Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel

[0577]

Que tu construises 1 indécidable ou bien que tu reconfigures ça comme tu veux et tu en reconstruises 154 ou 327, au finish ils sont algorithmiquement construits et parfaitement identifiés.

(*)L'ensemble des énoncés indécidables d'une théorie satisfaisant les hypothèses du théorème de Gödel n'est pas récursivement énumérable. En d'autres termes, il n'existe pas d'algorithme listant les énoncés indécidables. En particulier, il n'existe pas d'algorithme permettant de décider si un énoncé est décidable ou non.

Preuve: sinon, la nouvelle théorie obtenue en ajoutant comme axiomes une détermination des énoncés indécidables contredirait le théorème de Gödel.

Pas d'indécidables mesquins qui se planqueraient aux quatre coins de la théorie près à faire surface

Si j'écris "au hasard" une équation diophantienne assez compliquée, il est tout à fait possible que la question de savoir si cette équation admet des solutions ou non soit indécidable pour la théorie de Peano.

Il existe une infinité dénombrable d'équations diophantiennes. Pour une infinité d'entre elles, la question de l'existence de solutions est décidable par la théorie de Peano, et pour une autre infinité, la question est indécidable par la théorie de Peano. Il n'existe pas d'algorithme prenant en entrée une équation diophantienne et décidant si l'existence de solutions est décidable ou non par la théorie de Peano.

Tu trouves même ces inepties dans des bouquins qui se vendent très bien

Je peux comprendre la volonté de combattre certains excès, mais à condition de minimiser les excès contraires.
-----

[LeMulet]

Il me semble qu'il faut manier le concept polymorphe de l'information avec beaucoup de précaution :

On est bien d'accord.
Mais j'essaie simplement de répondre à la question :

Ce théorême a-t-il des implications en physique ?

Et donc pour préciser mon point de vue :

Sachant qu'on ne va pas pouvoir y répondre par une démonstration rigoureuse, j'essaie simplement de dégrossir le problème.
Maintenant, si quelqu'un sait fournir une démonstration rigoureuse du contraire, qu'il en fasse la démonstration.

A noter également, du moins pour ce que j'en vois, que la question pourrait être en rapport avec la fameuse question de l'étonnante adéquation des mathématiques à la modélisation du réel.
Une présentation de la question : https://vivrespinoza.com/2012/04/24/...e-par-spinoza/

Alors bien sûr, pour celui qui aurait déjà un à priori ou une certitude sur la réponse à cette "étrangeté", il est possible de répondre à la question des incomplétudes de Goedel avec facilité.

Ici, il est certes question des incomplétudes de Goedel, mais étant donné la complexité de la question, je pense qu'il peut être intéressant de voir s'il n'existe pas d'autres théorèmes mathématiques, plus simples ou plus appropriés (savoir pourquoi permettrait éventuellement d'avancer par comparaison sur la question particulière des incomplétudes de Goedel), qui ont permis, soit des avancées prédictives en physique, soit qui se sont avérés être également (lorsque "physicalisé") des principes physiques qu'il n'est pas nécessaire de constamment requestionner dans un cadre donné.

Peut être le théorème de Noether (encore des oeufs )

Théorème de Noether mathématique :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...C3%A9matiques)

Théorème de Noether physique :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...her_(physique)

[Médiat]

Bonsoir,

0577 a parfaitement raison, une théorie éligible possède une infinité d'indécidables, s'il n'y en avait qu'un nombre fini, il suffirait de décider ces indécidables pour que la théorie soit complète, ce que justement le théorème d'incomplétude interdit.

De plus, b-a-ba de la logique, l'ensemble des formules que l'on peut écrire dans le cadre d'une théorie ne dépend que du langage de cette théorie et non des axiomes, ajouter un axiome n'ajoute aucune formule !

[PlaneteF]

En d'autres termes, il n'existe pas d'algorithme listant les énoncés indécidables. En particulier, il n'existe pas d'algorithme permettant de décider si un énoncé est décidable ou non.
(…)
Il n'existe pas d'algorithme prenant en entrée une équation diophantienne et décidant si l'existence de solutions est décidable ou non par la théorie de Peano.

J'avais bien pris soin dans un message précédent de mettre "algorithme" entre guillemets, mais de toute évidence j'aurais dû faire de même pour "algorithmiquement"... Ainsi, je te propose de remplacer "algorithme" par "processus", "process", "procédure", "pas-à-pas", "recette de cuisine", "instructions", "guide", "mode d'emploi", ... etc … et "algorithmiquement" par "via process", "via procédure", "via pas-à-pas", "via recette de cuisine", "via instructions", "via guide", "via mode d'emploi", … tous ces termes étant à prendre dans leur acceptation classique de la vie courante.

A partir de là, je ne fais pas autre chose que de rappeler "ce que le théorème dit" vs "ce que le théorème ne dit pas", … on encore "ce que certains font dire du théorème" vs "ce que ce théorème ne dit toujours pas".

N.B. : Ca sent le dialogue de sourd cette histoire, mais je le prend pour moi-même, je dois mal m'exprimer


Cordialement

[LeMulet]

De plus, b-a-ba de la logique, l'ensemble des formules que l'on peut écrire dans le cadre d'une théorie ne dépend que du langage de cette théorie et non des axiomes, ajouter un axiome n'ajoute aucune formule !

D'après vous, le concept de prédicat pourrait-il avoir un rapport avec la possibilité de considérer qu'un système logique qui serait suffisamment en adéquation avec un analogue physique, puisse fournir des prédictions physiques (qui n'existaient pas dans un cadre pourtant maitrisé, avant de faire appel au théorème mathématique appliqué au réel) ?

En logique mathématique, un prédicat d'un langage est une propriété des objets du domaine considéré (l'univers du discours) exprimée dans le langage en question.

Plus généralement cette propriété peut porter non seulement sur des objets (on peut préciser prédicat d'arité 1, à une place, monadique ou bien encore unaire^1,2), mais aussi sur des couples d'objets (on parle alors de prédicat binaire, ou d'arité 2, ou à deux places, ou encore de relation binaire), des triplets d'objets (prédicat ou relation ternaire ou d'arité 3 etc.), etc. Un prédicat d'arité n s'interprète par une fonction à n argument sur l'univers du discours, et à valeurs dans les valeurs de vérité, faux et vrai (0 et 1) en logique classique.

Un langage du calcul des prédicats peut comporter des symboles primitifs pour représenter certains prédicats. Par exemple le prédicat binaire, ou relation, d'égalité, noté « = », est toujours interprété sur le domaine considéré (nombres entiers, etc.), par l'identité. Sur les nombres entiers naturels et dans de nombreux autres domaines le prédicat binaire « ≤ » représente l'ordre. Sur l'univers d'une théorie des ensembles comme la théorie ZFC, la relation d'appartenance notée « ∈ » est un symbole primitif. Un prédicat peut avoir pour arguments des objets de types, ou sortes, différents. Par exemple en géométrie axiomatique, comme pour le plan projectif (structure d'incidence), le prédicat « être incident à » est défini entre les points et les droites du plan ou de l'espace considéré. L'arité est alors plus complexe qu'un simple nombre.
Le langage du calcul des prédicats permet de définir de nouveaux prédicats, à l'aide de formules logiques, en particulier les formules ouvertes (comportant des variables libres). Ces définitions ne font pas partie explicitement du langage du calcul des prédicats du premier ordre.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%...%C3%A9matique)


"Comme si" la nature était régie (en partie, ne soyons pas trop présomptueux) par les lois physiques inventées par l'expérience et la pensée logique et que les lois naturelles se comportent bel et bien selon le même schéma que son "avatar abstrait".
Comme si les objets physicomathématiques (vecteurs quaternions etc) avaient été bien choisies, au point que la copie réelle se comporte "comme les objets mathématiques" (du moins pour ce qui concerne les propriétés inhérentes à un cadre théorique donné).

https://fr.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%...%C3%A9matique)

[Médiat]

D'après vous, le concept de prédicat pourrait-il avoir un rapport avec la possibilité de considérer qu'un système logique qui serait suffisamment en adéquation avec un analogue physique, puisse fournir des prédictions physiques (qui n'existaient pas dans un cadre pourtant maitrisé, avant de faire appel au théorème mathématique appliqué au réel) ?

Les mathématiques ne prédisent rien en physique, ce sont les physiciens qui le font, quelque soient leurs outils

[0577]

Ainsi, je te propose de remplacer "algorithme" par "processus", "process", "procédure", "pas-à-pas", "recette de cuisine", "instructions", "guide", "mode d'emploi", ... etc … et "algorithmiquement" par "via process", "via procédure", "via pas-à-pas", "via recette de cuisine", "via instructions", "via guide", "via mode d'emploi", … tous ces termes étant à prendre dans leur acceptation classique de la vie courante.

A partir de là, je ne fais pas autre chose que de rappeler "ce que le théorème dit" vs "ce que le théorème ne dit pas", … on encore "ce que certains font dire du théorème" vs "ce que ce théorème ne dit toujours pas".

Le but de mes messages était simplement de tempérer l'idée qu'il y a "peu" d'énoncés indécidables.

Il n'y a pas de contradiction entre:

1) il existe une recette produisant un énoncé indécidable.

2) il n'existe pas de recette listant tous les énoncés indécidables.

Et en fait, 2) est une conséquence de 1). Lorsqu'on parle du premier théorème d'incomplétude, on a tendance à formuler 1). Mais il me semble que 2) est nettement plus frappant.

[LeMulet]

Les mathématiques ne prédisent rien en physique, ce sont les physiciens qui le font, quelque soient leurs outils

Je ne vois pas en quoi cette distinction de moyen contredit la question de la faisabilité théorique.
(La théorie physique peut-elle être étendue par les apports des mathématiques.)

Un peu de lecture pour nuancer les certitudes :

POUR UNE ÉTUDE DES FORMES DE LA MATHÉMATISATION
Sophie Roux
Université de Grenoble / Institut Universitaire de France

https://halshs.archives-ouvertes.fr/...13050/document

[PlaneteF]

Le but de mes messages était simplement de tempérer l'idée qu'il y a "peu" d'énoncés indécidables.

Ah ben voilà, ton but est finalement révélé,... donc maintenant je peux voir où tu veux en venir

Il n'y a pas de contradiction entre:

Ben ouais

[LeMulet]

Le théorème de Gödel concerne des théories mathématiques et ne s'applique à rien d'autre !

Finalement, après recherche, il s'avère que cette affirmation est erronée.

Et donc la réponse à la question de Sunyata concernant la possible implication du théorème de Goedel dans le domaine de la physique est : Oui, ce théorème a des conséquences théoriques en physique.

La réponse, sans appel, est dans la revue Nature :

A logical paradox at the heart of mathematics and computer science turns out to have implications for the real world, making a basic question about matter fundamentally unanswerable.


In 1931, Austrian-born mathematician Kurt Gödel shook the academic world when he announced that some statements are ‘undecidable’, meaning that it is impossible to prove them either true or false.

Three researchers have now found that the same principle makes it impossible to calculate an important property of a material — the gaps between the lowest energy levels of its electrons — from an idealized model of its atoms.




The result also raises the possibility that a related problem in particle physics — which has a US$1-million prize attached to it — could be similarly unsolvable, says Toby Cubitt, a quantum-information theorist at University College London and one of the authors of the study.


The finding, published on 9 December in Nature¹, and in a longer, 140-page version on the arXiv preprint server², is “genuinely shocking, and probably a big surprise for almost everybody working on condensed-matter theory”, says Christian Gogolin, a quantum information theorist at the Institute of Photonic Sciences in Barcelona, Spain.

https://www.nature.com/news/paradox-...erable-1.18983

[Médiat]

Finalement, après recherche, il s'avère que cette affirmation est erronée.

Et donc la réponse à la question de Sunyata concernant la possible implication du théorème de Goedel dans le domaine de la physique est : Oui, ce théorème a des conséquences théoriques en physique.

La réponse, sans appel, est dans la revue Nature :

Décidément vous ne comprenez rien, je ne vais pas perdre encore du temps, vous n'avez qu'à relire (ne serait-ce que votre citation, la réponse que vous n'avez pas vu y est, brillante comme un phare), même si j'ai peur que ce soit inutile

[LeMulet]

Décidément vous ne comprenez rien, je ne vais pas perdre encore du temps, vous n'avez qu'à relire (ne serait-ce que votre citation, la réponse que vous n'avez pas vu y est, brillante comme un phare), même si j'ai peur que ce soit inutile

Ou c'est vous qui ne comprenez rien...

[ThM55]

C'est très intéressant mais à mon avis il s'agit là d'un résultat essentiellement mathématique car on est dans une situation de modélisation très particulière. Ces modèles à 2 dimensions sont des modèles mathématiques qui ont été utilisés en physique statistique justement parce qu'ils sont "mathematically tractables". Il s'agit d'idéalisations pour des problèmes qui seraient infiniment trop compliqués si on devait les résoudre en tenant compte de toutes les caractéristiques physiques du système. Pour certains d'entre eux on connait même des solutions analytiques, parfois très complexes (le plus connu est le modèle d'Ising à 2 dimensions). Ou bien on peut les analyser par d'autres méthodes (champ moyen, groupe de renormalisation, ...). Aucun de ces modèles ne représente fidèlement un vrai système physique, il s'agit d'une méthode qui essaie de concentrer dans un type de modèle mathématique des caractéristiques qu'il semble raisonnable de supposer pour modéliser la situation physique. Ils ont d'ailleurs une propriété étonnante: ils sont souvent polymorphes, par exemple le modèle d'Ising peut être mis en correspondance avec un ferromagnétique, mais il peut aussi modéliser certains aspects de la condensation d'un gaz. Ils montrent que le problème du gap de l'état fondamental est indécidable dans un type donné de modèles, mais...

La question est: dans quelle mesure ce résultat d'indécidabilité concerne-t-il justement ce type de modèle mathématique ou une théorie physique plus proche de la phénoménologie (comme la théorie de Yang-Mills)? Cela reste à déterminer.

Voici la référence de l'article sur Arxiv: https://arxiv.org/abs/1502.04573

[LeMulet]

C'est très intéressant mais à mon avis il s'agit là d'un résultat essentiellement mathématique

Oui, la physique s'appuie sur les mathématiques.
Vous remarquerez d'ailleurs que l'article a été publié dans la section "Quantum Physics" et non pas dans la section "Mathematics".

Si des chercheurs ont cru bon de "perdre leur temps" sur cette question, c'est qu'ils savent que leur démonstration est vraie.
Çà répond donc parfaitement à la question de Sunyata.
(Savoir si c'est le fin mot de l'histoire, c'est une autre affaire, qui ne concerne par spécifiquement ce cas de figure...)

[pm42]

Pour résumer, Mediat a raison comme d'habitude mais LeMulet va balancer le résultat de ses recherches sur le Net pour expliquer qu'il a raison en dépit de toute bonne foi comme d'habitude.

C'est quasiment axiomatique si on se place d'un point de vue mathématique et vérifié à la 15ème décimale au moins si on se place d'un point de vue physique.

Si j'applique Gödel, on peut aussi dire qu'il existe des propositions fausses mais aucune preuve de cela n'est acceptable dans le système du Mulet dès lors qu'il a supposé vaguement un jour qu'il avait dit qu'elles auraient pu être vraies.

[Médiat]

La question est: dans quelle mesure ce résultat d'indécidabilité concerne-t-il justement ce type de modèle mathématique ou une théorie physique plus proche de la phénoménologie (comme la théorie de Yang-Mills)?

Encore une fois, le théorème d'incomplétude concerne certaines théories mathématiques (pas toutes comme semble le croire certains) et rien d'autre, l'article que vous citez ne parle même pas de Gödel (sauf dans la biblio) et clairement parle d'indécidabilité dans le cadre mathématique, ce qui me va très bien.

2 petits points supplémentaires :

1) Il n'est pas nécessaire d'invoquer Gödel pour parler d'indécidabilité
2) Parler d'indécidabilité dans un modèle mathématique est très maladroit (je me doute que vous entendiez cela dans le sens de modèle (au sens physique) mathématisé d'un problème physique) car, justement, il n'y a pas d'indécidable dans les modèles mathématiques

[ThM55]

Je suis d'accord, cela n'a rien à voir avec l'énoncé de Gödel. Je vous propose mes réflexions personnelles sur cet article, qui ne sont certes pas celles d'un spécialiste.

Ils considèrent une famille de modèles quantiques avec des sites dans un réseau à 2 dimensions, un espace d'états et un hamiltonien sur chaque site, le hamiltonien étant supposé avoir un spectre discret borné inférieurement, non dégénéré, ainsi qu'un terme d'interaction entre plus proches voisins. Pour un nombre fini des sites on montre que l'état fondamental et le suivant sont séparés d'un écart d'énergie non nul. La question est de savoir si ce gap garde une valeur positive à la limite d'un nombre infini de sites. C'est une question d'un grand intérêt physique pour les modèles de physique des particules notamment et il y a un prix d'un million de dollars pour qui le résoudra dans le cas des théories de Yang-Mills (quantiques) à 4 dimensions d'espace-temps. La considération d'un réseau discret est un procédé de discrétisation qui est appliqué aussi en théorie quantique des champs pour atteindre des résultats non perturbatifs de ce genre.

J'essaie encore de comprendre la portée de cet article, il me faudra plus de temps. Si j'ai bien compris après une rapide lecture, ce qu'ils montrent, me semble-t-il, est qu'il n'existe pas d'algorithme général qui puisse s'appliquer à tous les modèles de la classe qu'ils considèrent pour prouver que chaque modèle possède ou non un gap. La méthode (que je n'ai pas étudiée en première lecture) est de montrer l'équivalence avec le problème de l'arrêt. C'est surprenant mais pas tellement en fin de compte car il semblerait tout aussi étonnant de disposer d'une méthode générale permettant de résoudre un problème si difficile dans tous les cas de figure. En effet ils ne semblent pas imposer de contrainte aux degrés de libertés ni aux symétries, qui sont si importantes pour résoudre les cas particuliers.

Il existe des exemples (en tout cas j'en connais pour 1 dimension, celui du rotor quantique) qui possèdent un spectre qui est clairement "gapless" car leurs degrés de liberté autorisent des excitations d'énergie arbitrairement petite. A contrario le modèle d'Ising à une dimension possède un gap. Je ne sais pas si on a la preuve pour 2 dimensions. Dans chaque cas on utilise en effet des méthodes ad hoc, donc pour moi, la signification exacte de cet article n'est pas encore tout à fait claire. Est-ce le problème lui-même qui est indécidable ou bien la méthode qu'ils ont choisie qui n'a pas la portée voulue? Je ne sais pas.

Un sujet très intéressant et qui me donne envie de me replonger dans ces problèmes de modèles de physique statistique! (j'y nageais il y a 35 ans).

[shub22]

La grosse difficulté d’un parallèle ontologique total et universel comme Spinoza l’affirme dans l’Ethique entre le réel et les idées via les mathématiques (forme fixe et immuable donc intemporelle selon Platon qui est probablement celle à laquelle Spinoza fait référence ) est précisément cette question du théorème de Gödel et de l’indécidabilité.
S’il existe des énoncés indécidables et si le parallèle est absolu entre les 2 mondes, alors il doit y avoir des formes indécidables dans la Nature: ce qui est un peu choquant comme énoncé sur le plan scientifique versus l’empirisme.
Mais pas tant que ça si on se réfère à la physique quantique finalement… donc la dualité matière/énergie et la probabilité de présence sauverait en quelque sorte l’idée d’un parallèle ontologique parfait, total et universel entre matière et esprit défendu lequel est défendu par Spinoza.

Mais c’est juste une hypothèse. Et sauver ou confirmer une théorie aussi belle soit-elle comme celle de l’Ethique par une autre hypothèse mais qui concerne cette fois les sciences physiques est ardu et compliqué à tenir pour une simple raison: la dynamique des sciences fait qu’on n’a juste à notre disposition qu’un instantané du savoir. Le savoir est «*vrai*» ou valide (peu importe le terme) à un moment et une époque t donné, mais on n’est pas du tout sûr qu’une découverte en astrophysique ou ailleurs ne va pas bouleverser complètement tout ce qu’on croyait jusqu’ici.

[Médiat]

S’il existe des énoncés indécidables et si le parallèle est absolu entre les 2 mondes, alors il doit y avoir des formes indécidables dans la Nature

Ceci est Faux, 5 mn de théorie des modèles et vous devriez comprendre ; pour parler d'indécidabilité et de Gödel, je suppose que vous connaissez bien la logique mathématique et suffisamment de théorie des modèles, vous ne parleriez pas de quelque chose que vous ne connaissez pas, n'est-ce pas ?

2- Le nom de Gödel tu n'invoqueras pas en vain.

[Deedee81]

Salut,

2- Le nom de Gödel tu n'invoqueras pas en vain.

Soyons clair et net, j'estime que sur les 79 messages, la majorité a invoqué le Gödel en vain. Jusqu'ici il me semble que cette discussion est (pour l'essentiel) une énorme acte d'onanisme muscidé.

Mais je laisse d'autres modos donner leur avis (ou fermer).

[Médiat]

Salut,

J'ai un pari à te proposer : ceux qui se sont ridiculisé ici, en ne respectant pas le b-a-ba de la logique, continueront d'asséner leurs erreurs comme autant de paroles d'évangile.

[Deedee81]

Je ne vais certainement pas tenir ce pari

Et il me semble que ce qui pouvait être dit sur les conséquences du théorème de Gödel a été dit. Et vu les dérives, les abus d'usage du théorème, les incompréhensions etc.... il vaut mieux fermer.

Si quelqu'un avait une bonne raison (j'ai bien dit "bonne", donc utile, juste et scientifique) de réouvrir, qu'il me fasse signe par MP.

Merci,