Incréments évanescents

[Médiat]

Bonjour,

Depuis Isaac Barrow on définit la tangente à une courbe (qui va bien) en un point A (de cette courbe) comme une sécante à la courbe passant par le point A et un point B de cette même courbe, quand B se rapproche de A.

Analytiquement, on définit la pente de cette tangente en calculant le taux de variation pour une sécante quelconque (conséquence de la définition précédente) :
où est différent de 0 (sinon ce quotient n’est pas défini).

Par exemple pour la courbe définie par , on obtient :





Et puis là on déclare que , pour obtenir la pente de la tangente, notée .

Autrement dit, on commence par utiliser un en précisant qu’il est non nul (et c’est essentiel), avant de conclure en disant que finalement il est nul.

Cette façon de faire est au minimum troublante voire gênante, elle à d’ailleurs gêné des gens très bien :

Berkeley disait à propos de cet « incrément évanescent » qu’il était le « fantôme d’une quantité défunte ».

Cantor, à propos des infinitésimaux : « l'infection des mathématiques par le bacille du choléra des infinitésimaux ».

Russell, toujours à propos des infinitésimaux : « non nécessaires, erronées et auto-contradictoires ».

Bien sur, l’introduction des hyperréels et de l’analyse non standard par Robinson règle définitivement le problème en donnant une définition propre des infinitésimaux, néanmoins, peu voire très peu de mathématiciens (de mon temps en tout cas) connaissent l’analyse non standard, et continue d’utiliser la formule ci-dessus sans se poser de question.


Je serais curieux de connaître vos réactions, et si cela vous gêne ou non …
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[doul11]

Bonjour,

Se poser des questions c'est bien, mais pas sur tout et tout le temps, sinon on remet tout en cause et on avance pas. Cette formule fonctionne, pourquoi ne pas l'utiliser ? Quitte a attendre plus tard pour en avoir une démonstration rigoureuse, ce qui a été le cas ici.

Je vois les chose simplement comme ceci : on ne sait pas calculer directement se que l'on cherche, donc on donne une valeur a delta x puis on diminue cette valeur et on voit ce que ça donne. Si ça marche on garde.

[Bruno]

Bonjour,

Se poser des questions c'est bien, mais pas sur tout et tout le temps, sinon on remet tout en cause et on avance pas. Cette formule fonctionne, pourquoi ne pas l'utiliser ?

En ce qui me concerne j'ai du mal à faire comme si c'était correct lorsque que c'est faux, le fait que ça fonctionne ne nous assurant pas que ce sera toujours le cas. Sinon pourquoi ne pas se contenter de pseudo-démonstrations dans toutes les maths ? Elles sont nombreuses.

Sans aller jusqu'à l'analyse non-standard, l'utilisation de la limite me semble régler le problème. Non ?

[Médiat]

Bonjour,

Se poser des questions c'est bien, mais pas sur tout et tout le temps, sinon on remet tout en cause

Un privilège dont je ne saurais me passer, il est l'essence même des sciences.

et on avance pas.

Votre façon de voir les choses, pas la mienne.

Cette formule fonctionne, pourquoi ne pas l'utiliser ?

Je ne pense pas avoir écrit qu'il ne fallait pas l'utiliser, juste qu'il fallait l'interroger.

Quitte a attendre plus tard pour en avoir une démonstration rigoureuse, ce qui a été le cas ici.

Ce qui n'empèche personne de ne pas utiliser la démonstration rigoureuse (ce qui me gêne)

Je vois les chose simplement comme ceci : on ne sait pas calculer directement se que l'on cherche, donc on donne une valeur a delta x puis on diminue cette valeur et on voit ce que ça donne. Si ça marche on garde.

Vous savez que l'essence des mathématiques repose sur la notion de démonstration, non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[doul11]

En ce qui me concerne j'ai du mal à faire comme si c'était correct lorsque que c'est faux, le fait que ça fonctionne ne nous assurant pas que ce sera toujours le cas. Sinon pourquoi ne pas se contenter de pseudo-démonstrations dans toutes les maths ? Elles sont nombreuses.

Si on trouve un cas ou ça ne marche pas on est toujours a temps de se poser des questions. Sinon comme je ne suis pas mathématicien je me satisfait de pseudo-démonstrations, heureusement les scientifiques ne sont pas comme doul

[Médiat]

Bonjour,

Sans aller jusqu'à l'analyse non-standard, l'utilisation de la limite me semble régler le problème. Non ?

Non, pas aussi strictement que vous semblez le penser, vous avez, bien sur, remarqué que je n'avais pas utilisé le mot limite, car fondamentalemant cela ne change pas grand chose, cela ne fait que formaliser l'expression, "je remplace par 0 et je regarde ce qui se passe".

[Bruno]

Si on trouve un cas ou ça ne marche pas on est toujours a temps de se poser des questions.

Et comment sait-on que ça ne marche pas ? Si on se met à accepter des pseudo-démonstrations, on tombe à coup sur sur des pseudo-contradictions.

Sinon comme je ne suis pas mathématicien je me satisfait de pseudo-démonstrations, heureusement les scientifiques ne sont pas comme doul

Beaucoup de mathématiciens, Newton en premier mais aussi Fourier, étaient comme doul et pourtant leurs démonstrations absurdes ont donné naissance à de brillantes idées.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,
Non, pas aussi strictement que vous semblez le penser, vous avez, bien sur, remarqué que je n'avais pas utilisé le mot limite, car fondamentalemant cela ne change pas grand chose, cela ne fait que formaliser l'expression, "je remplace par 0 et je regarde ce qui se passe".

Intuitivement, on remplace certe par 0. Plus rigoureusement, il s'agit de trouver pour tout un (au moins) tel que la différence (en norme) entre la fonction évaluée dans un voisinage -large de zéro et la limite annoncée soit inférieure à . Quand on calcule une limite en zéro, on ne remplace donc rien par zéro, mais on prouve l'existence d'une quantité respectant une condition précise.

[Bruno]

Non, pas aussi strictement que vous semblez le penser, vous avez, bien sur, remarqué que je n'avais pas utilisé le mot limite, car fondamentalemant cela ne change pas grand chose, cela ne fait que formaliser l'expression, "je remplace par 0 et je regarde ce qui se passe".

Tout d'abord, regarder ce qu'il se passe lorsque ∆x tend vers 0 n'est pas identique à poser une constante ∆x puis à lui donner subitement la valeur 0. Ensuite, je parlais bien sur de la limite avec epsilon, mais Paraboloide_Hyperbolique a été plus rapide.

[Médiat]

Intuitivement, on remplace certe par 0. Plus rigoureusement, il s'agit de trouver pour tout un (au moins) tel que la différence (en norme) entre la fonction évaluée dans un voisinage -large de zéro et la limite annoncée soit inférieure à . Quand on calcule une limite en zéro, on ne remplace donc rien par zéro, mais on prouve l'existence d'une quantité respectant une condition précise.

C'est exactement ce que j'entendais par "formaliser l'expression ..."

je voudrais aussi vous rassurer, l'objection que j'ai soulevé n'est pas mon objection, mais une objection historique qui a été portée par de grands mathématiciens.

Si j'ai un vrai sujet d'étonnement c'est de voir l'analyse non standard aussi peu enseignée (aux mathématiciens, pour les physiciens ne se préoccupant que de l'efficacité de l'outil, la position proposée par doul11 semble suffisante) alors qu'elle est conceptuellement et techniquement très simple (même si moins intuitive) et qu'elle résout avec brio ce genre d'objection.

[Médiat]

Je reviens sur la notion de limite : elle permet de dire ce qui se passe quand une quantité se rapproche de 0, pas sur ce qui est quand elle est égale à 0, prendre la limite cela consiste à dire : "je décrète que la valeur pour l'incrément 0 est égal à la valeur vers laquelle se rapproche ma quantité quand l'incrément se rapproche de 0".

Pour l'interprétation géométrique vous avez le même problème : avec 2 points je sais ce qu'est la sécante, quand il n'y a plus qu'un point, je ne sais plus.

[Bruno]

je voudrais aussi vous rassurer, l'objection que j'ai soulevé n'est pas mon objection, mais une objection historique qui a été portée par de grands mathématiciens.

Non sans une certaine violence ou, au moins, de l'exagération pour certains. Berkeley ou Rolle ont eu des propos très durs sur le calcul différentiel et même si leurs objections étaient fondées, l'histoire leur a donné tort.

Si j'ai un vrai sujet d'étonnement c'est de voir l'analyse non standard aussi peu enseignée (aux mathématiciens, pour les physiciens ne se préoccupant que de l'efficacité de l'outil, la position proposée par doul11 semble suffisante) alors qu'elle est conceptuellement et techniquement très simple (même si moins intuitive) et qu'elle résout avec brio ce genre d'objection.

J'ai lu que l'analyse non-std se contentait de redémontrer des théorèmes de l'analyse déjà connus, n'est-ce pas en partie à cause de ça ?

[Médiat]

même si leurs objections étaient fondées, l'histoire leur a donné tort.

Ou plutôt leur a donné raison puisqu'il a fallu attendre l'ANS pour avoir des définitions incontestables

J'ai lu que l'analyse non-std se contenait de redémontrer des théorèmes de l'analyse déjà connus, n'est-ce pas en partie à cause de ça ?

Oh, non "elle ne se contente pas de", mais quand elle le fait, c'est en partie à cause de cela, c'est aussi parce que certaines (toutes ?) démonstrations sont plus simples.

Les méthodes de l'ANS sont même utilisées dans d'autres domaines, je n'ai pas mes documents à portée de clavier, mais si je les retrouve je mettrai une référence ici.

[Bruno]

Ou plutôt leur a donné raison puisqu'il a fallu attendre l'ANS pour avoir des définitions incontestables

La définition à coup d'epsilon est contestée ? Je ne savais pas. En tout cas, l'arrivée de la limite et de la notion de "aussi proche qu'on veut" a créé une explosion de résultats tant en maths qu'en ingénierie, ce qui ne semble pas être le cas de l'ANS. Donc je maintiens que l'histoire a donné tort à Berkeley, à la limite () réhabilité partiellement par l'ANS.

Les méthodes de l'ANS sont même utilisées dans d'autres domaines, je n'ai pas mes documents à portée de clavier, mais si je les retrouve je mettrai une référence ici.

Si tu as des exemples de résultats nouveaux apportés par l'ANS, ça m'intéresse beaucoup.

[Médiat]

La définition à coup d'epsilon est contestée ? Je ne savais pas.

Comme je vous le disais, ce n'est qu'une formalisation du point contesté.

Donc je maintiens que l'histoire a donné tort à Berkeley, à la limite () réhabilité partiellement par l'ANS.

Rassurez-vous, c'est bien pour cela que j'avais mis aussi un smiley.

Si tu as des exemples de résultats nouveaux apportés par l'ANS, ça m'intéresse beaucoup.

Dès que je les retrouve ...

[Bruno]

Si tu as des exemples de résultats nouveaux apportés par l'ANS, ça m'intéresse beaucoup.

Mille excuses, j'avais oublié cette histoire de canard: http://irem.u-strasbg.fr/php/articles/27_Diener.pdf

Mais je ne sais pas si on peut parler de "résultat nouveau" car il semble qu'on peut y arriver avec n'importe quel ordinateur actuel.

[Médiat]

Ce n'est pas aux canards que je pensais (ce document en parle très bien, et c'est une bonne introduction à l'ANS pour ceux qui en connaissent pas : http://www.emis.de/journals/BBMS/Bul.../gautheron.pdf)

[phys4]

Le remplacement par un infiniment petit n'est pas un remplacement par zéro.

La théorie des infiniment petits et infiniment grand de l'analyse standard me semble aussi rigoureuse que celle des hyperréels.
L'introduction des hyperréels n'est pas aussi mathématique que celle des classes de réels ou de complexes, la théorie distingue les nombres standard et non standard à chaque étape, ce qui enlève de la rigueur.

La théorie ANS est plus utile au niveau des fonctions, car l'introduction des distributions est une machine aussi lourde que la théorie ANS. La théorie ANS simplifie beaucoup la théorie et l'utilisation des distributions en les classant comme fonctions non standard.

[Médiat]

La théorie des infiniment petits et infiniment grand de l'analyse standard me semble aussi rigoureuse que celle des hyperréels.

Bonjour,

Quelle définition d'un infinitésimal utilisez-vous ?

[Bruno]

La théorie des infiniment petits et infiniment grand de l'analyse standard me semble aussi rigoureuse que celle des hyperréels.

Les infiniment petits et infiniment grands n'existent plus en analyse standard, chassés et remplacés qu'ils furent par des petit 'o', des applications linéaires (les fameux df et dx) et des définitions à base de .

L'introduction des hyperréels n'est pas aussi mathématique que celle des classes de réels ou de complexes.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse...ard#Historique

Après une approche due à Abraham Robinson en 1961, issue des travaux de la logique mathématique et utilisant la notion de modèle, Wilhelmus Luxemburg (en) popularisa en 1962 une construction (déjà découverte par Edwin Hewitt (en) en 1948) des infiniment petits (et des autres hyperréels) par une ultra-puissance de R, donnant ainsi naissance à une nouvelle théorie, l'analyse non standard.

On fait difficilement plus mathématique...

la théorie distingue les nombres standard et non standard à chaque étape, ce qui enlève de la rigueur

En quoi cela enlève-t-il de la rigueur ?

La théorie ANS est plus utile au niveau des fonctions, car l'introduction des distributions est une machine aussi lourde que la théorie ANS. La théorie ANS simplifie beaucoup la théorie et l'utilisation des distributions en les classant comme fonctions non standard.

Bof, tout le monde manipule la théorie des distributions sans trop se soucier d'écrire des non-sens tels que , et la théorie est bien plus accessible que l'ANS et ses prérequis de logicien.

[Médiat]

Bonjour,

Comme promis :
http://hal.inria.fr/docs/00/16/33/65...el16_07_07.pdf (je vous conseille en particulier l'introduction).
http://wenku.baidu.com/view/71862a34...5a41780af.html ou http://jinr.people.cofc.edu/research/nsaadd.pdf ou encore http://www.dm.unipi.it/~nsm2006/abstracts/jin.pdf (théorie des nombres)
Applications of Nonstandard Analysis to Quantum Optics

[invite179e6258]

Si j'ai un vrai sujet d'étonnement c'est de voir l'analyse non standard aussi peu enseignée (...)

c'est peut-être qu'elle n'a pas permis de progrès. Y a-t-il des problèmes d'Analyse importants que l'ANS a permis de résoudre?

[Médiat]

Bonjour,

Le simple fait d'être incontestable sur le plan de la rigueur est un argument suffisant, mais vous pouvez aussi jeter un coup d'oeil à mon post précédent.

[invite179e6258]

oui mais la présentation classique de l'Analyse me semble rigoureuse. Je ne sais pas pourquoi vous n'aimez pas le passage à la limite, mais je n'y trouve pas de faille. Qu'il soit contre-intuitif est une autre question.

par ailleurs, je ne suis pas de votre avis : je pense que la rigueur est nécessaire mais pas suffisante. La "fécondité" est aussi nécessaire (je ne dis pas que l'ANS ne l'est pas, même si j'avais un peu cette impression).

[invite179e6258]

pour préciser : j'ai connu un universitaire portugais qui ne jurait que par les fractales. Selon lui, cette théorie allait révolutionner l'enseignement de la Géométrie. Mais c'était il y a 25 ans, et il me semble que cette révolution n'a pas eu lieu. Finalement c'était une idée brillante mais qui n'a pas (peut-être pas encore?) porté des fruits (notables). Si une théorie ne permet pas de démontrer des théorèmes, ce n'est peut-être pas très pertinent de l'enseigner (sauf à titre d'exercice). J'avais l'impression que l'ANS était à ranger dans cette catégorie.

[Médiat]

oui mais la présentation classique de l'Analyse me semble rigoureuse. Je ne sais pas pourquoi vous n'aimez pas le passage à la limite, mais je n'y trouve pas de faille. Qu'il soit contre-intuitif est une autre question.

Je n'ai jamais écrit que je n'aimais pas, j'ai même écrit que cette objection n'était pas la mienne, mais celle de grands mathématiciens (dont Cantor et Russell).

(Néanmoins, je trouve discutable, même s'il y a une réponse, d'écrire et de dire "on néglige", à cause de la présence de (on ne s'ccupe pas de ) même si cette dernière expression puise sa source dans une limite ; ce qui me gêne, ce n'est pas que cela pose des vrais problèmes, mais à cause du nombre de non-dits (utiliser des infinitésimaux sans le dire, ou pire sans les définir))

par ailleurs, je ne suis pas de votre avis : je pense que la rigueur est nécessaire mais pas suffisante. La "fécondité" est aussi nécessaire (je ne dis pas que l'ANS ne l'est pas, même si j'avais un peu cette impression).

L'ANS est au moins aussi féconde que l'analyse classique puisque tout ce qui se démontre en analyse classique peut se démontrer en ANS, et dans la plupart des cas (tous ?) les démonstrations sont plus courtes et plus élégantes.

[invite6754323456711]

Bonjour,

L'ANS a t-elle été utilisé pour construire un discours de topologie défini par ce langage ? La physique fait usage de discours basés sur les espaces topologiques.

Patrick

[phys4]

Bonjour,

Quelle définition d'un infinitésimal utilisez-vous ?

Celle de l'analyse standard, la réponse de Bruno m'évite de préciser :

.

C'est exactement ce que je voulais dire.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse...ard#Historique

Après une approche due à Abraham Robinson en 1961, issue des travaux de la logique mathématique et utilisant la notion de modèle, Wilhelmus Luxemburg (en) popularisa en 1962 une construction (déjà découverte par Edwin Hewitt (en) en 1948) des infiniment petits (et des autres hyperréels) par une ultra-puissance de R, donnant ainsi naissance à une nouvelle théorie, l'analyse non standard.

On fait difficilement plus mathématique...

En quoi cela enlève-t-il de la rigueur ?

Je connaissais les diverses références données, cependant la distinctions standard et non-standard me gêne: l'introduction des irrationnels par des coupures dans l'ensemble des rationnels est également une définition d'un nombre par une relation d'ordre.
Cependant il reste possible de définir des rationnels par des coupures et l'ensemble des réels forme un tout, à l'intérieur duquel il n'est plus nécessaire de distinguer les propriétés des irrationnels des autres nombres.
La théorie des hyper-réels n'arrive pas à ce niveau de rigueur.

[Médiat]

Celle de l'analyse standard, la réponse de Bruno m'évite de préciser :



C'est exactement ce que je voulais dire.

Vous ne donnez pas la définition de "un infinitésimal".

Cependant il reste possible de définir des rationnels par des coupures et l'ensemble des réels forme un tout, à l'intérieur duquel il n'est plus nécessaire de distinguer les propriétés des irrationnels des autres nombres.
La théorie des hyper-réels n'arrive pas à ce niveau de rigueur.

Objection incompréhensible pour moi : les hyperréels forment un "tout" dans lequel on distingue les réels standard et les autres quand c'est nécessaire, de la même façon que les réels forment un "tout" dans lequel on distingue les rationnels ou les algébrique (etc.) ou les autres quand c'est nécessaire.

La théorie des hyperréels est d'une rigueur absolue, ne vous déplaise, que vous ne l'aimiez pas est votre droit, mais la raison que vous invoquez n'est pas acceptable.

[invite179e6258]

L'ANS est au moins aussi féconde que l'analyse classique puisque tout ce qui se démontre en analyse classique peut se démontrer en ANS, et dans la plupart des cas (tous ?) les démonstrations sont plus courtes et plus élégantes.

ce n'est pas pareil de pouvoir redémontrer des choses connues, y compris de façon plus élégante, et de pouvoir découvrir de nouveaux théorèmes. Je pense que tous les formalismes ne stimulent pas également l'imagination. Cela dit, encore une fois je ne sais pas si c'est le cas que l'ANS n'est pas féconde (dans le sens que je dis). Mais c'est possible. Sinon, comment expliques-tu qu'elle ne soit pas enseignée?