Est-ce que toutes les connaissances mathématiques sont des connaissances formelles ?

[sebastien2023]

Bonjour à tous,

« La logique est avant tout la discipline qui traite de l’inférence correcte. Traditionnellement formelle, c’est-à-dire détachée du contenu matériel des énoncés qu’elle examine, elle s’est récemment formalisée, c’est-à-dire dotée d’un symbolisme artificiel calqué sur celui de la mathématique ».
Louis Vax, Logique, Presses Universitaires de France, 1982.

Donc une connaissance appartenant à la logique est une connaissance formelle et formalisée et vraie.

Est-ce que toutes les connaissances mathématiques sont des connaissances formelles ?

"Bien que les résultats mathématiques soient des vérités purement formelles, ils trouvent des applications dans les autres sciences et dans différents domaines de la technique. C'est ainsi qu'Eugene Wigner déclare que la « déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences de la nature est une chose presque mystérieuse »"
Mathématique, Encyclopédie Wikipédia.

Merci.

Bien à vous.

Seb
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[albanxiii]

Bonjour,

La rubrique "Discussions scientifiques" est plus adaptée pour ce genre de question, j'ai déplacé votre message.

[gg0]

Bonsoir.

La logique est à la fois une discipline formelle, mais aussi une étude de ce qui est admis par tous comme "raisonnement correct", même si certaines règles choquent les débutants. C'est aussi une étude assez systématique de raisonnements pas nécessairement accepté.
Par contre, il faut se méfier de ce qui est dit dans Wikipédia, et que tu recopies. Tout dépend du sens que l'on donne à "résultats mathématiques". Dans le cadre pur des "mathématiques pures", ce qu'on fait est purement abstrait, on peut le qualifier de "formel", mais même dans ce cadre, les mathématiciens ne raisonnent pas toujours formellement et s'appuient sur une intuition (abstraite, mais intuition quand même), pour arriver à des preuves, et les présenter aux autres mathématiciens.
Quant au fait que les maths puissent s'appliquer, ce n'est que la conséquence du phénomène d'abstraction, de purification, qui a créé progressivement les maths. On n'y conserve que ce qui est universellement accepté, indépendant du support. De 3 pommes et 3 pommes donne 6 pommes et 3l de lait auxquels on ajoute 3 litres de lait donne 6 litres de lait, on ne conserve que 3+3=6. Même si 3 l d'alcool à 90 auxquels on ajoute 3 litres d'eau ne donne pas tout à fait 6 litres; on se contente dans ce cas de dire que lorsqu'on met de l'alcool dans l'eau on perd du volume. On a préféré conserver la relation 3+3 = 6 et modifier la règle localement.

Cordialement.

[pm42]

On peut ajouter qu'on sait qu'une perception des nombres existe chez certains animaux et même des insectes.
Donc il y a un en effet un fondement non formel à une partie des maths.

Elles ne sont d'ailleurs pas nées ex nihilo mais pour répondre à des besoins réels : contrats, cadastre puis ingénierie.

Maintenant les maths contemporaines sont effectivement définies de façons purement formelles et on pense forcément à Bourbaki.

[A voir en vidéo sur Futura]

[sebastien2023]

Bonjour

Merci pour vos réponses.

En logique, formel signifie "détaché du contenu matériel des énoncés / formules" ( et non pas des symboles ).
En mathématique, formel signifie "détaché du contenu matériel des variables" ( et non pas des énoncés ).
Est-ce que je me trompe ?

Merci.

Bien à vous.
Seb

[oualos]

Il y a un aspect historique indéniable dans ce processus que vous décrivez autour de l'abstraction et le formel. Il est souligné par Braudel.
Il a passé sa vie à étudier la Méditerranée et a sorti une sorte d'encyclopédie en plein de volumes qui retrace l'histoire de la Méditerranée sous beaucoup d'aspects, en particulier celui des sciences et tout particulièrement de leur naissance. Avec toutes les conquêtes, guerres et invasions. Comme notamment le siège de Venise par les Ottomans...
L'Italie était morcelée en petits royaumes qui était composée de villes-États comme dit Braudel: chacun avait sa propre monnaie et ses propres unités de mesure. Or les marchands sont nomades: ils achètent à tel endroit puis vendent dans tel autre, voisin ou pas.
Ensuite ils vont dans une autre ville qui a une autre monnaie et d'autres unités de mesure etc. Et ça recommence...
Or pour le commerce du fait de cette hétérogénéité, il leur fallait faire et pratiquer des règles de trois constamment pour acheter et vendre. Et ils sont devenus très forts, tellement que Braudel estime que c'est de cette pratique qu'est née la Renaissance.
Et qui explique que la perspective est née en Italie, conséquence assez directe de la règle de trois. Puis suivi par Galilée et d'autres. Et ça s'est répandu après dans toute l'Europe.
D'ailleurs au passage pour les musiciens, on remarquera que le piano est né et a été fabriqué la première fois en Italie aussi, de façon contemporaine à Bach.

[pm42]

C'est une blague ? Ils sont devenus très forts pour faire des règles de trois ?
Et 2000 ans avant les grecs faisaient quoi ? Et le commerce en Mésopotamie et ailleurs, ça se faisait comment ?

Encore un message sur le thème de "je ne connais rien au sujet mais je vais étaler ma vague culture comme de la confiture pour parler de complètement autre chose".

[ordage]

De 3 pommes et 3 pommes donne 6 pommes et 3l de lait auxquels on ajoute 3 litres de lait donne 6 litres de lait, on ne conserve que 3+3=6. Même si 3 l d'alcool à 90 auxquels on ajoute 3 litres d'eau ne donne pas tout à fait 6 litres; on se contente dans ce cas de dire que lorsqu'on met de l'alcool dans l'eau on perd du volume. On a préféré conserver la relation 3+3 = 6 et modifier la règle localement.

Cordialement.

Bonjour
"La véritable pensée scientifique est métaphysiquement inductive: elle lit le complexe dans le simple, elle dit la loi à propos du fait, la règle à propos de l'exemple" Bachelard, le nouvel esprit scientifique.
Cordialement

[ThM55]

Je suppose (et Bourbaki le confirme dans son premier volume) qu'en partant d'un système formel de la théorie des ensembles, par exemple avec l'univers de Von Neumann, on pourrait réécrire toutes les mathématiques de manière complètement formelle. Russel et Whitehead avaient essayé pendant 10 ans et on raconte qu'il arrivaient à démontrer que 1+1=2 à la page 360 de leur traité. Ceci explique pourquoi personne ne prend la peine de le faire.

Au contraire, les mathématiques sont pour la plupart des mathématiciens une pratique intuitive et d'imagination. Par exemple, si je dois démontrer que la sphère est une variété différentiable qui a un atlas composé de deux cartes, je ne vais pas retourner à la définition d'une variété et la vérifier systématiquement point par point de manière formelle. Je sais que je pourrais le faire, car je vois dans mon imagination comment construire les deux cartes (deux projections stéréographiques par deux pôles), et je sais que c'est le point essentiel à montrer. Je n'ai pas besoin de démontrer que les cartes recouvrent la sphère, c'est évident dans la figure que j'imagine avec mon cerveau et je n'ai pas besoin de démontrer formellement que la fonction de transition est différentiable car je "sens" qu'il s'agit de fonctions trigonométriques bien connues déjà étudiées par ailleurs et qui ne présentent manifestement pas de singularités sur les domaines considérés.

On procède souvent comme cela en maths de manière progressive avec des abstractions de plus en plus élaborées et le secret des mathématiques est la capacité d'intégrer les résultats intermédiaires pour nourrir son intuition et l'enrichir de nouveaux faits qu'on ne pouvait absolument pas soupçonner au départ mais qu'on peut utiliser dans la suite.

Les mathématiques formelles sont à mon avis un outil permettant de se rassurer plus ou moins: on sait qu'il y a une sorte de port d'attache dans la logique, même si on n'y jette jamais l'ancre (sauf les logiciens, évidemment).

[sebastien2023]

Bonjour

Merci.

Est-ce que l'un d'entre vous peut me dire si je me suis trompé quand j'ai écrit que
1/ la logique est formelle dans le sens où ses énoncés / formules sont détaché(e)s de leur contenu matériel ?
2/ la mathématique est formelle dans le sens où ses variables sont détachées de leur contenu matériel ?

Merci.

Bonne journée.
Seb

[ThM55]

Bonjour

Merci.

Est-ce que l'un d'entre vous peut me dire si je me suis trompé quand j'ai écrit que
1/ la logique est formelle dans le sens où ses énoncés / formules sont détaché(e)s de leur contenu matériel ?
2/ la mathématique est formelle dans le sens où ses variables sont détachées de leur contenu matériel ?

Merci.

Bonne journée.
Seb

Pour la mathématique, je dirais non. L'exemple de la sphère que j'ai donné dans mon message précédent le montre: cette sphère est une surface d'épaisseur nulle. Cela ne correspond à aucun contenu matériel, puisqu'une vraie sphère matérielle a toujours une épaisseur. Donc c'est détaché du contenu matériel, mais ce n'est pas formel pour autant. Au contraire j'ai expliqué que la pratique mathématique est pour une bonne part informelle, même si on met en forme les choses a posteriori pour les rendre moins dépendantes de l'intuition et de l'imagination. Mais on n'utilise peut-être pas les mêmes définitions. J'entends par formel ce qui est écrit dans un système formel, avec des axiomes, des règles de déduction, des théorèmes, des preuves détaillées dans le langage de la logique etc.

[oualos]

C'est une blague ? Ils sont devenus très forts pour faire des règles de trois ?
Et 2000 ans avant les grecs faisaient quoi ? Et le commerce en Mésopotamie et ailleurs, ça se faisait comment ?

Encore un message sur le thème de "je ne connais rien au sujet mais je vais étaler ma vague culture comme de la confiture pour parler de complètement autre chose".

C'est Braudel qui le dit et l'écrit noir sur blanc.
Encore un message sur le thème de "je ne comprends rien au sujet mais je vais intervenir sans réfléchir ni comprendre juste pour enquiquiner les gens qui ne connaissent rien à rien car je suis le seul à savoir qui et ils se permettent et ont le culot de citer des historiens connus et réputés dont j'ignorais l'existence jusqu'à aujourd'hui".

Vous vous fiez à votre premier jugement lequel partant de la même cause ou d'une cause "presque" identique -la Mésopotamie et l'Égypte n'ont pas les mêmes flux de commerce que l'Italie à la Renaissance-, découvre qu'il n'y a pas ou qu'il y a le même effet -j'ai pas compris le sens de votre intervention qu'est-ce que vous voulez prouver ?- car les maths existaient déjà en effet en Mésopotamie et en Égypte.
Braudel s'intéressait uniquement à la Méditerranée et a passé sa vie à l'étudier: et dans mon post il est question des maths et de la Renaissance en Europe via Braudel.

Vous êtes vraiment classe vous , pas à dire! Vous intervenez juste pour mettre votre grain de sel sans restituer le contexte sans voir de quoi et de qui on parle.

Vous vous obstinez à critiquer tout ce qui ne vient pas de vous, c'est une forme d'égocentrisme profond et prononcé.
Avec un sentiment de supériorité profondément ancré apparemment même très

En fait vous n'avez rien à dire

[pm42]

C'est Braudel qui le dit et l'écrit noir sur blanc.

Argument d'autorité. Braudel est intéressant mais ce qu'il a pu écrire et surtout le peu que vous en avez compris n'a aucune pertinence ici.
Il faut vraiment avoir un sacré problème pour s'obstiner à venir sortir des sciences humaines dans le cas présent un historien dans les discussions scientifiques et sur un forum où c'est explicitement hors-charte.

[pm42]

Est-ce que l'un d'entre vous peut me dire si je me suis trompé quand j'ai écrit que
1/ la logique est formelle dans le sens où ses énoncés / formules sont détaché(e)s de leur contenu matériel ?
2/ la mathématique est formelle dans le sens où ses variables sont détachées de leur contenu matériel ?

Je suis d'accord avec ThM55 et ce qu'a dit gg0 plus haut. Les mathématiques ne sont pas faites dans le vide, ne sont pas nées ex-nihilo et ce n'est pas parce qu'on a construit un grand degré d'abstraction qu'on est totalement détaché du contenu matériel.


Déjà "les mathématiques" ou "la logique", cela couvre un domaine très vaste. Certaines sont 100% abstraites d'autres directement en lien avec des problèmes réels.

[agitateur]

Or pour le commerce du fait de cette hétérogénéité, il leur fallait faire et pratiquer des règles de trois constamment pour acheter et vendre. Et ils sont devenus très forts, tellement que Braudel estime .......
Et qui explique que la perspective est née en Italie, conséquence assez directe de la règle de trois.

On prête beaucoup à la Renaissance ( surtout l'italienne en Italie et la française en France ). Les plupart des apports sont sans doute "juste", mais en occultant ce qui se passait ailleurs, qui a peu être importé ou influencé, avec souvent une part trop "belle" pour le prétendu local. C'est peut être mettre en un peu trop avant le discours selon lequel il ne s'est rien passé au moyen âge, et tout d'un coup la renaissance éclaterait tout....

Tu parles de perspectives, on pense donc au dessin en archi et à la peinture.
Brunelleschi a eu son apport, mais lui aussi de cette époque on lui prête beaucoup, peut être un peu trop. Le dôme de la cathédrale Santa Maria del Fiore est une belle réalisation ( sa coupole en particulier ), certains idolâtres de la renaissance italienne lui prêteront le nom d'inventeur du "métier d'ingénieur"
Précédemment et pendant pas loin de 1000 ans, la basilique rouge de Pergame était censée être l'un des plus grand édifice du début de notre ère ( c'est plus petit que le coliséum, mais ce dernier n'avait qu'un toit de bois et de voilures, c'est pas pareil ). Il ne fallait pas être manchot pour concevoir celà, suivre la construction etc....et que les murs soient encore debout 2000 ans plus tard ( c'est de la brique et du mortier, pas des blocs de granit ....). Je la cite car c'est assez méconnu come ouvrage, et hélas désertique en visite ( ou en fait ...tant mieux pour le visiteur ...)
Le Panthéon de Rome, le temple d'Artémis à Ephèse, il ne suffisait pas d'être tailleur de pierre ou maçon....et la notion mathématique devait aller au delà de la règle de 3.

Pour le commerce, la route de la soie n'a pas attendue la renaissance italienne non plus. Pour ce qui était de traverser de multiples zones de multiples "peuples", donc pas mal d'unités, de monnaies, etc.....les bureaux de change en caravansérail devaient avoir du boulot Certes, la densité de royaumes différents était forte en Italie, je veux dire que les royaumes étaient petits, mais il ne faudra pas négliger la somme de changements que subissait une marchandise faisant le trajet Xi'an vers Istanbul ( en gros ).

Entre les Grecs et la renaissance ( dans le repère temporel ) il y a aussi les peuples turciques ( les pays de maintenant en -stan / -an ) et juste au sud de cette ceinture les peuples arables, pendant un paquet de siècles. En math et astronomie par exemple, ça a compté !
Al-Khwârizmî, c'est la période abbasside. Donc bien bien avant cette renaissance. Lui a même repris des algo indiens ( et d'ailleurs ) sous domination abbasside à ce moment là. Et Euclide aussi, qui lui même remontait à 10 siècles en arrière. A ce stade, on a déjà dépassé la règle de 3. Quand je dis "on", je parle du savoir existant quelque part sur terre, je ne parle pas de la connaissance du quidam évidemment. Et cet auteur, c'est un peu la base de l'algèbre ( une des bases ), donc là aussi on dépasse un peu la règle de 3. Il n'a pas tout inventé, il a repris, fait des compilations, et à contribué aussi. Il a "régit" la décimale
Je parlais des indiens, ce n'est pas neutre non plus. Les fonctions sinus et cosinus c'est indien, 1000 ans avant la renaissance. Règle de 3 dépassée ?

PS: je ne suis ni historien ni matheux. L'histoire de ce qui s'est passé entre l'Europe et la "Chine" m'intéresse, et les 2 extrémités aussi. Surtout en sciences et en archi, par exemple.

La progression du savoir scientifique a toujours été assez linéaire à l'échelle du monde, si ça se passait pas à une endroit çà se passait ailleurs un peu plus loin. Mais globalement, dans des zones d'influences larges, avec des échanges, compilant le savoir upt do date venant de partout. Ce qui n'a pas changé jusqu'à ce jour, en somme. Dans un monde fermé en innombrables silos, certains ne manqueraient pas de vouloir ré inventer l'eau tiède qui existerait déjà ailleurs...sans que le silo le sache.

[sunyata]

Est-ce que toutes les connaissances mathématiques sont des connaissances formelles ?

Bonjour

Le premier théorême d'incomplétude de Gödel a prouvé qu'il existait des vérités mathématiques qui ne pouvaient être ni prouvées, ni réfutées...Cela signifie qu'il peut exister des vérités mathématiques hors de portée de la preuve formelle.

Cordialement

[Liet Kynes]

On peut ajouter qu'on sait qu'une perception des nombres existe chez certains animaux et même des insectes.
Donc il y a un en effet un fondement non formel à une partie des maths.

C'est tout un débat en ce moment qui se rapporte aux idées sur le langage et la conscience des animaux.

[sunyata]

Bonjour

Merci pour vos réponses.

En logique, formel signifie "détaché du contenu matériel des énoncés / formules" ( et non pas des symboles ).
En mathématique, formel signifie "détaché du contenu matériel des variables" ( et non pas des énoncés ).
Est-ce que je me trompe ?

Bonjour,

Si on considère ces définitions elles impliquent le processus d'abstraction de formes idéalisées à partir de réalités singulières, puis une capacité d'identification des objets singuliers à
ces formes idéalisées.
Exemple : "La lune et un ballon de foot ont une forme circulaire."
On ne peut commencer à compter des pommes de terre, qu'à partir du moment où on les considère toutes identiques, et appartiennent donc à un même ensemble
qu'on va pouvoir dénombrer.
Mais on discerne ces choses identiques soit dans l'espace, soi dans le temps, car sinon ces choses identiques seraient indiscernables, et ne pourraient-être comptés.
De quoi se mettre la rate au court-bouillon...

Cordialement

[sunyata]

Pour la mathématique, je dirais non. L'exemple de la sphère que j'ai donné dans mon message précédent le montre: cette sphère est une surface d'épaisseur nulle. Cela ne correspond à aucun contenu matériel, puisqu'une vraie sphère matérielle a toujours une épaisseur. Donc c'est détaché du contenu matériel, mais ce n'est pas formel pour autant. Au contraire j'ai expliqué que la pratique mathématique est pour une bonne part informelle, même si on met en forme les choses a posteriori pour les rendre moins dépendantes de l'intuition et de l'imagination. Mais on n'utilise peut-être pas les mêmes définitions. J'entends par formel ce qui est écrit dans un système formel, avec des axiomes, des règles de déduction, des théorèmes, des preuves détaillées dans le langage de la logique etc.

Dans cette optique on peut dire que les progrès mathématiques consistent à faire passer les vérités informelles dans le camps des vérités formelles. Il y a les premiers de cordée qui découvrent des conjectures puis la logique qui essai de les démontrer.

[ThM55]

Dans cette optique on peut dire que les progrès mathématiques consistent à faire passer les vérités informelles dans le camps des vérités formelles. Il y a les premiers de cordée qui découvrent des conjectures puis la logique qui essai de les démontrer.

Ce n'est pas exactement ce que j'ai voulu dire. Voir mon exemple de la sphère qui a un atlas à deux cartes. On néglige simplement de démontrer tout ce qui semble trivial (notion relative qui dépend du niveau de maturité mathématique) et donc on montre seulement les deux projections stéréographiques. Personne ne prend ensuite la peine de formaliser tout cela, tout le monde est d'accord pour dire que ce serait inutile et incroyablement fastidieux. Il faut tout de même que la déduction logique soit apparente et convaincante pour le lecteur, autant que pour l'auteur, donc une mise en forme plus ou moins complète, tenant compte de la maturité mathématique supposée du lecteur, est nécessaire. Cet exemple, la sphère, est peut-être trop élémentaire mais je pense que ce qu'on lit dans tous les articles plus avancés qui sont publiés journellement relève de la même pratique.

[oualos]

Certes, la densité de royaumes différents était forte en Italie, je veux dire que les royaumes étaient petits, mais il ne faudra pas négliger la somme de changements que subissait une marchandise faisant le trajet Xi'an vers Istanbul ( en gros ).

C'est tout à fait vrai et le commerce mais aussi les guerres (je pense aux Romains qui ont amené les égouts dans les villes conquises par eux) est effectivement un moyen de transfert de connaissances prépondérant sans doute (je parle ici comme pm42 c.-à-d. que je ne dis que des banalités que tout le monde sait, mais sans pour autant être méprisant envers les autres ni me prétendre supérieur)
Il n'y a qu'à voir la ou les querelles pour savoir si le chiffre 0 a été inventé par les Arabes, les Persans ou en Inde. De façon collatérale, l'histoire du jeu d'échecs est aussi intéressante car ces trois peuples en revendiquent l'origine: les Persans disent que ce sont eux car chakmati -soit échec et mat en français!s ou checkmate en anglais- veut dire "le roi est mort" en ancien farsi.

Le premier théorême d'incomplétude de Gödel a prouvé qu'il existait des vérités mathématiques qui ne pouvaient être ni prouvées, ni réfutées...Cela signifie qu'il peut exister des vérités mathématiques hors de portée de la preuve formelle.

On peut se demander si certains théorèmes dont on pense et on pressent qu'ils sont vrais -mais dont on n'a toujours pas trouvé la démonstration- appartiennent à cette catégorie que vous citez.
Par exemple les 5 problèmes de Hilbert non encore résolus... Ou encore certains théorèmes de Ramanujan.
Il faut demander l'avis des spécialistes là je crois...

[pm42]

C'est tout à fait vrai et le commerce mais aussi les guerres (je pense aux Romains qui ont amené les égouts dans les villes conquises par eux) est effectivement un moyen de transfert de connaissances prépondérant sans doute

Ou comment encore une fois parler de sciences humaines à coup de banalités en effet dans un fil sur les maths.

De façon collatérale, l'histoire du jeu d'échecs est aussi intéressante car ces trois peuples en revendiquent l'origine: les Persans disent que ce sont eux car chakmati -soit échec et mat en français!s ou checkmate en anglais- veut dire "le roi est mort" en ancien farsi.

Idem, j'étale ma "culture" sans rapport avec le sujet.

Il faut demander l'avis des spécialistes là je crois...

Mais non : il suffit de raconter n'importe quoi sans rien connaitre au sujet et en parlant d'autre chose comme vous le faites tout le temps.

C'est sur que quand on croit que le progrès en maths, c'est la maitrise de la règle de 3 et que ça date de la Renaissance, on n'a aucune chance de dire quoi que ce soit de vaguement pertinent.

[JPL]

(je pense aux Romains qui ont amené les égouts dans les villes conquises par eux)

C’est là que devraient aller un bon nombre de messages de cette discussion !

[oualos]

Une suggestion: peut-être fermer ce fil si ça dérive trop ?
Il suffit que quelqu'un intervienne en dénigrant tout ce qui est écrit systématiquement du haut de son savoir Absolu et de sa connaissance parfaite (!) pour que le fil devienne heu comment dire...
###### supprimé : hors charte.

[sebastien2023]

Bonjour

"formelle, c’est-à-dire détachée du contenu matériel des énoncés qu’elle examine"
"formalisée, c’est-à-dire dotée d’un symbolisme artificiel calqué sur celui de la mathématique"
Louis Vax, Logique, Presses Universitaires de France, 1982.

"Les sciences formelles (ou sciences logico-formelles) explorent déductivement, selon des règles de formation et de démonstration, des systèmes axiomatiques. Les sciences formelles regroupent les mathématiques, la logique et l'informatique théorique."
https://fr.wikipedia.org/wiki/Sciences_formelles

Donc l'encyclopédie wikipédia ne devrait pas utiliser l'expression "sciences formelles" mais l'expression "sciences formalisées".

Bien à vous.
Seb

[pm42]

Il est un peu difficile de comprendre ta question. Tu as eu pas mal de réponses au début du fil avant qu'il ne dérive mais tu n'y a pas réagi.

Pour ce qui est du formalisme des mathématiques notamment, les participants ont insisté sur la dualité : d'un coté, il y a effectivement cette manipulation de symboles abstraits mais le caractère "détaché du contenu matériel" est à nuancer et surtout variable suivant le domaine.

On peut aussi se demander pourquoi utiliser "sciences formalisées" plutôt que "sciences formelles" changerait quelque chose.

[sebastien2023]

Bonjour

Merci.

Il n'y a pas de question dans mon dernier message.

Je regrette que les Académies des sciences n'ont pas jugé important de concevoir un dictionnaire qui donne les définitions universelles des mots qui sont utilisés par tous les chercheurs ou enseignants d'une science.

Conséquence : la définition du mot formel donné par Louis Vax n'est pas compatible avec la définition des sciences formelles donnée par l'encyclopédie wikipédia.

« Aussi, est-ce à juste titre qu’on peut attribuer à Socrate la découverte de ces deux principes : l’induction et la définition générale. Ces deux principes sont le point de départ de la science. »
Aristote

Bien à vous.

Seb

[pm42]

Je regrette que les Académies des sciences n'ont pas jugé important de concevoir un dictionnaire qui donne les définitions universelles des mots qui sont utilisés par tous les chercheurs ou enseignants d'une science.

C'est sans doute parce que les définitions universelles n'existent pas.

Conséquence : la définition du mot formel donné par Louis Vax n'est pas compatible avec la définition des sciences formelles donnée par l'encyclopédie wikipédia.

J'ai du mal à voir pourquoi à part le fait que la phrase de Louis Vax n'est pas très précise.
Il aurait pu dire que la logique a toujours été formelle et que récemment, elle a choisit d'exprimer son formalisme à l'aide de formules mathématiques.

Pour le reste, on va trouver d'un auteur à l'autre des explications ou définitions différentes et encore plus quand on les prend à 40 ans d'intervalle.
C'est toujours comme ça, c'est lié à la structure même du langage et c'est pour ça qu'on fait de la science avec des maths, pas des phrases.

[sebastien2023]

Bonjour

"Les sciences formelles (ou sciences logico-formelles) explorent déductivement, selon des règles de formation et de démonstration, des systèmes axiomatiques. Les sciences formelles regroupent les mathématiques, la logique et l'informatique théorique."
Encyclopédie Wikipédia

« Traditionnellement formelle, c’est-à-dire détachée du contenu matériel des énoncés qu’elle examine, (...) ».
Louis Vax, Logique, Presses Universitaires de France, 1982.

Ce sont deux définitions différentes du mot formel. Cette ambiguïté se trouve également dans cette citation : "On définit un système formel (ou théorie formalisée) en donnant une série de conditions.
La langue formalisée
(...)"
Encyclopédie Universalis.
https://www.universalis.fr/encyclope...ysteme-formel/

Est-ce que les mathématiques sont formelles dans le sens où elles sont détachées du contenu matériel de leurs variables ?
Merci.

Bien à vous.
Seb

[pm42]

Le problème, c'est que tu ne lis pas les réponses. Tu te contentes de répéter tes questions.
Donc

1: les 2 définitions ne sont pas différentes ou disons incompatibles.

Est-ce que les mathématiques sont formelles dans le sens où elles sont détachées du contenu matériel de leurs variables ?

2: tu as eu la réponse à cette question plusieurs fois dans le fil par plusieurs personnes et détaillée, prenant en compte l'histoire des maths et ses différents domaines.