Fondement des mathématiques

[V13]

Bonjour,

De tout temps, il semble que les mathématiques soient basées sur la logique. Aux premiers temps de la science, on utilisait une logique mal définie mais que tout le monde acceptait car elle correspondait à la nature sensible, par exemple la géométrie euclidienne.

Mais en réalité la logique est une discipline des mathématiques très récentes qui s'est développée bien après l'analyse, l'algèbre ou la géométrie. Alors qu'historiquement ces dernières se sont développer avec d'autres sciences (physique, astronomie) et donc avait une certaine interaction avec la nature, la logique semble être une discipline des plus abstraite et générale des mathématiques.

Aujourd'hui on connait de nombreuses théories de logique souvent en interaction étroite avec de l'informatique théorique.

Mais j'aurais deux questions à propos de ça, d'une part, j'aurais voulu connaître l'interaction des théories de logique mathématiques avec le reste des mathématiques, par exemple je sais que la théorie des ensembles est à la base de la notion de structure algébrique à l'origine de l'algèbre générale.
Mais quid de toutes les autres théories comme la théorie des modèles, la théorie des catégories etc.
Quel est le rôle de la logique mathématique au sein des mathématiques ? Je comprends que la géométrie, l'analyse, l'algèbre soient nés de besoins de modélisation mais la logique... Par exemple, Galois utilisait déjà la notion de groupe avant que Cantor précise la théorie des ensembles. Était-ce vraiment nécessaire cette formalisation alors que Galois l’utilisait avant ?

J'ai aussi l'impression que c'est la logique mathématique qui divise le plus la communauté mathématique, au-delà de la dichotomie classique algébriste/analyste on voit par exemple que certains mathématiciens se refusent d'utiliser l'axiome du choix ou une carrément une certaine axiomatique. J'ai l'impression que la logique mathématique ne correspond pas vraiment à un domaine de réalité au vu des innombrables axiomatiques et théories précisées depuis sa création et que du coup elle divise les mathématicien. Pour moi, le choix de l'axiomatique résulte forcément de choix philosophique, personnel. Il semble clair de plus, qu'on ne peut pas explorer toutes les théories axiomatiques possibles, il faut faire un choix et choisir ce qui nous semble interagir avec la nature et être utile tant au mathématiques qu'au autres sciences.
Du coup, je ma demandais si la logique mathématique était réellement une branche des mathématiques ou si plutôt c'était une branche de la philosophie. A noter que dans les cursus de philosophie on fait aussi de la logique.

Merci d'avance pour vos réponses,
-----

[Médiat]

Bonjour,

Vous pouvez regarder de fil : http://forums.futura-sciences.com/ep...ensembles.html

on voit par exemple que certains mathématiciens se refusent d'utiliser l'axiome du choix

Je ne vois qu'une seule raison pour laquelle un mathématicien peut se refuser à utiliser un axiome quel qu'il soit : c'est un platonicien extrémiste ; autrement dit c'est une question de philosophie et non de mathématiques (personnellement les querelles de ce genre ne m'intéressent pas).

[V13]

Mais le choix d'utiliser tel axiome ou non influe sur la théorie non ? Par exemple il y a des résultats indémontrables en ZF et démontrables en ZFC, ça a donc une importance pour un mathématicien non ?

[Médiat]

Mais le choix d'utiliser tel axiome ou non influe sur la théorie non ? Par exemple il y a des résultats indémontrables en ZF et démontrables en ZFC, ça a donc une importance pour un mathématicien non ?

Oui, bien sûr, je ne dis pas que cela n'a pas d'importance, je dis juste que d'un point de vue formaliste, "refuser un axiome" n'a pas de sens : toute personne "consistante" travaillant sur la théorie des ensemble essaye de démontrer ses théorèmes avec le moins d'axiomes possibles (c'est à dire, par exemple, sans axiome du choix et sans axiome de fondation) et si cela ne marche pas, alors il introduit l'axiome qui permet la démonstration (ne pas utiliser un axiome donne un résultat plus général).

[A voir en vidéo sur Futura]

[V13]

Est-ce qu'il a une définition précise d'un axiome ? Une définition linguistique ?

Parce qu'il suffit de mettre deux propositions en une (avec une conjonction) pour faire un axiome unique par exemple.

[Médiat]

Là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3952016

[invite9dc7b526]

(...) toute personne "consistante" travaillant sur la théorie des ensemble essaye de démontrer ses théorèmes avec le moins d'axiomes possibles (c'est à dire, par exemple, sans axiome du choix et sans axiome de fondation) et si cela ne marche pas, alors il introduit l'axiome qui permet la démonstration (ne pas utiliser un axiome donne un résultat plus général).

je plussoie. D'ailleurs c'est bien comme ça que j'ai démontré la conjecture de Riemann: j'ai essayé tous les axiomes connus, ça ne marchait pas alors j'ai ajouté la conjecture comme axiome et hop! ça a marché tout seul. Il me reste à convaincre la fondation Clay et je serai un homme riche...

[Médiat]

je plussoie. D'ailleurs c'est bien comme ça que j'ai démontré la conjecture de Riemann: j'ai essayé tous les axiomes connus, ça ne marchait pas alors j'ai ajouté la conjecture comme axiome et hop! ça a marché tout seul. Il me reste à convaincre la fondation Clay et je serai un homme riche...

J'espère que vous avez démontré son indépendance avec les autres axiomes, sinon, vous n'avez rien démontré d'intéressant.