Représentation graphique en RG

[invite80c87b9b]

Bonjour,

J'ai cette réflexion depuis quelque temps et j'aimerais vous la soumettre, je vais essayer de formuler correctement...

Ce ne serait pas 'plus visuelle' pour la compréhension de ceux qui ne saissisent pas que c'est la métrique qui change selon l'observateur (comme un graph logaritmique que l'échelle change, ou si je prends un exemple personnel, une abaque de schmith). Ou même faire un graph avec les axes courbes. Au final la ligne serait droite dans l'espace-temps, ce qui éviterait bien des malentendus, amha...

Desolé si la question est idiote...et sûrement pleine de faute...

Cdt
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[mach3]

c'est la métrique qui change selon l'observateur

la métrique ne change pas selon l'observateur. La métrique en un point (évènement) de l'espace-temps, c'est un tenseur du second ordre, invariant (of course, ce tenseur peut varier de point en point, because courbure). Les composantes de la métrique dépendent par contre du système de coordonnées choisi, ce qui n'a pas vraiment de lien avec l'observateur. A l'extrême rigueur, il y a des systèmes de coordonnées plus adéquats que d'autres pour tel ou tel observateur, mais ça reste arbitraire.

m@ch3

[invite1c6b0acc]

Néanmoins, la suggestion de Stefpell de représenter des axes courbes me semble intéressante.
Je pense qu'il fait référence à quelque chose comme ça.

[mach3]

Ca ne peut marcher que localement. On peut toujours trouver un système de coordonnées où en un point la métrique est (en terme de coordonnées) celle de Lorentz et où la dérivée première de la métrique par rapport à ces coordonnées est nulle, malheureusement ça ne sera pas le cas de la dérivée seconde. Les géodésiques seront des droites au voisinage du point, mais seulement au voisinage pour la plupart. Dans une projection polaire de la surface de la Terre, les géodésiques qui passent par le pôle sont bien des droites, mais toutes les autres ne seront droites qu'à proximité du pôle.
On peut tricher avec le système de coordonnée pour qu'une géodésique donnée soit toujours une droite, mais du coup il n'y aura que certaines géodésiques qui seront des droites, les autres seront courbes. Pensez par exemple à la projection de Mercator de la surface de la Terre : l'équateur et les méridiens sont des géodésiques et apparaissent droits, les autres géodésiques sont des courbes.

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[Matmat]

Vous voulez que les géodésiques soient droites pourquoi ?
si on peut observer des choses derrière une masse c'est que les géodésique ne sont pas droites , forcément .

[Amanuensis]

Confusion entre des géodésiques et leur représentation. (Par exemple dans un diagramme.)

Selon une certaine définition, toute géodésique est "droite". (Et ce même si "on peut observer des choses derrière une masse" ; confusion entre rectitude et parallélisme, si on pense autrement...)

Par contre pour qu'on puisse représenter en euclidien toute géodésique comme une droite euclidienne, alors il faut se restreindre à quelques cas particuliers comme l'espace-temps de Minkowski (qui n'est pas euclidien).

En général, pour d'autres solutions, on cherche des diagrammes (euclidiens) où certaines géodésiques choisies pour leur intérêt soit droites.

Pour ça que la question initiale soit n'est pas assez précise, soit n'admet pas de réponse générale.

[Matmat]

Ce n'est pas une confusion , je crois comprendre la suggestion du primo posteur comme le voeux que les géodésiques soient "droites" au sens de rectitude .

[Nicophil]

Bonjour,

Est-ce que les géodésiques de lumière sont rectilignes dans un référentiel uniformément accéléré ?

[Amanuensis]

les géodésiques soient "droites" au sens de rectitude .

Les géodésiques sont droites au sens de rectitude.

[Amanuensis]

Est-ce que les géodésiques de lumière sont rectilignes dans un référentiel uniformément accéléré ?

Je connais "rectiligne" à un sens qui ne dépend pas du choix de référentiel. Quel est le sens employé dans la question?

[mach3]

Je me permets de reformuler la question de nicophil pour y repondre : est-ce que les geodesiques de genre lumière sont des droites dans la représentation orthonormale de coordonnées dans lesquels les coordonnées spatiales d'un observateur uniformément accéléré ne varient pas en fonction de la coordonnée temps?
Et bien, a priori, ça dépend des coordonnées. Si ce sont celles de Rindler, alors les geodesiques nulles seront des courbes dans la représentation orthonormale de ces coordonnées. Il y a peut-être un système de coordonnées où leurs représentations sont des droites, mais pas sur car pas vérifié.

m@ch3

[Amanuensis]

des courbes dans la représentation orthonormale de ces coordonnées

Qu'est-ce ça signifie, traduit dans de bonnes maths?

[mach3]

Qu'est-ce ça signifie, traduit dans de bonnes maths?

Je dirais que si les points d'une géodésique donnée ont pour coordonnées de Rindler , alors, sauf cas particulier, (sauf si ). Donc si je représente ces points dans un graphe orthonormal des coordonnées de Rindler, ils ne sont pas sur une droite.

Au contraire, dans les coordonnées de Lorentz , , les points seront alignés sur une droite dans le graphe orthonormal de ces coordonnées.

Ca demande encore du développement à mon avis, notamment via l'équation des géodésiques, mais pas le temps...

m@ch3

[Amanuensis]

les points seront alignés sur une droite dans le graphe orthonormal de ces coordonnées.

Est-ce que cela signifie autre chose que dire que l'équation de mouvement (au sens lambda --> M(\lambda)) est affine (de la forme M(0)+ \lambda V) dans le système de coordonnées choisie? (Et où V n'est pas un vecteur du tangent, mais un vecteur de R^4.)

(Je cherche à éliminer "orthonormal", entre autre, qui n'a pas de signification mathématique directement applicable quant appliqué à "graphe". Ainsi que, évidemment, le mot "droite", ambigu dans le contexte.)

[mach3]

Est-ce que cela signifie autre chose que dire que l'équation de mouvement (au sens lambda --> M(\lambda)) est affine (de la forme M(0)+ \lambda V) dans le système de coordonnées choisie? (Et où V n'est pas un vecteur du tangent, mais un vecteur de R^4.)

je ne pense pas que cela signifie autre chose. j'arrive à quelque chose de similaire en tripotant l'équation des géodésiques en disant que et en imposant que dépende de ou non.

(Je cherche à éliminer "orthonormal", entre autre, qui n'a pas de signification mathématique directement applicable quant appliqué à "graphe". Ainsi que, évidemment, le mot "droite", ambigu dans le contexte.)

on peut l'éliminer d'office orthonormal, ce n'est pas nécessaire (je ne sais pas pourquoi j'ai posé ça...). Dans le langage des formes, on exige seulement que les 4 ne changent pas d'un point à l'autre de la représentation. On n'a pas besoin qu'ils soient orthogonaux si d'indices différents (orthogonalité), ni qu'ils soient de mêmes normes (orthonormalité).

m@ch3

[Amanuensis]

Pour résumer:

On a deux définitions de "droite" pour un mouvement (une ligne paramétrée en 4D ; d'où "droite dans l'espace temps"), l'une relative et subjective (relative à un système de coordonnées ; associée à un choix lié à un "observateur"), définie par la dérivée seconde en coordonnées nulle ; l'autre absolue et objective, définie par la dérivée seconde covariante nulle. La seconde définition est celle de géodésique.

Dans le premier cas le mouvement est représenté par une fonction affine dans les coordonnées en question.

Les deux coïncident quand la dérivée en coordonnée et la dérivée covariante coïncident, soit:

- En mécanique classique, quand les coordonnées sont inertielles ;
- Pour l'espace-temps de Minkowski (RR), quand les coordonnées sont inertielles.

Dans ces deux cas un "mouvement représenté par une droite" est un mouvement rectiligne uniforme (MRU).

Et on a une approximation du second cas par le premier, en RG avec des coordonnées localement inertielles (chute libre) en un point (un événement), approximation obtenue par linéarisation des géodésiques en ce point (donc à la fois affines, par construction, et de même dérivée seconde covariante (nulle) au point considéré).

[invite80c87b9b]

Bonjour,

Je pense qu'il fait référence à quelque chose comme ça.

Figure #4 représente bien l'idée, on pourrait mettre la noir comme le sol et au depart une main qui lâche la pomme. Et on peut sûrement améliorer l'axe de haut en bas, pour 1/r^4...on peut peut-être ajouter un axe z avant arrière pour se rendre à l'observateur...

Je sais pas peut-être que sa existe déjà...se serait beaucoup plus près du phénomène. Amha. Ce qui eviterais ceci et autre...

Vous voulez que les géodésiques soient droites pourquoi ?
si on peut observer des choses derrière une masse c'est que les géodésique ne sont pas droites , forcément .

Et rendre ceci plus visuelle:

Les géodésiques sont droites au sens de rectitude.

Merci de votre temps !

Passez une splendide journée. L'hiver est à nos portes !

Cdt

[Matmat]

Dire que les géodésiques sont droites amènera bien plus de confusions que les confusions que vous cherchez à éviter .

La première définition est celle d'une droite , la deuxième celle d'une géodésique . Ce sont deux définition différentes de deux notions différentes .
Je préfère continuer à attribuer un seul terme à chaque définition mais évidemment j'admet qu'une géodésique est droite dans les cas particuliers où les deux définitions coïncident et une géodésique n'est pas droite quand les deux définitions ne coïncident pas .

[Amanuensis]

Dire que les géodésiques sont droites amènera bien plus de confusions que les confusions que vous cherchez à éviter .

Je ne pense pas. La confusion de base consiste à ne pas comprendre que la RG ne parle pas d'espaces euclidiens.

Soit on ne parle pas de droites en RG, i.e., on limite strictement le mot "droites" (en physique) aux espaces euclidiens ; soit le mot "droite" en RG est synonyme de géodésique. (Rappelons qu'en espace euclidien la notion de géodésique existe, et est synonyme de "droite".)

La première définition est celle d'une droite , la deuxième celle d'une géodésique . Ce sont deux définition différentes de deux notions différentes .

Oui et non. À la base c'est la même notion, celle de géodésique. Il est intéressant de comprendre ce qui est fait dans le premier cas.

Un système de coordonnée est une application de R^4 vers l'espace-temps qui ne respecte pas la métrique (sf cas très particuliers, déjà mentionnés), et donc ne respecte pas la notion de géodésique. Appeler "droite" une géodésique de R^4 euclidien ne pose pas de problème.

Le conflit apparaît entre garder l'équivalence entre géodésique et droite pour tout espace (Riemannien et alter), ou utiliser "droite" en "pull-back" via un système de coordonnée, qui ne respecte pas la notion de géodésique: appeler "droite" non pas quelque chose qui un quelconque sens dans l'espace Riemannien, mais un truc "transporté" par une application qui ne respecte pas la notion.

C'est un exemple flagrant de confusion entre la carte et le territoire.

Oublier complètement le premier sens est faire un progrès vers la compréhension des espaces riemanniens, et utiliser "droite" comme synonyme de "géodésique" a deux avantages: 1) Virer le premier concept dans la catégorie "misleading", 2) renforcer l'identité de la nature profonde de géodésique et de celle de droite en euclidien. En particulier pousser à ne pas confondre rectitude et parallélisme.

Mais bon, comme d'hab, le choix est entre essayer de comprendre une théorie physique (et ici surtout certaines mathématiques), et se contenter du "croire comprendre" en utilisant des mots familiers à des sens familiers. Je n'ai jamais aimé le second. Les goûts et le couleurs ne se discutent pas.

[Amanuensis]

La relation forte entre géodésique et rectitude peut se voir dans des expressions comme "aller tout droit". Si un avion va "toujours tout droit" en partant plein ouest de Paris, il arrivera aux Galapagos. C'est incompréhensible pour quelqu'un qui raisonne en termes de droites d'une carte de Mercator.

Le choix est entre privilégier une vision mettant en avant le parallélisme et une vision mettant en avant des idées comme aller tout droit. Ce sont deux aspects des "droites" en euclidien.

Mais en RG la première vision n'a aucun sens profond, la seconde oui.

[Matmat]

soit on dit au gamin sur la plage "prend le chemin le plus court pour chercher un ballon dans la mer" soit on lui dit "prend la ligne droite pour chercher un ballon dans la mer" . Soit on parle de ligne droite soit on parle de chemin le plus court , ce sont deux notions différentes .

De quoi la géodésique est elle la généralisation , de la ligne droite ? ou du chemin le plus court ?

[Amanuensis]

PS: En navigation maritime ou aéronautique le terme de "droite" est essentiellement évité. Le terme de géodésique n'est pas usité. Le terme en usage pour une géodésique est orthodromie, qui s'oppose à loxodromie, une droite sur une carte de Mercator.

L'idéal en RG serait de faire pareil, de ne pas utiliser le mot droite du tout. La difficulté est qu'il n'y a pas l'équivalent d'une carte de Mercator et, surtout, pas l'équivalent du moyen de navigation qui donne un sens non artificiel à une loxodromie, qui est garder un cap constant, une notion fort limitée en géométrie Riemannienne, mais d'application pratique indéniable dans le cas (limité) de la navigation sur une surface (quasi-)sphérique avec deux points opposés privilégiés.

[Amanuensis]

De quoi la géodésique est elle la généralisation , de la ligne droite ? ou du chemin le plus court ?

De "aller tout droit".

(Une géodésique n'est pas nécessairement le chemin le plus court. Et la droite euclidienne se définit parfaitement comme la notion de géodésique appliquée aux cas particulier des espaces euclidiens. La notion profonde est l'équation géodésique, qui encode "aller tout droit".)

[Matmat]

Je ne pense pas. La confusion de base consiste à ne pas comprendre que la RG ne parle pas d'espaces euclidiens.

Soit on ne parle pas de droites en RG, i.e., on limite strictement le mot "droites" (en physique) aux espaces euclidiens ; soit le mot "droite" en RG est synonyme de géodésique. (Rappelons qu'en espace euclidien la notion de géodésique existe, et est synonyme de "droite".)

Je pense que de toute façon il y a plein de termes qui impliquent de replonger l'espace de la RG dans un espace euclidien ( sans que celà amène des confusions )
Par exemple que dois je comprendre si un interlocuteur me parle de tangente , car si j'admet qu'une géodésique est une droite, la tangente de celle ci est elle-même .
Ce serait faire semblant de ne pas comprendre que mon interlocuteur entend dans le terme tangente: une droite d'un espace euclidien dans lequel a été plongé en pensée l'espace non euclidien .

[Amanuensis]

Par exemple que dois je comprendre si un interlocuteur me parle de tangente , car si j'admet qu'une géodésique est une droite, la tangente de celle ci est elle-même .

Ce qui est une interprétation possible.

En Riemannien (et pseudo-), on pourrait définir deux notions de tangentes, l'une liée à l'espace lui-même (affine), c'est la géodésique définie par le point et le vecteur tangent, l'autre liée à l'espace tangent (vectoriel), c'est le sous-espace vectoriel engendré par le vecteur tangent. En euclidien les deux notions se confondent, en conséquence directe de la confusion entre l'espace et ses tangents vectoriels ; confusion au demeurant bien utile pour faire des figures.

(Et les deux notions sont covariantes, indépendantes de tout choix de coordonnées. Ceci dit, ces notions de tangente n'ont pas grande application en riemannien, il me semble: les notions de vecteur tangent ou de direction tangente sont plus claires et plus utiles.)

C'est une fois de plus un cas où des concepts génériques en riemannien sont mal distingués à cause de "simplifications" spécifiques à l'euclidien. Toutes les notions en riemannien s'appliquent sans modification à l'euclidien, qui n'est qu'un cas particulier. Ce n'est pas réciproque à cause de ces "simplifications" permises par les particularités du cas euclidien. Ce qui fait que passer de la géo euclidienne à la géo riemannienne est piégeux, obligeant à du désapprendre. Bien mieux "d'oublier" l'euclidienne et d'apprendre la riemannienne par elle-même.

Si on apprenait les rudiments de la géométrie riemannienne avant le cas particulier de la géométrie euclidienne, ce serait certainement plus clair...

[invite80c87b9b]

Bonjour,

Pour bien comprendre, et que mes connexions neuronale sur la physique soient de meilleures qualitées.

Si une droite dans un espace plat est une droite.
Une géodésique une droite dans une espace courbe.
Une courbe dans une espace plat est une courbe?
Dans une espace courbe c'est une courbe-courbe? Et en ajoutant le temps une temps-courbe-courbe? Une tangente une courbe-tangente? (désolé delire personnel)

J'avais l'impression que la géodésique était la droite la plus courte dans cette espace 4D, le temps propre...je dois confondre des termes sûrement comme toujours... Toutes ces Christofelloises, et notation diverses...

Tous et chacun 'allons tout droit' dans l'espace courbe...C'est la grosseur des ptits carreaux qui change...par construction...non?

Un petit graph qui montre que c'est l'échelle qui change serait un petit pas vers un concept assez très complexe...

Désolé si ma richesse de vocabulaire n'est pas aussi grande que les vôtres, et que j'ai probablement rien compris, je vous admire...

Merci à tous pour votre formidable travail, le mieux que vous pourriez faire pour aider l'univers serait de restez vous même !

Je vous adore

Cdt

[Amanuensis]

Une courbe dans une espace plat est une courbe?

Il y a plusieurs usages distincts du nominatif "courbe". L'un de ces usages correspond à une opposition entre "droite" et "courbe", le terme signifie alors "pas une droite".

J'avais l'impression que la géodésique était la droite la plus courte dans cette espace 4D

Ce n'est pas correcte. Ce qui s'en approche le plus (!!!) est de dire qu'une géodésique de genre temps est localement la droite la plus longue.

Tous et chacun 'allons tout droit' dans l'espace courbe...C'est la grosseur des ptits carreaux qui change...par construction...non?

Nan. "Aller tout droit" dans l'espace-temps = être en chute libre.

Nous, bien posés sur la surface terrestre (directement ou via une chaise ou autre), n'allons pas "tout droit", nous avons un mouvement accéléré (et "accéléré" est une bonne traduction de "courbe" en espace-temps), scalairement accéléré à à peu près 1 g.

[Amanuensis]

Un petit graph qui montre que c'est l'échelle qui change serait un petit pas vers un concept assez très complexe...

Le problème est que "l'échelle qui change" est déjà une interprétation qui déforme la théorie, et éloigne d'une pleine compréhension (en supposant qu'elle soit possible).

[Nicophil]

J'avais l'impression que la géodésique était la droite la plus courte dans cette espace 4D, le temps propre...

La plus longue car la géométrie de l'espace-temps plat n'est pas euclidienne mais pseudo-euclidienne.

Un petit graph qui montre que c'est l'échelle qui change serait un petit pas vers un concept assez très complexe...

Ce n'est pas un changement d'échelle mais une déformation des carrés pseudo-euclidiens : l'espace est dilaté (longitudinalement), le temps est contracté.