Deuxième théorème d'incomplétude de Gödel

[pazuzen]

Bonsoir à tous
Je ne désespère pas de trouver un angle de compréhension mutuelle

Après l'autoreferentialité qui, visiblement, n'a pas convaincu les logiciens du forum (et pourtant...), j'aimerais évoquer la notion d'émulation

On dit d'un système formel A qu'il est capable d'emuler un systeme formel B s'il est capable d'énoncer dans son propre langage un résultat de prouvabilité (ou de refutabilité) qui concerne un énoncé q de B quel que soit q
Cet énoncé est trivial si B est inclu dans A bien sûr
Mais, par exemple, il est possible de prouver le theoreme de Fermat dans le cadre de ZFC alors que Fermat est un énoncé qui s'exprime dans Robinson tout en étant un indecidable de Robinson
Ceci ne constitue cependant pas une preuve de Fermat dans Robinson ..,

Bien...
Un systeme S capable de s'auto emuler doit être capable de formaliser en son sein la proposition autoreferentielle suivante que j'ai déjà evoqué sous une autre forme :

P1- je, P1, ne suis pas prouvable dans S (S consistant)

Si P1 est prouvable dans S, S est incorrect car contradictoire
Si P1 est réfutable, on réussit à refuter une proposition valide donc c'est tout aussi intolérable
Seule l'indecidabilité de P1 dans S est une solution à cet énoncé...
Et veuillez noter que l'indecidabilité a pour conséquence directe que cet énoncé est.... Vrai...
Oui, P1 n'est pas prouvable dans S !
Existerait il des assertions vraies mais non decidables ?

Ce qui vous est apparu comme un joke de ma part n'est qu'une transcription simplifiée de la demonstration de Godel...
Les ressources de Robinson suffisent même pour réaliser cette performance d'insérer la proposition telle que je l'ai rédigée (j'attire l'attention sur le fait que, seul ce cadre m'intéresse pour le sujet dont nous parlons)
Mais, il n'est pas demontré que la condition d'être dans Robinson a minima pour formaliser depuis l'axiomatique et là logique de premier ordre de la theorie considerée un tel énoncé soit nécessaire...

L'histoire de la demonstration de Godel demarre ici puisque il parvient à partir de l'axiomatique de l'arithmétique de Robinson et de sa logique de premier ordre à construire une proposition autoreferentielle G qui s'enonce ainsi : "je ne suis pas prouvable dans le systeme"

Ici, la question n'est pas d'ajouter des axiomes et de construire une nouvelle theorie en axiomatisant P1 car la nouvelle theorie rencontrerait à son tour un nouvel énoncé indecidable...
Ici est l'essence du premier theoreme s'il ne fallait retenir que ça...

Un systeme recursivement axiomatisable consistant integrant Peano est definitivement incomplet

D'autre part, il ne s'agit pas de dogmatiser cet énoncé par un axiome en forçant l'indecidabilité à vrai ou à faux en créant une infinité de theories !

Il s'agit de prouver l'assertion de S en la fixant a vrai ou a faux en demontrant l'assertion indecidable initiale par une demonstration issue d'un autre système
Ça, c'est ce qu'il faut retenir du second theoreme
Fermat dans Robinson est prouvé par une demonstration dans ZFC
Gentzen demontre l'arithmétique de Peano au moyen d'une recurrence transfinie dans le cadre de la theorie des ensembles

Et, globalement, tout ce qu'on fait alors c'est de repousser d'un cran le problème car la consistance de ZFC ne sera jamais demontrée dans ZFC

Voila l'enseignement principal du second theoreme

Amicalement
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[pazuzen]

Voici un autre exemple de preuve apportée sur un énoncé de l'arithmétique de Peano depuis un systeme mathematique different ( ZFC) et qui appuie l'idée que des énoncés indecidables mais VRAI existent dans les theories recursivement axiomatisable integrant l'arithmétique de Robinson

Ce point illustre un peu les deux theoremes
Le premier pour lequel aucune theorie complexe recursivement axiomatisable consistante ne peut être complete (assertions indecidables au sein de la theorie)
Le second demontrant que la consistance d'une theorie ne peut être demontrée au sein de la theorie

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Goodstein

[Médiat]

Avant de (re)commencer, le modérateur que je suis vous prévient : si vous déformez encore les propos de vos interlocuteurs, vos messages seront supprimés immédiatement !

Voici un autre exemple de preuve apportée sur un énoncé de l'arithmétique de Peano depuis un systeme mathematique different ( ZFC) et qui appuie l'idée que des énoncés indecidables mais VRAI existent dans les theories recursivement axiomatisable integrant l'arithmétique de Robinson

Est-ce que vous voulez dire que si un énoncé est indécidable dans une théorie, mais démontré dans une autre théorie, alors il est "vrai" dans la première ?

Que veut dire "vrai" dans une théorie ?

[pazuzen]

Les prémisses à l'origine de cette réflexion dans ce fil :

http://forums.futura-sciences.com/#s...&forcenoajax=1

Ce matin, j'ai envie de traiter certains énoncés imprécis, incomplets voire faux que j'ai pu voir rediger sur differents fils à propos des theoremes d'incomplétude

Point 1 - suffit il d'ajouter en axiome les assertions indecidables d'une theorie afin de solutionner la problématique soulevé par le premier theoreme d'incomplétude ?

Rappel - Premier theoreme formulation simplifiée : toute theorie consistante recursivement axiomatisable integrant a minima l'arithmétique de Robinson donc a fortiori l'arithmétique de Peano contient en son sein des propositions indécidables ce en quoi elle ne peut-être complete

Ce théorème dont j'ai proposé une demonstration dans le fil linké met en évidence formellement que, quelle que soit l'axiomatique du systeme S dont la caractéristique est d'être RE et d'intégrer Peano, il existera Toujours des propositions indecidables

J'attire l'attention sur le fait que, pour un mathematicien, un systeme non consistant qui demontre une chose et son contraire n'a aucune valeur et est de facto rejeté
Voilà pourquoi j'ai choisi cette formulation sémantique du theoreme à partir de notre accord tacite à ne parler que des théories consistantes

Revenons à la question
Si nous nous heurtons à un indecidable dans S, ne suffit pas d'axiomatiser comme Vrai cet indecidable pour traiter ce problème d'incompletude ?

NON et pour plusieurs raisons...
La première est la conséquence du théorème lui même
A savoir que nous aurons beau axiomatiser comme VRAI chaque énoncé indécidable que d'autres énoncés indécidables surgiront
On ne peut JAMAIS compléter S même si l'ajout d'axiomes successifs donne à la nouvelle theorie moins d'enoncés indecidables qu'avant cet ajout
Souvenons nous néanmoins qu'il existe une infinité d'indecidables et que, quels que soient le nombre d'axiomes que nous pourrions ajouter, il existera toujours une infinité d'indecidables...

La deuxième raison est, qu'à chaque indecidable, nous sommes face à une fourche dont il est possible d'axiomatiser comme VRAI l'indecidable en créant S1 et dans le même temps d'axiomatiser FAUX l'indecidable en créant S2
On multiplie donc par 2 à chaque indecidable le nombre de theories initiales pour se retrouver rapidement devant une infinité de theories devant nous au choix...
Comment et pourquoi en choisir une plutôt qu'une autre ?

La troisième raison est une corollaire de la seconde
Il n'aura échappé à personne que, non seulement aucune theorie mathematique operationnelle n'est inconsistante et que, dans le même temps, toutes les théories recursivement enumerables limitent le nombre de leurs axiomes au strict minimum
L'idée qui sous-tend cette simplification est que toutes les assertions vraies de la theorie puissent se démontrer au sein de la theorie par la logique de premier ordre et surtout par un minimum d'enoncés non demontrables que sont les axiomes...
Un axiome est présumé VRAI a priori et sans brique élémentaire que lui à partir de laquelle il aurait été objet d'une demonstration au sein de S
On a coutume de dire que l'axiome doit être raisonnable donc evident
Et je dirai que certaines évidences nous "sautent aux yeux" par rapport à notre experience sensible
Le point, la droite, le plan sont des concepts qu'on perçoient evidents naturellement et cela a conduit par exemple à l'axiomatique et â la géométrie d'euclide
Mais d'autres axiomatique plus etonnantes a priori generent des multitudes de connections entre differents objets mathematique
Et il n'a pas été rare que ces objets purement théorique prennent une forme de matérialisation concrete en physique comme la géométrie de Riemann ou encore le calcul tensoriel
La richesse de telles relations peut ne pas apparaître comme évidentes au depart dans l'axiomatique
Pourtant, à un point extérieur à une droite, seuls les axiomes décrétant qu'il ne passe qu'une droite, aucune droite ou une infinité de droites ont généré des geometries riches de relations
Nulle géométrie décrétant qu'il passe 12 droites n'ont été créés...
Bref la limitation du nombre d'axiomes pour la richesse des relations qui en découlent est une obligation de structuration des mathematiques dans une quete de sens

Une infinité d'axiomes dans une infinité de theories ne representant au final qu'une infinité de dogmes autoreferentiels

Bonne journée

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bonjour,

Et c'est reparti pour un tour

[pazuzen]

Est-ce que vous voulez dire que si un énoncé est indécidable dans une théorie, mais démontré dans une autre théorie, alors il est "vrai" dans la première ?

Que veut dire "vrai" dans une théorie ?

Quand Fermat qui concerne une assertion exprimable dans Peano est demontré, cette assertion n'est démontrée qu'en utilisant le cadre mathematique formalisé de ZFC
A ce stade qui est le stade actuel, dire que Fermat est demontré revient simplement à dire qu'une assertion indecidable de Peano est enfin demontrée VRAIE dans Peano que si et seulement si on considère ZFC consistante
Et, de ce point de vue, aucune theorie supérieure à Peano ne peut auto démontrer sa consistance (second theoreme d'incompletude)
Rappelons nous que la consistance de peano est d'ailleurs d'actuellement demontrée que par une demonstration qui utilise une recurrence transfinie de la theorie des ensembles

[JPL]

Discussion fermée pour cause de théorie personnelle doublée d'obstination et de surdité sélective.