas eu de démonstration de celà. "2" a été utilisé pour suivre "1" ! Celà correspondait au nombre correspondant à 2 unités de quelque chose.
... C'est bien les mathématiciens pour se casser la tête à prouver que 1+1 = 2

[invite19415392]

Il n'empêche qu'écrire 1+1=2 demande un certain degré d'abstraction ; ce n'est pas si évident que ça. Après tout, les pommes sont deux objets distincts, or l'opération fait apparaitre la disparition d'un des deux termes.
Certes, les instituteurs travaillent par adéquation avec le « réel » (comme l'exemple des pommes), mais là encore il ne s'agit au fond que d'illustrer une définition, celle du chiffre 2. Et à cet âge là, la question du pourquoi revient souvent ; le gamin n'attend pas une définition formelle (qu'il serait bien incapable de comprendre), mais la recherche du sens peut amener à un blocage.

[JPL]

Ce n'est pas dans le Bourbaki qu'il y a cette phrase célèbre : le nombre 1 sera abordé dans le tome... (je ne sais plus lequel ; je crois que c'est entre 3 et 8) ?

[JPL]

"2" a été utilisé pour suivre "1" ! Celà correspondait au nombre correspondant à 2 unités de quelque chose.

2 a été utilisé pour suivre 1. On est au niveau de l'énumération. Ce n'est pas si évident de passer à la notion de quantité. Parce que les 2 pommes on les a sous les yeux, on peut toujours les dénombrer et voir que 2 c'est plus que 1 et moins que 3. Mais 1 kilo de farine + 1 kilo de farine, une fois qu'on a mélangé on voit que cela fait plus, mais 2 n'est plus visible. Cela demande donc une certaine abstraction.

[invitee65b1c3d]

Comme cela a été dit, tout dépend dans quel cadre on se place.

Dans le cadre de la théorie des ensemble, dans lequel on définit comme étant le plus petit ordinal limite (c'est à dire sans prédécesseur et différent de 0), le nombre 1 de cet ensemble est défini comme étant

La somme de a et b en tant que cardinaux (mais on peut montrer que c'est pareil si on prend la somme sur les ordinaux, à condition bien sûr que a et b soient finis) est égal au cardinal de l'union disjointe de a et b c'est à dire au cardinal de : .

Par conséquent,
En appliquant la définition du produit cartésien on obtient :


On simplifie alors l'expression et on obtient :


On obtient alors un ensemble qui est en bijection avec
Donc le cardinal de cet ensemble est 2.

Donc 1+1=2.

C'était : "comment démontrer 1+1=2 de la manière la plus complexe possible".

[invitec314d025]

C'était : "comment démontrer 1+1=2 de la manière la plus complexe possible".

Et la plus intuitive.
Je pense qu'il va falloir réecrire les programmes de CP en conséquence. Vive les maths ultra-modernes.

[invitef4d4c95a]

Bonjour ,



Et comment démontrer que :



13 / 2 = 16 ?




A plus tard

[invitee65b1c3d]

Bonjour ,



Et comment démontrer que :



13 / 2 = 16 ?




A plus tard

ça fait pas 16 mais bien 6,5

[invite4793db90]

ça fait pas 16 mais bien 6,5

A moins qu'on soit dans auquel cas 13/2=16, mais je ne suis pas sûr que c'est ce à quoi l'auteur pensait...

Cordialement.

[invitef4d4c95a]

Bonjour , à tous ,



On se lâche un peu , c'est le week-end .


Alors , voilà la réponse :



XIII : 2 = 2 fois VIII = 16



A plus tard

[JPL]

Euh, quelqu'un a-t-il compris et peut-il me confirmer que je suis nul ?

[invitef591ed4b]

M'enfin, c'est évident, JPL !!





Ça fait bien !

[JPL]

Je suis peut-être nul en effet... mais ça me paraît plus que tiré par les cheveux ! Bof.

[invite69e70e2b]

A propos de la difficulté de définition de l'addition pour un enfant, il faut absolument voir (ou lire) La Leçon d'Ionesco : le maître d'école essaye désespéremment à apprendre à son élève à faire des soustractions simples (sans y arriver).
Bon, ce n'est pas le thème principal de la pièce (je ne pense pas que Ionesco s'est vraiment demandé pourquoi 1+1 = 2 en écrivant, mais bon, ce fil m'a fait penser ça).

[invite7cd5a1d4]

2 a été utilisé pour suivre 1. On est au niveau de l'énumération. Ce n'est pas si évident de passer à la notion de quantité. Parce que les 2 pommes on les a sous les yeux, on peut toujours les dénombrer et voir que 2 c'est plus que 1 et moins que 3. Mais 1 kilo de farine + 1 kilo de farine, une fois qu'on a mélangé on voit que cela fait plus, mais 2 n'est plus visible. Cela demande donc une certaine abstraction.

Vu sous cet angle ... ok !

[inviteb5edeb78]

bon et bien je vous remercie tous pour avoir répondu à ma petite question...

[invite6547489e]

Je pense que 1+1=2 ? est une question philosophique n'est ce pas car les demonstrations sont le fruits d'un jeu de chiffres mis les uns en face des autres les uns a coter des autres ...etc... pour ni plu ni moins leur trouver des similaritées. Ne penser vous pas qu'il a d'abord fallu poser 1 et 2 comme tels avant de pouvoir démontrer quoi que se soit ? (désolé je n'arrive pas tres bien a agencer mes mots de telle sorte qu'ils soient clairement compréhensibles)
Tibo

[invite4f8bfe1d]

J'ai lu un jour que des mathématiciens avaient démontré que 1+1=3.
Vive les maths !
A croire qu'on pourrait leur faire dire n'importe quoi...
Fin du hors sujet.

[invite70d5212d]

voila donc les choses les plus simples sont très souvent les plus difficiles à prouver... partant de ce point, je souhaiterais savoir ss'il est possible de prouver que 1+1=2 ? Avec une démonstration mathématique biensur, pas des exemples genre une pomme plus ine pomme égal deux pommes...les exemples n'étant pas une preuve!

[/COLOR]

Faut pas charier...
C'est un repère, une définition, une croyance générale à la base des maths.

C'est à ton tour. Prouve moi que...

Chien = Mammifère (carnivores; canidés) issu du loup, dont l'homme a domestiqué et sélectionné par hybridation de nombreuses races.

[inviteba1d9678]

Bonjour, il y a bel et bien une démonstration mathématiques pour 1+1=2. Elle prend une petite page A4 et je me souviens l'avoir vue dans le livre "Le démon des maths". Je n'ai malheureusement pas ce livre sous la main étant en voyage mais si sa intéresse quelqu'un, je veux bien publier la formule. (A ce que je me souviens, mon niveau en mathématique ne me permet pas de bien saisir cette démonstration).

[invitee65b1c3d]

Faut pas charier...
C'est un repère, une définition, une croyance générale à la base des maths.

C'est à ton tour. Prouve moi que...

Chien = Mammifère (carnivores; canidés) issu du loup, dont l'homme a domestiqué et sélectionné par hybridation de nombreuses races.

Je ne suis pas vraiment d'accord. C'est plus par définition.

de la même manière, "Chien = Mammifère (carnivores; canidés) issu du loup, dont l'homme a domestiqué et sélectionné par hybridation de nombreuses races." ne relève pas de la croyance mais de la définition même du mot "chien".

Comme le disais Hilbert, on aurait pu dire "table" ou "chaise" à la place d'"espace vectoriel" ou "vecteur" : ça ne changerait fondammentalement rien.

[invitef591ed4b]

Pour démontrer que 1+1=2, il faut définir ce que sont : "1", "2" et "+"

[mtheory]

voila donc les choses les plus simples sont très souvent les plus difficiles à prouver... partant de ce point, je souhaiterais savoir ss'il est possible de prouver que 1+1=2 ? Avec une démonstration mathématique biensur, pas des exemples genre une pomme plus ine pomme égal deux pommes...les exemples n'étant pas une preuve!

Si cette démonstration est possible, où puis-je la trouver?

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JPL, modérateur

Salut ,ma petite pierre.
Dans le 'Principia Mathematica' de Russel et Whitehead je crois qu'il faut une bonne centaine de page pour démontrer à partir de la logique mathématique que 1+1=2