Sur l'éducation mathématique

[JPL]

@ mtheory

La réponse est-elle Poincaré ?
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[invitedaba4692]

Bonjour,

Un texte qui date de 2003. Sans s'être familiariser avec l'abstraction mathématique comment un physicien pourra appréhender l'émergence de cette nouvelle physique théorique ?

Patrick

Cet article m'a fait sourire. En gros l'auteur nous dis que les theoriciens de la physique ont cesser de faire de la physique mais se sont vendus au mathematiciens et que les physiciens ne devaient pas s'en offusquer...

Je finirai ce discours par quelques mots de politique scientifique.
Nous vivons aujourd'hui une nouvelle période très heureuse pour le développement des
mathématiques. Psychologiquement la situation pour les physiciens est plus compliquée. C'est
pourquoi je voudrais demander aux physiciens expérimentaux de ne pas faire trop de pression sur
les théoriciens dont les accomplissements intellectuels collectifs des vingt dernières années
représentent un bijou précieux dans l'histoire de l'esprit humain

[mtheory]

@ mtheory

La réponse est-elle Poincaré ?

Non, mais c'est bien un français

[Médiat]

J'ai eu l'impression très nette que les approches axiomatisées et super-abstraites utilisées pour enseigner ces choses à des physiciens et même pour des mathématiciens étaient une véritable arnaque intellectuelle obscurcissant sans justification des concepts d'une grand importance et qui pouvaient être compris bien plus facilement qu'il n'y parait.

Pour l'enseignement de la physique je n'ai pas arrêté de dire exactement cela, pour certains mathématicien purs, dont je suis, c'est exactement le contraire, c'est une tournure particulière, voire anormale si cela vous fait plaisir, du cerveau peut-être, mais c'est la mienne, si ce n'est pas abstrait, cela ne m'intéresse pas, et même parfois je ne comprends, je me souviens d'une démonstration du théorème de Cantor-Bernstein présentée de façon ludique et très concrète, il a fallu que l'auteur (un ami) me donne le lien entre la présentation ludique et la démonstration formelle (pourquoi abstraite, finalement ?), que je connaissais très bien, pour que je comprenne la démarche.

Très clairement Arnold n'était pas un ennemi de l'abstraction !!

Si je n'avais trouvé qu'un seul exemple, j'aurais peut-être pu vous croire.

Décidément je ne comprends pas pourquoi vous et Arnold, voulez que tout le monde soit à la même enseigne.

Non le formalisme/abstraction n'est pas une horreur, ne fait pas peur à tout le monde, n'est pas une arnaque intellectuelle, n'obscurcit rien pour certains ; ne pouvez-vous comprendre que tout le monde ne réagit pas comme vous, ne comprend pas comme vous ?

[Médiat]

Je ne vois pas le rapport entre le texte de Galois (c'est bien lui ?) et la condamnation de la mathématique formelle/abstraite par Arnold et vous.

[mtheory]

Décidément je ne comprends pas pourquoi vous et Arnold, voulez que tout le monde soit à la même enseigne.

Je n''ai rien dit de tel. Je n'ai aucunement fait une condamnation en bloc de l'abstraction ni n'ai imposé une seule façon de faire et d'enseigner les mathématiques.

ne pouvez-vous comprendre que tout le monde ne réagit pas comme vous, ne comprend pas comme vous ?

Je comprends parfaitement bien ça. Vous me faites dire ce que je n'ai pas dit.

[mtheory]

Je ne vois pas le rapport entre le texte de Galois (c'est bien lui ?) et la condamnation de la mathématique formelle/abstraite par Arnold et vous.

Il s'agit bien de Galois et la parenté des deux réactions me semble patente.

[mtheory]

la condamnation de la mathématique formelle/abstraite par Arnold et vous.

Il n'y a PAS de condamnation des mathématique formelle/abstraite par Arnold et moi. Il a une critique d'un certain monolithisme d'une façon de faire des mathématiques. Il n'y a rien de mal à ce qu'il existe une façon de faire très formelle des mathématiques, il y a par contre un problème quand on oblitère une autre face des mathématiques qui est vital et très importante. Je ne plaide pas pour l'élimination des mathématiques formelles.

[Médiat]

Je n''ai rien dit de tel. Je n'ai aucunement fait une condamnation en bloc de l'abstraction ni n'ai imposé une seule façon de faire et d'enseigner les mathématiques.

C'est bien vous qui avez écrit :

J'ai eu l'impression très nette que les approches axiomatisées et super-abstraites utilisées pour enseigner ces choses à des physiciens et même pour des mathématiciens étaient une véritable arnaque intellectuelle obscurcissant sans justification des concepts d'une grand importance et qui pouvaient être compris bien plus facilement qu'il n'y parait.

Alors que pour certains, l'abstraction éclaircit les concepts.

Le texte d'Arnold est une condamnation sans appel de l'abstraction (cf. la liste que j'ai donnée, vos remarques ne m'ayant pas convaincu (zélotes, épigones généralisateurs, torture, etc.)), et sans nuance, et vous vous en êtes déclaré solidaire, si vous préférez vous en démarquer maintenant, comme dans la première phrase ci-dessus, j'en prend note avec joie.

Pour information :

Zélote : Membre d'une secte juive du ier s. de notre ère, qui prônait la résistance à outrance à la domination étrangère et qui était prête à punir de mort ceux qui ne partageaient pas ses vues

Ne me dites pas que considérer les tenant de l'abstraction pour des zélotes en est une vue positive.

[Médiat]

Il s'agit bien de Galois et la parenté des deux réactions me semble patente.

Je ne vois aucune parenté entre ces deux textes si ce n'est la condamnation de certaines méthodes d'enseignement, qui ne sont pas les mêmes.

Je n'arrive pas à mettre la main sur un texte de Confucius (vieux de 2500 ans donc), fustigeant ce genre de critique générale de l'enseignement sous prétexte que celui qui fait la critique considère que cet enseignement n'est pas idéal, pour son propre usage.

Pour résumer, et si je vous ai bien compris, nous sommes d'accord sur le fond (l'enseignement des mathématiques devrait être différencié selon le public), mais nous avons une lecture différente du texte d'Arnold.

[mtheory]

C'est bien vous qui avez écrit :

Certes mais j'ai aussi écrit ça

Il ne s'agit pas de condamner l'abstraction, l'approche ensembliste, l'algèbre et la topologie générale, la théorie des ensembles etc... ni même le traité de Bourbaki mais bien de condamner une abstraction mal placée et inintelligemment employée, largement basée sur des aptitudes de calcul formel pure. Comme je le disais, ça n'est pas étonnant que bien des méthodes nouvelles en topologie des variétés ont été trouvées en partant d'approche issues de la physique où la nécessité de garder l'ordre de la genèse des concepts et de comprendre ce que l'on fait, comme ce qui était encore de rigueur chez des gens comme Klein et Hilbert, est encore présente.

Quand on a compris les concepts et l'importance de la méthode à la Bourbaki, on sait qu'effectivement, il est nécessaire de donner en plus de la forme mathématique classique qui est le point de départ, une forme plus abstraite et générale pour pouvoir bénéficier de puissant moyen de démonstration et de connexions entre des domaines apparemment différents. La fécondité de la méthode super-abstraite est pour moi incontestable...

Alors que pour certains, l'abstraction éclaircit les concepts.

L'abstraction correctement utilisée sans aucun doute. Croyez vous une seule seconde qu'enseigner la géométrie, l'arithmétique, l'analyse au collège/lycée en faisant apprendre d'abord la théorie des ensembles, l'algèbre abstraite, la topologie générale soit la façon la plus transparente et la plus efficace d'enseigner les mathématiques ?

Que le calcul différentiel et intégrale doivent être enseignés au Lycée en commençant par exposer les axiomes d'un espace topologique, d'un espace métrique et enfin d'un espace de Banach ?

Je vous défi de vraiment bien comprendre l'usage de la théorie des groupes de Lie en théorie quantique des champs de particules élémentaires, ou même en mécanique analytique, en n'ayant de ces derniers que la conception suivante : Un groupe de Lie réel (resp. complexe) est une variétée didifférentiable (resp. analytique
complexe) munie d'une structure de groupe, telle que les applications produit et inverse soient lisses (resp. analytiques).

[Médiat]

Croyez vous une seule seconde qu'enseigner la géométrie, l'arithmétique, l'analyse au collège/lycée en faisant apprendre d'abord la théorie des ensembles, l'algèbre abstraite, la topologie générale soit la façon la plus transparente et la plus efficace d'enseigner les mathématiques ?

Je crois pendant beaucoup plus qu'une seconde, qu'enseigner la théorie des ensembles, l'algèbre abstraite, la topologie générale, permettrait à certains élève de développer des qualités que l'usage de la calculatrice, ou les études mécaniques de fonctions ne développent pas.

J'ai aussi bien conscience qu'un tel enseignement perdrait d'autres élèves (sans doute plus nombreux), et je ne suis pas en train de suggérer qu'il faudrait un enseignement "élitiste".

J'ai ajouté "mécanique" à étude de fonctions, car une notion qui vous paraît sans doute banale et très concrète comme la continuité, est en fait une merveille d'abstraction, même si on ne parle que d'espaces métriques.

[Médiat]

Je vous défi de vraiment bien comprendre l'usage de la théorie des groupes de Lie en théorie quantique des champs de particules élémentaires, ou même en mécanique analytique, en n'ayant de ces derniers que la conception suivante : Un groupe de Lie réel (resp. complexe) est une variétée didifférentiable (resp. analytique complexe) munie d'une structure de groupe, telle que les applications produit et inverse soient lisses (resp. analytiques).

Vous pouvez me défier sur n'importe quel sujet de physique, de toute façon je n'y comprends rien (ce n'est pas une posture, mais un constat attristé).

[mtheory]

Pour résumer, et si je vous ai bien compris, nous sommes d'accord sur le fond (l'enseignement des mathématiques devrait être différencié selon le public), mais nous avons une lecture différente du texte d'Arnold.

Pas complétement. En fait, la critique que je fait ou qu' Arnold fait, il en existe des similaires dans le domaine de la physique par des physiciens pour des physiciens et exactement pour les mêmes raisons. Le fait que j'ai cité Feynman et Einstein n'était pas anodin.

Il est certain que nous avons chacun une tournure d'esprit très différente. J'ai un fonctionnement très intuitif, organique et conceptuel et j'ai beaucoup de mal avec ce qui est algorithmique/algébrique/combinatoire. J'ai besoin de comprendre la genèse des concepts et la façon dont leur abstraction a été mise en place et pourquoi elle a été mise en place de cette façon et pas autrement. C'est ce que Cournot appelait l'ordre rationnel en le distinguant de l'ordre logique.

[mtheory]

Je crois pendant beaucoup plus qu'une seconde, qu'enseigner la théorie des ensembles, l'algèbre abstraite, la topologie générale, permettrait à certains élève de développer des qualités que l'usage de la calculatrice, ou les études mécaniques de fonctions ne développent pas.

.

Je suis complétement d'accord avec ça. A un moment, et il est possible de le faire tôt si c'est fait correctement, il est vital d'introduire ces théories qui permettent d'approfondir considérablement la connaissance de la nature même des mathématiques et d'obtenir des théorèmes et des relations entres des branches des mathématiques, et surtout de comprendre pourquoi ces relations existent, qui seraient quasiment impossibles à obtenir sans ces méthodes et théories.

[mtheory]

car une notion qui vous paraît sans doute banale et très concrète comme la continuité, est en fait une merveille d'abstraction, même si on ne parle que d'espaces métriques.

complétement d'accord avec ça.

[invitebdf515f4]

Passionnant, ce fil ... quoiqu'un peu difficile à suivre !

J'aime la toute première phrase du document "SUR L’ÉDUCATION MATHÉMATIQUE", car elle résume bien le dilemme:
"Les mathématiques font partie de la physique".

Est-ce de la provocation ?
Est-ce une manière de résumer grossièrement une pensée qui va être adoucie ensuite ?

Personnellement, j'interprête cette affirmation comme un regrêt et une prescription.

Le regrêt :
- Certains mathématiciens ont tendance à ne pas se préoccuper de la physique, à travailler uniquement dans leur monde mathématique ... ils se fourvoient. Si on laisse des mathématiciens mariner dans leur pur jus mathématique, ils vont nous pondre des théories sans aucune application possible ... ce qui est un gachis d'argent et surtout d'intelligence !

La prescription:
- La recherche et l'enseignement en mathématiques doivent être soumis à la physique, donc à l'expérience. Seuls les modèles qui ont une pertinence physique sont dignes d'intérêt. Seules les théories qui peuvent déboucher sur une application expérimentale méritent d'être développées et enseignées.

C'est ainsi que j'interprête (peut-être naïvement) cet article ... et j'adhère à ce regrêt et cette prescription.

[invite51d17075]

je ne sait quoi penser de ce que vient de dire hlbnet.

si je pense par exemple à John Forbes Nash, je ne pense pas qu'il fut tourné une seconde vers les applications immediates de ses recherches mathémathiques.
je cite wiki :
De juin 1945 à juin 1948, Nash a étudié au Carnegie Institute of Technology à Pittsburgh, dans l'intention de devenir ingénieur comme son père. À la place, il y a développé une passion durable pour les mathématiques, et en particulier la théorie des nombres, les équations diophantiennes, la mécanique quantique et la théorie de la relativité. Avec le groupe de théorie des jeux de Carnegie, il a commencé à se plonger dans le problème de la négociation, posé par John von Neumann dans son livre de la Théorie des jeux et du comportement économique (The Theory of Games and Economic Behavior 1944).

au final, ses travaux ont profondement changés les approches et modèles économiques ( bien plus tard ).

il me semble que certaines approches au départ purement abstraites peuvent souvent ouvrir des voies très interressantes par la suite dans un concret très réel !

independamment de ce prolongement linéaire, d'un point de vue purement intellectuel la recherche pure en math oblige aussi à chercher d'autres modes de pensée , bref ouvre le champ du "langage de reflexion" ( c'est l'expression la plus explicite qui me vient à l'esprit ).
Dans ce cadre, en permettant d'autres axes, elle ne peut qu"elargir" par la suite les "possibles".

enfin bon, je fait ce que je peux pour essayer de reconcilier vos deux mondes ( humblement ).

[Médiat]

Certains mathématiciens ont tendance à ne pas se préoccuper de la physique, à travailler uniquement dans leur monde mathématique ... ils se fourvoient. Si on laisse des mathématiciens mariner dans leur pur jus mathématique, ils vont nous pondre des théories sans aucune application possible ... ce qui est un gachis d'argent et surtout d'intelligence !

J'en suis et je le revendique, nous nous fourvoyons, nous marinons, nous pondons, nous gâchons dans la joie et la bonne humeur, surtout quand on pense que les physiciens mettent au point des choses comme les réfrigérateurs ce qui nous permet d'y stocker des langoustes, car nous adorons cela.
Savez-vous que certaines théories mathématiques extrêmement abstraites, totalement inutiles pour des physiciens, sont utiles à certains philosophes ? Mais j'imagine que vous allez me dire que les philosophes se fourvoient etc.

La recherche et l'enseignement en mathématiques doivent être soumis à la physique, donc à l'expérience. Seuls les modèles qui ont une pertinence physique sont dignes d'intérêt. Seules les théories qui peuvent déboucher sur une application expérimentale méritent d'être développées et enseignées.

Je peux prendre avec amusement vos affirmations péremptoires précédentes, mais là il n'est plus possible de s'amuser tellement vous avez tort, même de votre seul point de vue, il suffirait que vous vous penchiez un peu sur l'histoire des sciences pour que cela vous saute aux yeux. Heureusement pour les physiciens que les mathématiciens n'ont pas suivis et ne suivront jamais vos ukases.
Inutile de vous dire que ce que vous considérez comme digne d'intérêt n'est en rien une règle d'or.

[mtheory]

- Certains mathématiciens ont tendance à ne pas se préoccuper de la physique, à travailler uniquement dans leur monde mathématique ... ils se fourvoient. Si on laisse des mathématiciens mariner dans leur pur jus mathématique, ils vont nous pondre des théories sans aucune application possible ... ce qui est un gachis d'argent et surtout d'intelligence !

Pas du tout d'accord avec ça ! Bien des progrès en sciences sont issus de considérations de mathématiques pures.

[mtheory]

Je peux prendre avec amusement vos affirmations péremptoires précédentes, mais là il n'est plus possible de s'amuser tellement vous avez tort, même de votre seul point de vue, il suffirait que vous vous penchiez un peu sur l'histoire des sciences pour que cela vous saute aux yeux. Heureusement pour les physiciens que les mathématiciens n'ont pas suivis et ne suivront jamais vos ukases.
Inutile de vous dire que ce que vous considérez comme digne d'intérêt n'est en rien une règle d'or.

Absolument

[invitebdf515f4]

Mais alors dites moi comment vous interprétez la première phrase de l'article de Vladimir Arnold qui dit "Les mathématiques font partie de la physique".

S'agit-il d'un trait d'humour ?
D'une approximation douteuse ?
D'une provocation ?

Moi, je suis parti de là, et j'ai présenté mon interprétation ...
J'attends la votre !

[mtheory]

Mais alors dites moi comment vous interprétez la première phrase de l'article de Vladimir Arnold qui dit "Les mathématiques font partie de la physique".

S'agit-il d'un trait d'humour ?
D'une approximation douteuse ?
D'une provocation ?

Moi, je suis parti de là, et j'ai présenté mon interprétation ...
J'attends la votre !

Que justement, même quand on fait des mathématiques pures, ça a des implications pour la physique et les sciences naturelles plus généralement.

[Médiat]

Bonjour,

Personnellement, je n'ai pas répondu sur votre compréhension du texte d'Arnold, mais sur les "regrets" et la "prescription" que vous avez faits votre comme l'atteste la phrase :

j'adhère à ce regrêt et cette prescription

[invitebdf515f4]

Que justement, même quand on fait des mathématiques pures, ça a des implications pour la physique et les sciences naturelles plus généralement.

Cette interprétation de l'article de Vladimir Arnold me semble contraire à son contenu. Dès le premier paragraphe, il dit:

Au milieu du xxe siècle on a essayé de séparer les mathématiques de la physique. Les résultats ont été catastrophiques ! On a vu apparaître des générations entières de mathématiciens ignorant la moitié de leur science — n’ayant d’ailleurs pas la moindre idée d’aucune autre.

Juste en dessous:

Comme de telles mathématiques scolastiques, séparées de la physique, ne sont adaptées ni à l’enseignement, ni à aucune application éventuelle à d’autres sciences, les mathématiciens se sont fait haïr des lycéens (dont certains ensuite sont devenus ministres) et des utilisateurs.

Bref, mon interprétation des propos de Vladimir Arnold, exprimée plus haut, semble bien être la bonne.

[mtheory]

Bref, mon interprétation des propos de Vladimir Arnold, exprimée plus haut, semble bien être la bonne.

Vous faites erreur, qu'Arnold déplore une séparation n'implique nullement que les mathématiques ne puissent pas aussi se développer de façon autonome. Il critique un dévoiement des mathématiques pures, pas les mathématiques pures.

[invitebdf515f4]

Bonjour,

Personnellement, je n'ai pas répondu sur votre compréhension du texte d'Arnold, mais sur les "regrets" et la "prescription" que vous avez faits votre comme l'atteste la phrase :

Donc, si c'est Vladimir Arnold qui dit cela, ça passe.
Mais si je dis que j'y adhère ... alors vous réagissez vivement !
Pas très fair play.

Il n'y a pas 36 solutions.

- Soit j'ai mal interprété l'article de Vladimir Arnold => Alors dites moi quelle est la bonne interprétation au lieu de me tomber dessus à bras raccourcis.

- Soit j'ai correctement interprété l'article => Alors, vos attaques doivent aussi être dirigées vers Vladimir Arnold, puisque je partage son avis.

[invitebdf515f4]

Vous faites erreur, qu'Arnold déplore une séparation n'implique nullement que les mathématiques ne puissent pas aussi se développer de façon autonome. Il critique un dévoiement des mathématiques pures, pas les mathématiques pures.

Je perçois son avis comme beaucoup plus tranché que ça. L'article ne me semble pas mi-fige mi-raisin comme vous semblez l'indiquer. Il rejette carrément le fait que les mathématiques puisse se développer utilement de façon autonome.

Je crois bien que ce que vous appelez "mathématiques pures", c'est ce que Arnold appelle "scolastique pseudomathématique" ou "scolastique
mathématique".

[invite7ce6aa19]

Vous faites erreur, qu'Arnold déplore une séparation n'implique nullement que les mathématiques ne puissent pas aussi se développer de façon autonome. Il critique un dévoiement des mathématiques pures, pas les mathématiques pures.

Bonjour,

V; Arnold écrit dès le début:


Les mathématiques font partie de la physique. La physique est une science expérimentale, une des sciences naturelles. Les mathématiques, ce sont la partie de la physique où les expériences ne coûtent pas cher.


J'aime beaucoup cette présentation du statut des mathématiques: De la physique pour pas cher. Par contre je trouve excessif le caractère absolu de son affirmation.

Je pense qu'en discutant il reconnaîtrait sans peine l'existence et la nécessité d une activité autonome des mathématiques.

La physique mathématique ce sont des mathématiques qui prennent comme matériau la physique théorique. qu'en penses-tu?

[invitebdf515f4]

Quelques autres citations de l'article :

... les scolastes de la mathématique (qui
connaissent si peu la physique) croient en une différence fondamentale entre les mathématiques axiomatiques et la pratique habituelle de la modélisation (qui doit toujours être suivie de la vérification des conclusions par l’expérience).

La tentative de construire des « mathématiques pures » suivant la méthode axiomatico-déductive a conduit au refus du schéma classique en physique :
— expérience-modèle-étude du modèle-conclusions-vérifications par
l’expérience,
et à son remplacement par le schéma :
— définition-théorème-démonstration.

Essayer d’échapper à l’intervention de la réalité physique dans les mathématiques est une attitude sectaire et isolationniste qui détruit aux yeux de toute personne sensée l’image des mathématiques comme activité utile.

L'idée de Vladimir Arnold semble être que le mathématicien doit être un sous-traitant du physicien. Le mathématicien doit travailler à résoudre des problématiques qui lui sont apportées par le physicien et dont les résultats seront validés par l'expérience ou pas. C'est en ce sens que "les mathématiques font partie de la physique".

Si le sous-traitant s'émancipe et cherche à travailler "pour lui-même", il va faire des "mathématiques pures" ou "laides" ou de la "scolastique pseudomathématique" ... qui, pour Vladimir Arnold ne sont pas des Mathématiques, mais sont des dérives qu'il rejette complètement.