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Le plus court chemin entre 2 points



  1. #1
    cielazur

    Le plus court chemin entre 2 points


    ------

    Bonjour à tous,

    Je me demandais s'il existait une définition générale au niveau scientifique pour le plus court chemin entre 2 points.

    Est-ce la distance la plus courte.
    Est-ce le chemin qui met le moins de temps.
    Le chemin qui consomme le moins d'énergie.
    ...

    D'autre part, est-on sûr que la distance la plus courte entre 2 points est la ligne droite ou est-ce une simple convention:

    Peut-on imaginer d'autre univers, d'autre monde ou ce ne serait pas le cas ?

    Merci à tous !

    -----

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  3. #2
    Seirios

    Re : Le plus court chemin entre 2 points

    Bonsoir,

    Le concept très riche derrière cela sont les géodésiques.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  4. #3
    cielazur

    Re : Le plus court chemin entre 2 points

    OK, merci bien !

    je pense que ça correspond à ma demande, je vais lire tout ça en détail...

    Bonne nuit

  5. #4
    rommelus

    Re : Le plus court chemin entre 2 points

    Bonjour,

    Citation Envoyé par cielazur Voir le message
    D'autre part, est-on sûr que la distance la plus courte entre 2 points est la ligne droite ou est-ce une simple convention:
    Sur une variété riemannienne on sait calculer (par définition) les longueurs de tous les segments de courbes paramétrées : c'est l'intégrale de la norme des vecteurs tangents à la courbe.

    On peut alors énoncer (par définition) de la distance entre deux points est le minimum des longueurs de tous les segments de courbes paramétrées reliant ces deux points. on a pas à se demander s'il s'agit d'une droite parce qu'il n'existe pas de notion de droite, parce qu'on n'a pas associé un espace vectoriel à la variété.

    Sur un espace affine il existe une notion de droite et si on le munit d'un produit scalaire on peut définir une notion de distance entre deux points. S'il s'agit d'un produit scalaire positif alors on peut définir une notion de longueur des segment de courbes paramétrées : on peut faire une somme de Riemann le long de la courbe puisqu'on sait associer une distance à chaque bipoint.

    Le formalisme de Minkowski de la relativité restreinte représente l'univers par un espace affine de dimensions 4. Ce formalisme n'apporte aucun résultat nouveau par rapport à la formulation originelle de la relativité restreinte et contient bien plus que le réalisme physique (http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_de_Minkowski). Même dans ce cadre où il existe une notion de droite sur l'univers votre question n'a pas de sens parce qu'étant donné deux évènements, le segment de droite qui les relie n'est pas toujours une trajectoire de point matériel.

    En relativité générale l'univers est une variété pseudo riemannienne; Il n'existe même pas de notion de droite. De plus on ne sait pas définir les longueurs de tous les segments de courbes paramétrées : uniquement celle qui sont des trajectoire de points matériels et on postule qu'il s'agit de leur temps propre cartésien (étant donné deux segments d'une même courbe paramétrée, si elles ont même longueur alors les durées de temps propres sont égales).

    Cordialement,
    Rommel Nana Dutchou
    Dieu c'est tout ce que je ne comprends pas !

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    f6bes

    Re : Le plus court chemin entre 2 points

    Citation Envoyé par cielazur Voir le message
    pour le plus court chemin entre 2 points.

    Est-ce la distance la plus courte.
    Est-ce le chemin qui met le moins de temps.
    Le chemin qui consomme le moins d'énergie.
    ...

    !
    Bjr à toi,
    A toi de préçiser ce que tu mets à la suite de...COURT !
    Mais en général, on sous entend...la distance!

    Une consommation (du verbe consommer) ne se désigne pas par des termes tel que...court.
    Ca veux dire quoi (en bon français), une consommation..."courte"?
    Bonne jounrée

  8. #6
    cielazur

    Re : Le plus court chemin entre 2 points

    Bonjour et merci à tous,

    Citation Envoyé par f6bes Voir le message
    Une consommation (du verbe consommer) ne se désigne pas par des termes tel que...court.
    Ca veux dire quoi (en bon français), une consommation..."courte"?
    Bonne jounrée
    Pour un engin, un individu ou un objet quelconque, le chemin le plus court est-il celui qui va lui faire consommer le moins d'énergie ?

    Peut-être devrait-on dire le plus économe en énergie (pour un voyage sur Mars par exemple).

    Mais c'est vrai qu'on emploie habituellement le mot "court" pour désigner une distance...

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  10. #7
    pithut

    Re : Le plus court chemin entre 2 points

    bonjour,

    j'allais poster un fil sur le forum lorsque j'ai vu cette discution dont le titre est certainement parfait pour ce que j'allais poster...c'est pour cela que je me permet de poster ici :

    en réflechissant à la courbure de la terre et à la trajectoire d'un avion qui utiliserai le trajet le plus court pour atteindre une destination sur terre, je me suis rendu compte d'une chose (je précise : peut etre évidente...)...une trajectoire d'un avion dans les airs qui reste à la même altitude au court de sont trajet, -mis à part atterrissage et décollage- à l'air d'être une ligne droite dans une géométrie sphérique soit une courbe commençant en A et finissant en B...je me suis dis, si je veux obtenir une trajectoire plus courte je coupe à travers l'air cette trajectoire de A et B avec une ligne droite. Si l'on shématise cela, et que je "tord" la courbure de la terre pour la représenter "plate" ( le fait que l'altitude soit constante signifie une trajectoire dont la courbure est similaire à celle de la terre et pour la personne voyageant dans l'avion elle se voit voyager en ligne droite) il m'apparait que la trajectoire "ligne droite" reliant A et B que j'ai mentionné ci-dessus, c'est à dire un trajet plus court entre A et B différent du trajet d'une altitude constante, courbe...serai similaire à une trajectoire parabolique, c'est à dire entre l'altitude de l'avion après le départ en A et à mi-chemin du parcourt, l'avion doit être en constante descente d'altitude puis du mi-chemin à l'arrivée B en constante augmentation d'altitude...il y a me semble t'il un type de vol qui simule dans l'atmosphère l'apesanteur : le vol parabolique...Est-ce que il y a un rapport?
    laclarténevientpasdecequel'onimagineleclairmaisdecequel'onprendconsciencedel'obscur.

  11. #8
    pesdecoa

    Re : Le plus court chemin entre 2 points

    Citation Envoyé par cielazur Voir le message
    Bonjour à tous,

    Je me demandais s'il existait une définition générale au niveau scientifique pour le plus court chemin entre 2 points.

    Est-ce la distance la plus courte.
    Est-ce le chemin qui met le moins de temps.
    Le chemin qui consomme le moins d'énergie.
    ...

    D'autre part, est-on sûr que la distance la plus courte entre 2 points est la ligne droite ou est-ce une simple convention:

    Peut-on imaginer d'autre univers, d'autre monde ou ce ne serait pas le cas ?

    Merci à tous !
    C'est l'action.
    Le principe de moindre action est équivalent aux équations de Lagrange qui sont elles même équivalentes aux équations de Newton.

  12. #9
    pithut

    Re : Le plus court chemin entre 2 points

    Citation Envoyé par pithut Voir le message
    il y a me semble t'il un type de vol qui simule dans l'atmosphère l'apesanteur : le vol parabolique...
    je viens d'aller rechercher le vol parabolique sur google : c'est l'inverse, en fait la trajectoire dont j'ai parlé est hyperbolique...est-il logique de trouver une trajectoire hyperbolique comme le plus court trajet d'un avion dans l'atmosphère?
    laclarténevientpasdecequel'onimagineleclairmaisdecequel'onprendconsciencedel'obscur.

  13. #10
    snoosha

    Re : Le plus court chemin entre 2 points

    tout dépend si votre espace est "plat" ou "courbe" ..

  14. #11
    pesdecoa

    Re : Le plus court chemin entre 2 points

    Et si l'espace est plat, tout dépend si l'objet se déplace vite ou pas entre les deux points.

    S'il va vite alors il n'y a plus un seul temps, mais une infinité de temps qu'il faut "gérer" sans faire de préférence plus pour un temps que pour un autre. Dans ce cas l'action entre les deux points doit être constante quel que soit le temps choisi.

    S'il va lentement, on peut faire une préférence pour un seul temps et dans ce cas on peut appliquer le principe de moindre action.

  15. #12
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Le plus court chemin entre 2 points

    Citation Envoyé par snoosha Voir le message
    tout dépend si votre espace est "plat" ou "courbe" ..
    Tout dépend, comme le fait remarquer rommelus, du cadre formel dans lequel sont énoncées les définitions. Exemple définir un cercle carré

    Patrick

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  17. #13
    Amanuensis

    Re : Le plus court chemin entre 2 points

    est-il logique de trouver une trajectoire hyperbolique comme le plus court trajet d'un avion dans l'atmosphère?
    Le plus court chemin est de rester à l'altitude 0 : monter puis descendre est nécessairement plus long.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  18. #14
    pesdecoa

    Re : Le plus court chemin entre 2 points

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Le plus court chemin est de rester à l'altitude 0 : monter puis descendre est nécessairement plus long.
    C'est quasi la démonstration du principe de moindre action!
    Rester à l'altitude zéro se traduit par q est la position.
    monter et descendre est necessairement plus long se traduit par la conclusion de la démo qui aboutit aux équations de Lagrange.
    Dernière modification par pesdecoa ; 02/08/2012 à 19h21.

  19. #15
    Tryss

    Re : Le plus court chemin entre 2 points

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Le plus court chemin est de rester à l'altitude 0 : monter puis descendre est nécessairement plus long.
    Un Paris-Wellington (NZ) en passant par l'altitude -6350 km serrait plus court qu'un Paris-Wellington en restant à l'altitude 0

  20. #16
    Amanuensis

    Re : Le plus court chemin entre 2 points

    Certes, certes... Je restais dans les conditions indiquées par la personne à laquelle je répondais.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  21. #17
    pithut

    Re : Le plus court chemin entre 2 points

    bonjour

    en terme en distance je parle, un avion restant à même altitude au cours de son trajet, et ce en regardant d'un point de vue extérieur, en vertu du fait que la terre doit être ronde effectue une trajectoire courbe exactement égale à la courbure de la terre, maintenant en effectuant dans les trois dimention que nous offre le ciel, le trajet dont je parle-qui correspond à une corde de l'arc décrit par la trajectoire de l'avion à altitude constante, il faut évidement le commencer d'autant plus haut en altitude que le parcours est long, le trajet que je décris est tout simplement une tangente à la surface de la terre, si l'on suppose qu'un trajet à altitude constante est une ligne droite, le trajet le plus court décrit donc une hyperbole dont la courbure est exactement l'inverse de celle de la terre...mais bien sur tout est une question de géométrie...
    laclarténevientpasdecequel'onimagineleclairmaisdecequel'onprendconsciencedel'obscur.

  22. #18
    rommelus

    Re : Le plus court chemin entre 2 points

    Bonjour,

    Citation Envoyé par pithut Voir le message
    en vertu du fait que la terre doit être ronde effectue une trajectoire courbe exactement égale à la courbure de la terre
    La surface de la terre (qui est un ensemble de points du référentiel terrestre - un ensemble de ligne d'univers de corps continument immobile dans le référentiel terrestre) est bidimensionnelle et les longueurs de ses segments de courbes paramétrées ("uniquement déterminées" car on sait dire de deux segments qu'elles ont ou qu'elles n'ont pas la même longueur) sont décrites par une géométrie riemanniennes.
    Il est important de noter que lorsqu'on parle de chemin le plus court dans ce contexte on ne tient pas compte du fait que le mobile possède des moteurs et peux modifier son temps de trajet.

    Citation Envoyé par pithut Voir le message
    maintenant en effectuant dans les trois dimention que nous offre le ciel
    L'espace physique tridimensionnel du référentiel terrestre est euclidien ! comprendre qu'il existe une géométrie euclidienne particulière qui correspond à notre intuition de l'égalité ou de la différence de deux segments de courbes paramétrées.

    Citation Envoyé par pithut Voir le message
    si l'on suppose qu'un trajet à altitude constante est une ligne droite
    Un segment de courbe du référentiel terrestre qui conserve une altitude constante par rapport à la terre ronde est une ligne droite ? ligne droite devant signifier chemin le plus court ? est une approximation de la notion de droite sur un espace déjà affine ?

    Citation Envoyé par pithut Voir le message
    ...mais bien sur tout est une question de géométrie...
    A t-on le choix de la géométrie qui décrit (permet d’apprécier la superposabilité ou la non surperposabilité de deux segments de courbes) l'espace physique tridimensionnel (ensemble des ligne d'univers des corps continument immobiles) du référentiel terrestre ?

    Cordialement,
    Rommel Nana Dutchou
    Dernière modification par rommelus ; 03/08/2012 à 23h51.
    Dieu c'est tout ce que je ne comprends pas !

  23. Publicité
  24. #19
    rommelus

    Re : Le plus court chemin entre 2 points

    Bonjour,

    L'univers de la relativité générale n'est pas riemannien mais pseudo riemannien. Bien sûr on peut prétendre par définition qu'une droite dans un tel espace est une géodésique on il faut comprendre que seuls les trajectoires des points matériels peuvent prétendre à ce qualificatif car c'est sur ce petit ensemble de ligne d'univers qu'on extrémalise l'action.

    Cette notion de droite tient compte de l'utilisation que le pilote fait des moteurs de son avion. Dans le cas de l'avion sur terre la géodésique n'est plus le chemin optimal parmi toutes les lignes d'univers de points matériels qui joignent deux évènements car il faut exclure celles qui rentre en collision avec la terre occupant un certain volume.

    Ne pas chercher un chemin optimal purement spatial en relativité générale parce qu'il n'y a pas d'espace, il n'y a que l'espace-temps. Dans la pratique on utilise un espace absolu (non relatif à un hypothétique expérimentateur, il n'y a pas de notion de vitesse relative en RG) pourtant même en relativité restreinte l'espace est relatif et chaque hypothétique expérimentateur en possède un seul.

    Bref il ne faut pas abuser de la notion de droite :

    * Si l'espace a une structure affine alors on peut dire que la droite est telle que le vecteur défini par deux points de la courbe paramétrée soit toujours colinéaire à un certain w.

    * Si on défini à priori les longueurs positives de toutes les courbes paramétrées alors on peut dire que la droite est le chemin qui minimalise les longueurs.

    * Si on associe à priori une distance positive à tous les bipoints de l'espace alors on peut définir les longueurs positives des courbes paramétrées par somme de Riemann et se rapporter au cas précédent.

    * Sur une variété pseudo riemannienne on peut optimaliser l'action parmi les trajectoires de points matériels mais cette notion tient compte de l'utilisation des moteurs de l'avion

    * Autres possibilités

    Cordialement,
    Rommel Nana Dutchou
    Dieu c'est tout ce que je ne comprends pas !

  25. #20
    pesdecoa

    Re : Le plus court chemin entre 2 points

    C'est comme si toute la physique pouvait se résumer à : "Que se passe-t-il entre deux points?".

    Depuis Newton qui regarde ce qui se passe entre deux planètes (attraction universelle) au calcul infinitésimal (deux points très proches l'un de l'autre), à la mécanique analytique (2 points d'espace-temps (principe de moindre action)), à la thermodynamique (les deux points sont assimilée à deux états (accroissement de l'entropie)).

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