Sur l'éducation mathématique

[mariposa]

Voici un article de Vladimir Arnold (V.A) qui est une charge extrêmement violente (une véritable performance) contre la formation mathématique abstraite à la française.

Je cite cet article car il renvoie à une discussion sur un fil relatif à un livre de Bernard DIU (B.D) prenait acte du divorce entre Physique et mathématiques.

Je rappelle notamment que dans ce livre B.D cite le mathématicien Dieudonné, parlant des livres de Cohen-Tannoudji comme de la bouillie pour chats.

Inutile de dire comme plusieurs milliers de mes interventions sur Futura que je partage (presque) l'analyse de B.D.

Seulement B.D et moi-même nous ne sommes que des physiciens, pas des mathématiciens. Ce n'est pas le cas de V.A qui est à la fois un grand mathématicien et un grand physicien bien connu (certains estiment qu'il devrait avoir le Nobel). Son point de vue présente un intérêt singulier pour la discussion du rapport mathématiques/physique.


SUR L’ÉDUCATION MATHÉMATIQUE
Vladimir I. ARNOLD
Université Paris IX et Institut Steklov



http://smf4.emath.fr/en/Publications...e_78_19-29.pdf

Bonne lecture.
-----

[mtheory]

Hello !

Je l'avais signalé là.

http://www.futura-sciences.com/fr/ne...-decede_23961/


un truc très drôle et décapant c'est aussi le témoignage de Galois sur les mathématiques

[mariposa]

Hello !

Je l'avais signalé là.

http://www.futura-sciences.com/fr/ne...-decede_23961/

Bonjour,

Pour ton information, c'est toi qui m'a fait découvrir ce document. J'avais tiré le document sur papier avec l'arrière pensée d'en faire un jour, un sujet de polémique. J'attends vivement la réaction des mathématiciens forumeurs.

Derrière ce papier il y a une belle illustration du divorce entre la physique et les maths et notamment dans l'enseignement.

un truc très drôle et décapant c'est aussi le témoignage de Galois sur les mathématiques

C'est où çà?

[Médiat]

Bonjour,

Je ne vois aucun sujet de polémique, du moins dans la partie que j'ai lue plus ou moins en diagonale.


Qu'un résultat mathématique portant sur un espace continu ne s'applique pas à une matière discontinue ne me paraît pas trop étonnant, ce que je trouve bizarre c'est qu'on en impute la faute aux mathématiques, alors qu'il ne s'agit que d'un modèle non adapté.


Une phrase particulière m'interpelle :

En mathématique a été mise au point une technique particulière qui peut parfois être utile pour les applications pratiques mais qui peut nous induire en erreur. Elle s’appelle la modélisation. Pour la construction d’un modèle on fait l’idéalisation suivante : certains faits, connus seulement avec un certain degré d’approximation ou de probabilité, sont considérés comme absolument vrais et sont pris comme « axiomes »

Car écrire cela montre une méconnaissance absolue de la définition moderne du mot axiome.


A lier aussi à :

(en lesquels [les axiomes] de toute façon nous ne pouvons avoir totalement confiance)

Je note qu'un physicien admet utiliser des axiomes, mais clairement "faire confiance ou non" aux axiomes est une attitude de physicien, pas de mathématicien (en tout état de cause pas de mathématicien formaliste comme moi) ; que l'on me comprenne bien, je ne reproche pas aux physiciens de ne pas faire confiance à des axiomes (c'est leur devoir), je leur reproche d'en faire le reproche aux mathématiques.


Si la thèse à défendre, c'est que l'enseignement des mathématiques en France n'est pas adapté à la pratique de la physique, je n'ai rien à redire à une telle thèse et je veux bien admettre que des aménagements seraient bénéfiques pour l'ensemble des élèves/étudiants qui se destinent à la physique, et même, pour être plus large, à ceux qui ne se destinent pas aux mathématiques ; cette partie ne me pose pas de problème.


Ce qui me fait sortir les griffes ce sont des affirmations comme quoi l'abstraction serait globalement néfaste et terroriserait les étudiants, il se trouve que certains étudiants, dont j'étais, seraient, et sont encore dans mon cas, totalement désintéressé par tout ce qui n'est pas abstraction (ce n'est pas un hasard si je me suis spécialisé dans la logique et la théorie des ensembles).

Je trouve carrément puérile cette attitude qui consiste à condamner l'altérité.


Sans compter la diffamation pure et simple (je vous laisse juger la pertinence de l'infamie suivante sans y ajouter de commentaire) :

Ils [les mathématiciens] peuvent se regrouper sous différentes banderoles (la superabstraction,l’antisémitisme ou les problèmes « appliqués et industriels »),

(c'est moi qui met en gras)


@mariposa : Il va de soi que si vous me ressortez une fois de plus vos clichés éculés sur les mathématiciens, je me contenterai (futur supposé réalisé) de vous ignorer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[JPL]

En première lecture ce qui fait l'objet de ta dernière citation m'avait fait bondir. En relisant mieux, et en allant à la note de bas de page on a :

les vrais mathématiciens ne forment pas de gangs, mais les faibles en ont besoin pour survivre.³
Ils peuvent se regrouper sous différentes banderoles (la superabstraction, l’antisémitisme ou les problèmes « appliqués et industriels »)

3) NDT Ceci ne s’applique évidemment qu’aux mathématiciens russes.

ce qui nuance quelque peu la question, mais il n'empêche qu'il y a là un dérapage. Peut-être, vu totalement de l'extérieur, y a-t-il (en ce qui concerne la pédagogie de l'enseignement) un refus de part et d'autre d'accepter qu'il puisse y avoir au moins deux types d'approche des mathématiques ?

[Armen92]

.....................
1) Qu'un résultat mathématique portant sur un espace continu ne s'applique pas à une matière discontinue ne me paraît pas trop étonnant, ce que je trouve bizarre c'est qu'on en impute la faute aux mathématiques, alors qu'il ne s'agit que d'un modèle non adapté.

2) Sans compter la diffamation pure et simple (je vous laisse juger la pertinence de l'infamie suivante sans y ajouter de commentaire) :
(c'est moi qui met en gras)


@mariposa : Il va de soi que si vous me ressortez une fois de plus vos clichés éculés sur les mathématiciens, je me contenterai (futur supposé réalisé) de vous ignorer.

Bonjour,

Je souscris pour l'essentiel à vos propos.
Physicien mais enseignant également les mathématiques pour physiciens, je considère qu'il n'y a nul divorce entre les matheux et les physiciens, pour une raison au moins, qui est en filigrane derrière votre point 1).
La différence essentielle entre les deux types de pratique est que les physiciens ont toujours à leur disposition la notion d'échelle, qui leur permet par exemple de "continuiser" ce qui ne l'est pas. Ainsi, nul n'a jamais démontré que l'équation de Newton est vraie ; si on la transcrit comme une équation différentielle, c'est juste parce qu'il est plus aisé de manipuler une EDO qu'une équation aux différences finies. On pourrait multiplier les exemples à l'infini (ça, c'est une expression de physicien !)

2) Vous avez eu raison de stigmatiser les termes que vous avez mis en gras. Ecrire ce genre de choses est en effet une infâmie, de celles qui, dans les années '30 en Allemagne (et ailleurs, et en d'autres temps) ont conduit aux pires crimes contre l'humanité et accessoirement contre l'esprit humain, pour l'honneur duquel Jacobi s'est consacré aux maths.
La stupéfaction à lire ces termes fait naître la suspicion sur l'ensemble de l'article, quoi qu'on pense par ailleurs de Arnold. On ne saurait mieux se discréditer soi-même.

[Médiat]

ce qui nuance quelque peu la question, mais il n'empêche qu'il y a là un dérapage.

Si j'avais écrit que les physiciens peuvent se regrouper sous différentes bannières et que je cite en exemple les xxx et les yyy (je m'autocensure pour ne pas avoir à écrire ce que je ne pense pas, même pour démontrer que je ne le pense pas), avec une note en bas de page indiquant qu'il ne s'agit que des physiciens Allemands et Russes respectivement, je ne vois pas en quoi cette note de base page aurait nuancé un propos qui aurait été de toute façon inacceptable !

Peut-être, vu totalement de l'extérieur, y a-t-il (en ce qui concerne la pédagogie de l'enseignement) un refus de part et d'autre d'accepter qu'il puisse y avoir au moins deux types d'approche des mathématiques ?

Personnellement je n'ai aucun problème à ce que qui que ce soit utilise les mathématiques, même "mal", à son profit, ce qui m'insupporte ce sont les gens qui ne voient les choses qu'au travers de leur propre prisme ; dire que "l'abstraction c'est mal, et que la pratique c'est bien" est juste une imbécillité (normal, c'est un jugement moral), dire que "l'étudiant en physique a plus besoin de pratique que d'abstraction", voire dire que "le physicien n'a pas besoin d'abstraction", sont deux positions sur lesquelles je n'ai rien à dire, si la majorité des physiciens sont d'accord sur ce point, je n'ai aucune légitimité ni même aucune raison de les contredire. Je ne suis pas le gardien du Temple Mathématique interdisant à chacun de toucher aux concepts sacrés, je suis juste un acolyte, qui ne veut pas qu'on lui interdise de servir.

Si la conclusion est qu'il faut supprimer l'abstraction de l'enseignement secondaire des mathématiques je suis évidemment contre, si la conclusion, c'est qu'il faudrait introduire plus de pratique dans l'enseignement des mathématiques, je n'ai rien contre, il y a de la place pour tout le monde.

Dans le monde du supérieur, une fois les directions prises, les enseignements sont ou devraient être adaptée à la matière choisie, il n'y a même pas de raison pour qu'il y ait conflit.


PS : la note de bas de page concerne la phrase tout aussi condamnable :

les vrais mathématiciens ne forment pas de gangs, mais les faibles en ont besoin pour survivre

[Médiat]

je considère qu'il n'y a nul divorce entre les matheux et les physiciens, pour une raison au moins, qui est en filigrane derrière votre point 1).

Vous avez parfaitement compris mon propos, même la partie en filigrane

[mariposa]

Bonjour,

Je ne vois aucun sujet de polémique, du moins dans la partie que j'ai lue plus ou moins en diagonale.

Qu'un résultat mathématique portant sur un espace continu ne s'applique pas à une matière discontinue ne me paraît pas trop étonnant, ce que je trouve bizarre c'est qu'on en impute la faute aux mathématiques, alors qu'il ne s'agit que d'un modèle non adapté.

Bonjour,

Je ne comprends pas cette citation.

toujours est-il qu'en physique on passe sans arrêt du continu au discontinu pour une même situation physique. Tout dépens de ce que l'on veut expliciter.

Je note qu'un physicien admet utiliser des axiomes, mais clairement "faire confiance ou non" aux axiomes est une attitude de physicien, pas de mathématicien (en tout état de cause pas de mathématicien formaliste comme moi) ; que l'on me comprenne bien, je ne reproche pas aux physiciens de ne pas faire confiance à des axiomes (c'est leur devoir), je leur reproche d'en faire le reproche aux mathématiques.

Je ne pense pas que le physicien utilise des axiomes. Dans le cas contraire il faut donner des exemples (au moins 1).

En physique il y a des lois des théories des modèles, rien que du provisoire. Ces modéles lois et théories proviennent de la réalité expérimentale. Je défie quiconque de trouver un seul contre-exemple.

Si la thèse à défendre, c'est que l'enseignement des mathématiques en France n'est pas adapté à la pratique de la physique, je n'ai rien à redire à une telle thèse et je veux bien admettre que des aménagements seraient bénéfiques pour l'ensemble des élèves/étudiants qui se destinent à la physique, et même, pour être plus large, à ceux qui ne se destinent pas aux mathématiques ; cette partie ne me pose pas de problème.

Voilà un point sur lequel on est 100% d'accord et en plus c'est ma véritable préoccupation. Tu ne trouveras jamais dans mes écrits une quelconque considération sur les mathématiques en soi? Ce n'est pas mon problème.

Ce qui me fait sortir les griffes ce sont des affirmations comme quoi l'abstraction serait globalement néfaste et terroriserait les étudiants, il se trouve que certains étudiants, dont j'étais, seraient, et sont encore dans mon cas, totalement désintéressé par tout ce qui n'est pas abstraction (ce n'est pas un hasard si je me suis spécialisé dans la logique et la théorie des ensembles).

Sur ce point je ferais remarquer que ni Arnold ni moi contestons la nécessité de l'abstraction, puisqu'en fait c'est le but même de tout enseignement. Que ce soit les maths la physique, la danse, l'histoire.

Ce que condamme Arnold et que je partage à 100 % c'est le chemin qui mène à l'abstraction. je prendrais 1 exemples simples:

1- Introduire les tenseurs de façon mathématiques comme formes linéaires. Conclusion les physiciens ne voient pas trop ce qu'est le statut mathématique d'un rotationnel ou d'une divergence.

Pourquoi le cheminement vers l'abstraction est fondamentale pour un physicien? Parce que le physicien va devoir reconnaître dans la modélisation d'une situation le moment ou le langage des tenseurs peut être opérationnel. Cette préoccupation est inexistante pour le mathématicien. Ce sont 2 métiers différents.

Je trouve carrément puérile cette attitude qui consiste à condamner l'altérité.

Je comprends mal cette phrase, car j'ai l'impression que tu ne veux pas entendre le point de vue des physiciens.

Sans compter la diffamation pure et simple (je vous laisse juger la pertinence de l'infamie suivante sans y ajouter de commentaire) :
(c'est moi qui met en gras)

C 'est vraiment honteux d'écrire çà, çà mérite 100 coups de fouets!!

@mariposa : Il va de soi que si vous me ressortez une fois de plus vos clichés éculés sur les mathématiciens, je me contenterai (futur supposé réalisé) de vous ignorer.

C'est ta perception des choses. Pour ma part je constate que la dialogue à toujours été difficile avec les mathématiciens. L'explication que j'entrevoie vient probablement, en grande partie, de l'héritage bourbakiste. C'est en tous cas le point de vue de Diu et de Arnold, ainsi que du mien.


Ceci étant dit ne crois pas que je suis du coté des physiciens contre les mathématiciens. Les mathématiciens font leurs métiers comme d'autres font leurs métiers.

J'ai beaucoup d'objections à faire à la formation donnée par les physiciens. la plus importante est l'ignorance presque quasi-totale de la formation à la représentation des groupes. La responsabilité pleine et entière en revient aux physiciens.

[JPL]

ce qui m'insupporte ce sont les gens qui ne voient les choses qu'au travers de leur propre prisme

C'est également ce que j'ai essayé de dire.
Pour la citation, hautement contestable bien évidemment, peut-être faut-il se référer a ce qu'a été le contexte soviétique/russe, qui m'échappe complètement, sauf à savoir que l'antisémitisme a été florissant dans ce pays. Je suppose que c'est à ce contexte que fait référence la note de bas de page qui est une note du traducteur. Mais peut-être que les lecteurs russes auxquels semble avoir été dédié ce document sont-ils capables de décrypter quelle est la cible de cette allusion.

Par contre Armen92 me semble avoir compris à l'envers cette allusion à l'antisémitisme.

[ansset]

j'ai toujours eu du mal avec ce divorce apparent ici..... et recurrent.

il me semble que le problème ne se pose pas pour les ingénieurs.
qui pour la plupart savent bien que les deux domaines se croisent mais ne se superposent pas.

In finé, je me demande s'il n'y a pas surtout des universitaires sur ce site ( je veux dire que la proportion d'ingé est très faible ).
alors veuillez m'excuser d'être généraliste et pas spécialiste d'un truc genre la taille du femur du tyranosaure au fil des sciècles !!!

personellement, je ne me sens pas plus matheux que physicien.

de "l'exterieur" , cela me fait plutôt sourire.

[invite6754323456711]

1- Introduire les tenseurs de façon mathématiques comme formes linéaires. Conclusion les physiciens ne voient pas trop ce qu'est le statut mathématique d'un rotationnel ou d'une divergence.

Pourtant :

Cette notion physique de tenseur comme « objet indépendant du système de coordonnées » est utile pour exprimer beaucoup de lois physiques, qui par leur nature ne dépendent pas des systèmes de coordonnées choisis.

Dans le langage de l'algèbre linéaire, la notion mathématique d'un tenseur est réalisée d'une manière plus rigoureuse par l'algèbre multilinéaire et la définition d'un tenseur peut être donnée sans faire référence aux systèmes de coordonnées (aux bases), en utilisant la notion d'application multilinéaire et d'espace vectoriel dual.

Patrick

[Armen92]

Par contre Armen92 me semble avoir compris à l'envers cette allusion à l'antisémitisme.

Bonjour,
Qu'on la prenne à l'endroit ou à l'envers, à la limite, peu importe. Ce qui est inacceptable est que de telles considérations interviennent dans un débat d'idées.
Cordalement

[mtheory]

Si la conclusion est qu'il faut supprimer l'abstraction de l'enseignement secondaire des mathématiques je suis évidemment contre, si la conclusion, c'est qu'il faudrait introduire plus de pratique dans l'enseignement des mathématiques, je n'ai rien contre, il y a de la place pour tout le monde.

Je crois que le problème ne se situe pas à ce niveau là. Il ne s'agit pas de supprimer l'abstraction mais de la placer et de l'enseigner correctement et pour un physicien, en générale, la façon dont les mathématiciens purs leur enseignent les maths pour la physique ne me semble pas adéquate.

Il y a un exemple que je connais assez bien, c'est le livre de "Calcul infinitésimal" de Dieudonné qui est une vraie merveille et qui est véritablement efficace pour un physicien, bien plus que le livre de Laurent Schwartz "Méthodes mathématiques pour la physique". (Je précise que je trouve superbes les cours d'analyse de l'X de Schwartz).

Dans sa préface, Dieudonné épingle d'ailleurs un enseignement de l'analyse trop prématurément abstrait. Je ne pense pas qu'on puisse soupçonner Dieudonné d'être anti-abstraction.

Personnellement, j'adore les mathématiques et parmi les nombreux regrets dans ma vie, il y a celui de ne pas être suffisamment doué pour les maitriser. Je tiens pour évident que l'efficacité d'un physicien théoricien est largement augmentée s'il s'intéresse aussi beaucoup aux mathématiques et cherche à se cultiver le plus possible dans le domaine. Si j'en étais capable, il est clair que j'aurai vraiment beaucoup aimé et trouver indispensable une double formation de ce type.

Cependant, plus d'une fois, je n'ai vraiment eu accès à certains concepts mathématiques qu'en remontant à des livres datant des années 1900 à 1930 ( en particulier de l'école anglaise et allemande, Ince, Littlewood, Hilbert, Courant, Weyl etc...) où l'on pouvait clairement voir de quoi il en retournait.


Bien sûr, une fois que l'on a compris le concept et que l'on veut en faire un usage plus général et s'en servir pour faire des démonstrations puissantes et rapides, il va de soit que l'abstraction devient impérative.

Je n'ai vraiment compris des choses comme les groupes de Lie, la représentation linéaire des groupes etc qu'en remontant à leur utilisation dans les cours d'analyses des années 1900-1920 maximum. Je tiens pour profondément néfaste l'enseignement de la forme super axiomatisé et abstraite d'un groupe de Lie pour un physicien que l'on trouve dans les cours de géométries différentielles. Mais il est par contre évident que cette forme devient nécessaire pour un mathématicien professionnel avancé.

Je trouve symptomatique que beaucoup de résultats importants en topologie des variétés depuis près de 30 ans ont été découvert en s'inspirant des concepts de la physique et par des gens intéressés par la physique théorique ( Donaldson, Witten etc...)au dépend des travaux de mathématiciens purs saturés de raisonnements abstraits et presque purement formels. Il est intéressant de le considérer en pensant à ce que Hilbert et Cohn-Vossen ont dis dans la préface à "The geometry and the imagination".

Il ne s'agit pas de faire obstacle à la diversité des esprits et des approches qui toutes ont leurs avantages et leur inconvénients. Il ne faut pas oublier aussi que même dans la physique théorique pur, des gens comme Feynman et Einstein critiquaient fortement leur collègue en les accusant de se perdre dans des calculs abstraits sans chercher vraiment à comprendre ce qu'ils faisaient

[mariposa]

ce qui nuance quelque peu la question, mais il n'empêche qu'il y a là un dérapage. Peut-être, vu totalement de l'extérieur, y a-t-il (en ce qui concerne la pédagogie de l'enseignement) un refus de part et d'autre d'accepter qu'il puisse y avoir au moins deux types d'approche des mathématiques ?

Bonjour,

Sur cette question je suis fondamentalement en désaccord avec Arnold.

Arnold considère que les mathématiques c'est de la physique qui coute pas cher, donc il n'y a pas de place pour une science autonome qui s'appellerait les mathématiques. En conséquence de quoi il considère qu'au début du XX ième il y a eu un dérapage.

Cette attitude est facile à démonter. Certains physiciens considèrent que la chimie c'est de la physique et donc qu'il n' y a pas de place pour une science autonome qui s'appellerait chimie.

En fait au début du XXième siécle, la physico-mathématique et même bien avant, se trouve définitivement dissocié en physique et en mathématiques. Il y a donc réellement 2 sciences qui ont leurs propres objectifs et leurs propres méthodes.

Les physiciens ont pour but d'expliquer des faits de l'ordre de l'expérience et de l'observation. De ce point de vue les mathématiques sont un langage symbolique articulé qui supporte les concept de la physique. Les concepts de la physique ne font pas partie quant à eux, des mathématiques.

Il y a donc nécessité de faire des enseignements de mathématiques adaptés a la nécessité du métier de physicien. Ce n'est pas seulement une question de choix de chapitres mais surtout une méthode d'apprendre les mathématiques. La différence doit se faire sur les cheminements de l'abstraction et de ce point de vue Arnold à 100% raison. par contre il a 100 % tord de ne pas reconnaître l'existence d'une science autonome.

[Armen92]

..........

Il y a un exemple que je connais assez bien, c'est le livre de "Calcul infinitésimal" de Dieudonné qui est une vraie merveille et qui est véritablement efficace pour un physicien, bien plus que le livre de Laurent Schwartz "Méthodes mathématiques pour la physique". (Je précise que je trouve superbes les cours d'analyse de l'X de Schwartz).

Ce livre est en effet une pure merveille, alliant rigueur et pragmatisme avec un talent rarissime et offrant un complément de formation inestimable.
C'est pourquoi les propos de Dieudonné dans ce fameux colloque ne sont pas seulement outranciers : venant de quelqu'un qui a écrit un tel livre, ils sont aussi fort surprenants.

[mariposa]

j'ai toujours eu du mal avec ce divorce apparent ici..... et recurrent.

il me semble que le problème ne se pose pas pour les ingénieurs.
qui pour la plupart savent bien que les deux domaines se croisent mais ne se superposent pas.

In finé, je me demande s'il n'y a pas surtout des universitaires sur ce site ( je veux dire que la proportion d'ingé est très faible ).
alors veuillez m'excuser d'être généraliste et pas spécialiste d'un truc genre la taille du femur du tyranosaure au fil des sciècles !!!

personellement, je ne me sens pas plus matheux que physicien.

de "l'exterieur" , cela me fait plutôt sourire.

Bonjour,

Justement, on oublie trop souvent le métier d'ingénieur.


Le métier d'ingénieur au sens stricte est d'appliquer des savoirs et des méthodes et donc il peut-être utilisateur de mathématiques très sophistiquées.

Quelle est la différence entre un ingénieur et un homme de Sciences?


L'ingénieur doit fabriquer un avion qui vole en grande sureté, consomme peu, fiable, facile à entretenir etc... Bref répondre à un cahier des charges.

Le scientifique lui doit démontrer qu'un avion peut voler. Il émet des hypothèse, fait un prototype et vérifie si ,çà vole ne serait-ce qu'une minute.

L'ingénieur est toujours dans la précision, le scientifique met en avant le qualitatif et les concepts scientifiques.

[Médiat]

Je crois que le problème ne se situe pas à ce niveau là. Il ne s'agit pas de supprimer l'abstraction mais de la placer et de l'enseigner correctement et pour un physicien, en générale, la façon dont les mathématiciens purs leur enseignent les maths pour la physique ne me semble pas adéquate.

C'est exactement ce que j'ai écrit, contrairement à Arnold.

[...]

Vous donnez des exemples de ce j'ai dit sur l'enseignement, nous sommes donc d'accord.

Il ne s'agit pas de faire obstacle à la diversité des esprits et des approches qui toutes ont leurs avantages et leur inconvénients.

Là encore je n'ai rien dit d'autre.

Nous sommes donc d'accord.

Je répète au cas où je n'aurais pas été clair :
1) la façon dont les physiciens utilisent les mathématiques ne m'importe absolument pas, les mathématiques ne s'usent pas quand on les utilise même mal (je ne veux pas dire ici que les physiciens utilisent mal les mathématiques, mais que ceux-ci revendiquent le droit de le faire)
2) que les physiciens considèrent que l'enseignement des mathématiques n'est pas adapté à leur science, c'est un constat qui devrait faire réfléchir l'éducation nationale
3) que l'abstraction soit "mauvaise" est une ânerie, elle n'est peut-être pas adapté à certains, mais il y a les autres.

[mtheory]

Nous sommes donc d'accord.

Presque

3) que l'abstraction soit "mauvaise" est une ânerie, elle n'est peut-être pas adapté à certains, mais il y a les autres.

Je ne crois pas que ni Arnold ni Mariposa aient dit le contraire

[mariposa]

Je crois que le problème ne se situe pas à ce niveau là. Il ne s'agit pas de supprimer l'abstraction mais de la placer et de l'enseigner correctement et pour un physicien, en générale, la façon dont les mathématiciens purs leur enseignent les maths pour la physique ne me semble pas adéquate.

Bonjour,

Je dirais encore plus fort le but de toute formation quel qu'elle soit, c'est atteindre des niveaux d'abstraction ce qui correspond à un principe d'économie de la pensée. Ce qui ne va pas dans l'enseignement des maths, mais aussi parfois de la physique c'est la conduite, le cheminement qui conduit à différents niveaux d'abstraction.

Personnellement, j'adore les mathématiques et parmi les nombreux regrets dans ma vie, il y a celui de ne pas être suffisamment doué pour les maitriser. Je tiens pour évident que l'efficacité d'un physicien théoricien est largement augmentée s'il s'intéresse aussi beaucoup aux mathématiques et cherche à se cultiver le plus possible dans le domaine. Si j'en étais capable, il est clair que j'aurai vraiment beaucoup aimé et trouver indispensable une double formation de ce type.

Je comprends fort bien ce point de vue, mais cela m'amène à faire une remarque très importante dont on ne parle jamais: On ne peut pas être au four et au moulin. Cela veut dire qu'au délà des différences de capacité individuelles il faut faire des choix. Cela veut dire que si on sent sa vocation tournée vers la physique, cela se fera aux dépens des mathématiques.

Cependant, plus d'une fois, je n'ai vraiment eu accès à certains concepts mathématiques qu'en remontant à des livres datant des années 1900 à 1930 ( en particulier de l'école anglaise et allemande, Ince, Littlewood, Hilbert, Courant, Weyl etc...) où l'on pouvait clairement voir de quoi il en retournait.

C'est souvent vrai. Il est plus facile de comprendre les choses dans des vieux livres car les problèmatiques sont bien posées et souvent inexistantes dans les livres modernes. L'introduction axiomatique l'a emporté. Bourbaki est passée par là.

Bien sûr, une fois que l'on a compris le concept et que l'on veut en faire un usage plus général et s'en servir pour faire des démonstrations puissantes et rapides, il va de soit que l'abstraction devient impérative.

Tout le monde devrait être, j'espère d'accord avec cela.


Pour moi le chemin de l'abstraction se fait sur ce modèle.

1- On fait des manipulations, on touche avec les mains et donc avec le cerveau. cela donne un premier niveau d'abstraction.

2- On étudie les livres de Feymann qui fait la connexion entre expériences et un deuxième niveau d'abstraction.

3- On étudies les livres de Landau qui correspond au niveau d'abstraction supérieur.

En parallèle de cette progression dans l'abstraction il faudrait idéalement faire ce qui correspond en mathématiques et réfléchir sur le langage mathématique lui-même.

Je n'ai vraiment compris des choses comme les groupes de Lie, la représentation linéaire des groupes etc qu'en remontant à leur utilisation dans les cours d'analyses des années 1900-1920 maximum. Je tiens pour profondément néfaste l'enseignement de la forme super axiomatisé et abstraite d'un groupe de Lie pour un physicien que l'on trouve dans les cours de géométries différentielles. Mais il est par contre évident que cette forme devient nécessaire pour un mathématicien professionnel avancé.

Pour ma part j'ai compris les groupes de Lie et leurs représentations après avoir compris et fortement travaillé sur les groupes discrets et leurs représentations. les groupes de Lie c'est presque pareille. Il faut ajouter les considérations topologiques du groupe lui-même: La structure du groupe avant la géométrie.

Je trouve symptomatique que beaucoup de résultats importants en topologie des variétés depuis près de 30 ans ont été découvert en s'inspirant des concepts de la physique et par des gens intéressés par la physique théorique ( Donaldson, Witten etc...)au dépend des travaux de mathématiciens purs saturés de raisonnements abstraits et presque purement formels. Il est intéressant de le considérer en pensant à ce que Hilbert et Cohn-Vossen ont dis dans la préface à "The geometry and the imagination".

A ce sujet, il est a noté que Arnold insiste sur la vision géométrique des choses, ce que je partage totalement et je me demande si il est possible, au moins pour un physicien de s'en passer.

Il ne s'agit pas de faire obstacle à la diversité des esprits et des approches qui toutes ont leurs avantages et leur inconvénients. Il ne faut pas oublier aussi que même dans la physique théorique pur, des gens comme Feynman et Einstein critiquaient fortement leur collègue en les accusant de se perdre dans des calculs abstraits sans chercher vraiment à comprendre ce qu'ils faisaient

Des gens comme çà, j'en ai vu toute ma vie durant.

[invite6754323456711]

Bonjour,

Un texte qui date de 2003. Sans s'être familiariser avec l'abstraction mathématique comment un physicien pourra appréhender l'émergence de cette nouvelle physique théorique ?

Patrick

[Médiat]

Je ne crois pas que ni Arnold ni Mariposa aient dit le contraire

(la superabstraction, l’antisémitisme ou les problèmes « appliqués et industriels »)

La superabstraction mise au même rang que l'antisémitisme.

Les zélotes de la mathématique superabstraite, privés par les Dieux de l’imagination géométrique

Vous ne voyez aucun sarcasme ?

Une part significative de la mathématique dite abstraite se réduit tout simplement à une appropriation systématique et impudente des résultats chez les créateurs, pour ensuite les attribuer aux épigones généralisateurs

Toujours pas ?

Je vais dévoiler encore quelques secrets du même genre, dans l’intérêt des étudiants terrorisés par l’abstraction

Abstraction = terreur ou terrorisme ?

Ce que les axiomatisateurs appellent « groupes abstraits » ce sont simplement[...]

Il n'y aurait pas un peu de condescendance ici ?

Pourquoi faut-il que les algébristes torturent encore aujourd’hui les définitions avec la définition abstraite ?

Ce n'est pas une critique de l'abstraction ? Vous remarquerez que rien dans cette phrase ni dans son contexte ne laisse penser qu'il s'agit ici d'enseignement spécialisé pour physicien.

bien plus utile que la définition abstraite

Toujours aucune critique ?

Pourquoi torturons-nous encore maintenant les étudiants avec la définition abstraite ?

Toujours pas ?

une idée bien plus exacte que les généralisations superabstraites

C'est une vision positive de l'abstraction ?

Il va de soi que je n'ai rien contre vous, mais il me semble bien qu'Arnold répète à l'envi que l'abstraction est une chose horrible.

[ansset]

Le scientifique lui doit démontrer qu'un avion peut voler. Il émet des hypothèse, fait un prototype et vérifie si ,çà vole ne serait-ce qu'une minute.

L'ingénieur est toujours dans la précision, le scientifique met en avant le qualitatif et les concepts scientifiques.

ou bien je n'ai pas compris, ou bien je suis en total desacord.

j'aurai même tendance à penser exactement l'inverse.
a savoir que la qualitatif est plutôt de l'autre coté ...
un ingé ne travaille pas dans la precision mais dans l'optimisation.
et il me semble qu'un leonard de vinci avait plus une approche d'ingénieur, qu'une approche de "scientifique", telle que présentée ici .....

de surcroit, de penser qu'un ingé n'est pas scientifique et applique "bettement" des formules apprises par coeur est une énorme erreur d'appréciation.

ps : quand à faire voler les avions ???? reposes toi la question de qui ça vient !!!!

[mariposa]

ou bien je n'ai pas compris, ou bien je suis en total desacord.
j'aurai même tendance à penser exactement l'inverse.
a savoir que la qualitatif est plutôt de l'autre coté ...
un ingé ne travaille pas dans la precision mais dans l'optimisation.
et il me semble qu'un leonard de vinci avait plus une approche d'ingénieur, qu'une approche de "scientifique".

Peut-être que ma formulation est très mauvaise. Je vais dire les choses autrement.


Un ingénieur "standard", si cela a un sens réalise quelque chose définit par un cahier des charges. Dans ce cahier des charges il y a entre autres un planning. Il y a beaucoup de méthodes propres a chaque métier.

Un chercheur veut donner une explications à une classe de phénomènes. L'objectif est souvent mal définit et dans les méthodes il y a beaucoup de bricolages et d'improvisation.

de surcroit, de penser qu'un ingé n'est pas scientifique et applique "bettement" des formules apprises par coeur est une énorme erreur d'appréciation.

Là aussi ce que j'ai écrit était mal foutu.

Les ingénieurs comme les chercheurs sont des scientifiques. Ce qui les différencient est la nature des objectifs.

Pour te rassurer je suis issus d'une école qui s'appelle INSA et la première partie de ma vie professionnelle de physicien expérimentateur était un mélange du métier d'ingénieur et de chercheur.

[mariposa]

Bonjour,

Un texte qui date de 2003. Sans s'être familiariser avec l'abstraction mathématique comment un physicien pourra appréhender l'émergence de cette nouvelle physique théorique ?

Patrick

Juste 2 remarques par rapport au document cité.

1- Celui qui parle est un mathématicien et non un physicien théoricien. D'ailleurs il se définit lui-même très justement:


Pour moi qui suis mathématicien, il est très intéressant de déchiffrer les règles du jeu en physique théorique.

Le travaille des mathématiciens-physiciens sont indispensables aux physiciens théoriciens qui eux-mêmes sont indispensables aux expérimentateurs. C'est la complexité des choses qui a rendu nécessaire le partage du travail. chacun son métier ce qui n'empêche pas l'existence de ponts.

2- Un physicien standard n'est pas un physicien-théoricien (ces derniers sont minoritaires) et reçoit une formation adaptée pour exercer son métier et cela est strictement incompatible avec la potentialité de comprendre les travaux des mathématiciens qui sont innaccesibles.

[invitebd2b1648]

Salut à tous !

Et que penser d'Alain Connes ?

@ +++

[mtheory]

Je rentre juste.

La superabstraction mise au même rang que l'antisémitisme.

C'est vous qui faites le lien, il est évident qu'Arnold ne donne juste que des exemples de comportements de groupes intolérants et sectaires et je suis certain qu'en URSS il a eut à souffrir de pressions concernant les mathématiciens d'origine juives

Vous ne voyez aucun sarcasme ?

Bien sûr qu'il s'agit d'un sarcasme et il est parfaitement justifié !

Arnold s'attaque aux excès d'un enseignement et d'une conceptions des mathématiques qui ne valorisent que la capacité à jouer avec des règles formelles sans en comprendre vraiment la signification.

L'axiomatisation à la Bourbaki-Hilbert mal digérée, et Dieudonné et Hilbert avaient pourtant ce me semble bien mis en garde, a conduit dans beaucoup de cas à supprimer complétement les chaînes de la justification conceptuelle et de l'abstraction des concepts.

Beaucoup de notions mathématiques avancées ont été présentées d'une façon qui est équivalente à enseigner la géométrie et l'arithmétique à des enfants exclusivement en partant de la théorie des ensembles ou de la logique mathématique. En gros, c'est comme si on enseignait la géométrie directement en donnant la théorie des variétés différentiables et la topologie générale. Une absurdité !

Je me souviens de la colère que j'ai éprouvée en voyant vraiment d'où sortaient, les groupes de Lie, les commutateurs, la topologie générale et même l'algèbre abstraite et la théorie des ensembles etc...en remontant aux sources historiques.

J'ai eu l'impression très nette que les approches axiomatisées et super-abstraites utilisées pour enseigner ces choses à des physiciens et même pour des mathématiciens étaient une véritable arnaque intellectuelle obscurcissant sans justification des concepts d'une grand importance et qui pouvaient être compris bien plus facilement qu'il n'y parait.

Pour moi, il était clair que présenter ces choses de cette façon, initialement, montrait visiblement qu'on avait pas compris de quoi on parlait et qu'on avait juste fait apprendre des règles à des virtuoses de type joueurs d'échecs.

Pour moi, il s'agissait d'un véritable manque de rigueur intellectuelle et d'une atteinte grave à la croissance de la connaissance en faisant prendre l'habitude d'apprendre des mathématiques sans chercher à avoir une vision conceptuelle nette de ce que l'on faisait.

Il ne s'agit pas de condamner l'abstraction, l'approche ensembliste, l'algèbre et la topologie générale, la théorie des ensembles etc... ni même le traité de Bourbaki mais bien de condamner une abstraction mal placée et inintelligemment employée, largement basée sur des aptitudes de calcul formel pure. Comme je le disais, ça n'est pas étonnant que bien des méthodes nouvelles en topologie des variétés ont été trouvées en partant d'approche issues de la physique où la nécessité de garder l'ordre de la genèse des concepts et de comprendre ce que l'on fait, comme ce qui était encore de rigueur chez des gens comme Klein et Hilbert, est encore présente.

Quand on a compris les concepts et l'importance de la méthode à la Bourbaki, on sait qu'effectivement, il est nécessaire de donner en plus de la forme mathématique classique qui est le point de départ, une forme plus abstraite et générale pour pouvoir bénéficier de puissant moyen de démonstration et de connexions entre des domaines apparemment différents. La fécondité de la méthode super-abstraite est pour moi incontestable...mais quand un travail de mathématique de style classique a d'abord été fait dans beaucoup de cas et qui doit servir de point de départ. Je suis certain qu'Arnold ne devait pas penser autrement. Si vous prenez son cours sur les équations différentielles ordinaires vous y verrez qu'il aborde rapidement les notions de groupes, d'action de groupe, de difféomorphismes etc... et que le livre se termine sur des considérations de variétés différentiables, d'index topologique etc...

Très clairement Arnold n'était pas un ennemi de l'abstraction !!

Toujours pas ?

Si, si et je vois bien ce qu'il veut dire.

Abstraction = terreur ou terrorisme ?

Là encore, c'est vous qui faites de la sur-interprétation ! En revenant à des sources historiques et en voyant combien de temps j'avais perdu et que j'avais été désespéré à tort de comprendre certaines notions de mathématiques, on ne peut être qu'en colère devant le manque de rigueur conceptuelle dans la chaîne d'abstractions et l'absence de communication des véritables idées qui donnent vraiment la vie à certaines branches des mathématiques.

Il n'y aurait pas un peu de condescendance ici ?

Ce n'est pas une critique de l'abstraction ? Vous remarquerez que rien dans cette phrase ni dans son contexte ne laisse penser qu'il s'agit ici d'enseignement spécialisé pour physicien.

Toujours aucune critique ?

Toujours pas ?

C'est une vision positive de l'abstraction ?

Il va de soi que je n'ai rien contre vous, mais il me semble bien qu'Arnold répète à l'envi que l'abstraction est une chose horrible

Non ! Encore une fois il critique de mauvaises habitudes prises avec l'abstraction et la formalisation en mathématique, y compris en mathématique pure !

[mtheory]

Devinez qui a écrit ça et comparer avec ce que dit Arnold !

Monsieur Le Rédacteur, Je vous serez obligé, si vous voulez bien accueillir le réflexions suivantes, relatives à l'étude des mathématiques dans les collèges de Paris.

D'abord dans les sciences, les opinions ne comptent pour rien; les places ne sauraient être la récompense de telle ou telle manière de voir en politique ou en religion. Je m'informe si un professeur est bon ou mauvais, et je m'inquiète fort peu de sa façon de penser dans des matières étrangères à ses études scientifiques. Ce n'était donc pas sans douleur et indignation que, sous le gouvernement de la restauration, on voyait les places devenir la proie des plus offrants en fait d'idées monarchiques et religieuses. Cet état de choses n'est pas changé ; la médiocrité, qui fait preuve de sa répugnance pour le nouvel ordre des choses, est encore privilégiée; et cependant les opinions ne devraient pas être mises en ligne de compte, lorsqu'il s'agit d'apprécier le mérite scientifique des individus.

Commençons par les collèges; là les élèves de mathématiques se destinent pour la plupart à l'école polytechnique; que fait-on pour les mettre en état d'atteindre ce but ? Cherche-t-on à leur faire concevoir le véritable esprit de la science par l'exposé des méthodes les plus simples ? Fait-on en sorte que le raisonnement devienne pour eux une seconde mémoire ? N'y aura-t-il pas au contraire quelque ressemblance entre la manière dont ils APPRENNENT les mathématiques et la manière dont ils APPRENNENT les leçons de français et de latin ? Jadis un élève aurait appris d'un professeur tout ce qu'il lui est utile de savoir; maintenant il lui faut le supplément de un, de deux répétiteurs pour préparer un candidat à l'école polytechnique.

Jusques à quand les pauvres jeunes gens seront-ils obligés d'écouter ou de répéter toute la journée ? Quand leur laissera-t-on du temps pour méditer sur cet amas de connaissances, pour coordonner cette foule de propositions sans suite, de calculs sans liaison ? N'y aurait-il quelque avantage à exiger des élèves les mêmes méthodes, les mêmes calculs, les mêmes formes de raisonnement, s'ils étaient à la fois les plus simples et les plus féconds ? Mais non, on enseigne minutieusement des théories tronquées et chargées de réflexions inutiles, tandis qu'on omet les propositions les plus simples et les plus brillantes de algèbre ; au lieu de cela, on démontre à grands frais de calculs et de raisonnements toujours longs, quelquefois faux, des corollaires dont la démonstration se fait d'elle-même.

D'où vient le mal ? Assurément ce n'est pas des professeurs des collèges ; ils montrent tous un zèle fort louable; ils sont les premiers à gémir de ce qu'on ait fait de l'enseignement des mathématiques un véritable métier. La cause du mal, c'est aux libraires de MM. les examinateurs qu'il faut la demander. Les libraires veulent de gros volumes : plus il y a de choses dans les ouvrages des examinateurs, plus ils sont certains d'une vente fructueuse; voilà pourquoi nous voyons apparaître chaque année ces volumineuses compilations où l'on voit les travaux défigurés des grands maîtres à côté des essais des écoliers.

D'un autre côté, pourquoi les examinateurs ne posent-ils les questions aux candidats que de manière entortillée ? Il semblerait qu'ils craignissent d'être compris de ceux qu'ils interrogent; d'où vient cette malheureuse habitude de compliquer les questions de difficultés artificielles ? Croit-on donc la science trop facile ? Aussi qu'arrive-t-il ? L'élève est moins occupé de s'instruire que de passer son examen. Il lui faut sur chaque théorie une RÉPÉTITION de chacun des quatre examinateurs; il doit apprendre les méthodes qu'ils affectionnent, et savoir à l'avance, pour chaque question et chaque examinateur, quelles doivent être ses réponses et même son maintien. Aussi il est vrai de dire qu'on a fondé depuis quelques années une science nouvelle qui va grandissant chaque jour, et qui consiste dans la connaissance des dégoûts et des préférences scientifiques, des manies et de l'humeur de MM. les examinateurs.

Êtes-vous assez heureux pour sortir vainqueur de l'épreuve ? Êtes-vous enfin désigné comme l'un des deux cents géomètres à qui on porte les armes dans Paris ? Vous croyez être au bout : vous vous trompez, c'est ce que je vous ferez voir dans une prochaine lettre.

[mtheory]

Bonjour,

Un texte qui date de 2003. Sans s'être familiariser avec l'abstraction mathématique comment un physicien pourra appréhender l'émergence de cette nouvelle physique théorique ?

Patrick

Merci pour ce texte dont j'ignorais l'existence et qui est superbe !

[invitedaba4692]

Je crois que le problème ne se situe pas à ce niveau là. Il ne s'agit pas de supprimer l'abstraction mais de la placer et de l'enseigner correctement et pour un physicien, en générale, la façon dont les mathématiciens purs leur enseignent les maths pour la physique ne me semble pas adéquate.
(...)
Je tiens pour profondément néfaste l'enseignement de la forme super axiomatisé et abstraite d'un groupe de Lie pour un physicien que l'on trouve dans les cours de géométries différentielles. Mais il est par contre évident que cette forme devient nécessaire pour un mathématicien professionnel avancé.

Je fais en ce moment une maitrise de physique theorique en Angleterre. Je confirme que c'est la meme chose ici: les maths sont enseigne de maniere tres abstraite (axiomatique) sans necessairement faire le lien avec une application ou une interpretation plus "physique". Mais la raison evidente, c'est qu'en tout cas dans mon universite, les cours sont fait par des mathematiciens et donnee a des etudiants qui sont dans la majorite destines a une carriere en math. En faite, dans certains cours (en topology par exemple) il m'arrive meme de croiser certains eleve en Phd d'economie! Et ils sont pas la pour le plaisir...
Je pense que l'enseignement des math, en tout cas ici en Angleterre, suit une logique economique plutot que pedagogique.
L'autre aspect, que je connais moins bien mais qui semble transparaitre de mes entretiens avec mes prof, c'est que l'on demande plus aux jeunes phd d'etre des "techniciens" que des "createurs". Je me trompe peut etre mais il me semble que les etudiants en phd de physique theorique sont selectionne plus sur leur capacite "techniques" de calcul que par la profondeur de leur comprehension des relations entre les maths, la physique et le reel (je pense notament a ceux qui se destinent a devenir string theorists). Je ne parle ici evidement que du model anglo-saxon. Les phd sont la pour developper des theories de leur superviseurs ("supervisors") et non pour penser de maniere creative.