Bonjour à tout le monde,

ma question consiste à trouver l'expression de la fonction de transfert d'un correcteur PD à partir de l'équation différentielle de sa sortie.

Voici l'énoncé globale:

On veut maintenir à la verticale une fusée pendant la phase atmosphérique de sa trajectoire.
Pour ce faire, on fait pivoter la tuyère du moteur principal suivant deux axes. En première approximation, les dynamiques de chacun des deux axes sont à peu près découplées, et l’on peut donc les modéliser séparément. On s’intéresse ici à l’un de ces deux axes d’évolution. La variable de sortie est l’angle d’inclinaison du lanceur et la variable de commande l’angle de braquage de la tuyère dans ce plan. Le temps (mesuré en secondes) est noté . Quand et restent tous les deux proches de , un modèle simplifié du comportement du système est donné par l’équation différentielle :



Voici l'énoncé concernant ma question:

On utilise pour commander le système un régulateur proportionnel-dérivé de la forme :



Où sont 3 constantes, et où est une consigne d’inclinaison. L’objectif de commande est alors d’annuler l’erreur de poursuite :



1/ Déterminer la fonction de transfert du régulateur et la fonction de transfert de la chaîne directe (fonction de transfert de boucle) de cet asservissement. Montrer qu’en prenant , le système asservi peut se mettre sous une forme standard , et dessiner un schéma-bloc du système asservi.

Voici ma démarche:
J'utilise la transformé de Laplace pour passer en domaine fréquentiel le signal :



je sais que: alors

Ou bien après simplification du signe l'expression devient:



Ce qui me dérange ce que j'ai du certainement faire encore des simplifications, retrouver une forme plus simple, mais que je n'arrive pas et c'est ici que je fais appel à vous pour me donner quelques pistes s'il vous plaît.

Merci par avance.