mesure d'une rétroaction

[invite8915d466]

Bonjour

je voudrais poser une question générale sur la mesure de ce qu'on appelle une rétroaction. Le raisonnement que je fais est le suivant: il y a rétroaction quand la variation d'une grandeur A , à tout le reste constant, ferait varier une grandeur B, mais que la variation de la grandeur B , à tout le reste constant, fait aussi varier la grandeur A; c'est à dire qu'en réalité il est impossible de faire varier A "à tout le reste constant" car la variation de A induit la variation de B qui induit elle même des variations dans les paramètres déterminant A.

On peut imaginer une situation dans laquelle une des situations causales serait brisée, donc "casser " un des brins de la boucle. Dans un des cas, une variation ∆A produire une variation ∆B=X∆A , sans rétroaction sur A.
Inversement dans l'autre cas une variation ∆B produirait ∆A=Y∆B

En reconsidérant la situation complete avec rétroaction, alors on peut écrire qu'une variation initiale ∆A produit une variation ∆B=X∆A mais que ∆B produit à son tour ∆A=Y∆B=XY ∆A = f ∆A où on introduit le facteur f =XY de rétroaction.

En poursuivant le raisonnement, on voit facilement que la variation finale de A est
∆Af = ∆A (1+f+f²+..) = ∆A/(1-f)
et celle de B
∆Bf = X∆A(1+f+f²+..)=X ∆A/(1-f)


les deux ont été amplifiées par le même facteur 1/(1-f)

maintenant supposons que la variation initiale ait été ∆B. Exactement le même raisonnement fournit
∆Bf = ∆B(1+f+f²+..)= ∆B/(1-f)
et ∆Af = Y∆A(1+f+f²+..)=Y ∆B/(1-f)


on voit que là aussi , la variation des deux quantités a été multipliée par 1/(1-f).

Est-ce à dire que les deux situations sont indiscernables? non. On voit que bien que l'amplification est la meme, le rapport ∆Bf /∆Af n'est pas le même dans les deux cas. Il vaut X dans le premier cas, et 1/Y dans le deuxieme. Autrement dit la rétroaction a amplifié la réponse dans les deux cas, par le même facteur 1/(1-f), mais n'a pas "oublié" quelle était la cause et l'effet , elle a gardé le bon rapport entre les deux , qui n'est pas le même dans les deux cas.

Ce qui donne une indication intéressante : si on a deux situations différentes, une dans lequelle c'est A qui varie par un forçage externe et B qui répond, et une dans lequelle c'est l'inverse, alors en formant dans le premier cas ∆Bf /∆Af et dans le deuxième ∆Af /∆Bf (c'est à dire toujours dans le "bon" sens réponse/forçage initial), alors le produit des deux quantités fournit XY = f, le facteur de rétroaction.

Est ce que le raisonnement est correct ?

cordialement

Gilles
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[yves25]

J'arrive au même résultat si je fais ceci
∆B = X (∆A+Y∆B) où Y∆B est la variation de A produite par la rétroaction
d'où le gain
∆B =X/(1-XY) ∆A

de même si on part de la variation initiale de B
∆A = Y(∆B +∆B retroaction)
avec ∆B = X/(1-XY) ∆A
d'où A = Y(∆B +X/(1-XY)∆A)

à condition de dire ici que ∆A =Y∆B

Ca me semble donc juste

Cette symétrie implique évidemment que A soit une variable intrinsèque (si mes souvenirs sont bons quant à la terminologie)

[invite8915d466]

merci Yves, effectivement on retombe sur les mêmes conclusions. On attendra que les esprits soient calmés avant de continuer la discussion alors. .

[yves25]

Je crois que ça vaut mieux en effet.

Juste une chose quand même: je n'ai pas vérifié mais j'emploie "intrinsèque" au sens où A est une variable en soi ou à la rigueur une fonction d'une variable cachée ou non mais unique et pas une fonction de plusieurs variables.

Dans ces limites, on est d'accord

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3755a822]

Je confirme à mon tour que la transcription de l'itération du phénomène de rétroaction débouche sur deux formules avec la somme (1 plus les fi) soit le développement de MacLaurin de la formule (1/1-f)...

satisfaisant si f est faible par rapport à 1...

Sous réserve de modèle linéaire des actions et rétroactions!
Et cette réserve n'est pas que de principe, le modèle linéaire n'étant après tout que la première approximation des phénomènes.