Oui !Envoyé par Médiat
Ce qu'on rajoute c'est un ensemble des formules indécidables (pour T),mais ensuite on "décide" d'une facon non-déductive (intuitive,sémantique, par tirage au sort...) la vérité de ces nouvelles formules: on obtient donc une théorie plus riche T' dont on ne connait pas la base axiomatique et dont on connait tout de meme la cohérence (mais relativement à T).
La notion de cohérence relative existe bien, par exemple, si la théorie axiomatique des ensembles ZF est cohérente, alors ZF + Hypothèse du continu est cohérente, de même d'ailleurs que ZF + non (hypothèse du continu), c'est une des caractéristiques des formules indécidables.
Une méthode peut consister à démontrer : "Si j'ai un modèle de T, alors je peux (de telle ou telle façon) construire un modèle de T U {f}", bien que l'on ait jamais démontré qu'il existait un modèle de T.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Parler de cohérence d'une théorie sans en préciser la logique avec laquelle on l'a juge n'a pas de sens.
La vraie question est, existe t-il plusieurs logiques qui ne sont pas équivalente, ou la seule logique que l'on puisse utiliser est mathématique ?
Pour poser cette question il faudrait commencer par définir ce que tu appelles "une logique", je ne suis pas sur que ca soit clair a tes yeux. Et j'ajoute qu'on ne peut pas vraiment parler de "la" logique mathématique.
Voir le message #13 de ce même fil.
Ceci dit, cela a autant de sens que de dire 1+2=3 sans préciser dans quel ensemble et pour quelle opération et avec quelle égalité, même si chacun sait que 1+2 peut facilement être égal à 0, à 10 ou à beaucoup d'autres choses.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Reprenons de 0.
Imaginons que je veuille construire une théorie par moi-même.
Quelle démarche à suivre pour définir les axiomes ?
Puis ensuite assembler les axiomes ?
Si possible j'aimerais un exemple assez compréhensible, donc si possible pas pour un niveau de scientifique.
merci.
Regarde la section 0) du document joint à ce fil :http://forums.futura-sciences.com/thread232139.html
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
À propos des théories et des axiomes, j'aimerais vous faire part de cette remarque de John D. Darrow tirée de La grande théorie; Champs/Flammarion:
"il est possible que la réalité physique, même si sa finalité est mathématique, n'utilise pas toute l'arithmétique et, de ce fait, puisse être complète."
En espérant ne pas être hors-sujet.
Bien le bonjour!
Non au contraire tu n'ai pas hors-sujet, c'est d'ailleurs une très bonne remarque.
Enfin, ce que j'ai compris : la réalité physique peu être modélisée sous forme de mathématique enfin sont ensemble. Mais que veut dire : "n'utilise pas toute l'arithmétique", y a t il une priorité à la logique ( si A et B = 3 alors C=2 etc ) ? LA finalité est-elle la logique qui peut être mathématisé ?
D'après ce que je comprends à cette discussion (arrêtez-moi si je me trompe!), il serait question, sans trop le dire, des théorèmes de Gödel
"Grossièrement, le premier théorème énonce qu'une théorie suffisante pour faire de l'arithmétique est nécessairement incomplète" (http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A..._de_G%C3%B6del)
Ce que veut dire John D. Darrow c'est que si "la réalité physique n'utilise pas toute l'arithmétique" mais seulement une partie, le théorème d'incomplétude de Gödel ne s'applique alors pas à la réalité physique qui peut donc de ce fait être complète.
Bonsoir mesdames et messieurs!
Tu es en plein dans mon sujet de prédilection : http://forums.futura-sciences.com/thread232139-2.html ; regarde le message N° 22
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonsoir à tous,
Médiat, dis-moi, je suis pratiquement sûr que ton problème est le même .... que le mien (j'ai un problème existentiel)
On nous rebat les oreilles du théorème (mal compris) d'incomplétude de Gödel, crois-tu que nous puissions un jour espérer entendre évoquer le théorème de complétude de ce même cher Kurt Gödel, ........ dont tout le monde semble apparemment ignorer l'existence... (il ne sera peut être pas mieux compris)
Bonne soirée
Salut baguette,
Oh, oui, je ne rate jamais l'occasion de hurler que le théorème de complètude de la logique du premier ordre est beaucoup plus important que le théorème d'incomplétude de l'arithmétique (on voit déjà que le champ d'action n'est pas le même). Je l'ai, entre autres, réaffirmé dans mon document sur l'arithmétique (à popos, j'aimerais avoir ton avisMédiat, dis-moi, je suis pratiquement sûr que ton problème est le même .... que le mien (j'ai un problème existentiel
Je suis Charlie.
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Bonjour
Dans le même ordre d'idée, comment pourrait-on définir la notion de "fondements" dans une discipline. Intuitivement, la réponse "va de soi", mais j'ai commencé à m'interroger quand le prof de philo parlait de "fondements à posteriori" et que le prof de math prétendait que la science se passait des "fondements". Mais, au fait, le mot "fondement" fait-il partie du vocabulaire scientifique?
Il n'y aurait pas un gros gros problème de traduction là ...
C'est quoi une réalité physique complète (ou incomplète) ?
C'est quoi une finalité d'une réalité physique ?
C'est quoi une finalité mathématique ?
C'est un peu ce que je m'étais dit. Peut-être faudrait-il simplement supprimer le mot réalité ou alors le remplacer par description (?).
Il faut prendre mes citations comme des interrogations plutôt que comme des affirmations. C'est (aussi) pour avoir votre éclairage que je vous en fait part.
"En mathématique, les axiomes jouent le rôle de conditions premières. Ils constituent les postulats de base, prérequis à l'exploitation de tout raisonnement déductif (...). Les axiomes sont des hypothèses initiales, présumées vraies et autocohérentes. De ces axiomes peuvent découler des déductions logiques selon les lois de raisonnement bien définies. Ces lois de raisonnement logique sont analogues aux lois de la Nature des physiciens, tandis que les axiomes jouent le rôle des conditions initiales."
John D. Barrow; La grande théorie. Champs/ Flammarion. Taduit par M. Cassé, L. Cohen et G. Paulus.
Bonne journée ensoleillée!
Je ne suis pas fan de ce genre de vulgarisation :
Pas si premières que cela puisque avant les axiomes d'une théorie, il y a la logique et ses règles d'inférence
Et c'est quoi un postulat ? Un axiome de base ?
La logique seule, permet déjà de mettre en place quelques tautologies, mais on ne va pas chipoter.
Pourquoi ? Les axiomes n'ont rien d'hypothétiques,
Présumées vraies ne veut rien dire ici
Plutôt qu'autocohérentes, j'aurais préféré cohérentes ou inter-cohérentes (pour les axiomes on dit plutôt consistants)
Peut-être un problème de traduction, mais "déduction" est le processus, pas ce qui en découle,
Les "lois de raisonnement bien définies" sont les règles d'inférences
Voilà une analogie bien dangereuse (puisqu'alors, changer de logique c'est comme changer les lois de la Nature)
A condition de continuer l'analogie précédente (sinon cela n'a aucun sens), ce qui la rend encore plus dangereuse.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je me doutais bien qu'il ne fallait pas trop faire confiance à la vulgarisation du moins à un certain genre de vulgarisation:http://forums.futura-sciences.com/sh...isation&page=2
Mais à quel scientifique peut-on se fier (se vouer?), alors!
Bon ouiquène à tous!
Et ce serait encore pire, car voilà ce que ca donnerait:
"il est possible qu'une description de la réalité physique, même si sa finalité est mathématique, n'utilise pas toute l'arithmétique et, de ce fait, puisse être complète."
1/ Si c'est possible, le moins que l'on puisse dire c'est que plus le temps passe et plus les mathématiques utilisées par ces descriptions contiennent largement l'arithmétique ! ... la physique actuelle ne voit pas du tout , mais alors vraiment pas, comment elle pourrait décrire la réalité avec comme seule mathématique une théorie STRICTEMENT CONTENUE PAR l'arithmétique ! Ce serait comme vouloir peindre la Joconde avec des rouleaux de peintres en batiments !
2/ Il ne faut pas confondre CONTENIR l'arithmétique et UTILISER l'arithmétique : seules de théories mathématiques peuvent contenir l'arithmétique , on ne peut rien conclure du théorème d'incomplétude pour des théories qui UTILISENT l'arithmétique , le théorème d'incomplétude concerne les théories qui CONTIENNENT l'arithmétique ( car d'entrée les théories qui se basent sur des faits réels pour dire que des énoncés sont vraies, connaissent déjà des énoncés vrais et sans preuve formelle : ce sont les énoncés décrivant ces faits tout simplement ... elle n'ont donc pas besoin d'un théorème de godel pour savoir qu'elles ont des énoncés vrais et sans preuve formelle puisqu'elles en sont accoutumées depuis le début... seuls certains mathématiciens se faisant une certaine idée de ce devait etre la vérité en mathématique ont pu etre affecté par le théorème de godel , pas la physique qui ne fait que UTILISER les mathématiques et qui connait depuis toujours des énoncés vrais et sans preuve formelle !)
3/ la complétude pour une description de la réalité n'est pas la complétude d'une théorie mathématique , la complétude d'une descrition de la réalité c'est : "Tout élément de réalité physique doit avoir un correspondant dans la théorie" (Einstein) .
Dernière modification par Matmat ; 04/07/2008 à 15h17.
"Il est possible qu'une description physique (de la réalité), même si sa finalité est mathématique, n'utilise pas toute l'arithmétique et, de ce fait, puisse être complète."
Ceci dit le terme finalité m'embête aussi, mais par quoi le remplacer?
J'ai pas encore lu la suite mais je vais le faire; ça me semble intéressant.
Salut!
Je te conseille la lecture d'un livre , devenu en un demi-siècle , une référence en épistémologie : La structure des révolutions scientifiques , de Thomas Kuhn .
Je crois que la construction d'une théorie scientifiques à partir d'acquis noon démontrables et admis pour vrais ( les axiomes ) n'est pas tant un édifice qui s'éleverait jusqu'à risquer de tomber , mais davantage une structure en "mise-en-abyme" ou en , plus familièrement ,"poupées russes" .
Les théories s'emboîtent au fur et a mesure sans se contredire tout en englobant un éventail plus large de cas .
Ce dernier modèle structurel , conserve la stabilité des lois .
Tandis qu'un modèle en "tour" s'avererait infernal au bout d'un moment , tant les dernières théories menaçeraient de s'effondrer .
J'ai trouvé une super conférence faisant référence à ce topic !!
http://www.canalu.tv/themes__1/scien...in_d_un_espoir
Il parle de système dérivable, il veut dire quoi par là dans cette conférence
90' de conférence, je n'ai pas encore eu le temps (et ne sais pas quand je l'aurais) de tout écouter, mais, il y a au moins deux choses qui me plaisent beaucoup dans les 15 premières minutes (je ne cite pas verbatim, désolé) :
- Quand il précise que certains peuvent placer leur espoir dans un monde mathématiques parfaitement ordonancé, d'autres, au contraire place leur espoir dans l'absence de frontière (il va de soi, que je me place dans cette deuxièlme catégorie)
- Il fait un lapsus intéressant "on peut écrire tous les nombres entiers", et il se reprend immédiatement "ou plutôt n'importe quel entier", et cette différence est fondamentale, elle apparaît d'ailleurs en filigrane dans le document http://forums.futura-sciences.com/post1778344.html, en particulier dans quelques exercices.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjours à tous,
Je regarde la vidéo conseillée pa philname, et je m'étonne d'une chose (mais bon, ça fait un bout de temps que j'ai quitté la fac, et il est fort probable que j'ai oublié un tas de trucs)
Le conferencier dit que c'est bien pratique de ne pas prendre l'axiome du choix de temps en temps, et notament dans la théorie de la mesure (c'est au alentour des 70 minutes de conf). Quel probleme pose l'axiome de choix avec la théorie de la mesure ???
L'axiome du choix permet de démontrer qu'il existe des sous-ensembles de IR qui ne sont pas mesurables (pour la mesure de Lebesgues), situation que l'on peut prévenir par un axiome approprié, mais, donc, contradictoire avec AC. Et comme conséquence de cette conséquence il y a le paradoxe de Banach-Tarski (pour être précis, sans l'axiome du choix il y a un paradoxe à peine un peu moins déroutant : celui de Dougherty-Foreman).
Je suis Charlie.
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Bonsoir,
intéressant cette conférence (même si je pense que je devrais l'écouter deux fois) surtout la partie sur l'application des résultats des théorèmes de Gödel dans les mathématiques "classiques".
Il parle d'un théorème démontré avec les modèles non standards (donc qui ont donc automatiquement une démonstration dans les modèles standarts) mais dont on ne connait de démonstration dans les modèles standards, mais je crois que ce théorème est très pointu (un certain Freiman, je crois).
Je n'ai pas encore tout écouté, mais j'ai entendu "expressions dérivables", "énoncés dérivables", dans ce cas il s'agit des expressions (énoncés, formules ...) qui sont des théorèmes d'une théorie, c'est à dire qui sont déductibles (dérivables) des axiomes de cette théorie à l'aide des règles d'inférence.Il parle de système dérivable, il veut dire quoi par là dans cette conférence
Merci au conférencierqui insiste sur l'importance du théorème de complétude (cf. mes nombreuses remarques, ainsi que celles de baguette, à son sujet).
Par contre dire que "pour une théorie complète tous les modèles sont les mêmes" me paraît un peu abusif, être "les-mêmes" pour des modèles me semble plus convenir à des modèles isomorphes qu'à des modèles élémentairement équivalents, c'est à dire qui vérifient les mêmes formules (j'ai envie de dire que "tous les modèles sont les mêmes" est une question de catégoricité et non de complétude (qui est une condition moins forte que la catégoricité)).
Je suis Charlie.
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Il existe effectivement une conjecture de Freiman ; pour le problème général de l'utilisation de méthodes non standard pour prouver des théorème standard, on peut trouver sur le net l'article suivant : Introduction of Nonstandard Methods for Number Theorists par Renling Jin qui parle, entre autres, de Freiman ; article pas très facile d'accès pour qui n'est pas habitué aux modèles non-standards et à leur construction.
Je suis Charlie.
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Effectivement en général on consruit d'abord la théorie et on définit les axiomes ensuite. Je ne dirais pas qu'on présente tout à l'envers, ce serait trop simple, mais il y a un peu de ça. En tout cas, la présentation n'a rien à voir avec la recherche.
Ce n'est pas loin non plus d'une dissertation. On note des idées, on cherche des références, on ordonne et on structure au fur et à mesure. APrès oui, c'est cohérent avec des axiomes et tout le toutim mais pendant vaut mieux pas aller voir: ce n'est fait que de bric (de briques?) et de broc.
Juste une question à propos des axiomes de géométrie !
http://fr.wikipedia.org/wiki/Projet:...A9om%C3%A9trie
Il est écrit que sur cette page qu'il n'est pas question d'axiomatisation de :
Cette approche axiomatique ne fait appel ni à la notion de dimension, de distance, de mesure, ni même à celle des nombres.
A-t-on déjà donné une axiomatisation des notions citées en italiques ?
Je pense surtout à un axiome des nombres ; la puissance d'un point. Qui pour moi est totalement, philosophiquement parlant, excusez moi du terme : magique.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Puissan...3%A0_un_cercle
