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Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel



  1. #1
    sunyata

    Question Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel


    ------

    Bonjour,

    Le théorême de Gödel a-t-il des conséquences/implications dans d'autres
    domaines universitaires que celui des mathématiques.

    Ce théorême a-t-il été démontré d'une autre manière, par un autre cheminement que celui employé
    par Gödel ?

    Ce théorême a-t-il des implications en physique ? Ou dans d'autres domaines ?

    Cordialement

    -----
    Dernière modification par sunyata ; 28/11/2019 à 22h37.

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  3. #2
    invite73192618

    Re : Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel

    Citation Envoyé par sunyata Voir le message
    Le théorême de Gödel a-t-il des conséquences/implications dans d'autres domaines universitaires que celui des mathématiques.
    Oui, en informatique théorique (mais on peut facilement considérer que ce sont des mathématiques)

    Citation Envoyé par sunyata
    Ce théorême a-t-il été démontré d'une autre manière, par un autre cheminement que celui employé par Gödel ?
    Oui, par Turing avec l'argument de la diagonale.

    Citation Envoyé par sunyata
    Ce théorême a-t-il des implications en physique ? Ou dans d'autres domaines ?
    Possible, et il y a eu des tentatives en ce sens, mais à ma connaissance aucune convaincante.

    Ps: parler du théorême, au singulier, peut facilement être compris comme un signe que la personne n'a pas lu sur le sujet.

  4. #3
    minushabens

    Re : Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel

    J'avais lu quand j'étais en thèse le livre de Smullyan sur le sujet. Il me semble qu'il expose deux approches différentes, celle de Gödel et celle de Tarski, donc deux preuves différentes, mais quand-même assez similaires, et notamment fondées sur l'idée de Gödel d'attribuer un nombre à chaque formule. Je ne sais pas s'il existe une preuve complètement différente.

  5. #4
    pm42

    Re : Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel

    Si vous avez envie de vous amuser :

    https://forums.futura-sciences.com/m...ompletude.html

    On peut aussi en faire une théorie du complot : 2 fils sur le même sujet à si peu de temps d'intervalle par 2 auteurs connus pour leur "créativité scientifique" ? Coincidence ? Je ne crois pas

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Médiat

    Re : Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel

    Citation Envoyé par sunyata Voir le message
    Le théorême de Gödel a-t-il des conséquences/implications dans d'autres
    domaines universitaires que celui des mathématiques.
    NON, le théorème de Gödel est un théorème mathématique qui s'applique aux mathématiques, tout autre usage est soit un abus (au mieux une analogie si assumé en tant que tel), soit un piège à cons


    Bien sûr toute science mathématisée voit ses mathématiques impactées
    Dernière modification par Médiat ; 29/11/2019 à 15h28.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  8. #6
    minushabens

    Re : Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    NON, le théorème de Gödel est un théorème mathématique qui s'applique aux mathématiques, tout autre usage est soit un abus (au mieux une analogie si assumé en tant que tel), soit un piège à cons
    je ne comprends pas cette position. Pourquoi est-ce qu'un résultat mathématique n'aurait pas d'implications dans d'autres sciences? Le théorème de Stokes a beaucoup d'importance en physique, pour prendre juste un exemple.

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  10. #7
    Médiat

    Re : Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel

    Citation Envoyé par minushabens Voir le message
    Le théorème de Stokes a beaucoup d'importance en physique, pour prendre juste un exemple.
    Je pourrais arguer que le théorème de Stokes à de l'importance sur la mathématisation d'un problème, pas sur le problème.

    Mais surtout, je vous rappelle que le premier théorème d'incomplétude est un théorème qui s'applique à des théories mathématiques pas aux objets de ces théories
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  11. #8
    pm42

    Re : Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel

    Citation Envoyé par minushabens Voir le message
    je ne comprends pas cette position. Pourquoi est-ce qu'un résultat mathématique n'aurait pas d'implications dans d'autres sciences? Le théorème de Stokes a beaucoup d'importance en physique, pour prendre juste un exemple.
    [EDIT] Croisement avec Médiat.

  12. #9
    minushabens

    Re : Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Je pourrais arguer que le théorème de Stokes à de l'importance sur la mathématisation d'un problème, pas sur le problème.
    bah si, il a des implications sur le problème lui-même. Sans ce théorème on ne comprendrait pas l'électromagnétisme de la même façon. J'ai l'impression que tu pinailles un peu là...

  13. #10
    Médiat

    Re : Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel

    Non, je ne pinaille pas et en parlant de '"notre compréhension" vous me donnez raison.

    Et il y a le deuxième argument, encore plus fort.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  14. #11
    minushabens

    Re : Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel

    Peut-être qu'on ne donne pas le même sens au mot "la physique". Je parle de la science. Pour moi cette science (corpus de connaissances et de pratiques) est directement influencée par la mathématique en général (et le théorème de stokes en particulier). Si on comprend "la physique" comme le comportement des objets matériels, alors évidemment ce comportement n'a rien à voir avec nos théories: les planètes avancent sur leur orbite en ignorant superbement Kepler et Newton. Est-ce là notre point de divergence?

  15. #12
    Médiat

    Re : Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel

    Le théorème de Gödel parle de théories mathématiques, si un phénomène physique est décrit par une théorie mathématique, alors cette théorie sera éventuellement ((si elle coche toutes les conditions) soumise au théorème des Gödel (cf. mon premier message), mais il n'impactera pas l'écoulement des fluides, bien sûr, ni aucun des résultats obtenus mathématiquement dans cette théorie ; peut-être qu'un jour il faudra ajouter un axiome pour décrire un nouveau phénomène, mais même si la théorie mathématique n'est pas soumise à Gödel, ce cas peut se présenter


    La physique ne se résume pas à ses mathématiques, m'a-t-on dit ; si vous veniez avec une théorie du tout qui physiquement soit acceptée par tous, que vous la mathématisiez à l'aide d'une théorie mathématique incomplète (pour cause de Gödel ou non), alors votre mathématisation serait incorrecte (sous réserve que d'un point de vue physique votre théorie soit correcte, ce qui risque d'être difficile à montrer sans mathématique, mais je fais confiance aux physiciens), mais ne remettrait pas en question vos idées physiques.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  17. #13
    sunyata

    Re : Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Le théorème de Gödel parle de théories mathématiques, si un phénomène physique est décrit par une théorie mathématique, alors cette théorie sera éventuellement ((si elle coche toutes les conditions) soumise au théorème des Gödel (cf. mon premier message), mais il n'impactera pas l'écoulement des fluides, bien sûr, ni aucun des résultats obtenus mathématiquement dans cette théorie ; peut-être qu'un jour il faudra ajouter un axiome pour décrire un nouveau phénomène, mais même si la théorie mathématique n'est pas soumise à Gödel, ce cas peut se présenter

    La physique ne se résume pas à ses mathématiques, m'a-t-on dit ; si vous veniez avec une théorie du tout qui physiquement soit acceptée par tous, que vous la mathématisiez à l'aide d'une théorie mathématique incomplète (pour cause de Gödel ou non), alors votre mathématisation serait incorrecte (sous réserve que d'un point de vue physique votre théorie soit correcte, ce qui risque d'être difficile à montrer sans mathématique, mais je fais confiance aux physiciens), mais ne remettrait pas en question vos idées physiques.
    Bonjour Médiat,

    Tu réponds tout à fait à mes questionnement au sujet de la TGU des physiciens et du projet qu'on pourrait lui assigner :

    1 - Avoir la bonne théorie
    2- Connaître les conditions initiales.
    3 -On suppose qu'on dispose de la puissance de calcul...

    Pouvoir prédire l'avenir de l'univers.

    Alors en tant que telle, puisque cette théorie de physique est censée prédire des faits, qui résultent de calculs.

    Est-il abusif d'affirmer que cette théorie expérimentalement jugée valide sera néanmoins impactée si soumise à Gödel ?

    Il me semble qu'il va exister des faits que la théorie ne pourra pas prédire. Au même titre qu'il peut exister au sein d'un telle théorie des énoncés indécidables. Non ?

    Cordialement
    Dernière modification par sunyata ; 29/11/2019 à 17h48.

  18. #14
    sunyata

    Re : Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel

    Je corrige ma phrase :

    Il me semble qu'il peut exister des faits (vérités expérimentales) que la théorie ne pourra pas prédire. Au même titre qu'il peut exister au sein d'une telle théorie des énoncés indécidables. Non ?
    Dernière modification par sunyata ; 29/11/2019 à 19h02.

  19. #15
    JPL
    Responsable des forums

    Re : Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel

    Si oui c’est au mieux une vague analogie mais rien de tout cela ne concerne Gödel.
    Rien ne sert de penser, il faut réfléchir avant - Pierre Dac

  20. #16
    invite73192618

    Re : Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Le théorème de Gödel parle de théories mathématiques, si un phénomène physique est décrit par une théorie mathématique, alors cette théorie sera éventuellement ((si elle coche toutes les conditions) soumise au théorème des Gödel (cf. mon premier message), mais il n'impactera pas l'écoulement des fluides, bien sûr, ni aucun des résultats obtenus mathématiquement dans cette théorie ; peut-être qu'un jour il faudra ajouter un axiome pour décrire un nouveau phénomène, mais même si la théorie mathématique n'est pas soumise à Gödel, ce cas peut se présenter
    Interprétation personnelle/reformulation: si on constatait que mesurer telle ou telle propriété physique est équivalent à résoudre un problème de l'arrêt, TG aurait un impact sur les mathématisations possibles de cette propriété, mais aucun impact sur la propriété physique elle-même.

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    si vous veniez avec une théorie du tout qui physiquement soit acceptée par tous, que vous la mathématisiez à l'aide d'une théorie mathématique incomplète (pour cause de Gödel ou non), alors votre mathématisation serait incorrecte
    ...mais éventuellement correcte FAPP.
    Dernière modification par Jiav ; 29/11/2019 à 19h48.

  21. #17
    sunyata

    Re : Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel

    Citation Envoyé par JPL Voir le message
    Si oui c’est au mieux une vague analogie mais rien de tout cela ne concerne Gödel.
    Clairement vous avez tout à fait le droit de penser ce que vous pensez.
    Dernière modification par sunyata ; 29/11/2019 à 20h25.

  22. #18
    jiherve

    Re : Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel

    Bonsoir,
    Gödel est applicable en psy : peut on dire je ne suis pas fou ?
    pas taper !!
    JR
    l'électronique c'est pas du vaudou!

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  24. #19
    JPL
    Responsable des forums

    Re : Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel

    Citation Envoyé par sunyata Voir le message
    Clairement vous avez tout à fait le droit de penser ce que vous pensez.
    J’en suis ravi mais ce n’était pas une affirmation en l’air de ma part.
    Rien ne sert de penser, il faut réfléchir avant - Pierre Dac

  25. #20
    Médiat

    Re : Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel

    Citation Envoyé par Jiav Voir le message
    ...mais éventuellement correcte FAPP.
    Absolument, et cela confirme le non impact de l'incomplétude, je disais incorrecte car une théorie incomplète ne peut répondre à toutes les questions, par définition.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  26. #21
    Médiat

    Re : Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel

    Bonjour sunyata
    Citation Envoyé par sunyata Voir le message
    Tu réponds tout à fait à mes questionnement au sujet de la TGU des physiciens et du projet qu'on pourrait lui assigner :
    C'est première fois que l'on me dit cela à propos de physique

    Sur le fond, je pense avoir répondu dans mon premier message
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  27. #22
    ThM55

    Re : Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel

    Bonjour. Je suis d'accord avec Médiat, quoique... juste une petite réflexion spéculative en passant. En 1900, David Hilbert présentait une série de questions de mathématiques qu'il jugeait importantes et qu'il proposait comme sujets à résoudre au XXème siècle. Parmi eux, le sixième problème demandait d'axiomatiser la physique sur le modèle de l'axiomatisation des mathématiques. Voici la traduction en français trouvée sur Wikipédia:

    6. Traitement mathématique des axiomes en physique. Les investigations sur les fondements de la géométrie suggèrent le problème : Traiter de la même manière, au moyen d'axiomes, les sciences physiques dans lesquelles les mathématiques jouent déjà aujourd'hui un rôle important ; au premier rang figurent la théorie des probabilités et la mécanique.
    Il est amusant de constater que Hilbert range les probabilités parmi les sciences physiques. Je crois que pour les probabilités l'axiomatisation est connue (Kolmogorov). Personne ne s'inquiète des énoncés de Gödel en théorie des probabilités, que je sache. On a aussi une axiomatisation satisfaisante de certaines branches, je pense par exemple à la thermodynamique axiomatisée par Carathéodory. Mais la thermodynamique est une théorie incomplète: l'axiomatisation pose par exemple l'existence d'une fonction d'état appelée entropie avec des propriétés bien précises mais ne dit pas comment la calculer concrètement pour un système chimique donné. On peut donc considérer comme satisfaisante une axiomatisation volontairement incomplète si on admet que la théorie a un domaine de validité limité.

    A l'époque de Hilbert, la physique était considérée comme quasi terminée, à part quelques "détails" techniques à régler comme la thermodynamique du rayonnement. C'est du moins ce que Planck s'était entendu dire par ses conseillers quand il avait commencé sa thèse. On pouvait encore rêver d'une axiomatisation. Je pense qu'un siècle après on est très loin de cette idée, personne n'espère une solution du sixième problème avant longtemps.

    Toutefois, si durant ce siècle on parvient à élucider les fondements d'une "théorie du tout", le problème de Hilbert pourrait redevenir d'actualité. La théorie axiomatique aura alors des énoncés indécidables de Gödel. Dans ce cas, je crois que Médiat a raison, mais je crois aussi qu'il y a quelques questions intéressantes dans ce sujet: si l'axiomatisation implique un énoncé de Gödel indécidable et si cet énoncé a un contenu physique observable, on doit évidemment considérer que cette axiomatisation est ratée ou incomplète. Cela ne veut pas dire que le sixième problème de Hilbert soit insoluble à mon avis car on pourrait imaginer une preuve métamathématique d'après laquelle les énoncés indécidables ne concernent pas des phénomènes vérifiables expérimentalement, ou encore comme dans le cas de la thermodynamique qu'ils concernent des phénomènes hors du domaine de validité de la théorie (ce ne serait donc plus une "theorie du tout" au sens strict).
    Dernière modification par ThM55 ; 01/12/2019 à 11h09. Motif: Concordance des temps

  28. #23
    ThM55

    Re : Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel

    Pure spéculation de ma part, sans doute pas très intéressante.

    Mais la question de Hilbert reste intéressante pour certaines branches de la physique. Dans l'exemple de la thermodynamique de Carathéodory, l'exercice est intéressant car il délimite clairement le domaine de validité de la théorie et donc ce qui doit être assigné comme tâche à la physique statistique. A ma connaissance, il n'y a pas d'axiomatisation de cette dernière (mais je ne connais pas tout). La physique statistique démontre aisément les axiomes de la thermodynamique comme on le sait, mais ses propres fondements sont plus difficiles à formuler.

    La méthode de Carathéodory a été utilisée par Chandrasekhar dans les années 1930 dans son traité de physique stellaire pour en déduire la structure des étoiles.

  29. #24
    sunyata

    Re : Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel

    A ce sujet je me pose la question suivante :
    Peut-on considérer une théorie de physique, comme un objet mathématique en considérant toute expérience comme un théorême, c'est à dire un énoncé vrai ? La théorie, munie de ses conditions initiale, et de l'ensemble de ses théorêmes va permettre de définir son espace des phases, l'ensemble de définition de la théorie en quelque sorte ?
    Il me semble que cela n'est possible que si notre univers est déterministe au sens de Laplace.
    Dernière modification par sunyata ; 02/12/2019 à 01h50.

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  31. #25
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel

    Salut,

    Citation Envoyé par sunyata Voir le message
    A ce sujet je me pose la question suivante :
    Peut-on considérer une théorie de physique, comme un objet mathématique en considérant toute expérience comme un théorême, c'est à dire un énoncé vrai ? La théorie, munie de ses conditions initiale, et de l'ensemble de ses théorêmes va permettre de définir son espace des phases, l'ensemble de définition de la théorie en quelque sorte ?
    Pour la pure théorie, oui, mais évidemment si on n'a que la théorie, ce n'est plus de la physique.

    Citation Envoyé par sunyata Voir le message
    Il me semble que cela n'est possible que si notre univers est déterministe au sens de Laplace.
    Même pas. Tu veux tuer Kolmogorov une deuxième fois ?

    Notons que cela ne change rien du point de vue Gödel, qui ne s'applique pas à un objet isolé mais à un langage mathématique donné (par exemple, Peano + ZFC). Et la théorie ne préjuge pas des axiomes mathématiques (seulement des axiomes de la théorie qui sont posé en sus).
    Keep it simple stupid

  32. #26
    LeMulet

    Re : Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel

    Un article intéressant qui traite de la question :
    Citation Envoyé par Jean Paul Delahaye (Pour La Science)
    Le logicien Leonid Levin a démontré un résultat qui renforce le théorème d'incomplétude de Gödel ; il en tire la conclusion qu'aucun procédé physique ne peut contourner le fameux résultat de 1930.
    https://www.pourlascience.fr/sd/logi...sique-3481.php
    Bonjour, et Merci.

  33. #27
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel

    Citation Envoyé par LeMulet Voir le message
    Un article intéressant qui traite de la question :
    Je l'ai lu et c'est intéressant. Notons que c'est "dans l'autre sens" par rapport à ce que j'indiquais et ça me paraît assez intuitif (et ça va un peu dans le sens de la thèse de Church).
    Keep it simple stupid

  34. #28
    sunyata

    Re : Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Salut,
    Pour la pure théorie, oui, mais évidemment si on n'a que
    Même pas. Tu veux tuer Kolmogorov une deuxième fois ?
    Les modèles de physique sont il comparables à des algorythmes de compression au sens de Kolmogorov ?

  35. #29
    ThM55

    Re : Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel

    Bonjour. Encore une petite réflexion qui débouche sur une question. Dans son amusant livre "The mathematical mechanic", l'auteur Mark Levi montre comment des observations physiques permettent de démontrer des résultats de math. Par exemple, pour le théorème de Pythagore, il considère un aquarium qui a la forme d'un prisme droit dont la base est un triangle rectangle de côtés a, b et d'hypothénuse c, de hauteur h. Il est posé sur une surface sans frottements et on le remplit d'eau. L'eau exerce une pression sur les parois dont la résultante est proportionnelle au côté et à la hauteur. Il calcule ensuite la somme des moments des résultantes de ces forces de pression par rapport à un des angles aigus. La distance respective de chaque point d'application à l'angle aigu est a/2, b/2, c/2. Donc le couple total est proportionnel à h(a^2/2+b^2/2-c^2/2).

    Or on sait que l'aquarium initialement immobile ne se met pas à tourner. Comment le sait-on? De deux manières: d'abord l'observation directe avec une ou plusieurs expériences dans lesquelles on a pris soin d'éliminer toute perturbation parasite. Mais aussi à cause du principe de conservation de l'énergie, qui est une conséquence de la seconde loi de Newton, donc le résultat d'une série d'expériences sans rapport direct avec celle de l'aquarium. Si l'aquarium se mettait à tourner, on aurait une machine à mouvement perpétuel contraire à ce principe.

    Puisque l'accélération angulaire est nulle, par la première loi de Newton, le couple total est nul et l'expression ci-dessus implique le théorème de Pythagore!

    Rien d'extraordinaire si on regarde de près: on a simplement utilisé un système d'axiomes différent de ceux d'Euclide (ou qui s'y ajoute sans s'y substituer) et qui permet de démontrer autrement ce théorème.

    Mais imaginons une théorie mathématique élaborée T dont on connaît un énoncé de Gödel G. Supposons que l'observation directe d'un phénomène physique permette par un raisonnement de ce type de démontrer G. Il me semble qu'on serait dans une situation similaire: on aurait forcément introduit des axiome supplémentaires puisque la théorie physique se rapporte à une ontologie qui n'existe pas dans T. De même que dans l'exemple de l'aquarium il y a une ontologie: des objets mécaniques dans l'espace physique et obéissant aux lois de Newton. Cette ontologie n'appartient pas à la géométrie euclidienne et elle réclame ses propres axiomes qui viennent en supplément à T. Il n'y aurait donc là probablement rien de paradoxal du point de vue de la logique. Qu'en pensez-vous?

  36. #30
    Médiat

    Re : Conséquences, implications du théorême d'incomplétude de Gödel

    Bonjour

    Citation Envoyé par ThM55 Voir le message
    Supposons que l'observation directe d'un phénomène physique permette par un raisonnement de ce type de démontrer G.
    Contradiction dans les termes
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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