Théorèmes d'incomplétude Gödel

[inviteb050e100]

Mes humbles salutations à vous,

Il y a de cela belle lurette, j'ai rencontré au cours de mon enseignement les deux fameux théorèmes de Gödel qui de prime abord, semble inéligibles, mais dès qu'on décide de se pencher dessus, on se rend compte qu'on s'est engagé dans un tortueux sentier. La formulation simpliste du premier théorème est la suivante: Un système axiomatique permettant de faire de l'arithmétique contiendrait inéluctablement des propositions indécidables, qui, même en les considérant comme étant des axiomes, on se heurterait également à la même problématique.

Ma question est la suivante: Quelle est la valeur pragmatique de ce résultat? A-t-il une portée mystique?
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[Médiat]

Bonsoir,

Il y a de cela belle lurette, j'ai rencontré au cours de mon enseignement les deux fameux théorèmes de Gödel qui de prime abord, semble inéligibles, mais dès qu'on décide de se pencher dessus, on se rend compte qu'on s'est engagé dans un tortueux sentier.

Désolé mais je ne comprends pas ce que vous voulez dire

La formulation simpliste du premier théorème est la suivante: Un système axiomatique permettant de faire de l'arithmétique contiendrait inéluctablement des propositions indécidables, qui, même en les considérant comme étant des axiomes, on se heurterait également à la même problématique.

Formulation fausse, il faut impérativement ajouter "logique du premier ordre"et, plus important encore, "récursivement axiomatisable".

Ma question est la suivante: Quelle est la valeur pragmatique de ce résultat?

Il est inutile de chercher une axiomatisation qui soit complète (dans le respect des conditions du théorème).

A-t-il une portée mystique?

Non, ce sont des mathématiques, uniquement des mathématiques(*), toute autre considération est non scientifique, voire d'une imbécilité avérée (comme la justification du créationnisme par exemple).

(*) On peut aussi s'en servir d'analogie, à la condition que cela soit explicite et qu'il ne soit utilisé que comme cela et non comme une démonstration !

[invite6754323456711]

Bonjour,

Non, ce sont des mathématiques, uniquement des mathématiques.
Il est inutile de chercher une axiomatisation qui soit complète (dans le respect des conditions du théorème).

Peut être changer l'ordre des réponses pour mieux comprendre la réponse à la question : "Ma question est la suivante: Quelle est la valeur pragmatique de ce résultat?"

Patrick

[Médiat]

Bonsoir,

Je ne comprends pas votre remarque, mes réponses sont bien à la suite des questions.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6754323456711]

Je ne comprends pas votre remarque, mes réponses sont bien à la suite des questions.

Les réponses sont bien dans l'ordre des questions.

C'est pour cela que j'ai écrit "peut être" (à destination de Dark_hole), car la dernière question "A-t-il une portée mystique?" m'a interpellé.

Patrick

[inviteb050e100]

Désolé, c'était une faute de frappe. Je voulais écrire " intelligible". Et pour ce qui est de la suite, c'était que les énoncés sont faussement faciles à cerner =)

Pour ce qui est du reste, je me rends compte de ma bourde, c'était d'avoir cru que cela se généralisait à toute autre théorie ( notamment en physique). Son cercle se restreint donc à l'arithmétique. Je vais revoir les énoncés dans leur intégralité afin de mieux cerner leur portée, merci pour vos réponses =)

[invite6754323456711]

( notamment en physique).

Je soupçonnais par l'usage du mot pragmatique, que vous pensiez à autre chose que les mathématiques. D’après un physicien intervenant sur FS

Le 6eme probleme de Hilbert consiste essentiellement a axiomatiser la physique de la meme facon que les gens ont cherche a axiomatiser les mathematiques en partant de la logique et de reduire la logique a la theorie des ensembles vers la fin du XVIIIeme siecle.
.

Si cette axiomatisation rentre dans le respect des conditions du théorème, je ne verrais pas non plus pourquoi il ne serait pas applicable.

Patrick

[inviteb050e100]

A dire vrai, c'est ce à quoi aboutit le cheminement de ma réflexion, cependant, l'arithmétique demeure une théorie abstraite, les théories physiques, quant à elles, aspirent à expliquer un phénomène naturel observable. En d'autres termes, en quoi est-il impérieux d'axiomatiser les théories physique via la logique alors que du moment qu'elles expliquent les phénomènes observés, leur finalité est atteinte?

[invite6754323456711]

cependant, l'arithmétique demeure une théorie abstraite, les théories physiques, quant à elles, aspirent à expliquer un phénomène naturel observable. En d'autres termes, en quoi est-il impérieux d'axiomatiser les théories physique via la logique alors que du moment qu'elles expliquent les phénomènes observés, leur finalité est atteinte?

Long débat épistémique qui sort la par contre du cadre des théorèmes d'incomplétude de Gödel.

Les concepts physiques pour accueillir les données brutes a-conceptuelle que nous recueillons, afin de nous construire, nous humain, une interprétation sont tout autant abstrait.

Patrick

[inviteb050e100]

ça a quelque chose à voir avec les limites du langage humain? Y aurait-il une sorte de décohérence inhérente au passage du phénomène observé à sa conception par l'observateur? Je sais que c'est bâclé, ne m'en tenez pas rigueur, je veux juste y voir un peu plus clair.

[ansset]

pardon, mais c'est un peu de la bouillie pour moi.
-théorème de Godel ( pur mathémathique )
-décohérence et relation phénomène observateur ( allusion physique quantique ? )
-limite du langage humain ( question épistémique ? voire même psychanalytique ( Lacan ) ?)

question posée : "y voir plus clair" : pour cela il faudrait que la question initiale le soit d'avantage.
cordialement.

[ansset]

je précise un point ( que médiat me mette au bucher si je dit des âneries
en général, on parle d'axiomes pour les mathématiques et de principes pour la physique.
ja trouve la différence, non seulement utile , mais nécessaire car les concepts inhérents sont différents.

En math l'axiome désigne une vérité première choisie. Un ensemble d' axiomes permet de construire une théorie ou axiomatique. Tout ce qu'on lui demande est d'être non contradictoire ; c'est sa seule contrainte.
Ce qui permet de développer tout champs d'investigation à loisir.( à condition d'être "consistant" , dit vulgairement )

En physique, les principes servent de socle commun à de nombreuses théories physiques.
conservation de l'énergie, moindre action, thermodynamique, exclusion de pauli ....
ils sont sensés avoir une valeur intrinsèque dans notre représentation du monde ( selon nos capacités cognitives évidemment )

[Médiat]

Bonjour,

je précise un point ( que médiat me mette au bucher si je dit des âneries

J'ai bien sorti les allumettes, mais je les ai rangées .

en général, on parle d'axiomes pour les mathématiques et de principes pour la physique.
ja trouve la différence, non seulement utile , mais nécessaire car les concepts inhérents sont différents.

Je n'ai pas autorité pour parler pour la physique et j'ai pu me rendre compte ici que certains étaient réfractaires (sans que je comprenne vraiment pourquoi) au mot axiome, personnellement, je distingue deux activités, une, avant de faire des mathématiques qui met en place des principes (ceux que vous avez cités), et ce vocabulaire me va très bien (surtout dans la mesure où je n'ai pas mon mot à dire), et une activité mathématique qui commence par choisir des axiomes

En math l'axiome désigne une vérité première choisie. Un ensemble d' axiomes permet de construire une théorie ou axiomatique. Tout ce qu'on lui demande est d'être non contradictoire ; c'est sa seule contrainte.

Vite, les allumettes ! Les mots "vérité" et "première" ne sont pas adaptés, comme vous le dite ensuite : "Tout ce qu'on lui demande est d'être non contradictoire ; c'est sa seule contrainte".

Quand on parle d'axiomes, on parle de syntaxe, et jamais la correction de la syntaxe n'a été un critère de vérité (pensez aux géométries non euclidiennes et dites-moi quelle est la vérité sur le nombre de parallèle(s) qui [...]).

Tiens, j'ai deux ombres ; normal, il y a deux soleils (allusion que comprendront les plus vieux)

Je n'aime pas le mot "première" non plus dans la mesure où on peut changer une axiomatique et ce qui est "premier" dans une axiomatique devient théorème dans une autre (et vice-versa) ; je préfère dire que les axiomes forment une famille génératrice (qui n'a aucune raison d'être unique).

Ce qui permet de développer tout champs d'investigation à loisir.( à condition d'être "consistant" , dit vulgairement )

Consistant n'est pas vulgaire, il est anglais, et sont usage en français l'a spécialisé et ne désigne la cohérence (sens anglais) que dans le cadre mathématique (même si il est parfois (très rarement) utilisé comme synonyme de cohérent).

[invite6754323456711]

ça a quelque chose à voir avec les limites du langage humain? Y aurait-il une sorte de décohérence inhérente au passage du phénomène observé à sa conception par l'observateur? Je sais que c'est bâclé, ne m'en tenez pas rigueur, je veux juste y voir un peu plus clair.

Pour ce type de questionnement, il serait peut être plus clair d'ouvrir un autre fil sur ceux que vous cherchez à éclaircir d'un point de vue épistémique. Pour moi par exemple la notion de phénomène est déjà un concept (une structure d’accueil).

“Aujourd’hui comme toujours règne la conviction que la connaissance n’est connaissance que si elle reflète le monde tel qu’il est.”

Patrick

[ansset]

@Médiat :
l'expression "vérité première" pour qualifier l'axiome mathématique vient du wiki français ! ( vous pouvez vérifier )
mea culpa !

[Médiat]

l'expression "vérité première" pour qualifier l'axiome mathématique vient du wiki français ! ( vous pouvez vérifier )

Bonjour,

J'étais déjà tombé dessus et je persiste à trouver cette expression doublement fautive (2 fautes en 2 mots )

[ansset]

présentation dans le wiki anglais :
"In mathematics, the term axiom is used in two related but distinguishable senses: "logical axioms" and "non-logical axioms". Logical axioms are usually statements that are taken to be true within the system of logic they define (e.g., (A and B) implies A), while non-logical axioms (e.g., a + b = b + a) are actually defining properties for the domain of a specific mathematical theory (such as arithmetic)."

[Médiat]

Je n'aurais peut-être pas formulé les choses ainsi, mais au moins il n'y a rien de faux ni rien d'ambigu.

[invitea4732f50]

Ma question est la suivante: Quelle est la valeur pragmatique de ce résultat? A-t-il une portée mystique?

Le théorème a plutôt mis fin à une mystique de l'unification... Au sens où ce théorème a mis un terme au rêve d'une unification de toutes les mathématiques à partir d'un nombre fini d'axiomes. La portéedu théorème dépasse donc certainement le cadre de l'arithmétique.

Une crise du même ordre que celle qui se produisit à une autre époque parmi les Pythagoriciens, lorsqu'il découvrir les irrationnels.

On admet généralement qu'elle est l'œuvre d'un Pythagoricien durant la première moitié duv^e siècle avant J-C5. Cette découverte ouvrit probablement une crise profonde chez les mathématiciens et les philosophes grecs6. Une légende, plusieurs fois rapportée, indique qu'un pythagoricien, parfois nommé Hippase, périt noyé pour avoir révélé aux profanes l'incommensurabilité7. Cette légende indiquerait que la découverte est bien pythagoricienne et qu'elle faisait l'objet d'un tabou8.

Pour le Pythagoriciens

les nombres entiers sont censés représenter la nature tout entière. Cette catégorie de nombre devient une fin en soi, un principe immuable qui a vocation à expliquer toutes choses. Aristote rapporte que Pythagorefait sienne la devise « Toute chose est nombre ». Il indique par cette formule que ce qui importe aux pythagoriciens n’est plus l’expérimentation, mais la théorie des nombres.

Une autre mystique perdure encore aujourd'hui : L'espoir de trouver une théorie de grande unification, pour expliquer l'ensemble des 4 interactions fondamentales .

Cordialement

[inviteb050e100]

J'avoue m'être accordé quelques abus de langage, d'où la confusion apparente de mes répliques. En somme, les théorèmes d'incomplétude ne concernent que l'arithmétique, rien que l'arithmétique, et aucunement d'autres systèmes axiomatiques. Dans la mesure où cela est faux, ça ne peut s'appliquer qu'à d'autres théories mathématiques et ne peut concerner d'autres sciences, telles que la physique. En gros, cela est du à la nuance existant entre axiome et principe, qui, d'ailleurs, je n'arrive pas à distinguer ( Dans le sens où les deux termes me paraissent comme étant les charpentes de leurs domaines respectifs).

[Médiat]

En somme, les théorèmes d'incomplétude ne concernent que l'arithmétique, rien que l'arithmétique, et aucunement d'autres systèmes axiomatiques.

Cela concerne toutes les théories dans lesquelles ont peut formaliser l'arithmétique, ce qui inclut la théorie des ensembles (ZF), mais exclut, par exemple la théorie des ordres denses (par exemple).

[inviteb050e100]

Bonjour,

Je n'arrive pas à saisir le lien entre l'unification des mathématiques et les conséquences des théorèmes de Gödel. Comment a-t-il bien pu mettre fin à l'entreprise d'unifier les mathématiques? Chaque théorie mathématique possède sa propre charpente étayant ses résultats, pourquoi a-t-on voulu les unifier? Pour la physique, j'arrive à concevoir cette volonté d'unifier les 4 interactions fondamentales, c'est comme pour dire que l'immaculée conception ne parle qu'un seul langage. Mais là, il est question d’interactions, et non d'axiomes.

[inviteb050e100]

Je crois que j'y vois un peu plus clair, merci pour vos réponses

[Médiat]

Je ne pense pas que le problème était d'unifier les mathématiques (surtout avec un nombre fini d'axiomes (l'arithmétique de Peano en nécessite déjà une infinité)), mais ce que le premier théorème d'incomplétude de Gödel a montré, c'est qu'il est illusoire de rechercher une axiomatisation qui permettrait de démontrer tous les théorèmes "vrais dans le modèle standard de l'arithmétique".

[invitea4732f50]

Wiki :

Ces théorèmes mettent fin à des siècles de tentatives de proposer un jeu d'axiomes définitif pour situer l'ensemble des mathématiques sur une base axiomatique, à la manière des Principia mathematica de Russell et Whitehead et du formalisme de Hilbert. Ils impliquent aussi qu'il y a des questions mathématiques qui sont valides mais qui ne sont pas démontrables.

Proposer un jeu d'axiomes définitif pour situer l'ensemble des mathématiques sur une base axiomatique : est ce que j'entendais par "Unification".

[Médiat]

Bonjour,

Mais ceci n'est pas remis en cause par le théorème d'incomplétude de Gödel ; d'ailleurs aussi bien ZFC que la théorie des catégorie "prétendent" y arriver. Ce qui est remis en cause (*) c'est ce que l'on peut attendre des mathématiques, qu'elles soient unifiées ou non.

(*) A titre personnel, ce qui est remis en cause ne me gêne vraiment pas.

[Médiat]

Ce qui est remis en cause c'est ce que l'on peut attendre des mathématiques, qu'elles soient unifiées ou non.

Je reformule, afin de ne pas créer de malentendu avec les platoniciens : Ce qui est remis en cause c'est ce que l'on peut attendre de la formalisation des mathématiques, qu'elles soient unifiées ou non.

[invite6754323456711]

Mais là, il est question d’interactions, et non d'axiomes.

Jean-Paul Delahaye semble établir un lien avec la physique : L'incomplétude, le hasard et la physique à partir du théorème de Leonid Levin

Patrick

[invite245dfd04]

Par définition ce sont des énoncés impossibles à démontrer ainsi que leurs négations. Mais cette notion
est toujours relative à un système de démonstrations (ou système formel), et il ne faut pas la
confondre avec celle de problèmes indécidables qui elle, est absolue.
Une fonction est calculable s'il existe une façon finie de la décrire qui permette effectivement d'en
calculer toutes les valeurs.
Lorsqu'on connait un algorithme pour résoudre un problème il est alors naturel de chercher à le généraliser (i.e. être plus tolérant dans les jeux de données
acceptés).
A l'inverse quand on sait qu'un problème est indécidable, on cherche alors à en trouver des sous-problèmes décidables.

[invite6754323456711]

il ne faut pas la confondre avec celle de problèmes indécidables qui elle, est absolue.

Soit, mais c'est quoi un problème posé dans l'absolu sans contexte, ni cadre ?

Patrick