Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel

[Deedee81]

Salut,

Les modèles de physique sont il comparables à des algorythmes de compression au sens de Kolmogorov ?

Uniquement d'une manière très restreinte/particulière et en plus imparfaite (because précision toujours limitée des données). Mais en tout cas c'est un leit motiv de la physique : simplifier ce qui est complexe sans rien perdre

Hum.... après réflexion, pas seulement la physique d'ailleurs.

Contradiction dans les termes

Je pense plutôt que c'est un raccourcit de langage..... mais je n'ai pas assez réfléchit à l'ensemble pour juger le raisonnement (manque de temps ).
Les dernières phrases et la question finale me semble malgré tout assez évident.
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[Matmat]

D'accord avec Médiat sur la contradiction dans les termes .

la mécanique newtonienne se met dans un espace muni de la distance euclidienne qui, par définition, respecte le théorème .
Autrement dit , le physicien choisit les mathématiques qui correspondent à ce qu'il observe , et si ça ne correspondait pas , il changerait de mathématiques , c'est tout .
L'observation ne peut pas contredire ou démontrer un théorème , elle peut faire constater qu'une relation triangulaire donnée est exactement celle impliquée par un théorème donné et
donc qu'elle peut continuer à décrire les phénomène en utilisant cette mathématique.
Et quand ce n'est pas le cas , ça n'est pas une réfutation d'un théorème, chaque fois que la physique a constaté qu'une relation triangulaire valable seulement dans l'espace euclidien munie de la distance euclidienne n'est pas respectée , alors elle s'est choisie l'espace non euclidien ou la distance non euclidienne qui corresponde à ce qu'elle observe .

[invite36041331]

Bonjour,

Cela a des implications en informatiques, on a ainsi un programme de réparation de fichier, par la correspondance de Curry Howard.

le théorème d'incomplétude de Gödel qui dit qu'il y a des propositions qui sont indécidables correspond à un programme de réparation de fichiers

source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Corres...e_Curry-Howard

PS : le théorème de Gödel a inspiré plein d'artiste, de philosophe, d'écrivain...

Bonne journée.

[Médiat]

Je pense plutôt que c'est un raccourcit de langage.....

Comment une observation peut-elle générer une preuve mathématique ? Ce serait confondre induction et déduction

+100 avec Matmat

[Deedee81]

Comment une observation peut-elle générer une preuve mathématique ? Ce serait confondre induction et déduction

Ca ne peut pas C'est pour ça que je soupçonne un raccourcit explicatif/abus de langage. Mais je n'ai pas creusé. Bon, je vais le faire

[Deedee81]

Ok fait (ça m'a pris deux minutes, que je suis fainéant parfois ).

Ce qui est fait est en réalité des mathématiques en s'aidant de la physique comme aide au raisonnement ou comme aide calculatoire (comme le truc sympa de calcul du centre de gravité de surfaces minimales en utilisant des films de savon). Et donc au moins les conclusions (que l'ontologie physique vient s'ajouter) et les remarques de Matmat s'appliquent et il me semble inutile de chercher Gödel dans la physique. Ca n'a guère de sens.

[Médiat]

Ce qui est fait est en réalité des mathématiques en s'aidant de la physique comme aide au raisonnement

Sans oublier, alors, qu'une béquille aide à la marche mais interdit de courir.

Je ne suis pas certain (au contraire même) que c'était ce que ThM55 avait en tête, à lui de préciser ...

[Deedee81]

Sans oublier, alors, qu'une béquille aide à la marche mais interdit de courir.

Lorsque j'avais vu les exemples (dans un magazine) avec notamment les films de savon, c'est un peu en substance ce que j'avais pensé

Je ne suis pas certain (au contraire même) que c'était ce que ThM55 avait en tête, à lui de préciser ...

Ah oui, bonne remarque.

[LeMulet]

A mon avis il faut distinguer deux domaines.
Le domaine des mathématiques (et plus généralement du langage), qui se base sur des abstractions parfaitement déterminées, et le domaine de la physique, qui se base sur l'observation des phénomènes réels.

A savoir qu'il tout à fait possible de produire des raisonnements logiques parfaitement valides, mais qui ne trouvent pas de correspondance dans le monde réel.

Néanmoins, et c'est là où à mon sens se situe le débat, il est à mon avis possible de choisir des abstractions suffisamment pertinentes, pour que les opérations logiques que l'on choisi d'effectuer sur celles-ci, rendent compte de ce que l'on choisi d'observer.
Ainsi, la construction de la physique a fini par privilégier des propriétés et grandeurs particulières, qui permettent justement (dans un certain cadre théorique), de fournir des prédictions théoriques fiables (et non certaines, mais c'est pour ça qu'on défini le cadre théorique...).

De plus, et c'est là que ça devient intéressant, les chercheurs comparent les cadres théoriques, et tentent indirectement de comprendre (sans nécessairement s'en rendre compte certes) quelles sont les abstractions (ou catégories) qui peuvent être employées dans plusieurs cadres différents.
Ici par exemple, le théorème d'incomplétude de Goedel, qui découle du cadre mathématique, peut probablement (c'est le débat) s'avérer compatible avec un certain cadre de la physique de l'information.

[Médiat]

Ici par exemple, le théorème d'incomplétude de Goedel, qui découle du cadre mathématique, peut probablement (c'est le débat) s'avérer compatible avec un certain cadre de la physique de l'information.

Le théorème de Gödel concerne des théories mathématiques et ne s'applique à rien d'autre !

NON, le théorème de Gödel est un théorème mathématique qui s'applique aux mathématiques, tout autre usage est soit un abus (au mieux une analogie si assumé en tant que tel), soit un piège à cons


Bien sûr toute science mathématisée voit ses mathématiques impactées

[LeMulet]

Le théorème de Gödel concerne des théories mathématiques et ne s'applique à rien d'autre !

Ou pas.

Leçon n° 5 : penser information plutôt que réalité

Pas une année ne se passe sans qu'une conférence soit organisée sur le thème de l'information quantique. Les publications scientifiques qui traitent de ce sujet paraissent chaque mois, trouvant leur place dans les plus prestigieuses revues. "L'interprétation informationnelle ne cesse de gagner du terrain" , assure Anton Zeilinger, qui, lors d'une conférence sur les fondements de la mécanique quantique en juillet 2011, a recensé que 76 % des physiciens présents jugeaient cette approche légitime pour aborder la quantique.

"C'est une thématique très chaude , confirme Carlo Rovelli, de l'université de Marseille.

La grande conférence de physique de cet été lui sera consacrée. Le prestigieux concours d'essais scientifiques de l'Institut d'étude des questions fondamentales, qui vient de s'achever, avait pour titre 'It from bit, or bit from it ?'" , que l'on peut traduire approximativement par : toute chose provient-elle de l'information ou toute information provient-elle des choses ?


La liste des jalons de cette grande entreprise de reconstruction ne cesse de s'allonger. Tel Einstein qui, en dérivant les équations de Lorentz à partir de principes, écrivit la relativité restreinte, les physiciens spécialistes de l'information quantique reconstruisent pierre après pierre, formule après formule, le corpus découvert dans les années 1920 pour en faire une théorie de principe.

L'information s'impose comme le nouveau langage pour faire de la physique quantique. On ne parle plus d'atomes ni d'électrons, ni même d'infiniment petit… mais de qubits et de communication. Irrésistiblement, le programme réaliste se voit supplanté par un autre, informationnel.


Révolutionnaire, cette mue de la physique quantique reprend en réalité une lointaine discussion entamée au siècle, dans le cadre de la thermodynamique.
Pour relier ces lois de la matière macroscopique que sont la chaleur, l'énergie et la température, décrites par la thermodynamique, aux mouvements microscopiques des molécules, le physicien autrichien Ludwig Boltzmann prônait en effet dès les années 1870 ce même pas de côté épistémologique : travaux statistiques à l'appui, il montrait que la notion d'entropie, centrale en thermo dynamique, pouvait être interprétée comme une mesure du désordre, de la confusion… et donc de la quantité d'information inconnue sur la position et la vitesse de chacune des molécules du système.

Cette science de la vapeur, de la chaleur, de l'industrie, cette science ô combien matérialiste se trouvait sortie du grand programme réaliste !
Et ce n'est pas tout : il en a été de même avec la théorie de la relativité restreinte.
Quelques années seulement après avoir été formulée par Einstein, sa dimension informationnelle a été reconnue - elle peut être vue comme la formalisation des contraintes que notre volonté de discerner les lois de la nature impose à notre regard.

Ce point de vue ne s'est cependant jamais vraiment imposé, et elle est restée l'archétype de la théorie réaliste : la description du contexte spatio-temporel dans lequel s'ébattent les corps matériels…

https://www.science-et-vie.com/archi...-realite-15697

[Médiat]

Et moi j'aime bien la blanquette de veau, à condition de ne pas oublier le jus de citron en fin de cuisson ; je sais, c'est HS mais pas plus que votre post

[Superbenji]

Bonsoir,
Plutôt qu'invoquer le théorème de Gödel, qui en effet ne concerne que les théories mathématiques, pourquoi ne pas simplement parler d'indécidabilité ? Ça me parais plus adéquat.

[ThM55]

On me demande de m'expliquer, mais c'est pourtant clair et pour cela je ne peux que paraphraser ce que j'ai écrit dans mon message à propos de la démonstration du théorème de Pythagore par Mark Levi: ce n'est évidemment pas l'observation directe qui permet la démonstration mais, comme je l'ai expliqué, les axiomes qui sont ajoutés à la géométrie euclidienne pour former la théorie (ou le modèle comme vous préférez) physique et qui permettent de trouver une autre démonstration. Une démonstration qui n'est d'ailleurs pas dans le langage de la géométrie euclidienne dans laquelle il n'y a pas de forces, de couples ni de mouvements accélérés. Ces axiomes sont introduits de force en physique car celle-ci se rapporte à une ontologie et il faut que le modèle aie quelque chose à dire sur cette ontologie (à dessein, je n'emploie pas le mot de "réalité", mais n'entrons pas dans ce sujet; le mot est à prendre dans un sens formel comme ce qui définit une sémantique).

Mais je sais qu'avec les forums et les réseaux sociaux nous sommes entrés dans l'ère du littéralisme absolu et pointilleux, que j'exècre, et que le moindre raccourci de langage est fatal. Alors j'ajoute des guillemets, comme cela tout le monde sera content: (...)l'observation directe d'un phénomène physique permette par un raisonnement de ce type de "démontrer" G(...).

[LeMulet]

Et moi j'aime bien la blanquette de veau, à condition de ne pas oublier le jus de citron en fin de cuisson ; je sais, c'est HS mais pas plus que votre post

C'est quand même étrange que les pontes de la physique se posent la question de la conservation de l'information, et que sur cette base ils découvrent de nouveaux phénomènes.

Ces postulats impliquent que tout état physique est représenté par une fonction d'onde, dont l'évolution dans le temps est gouvernée par l'équation de Schrödinger. Cette équation est déterministe et réversible dans le temps, et permet donc de toujours déterminer de manière univoque les états précédant un état donné.

Ceci implique que l'information doit toujours être préservée, quelles que soient la complexité ou la violence des événements physiques transformant un système, même si l'information se trouve diluée et mélangée de manière indétectable.


Or, la relativité générale stipule que l'horizon d'un trou noir est un point de non-retour absolu, et que toute matière, énergie et donc information absorbée par un trou noir ne pourra jamais en sortir. Cela ne posait pas de problème fondamental jusqu'à ce que Stephen Hawking mette en évidence, en 1975, que les trous noirs s'évaporent et peuvent disparaitre complètement, emportant ainsi irrémédiablement l'information dans leur disparition.

Ce problème est considéré comme fondamental et pouvant remettre en question les théories physiques actuelles, de la même manière que la catastrophe ultraviolette a en son temps remis en question la physique classique^{P 1}.

Ce problème étant au carrefour de la relativité générale et de la mécanique quantique, il ne peut être correctement résolu que dans le cadre d'une théorie de la gravité quantique comme la théorie des cordes.
Celle-ci offre, par le modèle de principe holographique, concrétisé par la correspondance AdS/CFT de Juan Maldacena, une solution à ce paradoxe qui montre que les lois de la mécanique quantique restent valables, et que l'information ne disparait donc pas suite à l'évaporation d'un trou noir.
Cette solution emporte l'adhésion de beaucoup de physiciens, mais le sujet reste controversé dans la mesure où aucune théorie de gravité quantique ne fait l'unanimité et n'est considérée comme pleinement satisfaisante de nos jours, et que le principe holographique reste spéculatif.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Parado...%27information


Vous nous affirmez donc qu'il n'y a pas lieu de s'interroger, et qu'il n'y a aucune controverse sur le statut de l'information en physique ?

Un élément de réflexion :

Cependant, une caractéristique majeure de la théorie de Shannon est de donner à la notion d'information (telle que définie par cette théorie) un statut physique à part entière.

Effectivement, l'information acquiert les caractères fondamentaux de toute réalité physique organisée : abandonnée à elle-même, elle ne peut évoluer que dans le sens de sa désorganisation, c'est-à-dire l'accroissement d'entropie ; de fait, l'information subit, dans ses transformations (codage, transmission, décodage, etc.), l'effet irréversible et croissant de la dégradation. Par conséquent Shannon définit comme entropie d'information la mesure H (K = – K log p). De façon étonnante, l'équation par laquelle Shannon définit l'entropie de l'information coïncide, mais de signe inverse, avec l'équation de Boltzmann-Gibbs définissant l'entropie S en thermodynamique (S = – K log p). Cet épisode important a été abondamment commenté⁴.


Certains, comme Couffignal⁵, ont soutenu que la coïncidence est sans signification : l'application de la fonction de Shannon à la thermodynamique et à l'information serait un hasard de rencontre de l'application d'une même formule mathématique, sans plus. Certes, il peut y avoir rencontre de deux équations de probabilité provenant d'univers différents.


À l'inverse, Brillouin avait prétendu établir une relation logique entre le H de Shannon et le S de Boltzmann, ce que retiennent la plupart des chercheurs qui appliquent la théorie aux disciplines non mathématiques, la biologie en particulier. Selon ce point de vue, il est possible d'inscrire l'information telle que définie par Shannon dans la physique.
En effet, il existe une dualité dans le concept d'information reliant l'information à la matière/énergie véhiculant cette information.

L'information telle que définie par Shannon s'enracine ainsi dans la physique d'une part, dans les mathématiques d'autre part, mais sans qu'on puisse la réduire aux maîtres-concepts de la physique classique : masse et énergie.

Comme le dit Wiener : « l'information n'est ni la masse, ni l'énergie, l'information est l'information », ce qui laisse la porte ouverte à des conceptions diverses, à commencer par celle d'un troisième constituant de l'univers⁶, après la matière et l'énergie précisément !

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...%27information

[Médiat]

Je ne suis pas certain que vous ayez lu le théorème de Gödel (qui est le sujet de ce fil), mais il est évident que vous n'y avez rien compris

Quant à vos méthodes rhétoriques niveau maternelle (m'attribuer des phrases que je n'ai jamais écrites, changer de sujet ...), elles ne trompent personne !

[PlaneteF]

Bonjour,

le théorème d'incomplétude de Gödel qui dit qu'il y a des propositions qui sont indécidables correspond à un programme de réparation de fichiers

source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Corres...e_Curry-Howard

Je trouve cette phrase tirée de Wiki inopportunément imprécise (point que j'ai mis en rouge) et elle peut amener une confusion :

En fait, le 1er théorème d'incomplétude de Gödel donne pour toute théorie éligible un processus de construction d'un seul indécidable. Basta ... Et donc, il ne dit rien sur l'existence de potentiels autres indécidables de cette théorie.

N.B. : Je fais cette remarque parce que je ne compte pas le nombre de fois que j'ai vu sur le Net des personnes ne comprenant pas ce point et pensant que le théorème nous apprendrait qu'il existe des tonnes d'indécidables sournoisement cachés on ne sait où ... Non, il s'agit ici d'un seul indécidable et en plus il est nullement "sournois" ou énigmatique puisqu'il est construit par le théorème lui-même !

Cordialement

[Superbenji]

Bonsoir,
Cette phrase et la suivante de la page wiki m'ont toujours beaucoup intrigué... Quel est le rapport avec un programme de réparation ou un désassembleur ?

[sunyata]

C'est quand même étrange que les pontes de la physique se posent la question de la conservation de l'information, et que sur cette base ils découvrent de nouveaux phénomènes.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Parado...%27information


Vous nous affirmez donc qu'il n'y a pas lieu de s'interroger, et qu'il n'y a aucune controverse sur le statut de l'information en physique ?

Un élément de réflexion :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...%27information

Bonjour,

Il me semble qu'il faut manier le concept polymorphe de l'information avec beaucoup de précaution :

En cosmologie quantique quand on parle de "conservation de l'information" : On veut dire : "Préservation du principe d'unitarité"
on veut dire, que la fonction d'onde, qui correspond à une lois de probabilité soit toujours vérifiée. Si dans une lois de probabilité
l'ensemble univers omega n'est pas conservé (l'espace des phases), on ne peut plus appliquer les lois de la physique quantique.

Par contre l'information thermodynamique elle évolue nécessairement dans le temps, puisque l'entropie est proportionnelle à la quantité d'information manquante à la description du système. Ainsi un système de basse entropie, nécessite mois d'information pour sa description (car plus ordonné, plus compressible au sens de Kolmogorov) qu'un système de proche de sont entropie maximum. (Thermalisé)

Cordialement

[0577]

Bonjour,

En fait, le 1er théorème d'incomplétude de Gödel donne pour toute théorie éligible un processus de construction d'un seul indécidable. Basta ... Et donc, il ne dit rien sur l'existence de potentiels autres indécidables de cette théorie.

Si l'on ajoute comme axiome à une théorie vérifiant les hypothèses du théorème de Gödel un de ses énoncés indécidables, alors la nouvelle théorie vérifie encore les hypothèses du théorème de Gödel.

On en déduit qu'une théorie satisfaisant les hypothèses du théorème de Gödel possède une infinité d'énoncés indécidables.

[PlaneteF]

Si l'on ajoute comme axiome à une théorie vérifiant les hypothèses du théorème de Gödel un de ses énoncés indécidables, alors la nouvelle théorie vérifie encore les hypothèses du théorème de Gödel.

Ce que j'ai mis en rouge gras dans ta citation est bien là le point, et donc l'ensemble de ma remarque précédente s'applique à cette nouvelle (=autre) théorie !

Et donc au finish, pour une théorie éligible donnée ou si tu préfères pour un ensemble d'axiomes donné, le 1er théorème d'incomplétude de Gödel nous parle toujours bien que d'un seul indécidable

Cordialement

[sunyata]

Pour ce qui concerne l'information :

On peut citer 1 autre exemple d'usage différent du concept d'information :

Hawking a calculé l'entropie d'un trou noir. Cette entropie peut évoluer, donc l'information associée n'est pas une grandeur qui se conserve.

Mais pour ce qui concerne la cosmologie quantique des micro-trous noirs, on parle du "paradoxe de l'information", et à son possible effacement ce qui crée un paradoxe car l'information quantique doit être conservée (sous entendu son unitarité).

On a donc bien 2 définitions différentes du concept d'information .

Cordialement

[0577]

Ce que j'ai mis en rouge gras dans ta citation est bien là le point, et donc l'ensemble de ma remarque précédente s'applique à cette nouvelle (=autre) théorie !

Un énoncé indécidable pour cette nouvelle théorie est en particulier indécidable pour la théorie de départ.

[JPL]

Non puisqu’il ne fait pas partie de la théorie de départ.

[0577]

Non puisqu’il ne fait pas partie de la théorie de départ.

Les deux théories en question sont formulées dans le même langage. L'ensemble des énoncés formulables dans un langage donné est indépendant de tout choix de théorie.

[minushabens]

]N.B. : Je fais cette remarque parce que je ne compte pas le nombre de fois que j'ai vu sur le Net des personnes ne comprenant pas ce point et pensant que le théorème nous apprendrait qu'il existe des tonnes d'indécidables sournoisement cachés on ne sait où ... Non, il s'agit ici d'un seul indécidable et en plus il est nullement "sournois" ou énigmatique puisqu'il est construit par le théorème lui-même !

Si je me souviens bien, la construction de Gödel utilise une numérotation des formules quelque peu arbitraire, donc en changeant de schéma de numérotation on doit arriver à une autre proposition indécidable. Mais l'argument de 0577 est imparable.

[JPL]

On ne peut rien dire dans la théorie de départ sur une proposition qu’elle ne contient pas. Dans le système des entiers naturels on ne peut rien dire sur quelque chose qu’elle ne contient pas, sauf si cet élément est justement le postulat indécidable de cette théorie. Mais dans le message auquel j’ai répondu il était question de théories emboîtées en cascade.

[PlaneteF]

Les deux théories en question

Tu vois, tu me confortes une nouvelle fois dans ce que je dis, … je taquines ...

Blague à part, je ne veux même pas rentrer dans ces débats parce que cela est à des années-lumière de ce que mon propos voulait véhiculer.

Je la refais autrement :

Si tu donnes les bons entrants, les bon inputs, au 1er théorème d'incomplétude de Gödel, ce dernier par son "algorithme" produit un seul sortant ou outpout.

A partir de là mon propos est le suivant :

Je peux te dire que pour avoir parcouru divers forums sur le sujet que ce soit sur la sphère francophone ou anglophone, ce que produit réellement ce théorème est totalement incompris part 90%, et je dois être en dessous de la réalité. Que tu construises 1 indécidable ou bien que tu reconfigures ça comme tu veux et tu en reconstruises 154 ou 327, au finish ils sont algorithmiquement construits et parfaitement identifiés. Pas d'indécidables mesquins qui se planqueraient aux quatre coins de la théorie près à faire surface à tout moment pour sonner le glas de l'ensemble des mathématiques (je n'exagère en rien du tout, ce genre d'âneries tu le trouves à tire larigot sur le Net). Tu trouves même ces inepties dans des bouquins qui se vendent très bien !

Et donc, je trouve que la formulation Wiki donnée dans ce fil participe à cette confusion. Là était mon point

Cordialement

[invite36041331]

Salut,

Je pense que JPL et PlaneteF ont raison, en effet imaginons qu'on obtienne comme premier indécidable :



Alors on pourrait très bien récupérer comme indécidable dans AP+(A1) un truc du genre :



Alors (A2) a besoin de (A1) pour avoir un sens, il n'est pas indécidable dans AP seul.

PS : AP=Arithmétique de Peano

Cordialement.

[minushabens]

On ne peut rien dire dans la théorie de départ sur une proposition qu’elle ne contient pas.

0577 a pourtant répondu à cette objection: la proposition indécidable de la nouvelle théorie (étendue par adjonction d'un axiome qui était la proposition indécidable de l'ancienne théorie) est une proposition de l'ancienne théorie (puisqu'elle est exprimée dans le langage de l'ancienne théorie). Et elle est "encore moins" décidable dans cette ancienne théorie puisqu'elle a un axiome en moins.