Construire une théorie après avoir défini des axiomes

[philname]

Comment construire une théorie "cohérente" après avoir définie des axiomes ?

Le problème à mon avis c'est de construire un "tout" cohérent, est-ce que c'est plus de la logique que de la théorie ?
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[Médiat]

Comment construire une théorie "cohérente" après avoir définie des axiomes ?

Je ne comprends pas bien la question telle qu'elle est posée, en effet ce sont les axiomes qui font que la théorie est consistante (cohérente) ou non.

[philname]

Je ne comprends pas bien la question telle qu'elle est posée, en effet ce sont les axiomes qui font que la théorie est consistante (cohérente) ou non.

Imaginons que les axiomes sont coherent entre eux.
Comment "assembler" ces axiomes entre eux logiquement afin d'obtenir une théorie juste ?


Analogie pour construire un mur :
mes axiomes : briques et ciment.
Ma théorie : le mur.

Comment assembler les briques pour que le mur tienne ?

C'est à peu près pareil avec ma question initiale. Comment assembler les axiomes pour être sûre que la théorie tienne la route !

[Médiat]

Imaginons que les axiomes sont coherent entre eux.

Si les axiomes sont cohérents entre eux, la théorie (tout ce que l'on peut déduire de ces axiomes) est cohérent, et le problème est résolu.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Analogie pour construire un mur :
mes axiomes : briques et ciment.
Ma théorie : le mur.

Je ne suis pas tout à fait d'accord avec cette analogie, pour rester dans le même domaine, je dirais plutôt :

• Axiomes : Type de brique (forme, couleur, matière, taille...), les briques elles-mêmes sont disponibles en nombre illimité (et gratuites ). Certains types de briques sont incompatibles avec d'autres (à cause de leurs formes respectives qui ne "vont pas ensemble").
• Logique : Le ciment qui permet d'assembler des briques (occurrences d'axiomes), sans ciment on ne peut pas empiler des briques sans qu'elles ne tombent
• Théorie : le mur

C'est à peu près pareil avec ma question initiale. Comment assembler les axiomes pour être sûre que la théorie tienne la route !

Une règle qui permettrait de s'assurer qu'un ensemble d'axiomes est consistant ne me paraît pas envisageable, par contre une bonne technique (a posteriori, contrairement à ce que tu demandes) consiste à trouver un modèle qui vérifie les axiomes (un bon exemple : les géométries non-euclidiennes). En général, c'est plutôt le contraire qui se produit, on dispose d'un modèle et on en cherche une axiomatisation la plus complète possible.

[Matmat]

Imaginons que les axiomes sont coherent entre eux.
Comment "assembler" ces axiomes entre eux logiquement afin d'obtenir une théorie juste ?


Analogie pour construire un mur :
mes axiomes : briques et ciment.
Ma théorie : le mur.

Comment assembler les briques pour que le mur tienne ?

C'est à peu près pareil avec ma question initiale. Comment assembler les axiomes pour être sûre que la théorie tienne la route !

si les briques sont les axiomes.
si le ciment sont les connecteurs.
si les mur qui "tiennent debout" sont les théorie qui tiennent la route
(les murs "qui tombent" sont les théorie qui ne tiennent pas la route)

Avec les connecteurs on relie les axiomes, comme avec le ciment on relie les briques:
Relier les briques n'importe comment ne permet pas de faire un mur qui tienne debout, si les briques sont reliées selon certaines règles dont on sait à priori qu'elles sont valables pour faire tenir le mur debout alors le mur tiendra debout (!) : ce sont les règles d'inférences valides ... Si elles sont respectées lorsque l'on connecte les axiomes alors on sait que la théorie tiendra la route.

[inviteea6fd0dc]

Salut Matmat,

Il me semble que les règles d'inférences pour Médiat allaient de soi !

[Médiat]

Il me semble que les règles d'inférences pour Médiat allaient de soi !

Salut baguette, et les autres...

C'est effectivement ce que j'ai appelé "Logique" afin de ne pas utiliser un vocabulaire trop jargonneux, mais ce sont bien les règles d'inférence dont je parlais comme ciment pour fabriquer des théorèmes et in fine une théorie à partir des axiomes..

Ne pas oublier que les analogies sont dangereuses ...

[invite5456133e]

la théorie (tout ce que l'on peut déduire de ces axiomes) est cohérente

sauf si on s'est trompé dans le raisonnement, non?

[Médiat]

sauf si on s'est trompé dans le raisonnement, non?

En appliquant les règles d'inférences, donc, effectivement, sans erreur.

[inviteea6fd0dc]

"sauf si on s'est trompé dans le raisonnement, non?"

"En appliquant les règles d'inférences, donc, effectivement, sans erreur."

Bonsoir,

J'ai comme un doute...
Je suis sûr que Médiat parle de cohérence par rapport aux axiomes en respectant les règles d'inférence, et par conséquent de validité; je suis moins sûr de l'expression "on s'est trompé" et du terme "raisonnement" de Rik.
En d'autres termes, applique-t'il l'erreur au raisonnement ou aux axiomes ?
Bref, cohérent n'est pas égal à "vrai", d'où ma crainte !

Amicalement

[invite5456133e]

d'où ma crainte !

Ne crains rien! Je réagissais surtout à la proposition de Médiat qui disait que "ce sont les axiomes qui font que la théorie est consistante (cohérente) ou non", comme s'il suffisait de bien poser les axiomes pour obtenir une "bonne" théorie.
Je faisais juste remarquer qu'il fallait quand même suivre un raisonnement et donc respecter les règles de logique (ou plutôt d'inférence, terme qui a l'air plus à la mode); une théorie peut-elle se réduire à ses axiomes? On dirait que la notion de démonstration n'existe plus! Mais peut-être n'ai-je rien compris à la discussion, ce qui est bien possible ma foi!

[Médiat]

Je réagissais surtout à la proposition de Médiat qui disait que "ce sont les axiomes qui font que la théorie est consistante (cohérente) ou non", comme s'il suffisait de bien poser les axiomes pour obtenir une "bonne" théorie.

Et je le maintiens (on pourrait juste ajouter "dans une logique donnée" quand celle-ci n'est pas implicite).

[invite5456133e]

Je ne comprends pas bien; n'est-ce pas confondre la conclusion avec l'hypothèse en "sautant" la démonstration?
Une théorie n'est-elle pas un ensemble= {axiomes, raisonement, conclusions}?

[Médiat]

Une théorie n'est-elle pas un ensemble= {axiomes, raisonement, conclusions}?

Justement non, une théorie (lorsque l'on parle de logique en tout cas, et c'est bien le cas ici cf. le message #1) est l'ensemble des formules démontrables à partir des axiomes choisis et de la logique utilisée.

[inviteea6fd0dc]

Bonjour Rik, bonjour Médiat,

J'avais raison de douter

En reprenant une phrase de Médiat "ce sont les axiomes qui font que la théorie est consistante (cohérente) ou non"
Nulle part, Médiat n'en déduit que du coup la théorie est "juste" ou "vraie", ce n'est d'ailleurs pas la tasse de thé de la logique.

Amicalement

[invite5456133e]

une théorie est l'ensemble des formules démontrables à partir des axiomes choisis et de la logique utilisée.

Donc théorie = {formules démontrables} et formules démontrables = axiomes + raisonnement avec la logique utilisée
La question initiale était comment construire une théorie cohérente. La question que je pose c'est comment savoir si elle est cohérente (pour le vrai on verra plus tard).

[Médiat]

La question que je pose c'est comment savoir si elle est cohérente (pour le vrai on verra plus tard).

cf. Message #5 de ce même fil.

[Matmat]

...une théorie peut-elle se réduire à ses axiomes? On dirait que la notion de démonstration n'existe plus! ...

Quand le choix des axiomes est fait, une infinité de théorème peuvent en etre déduits, cependant une théorie donnée n'a jamais une infinité de théorème, il y a toujours aussi un choix sur les théorèmes qu'on veut ou non inclure dans la théorie ...
Si T0 et T1 sont deux théories différentes (càd deux ensembles de théorèmes différents) déduites toutes deux à partir du meme jeu d'axiomes, c'est simplement qu'un choix différent à été fait sur les théorèmes... Et pour savoir si elles sont cohérentes, il suffit de savoir qu'une seule est cohérente ! (puisque la cohérence ne dépend que des axiomes).

j'ai une question (aux logiciens):
si je suis un macon autodidacte, on ne m'a pas appris les bases, mais j'essaye de faire tenir un mur debour en essayant de copier en mieux un autre mur dont je crois intuitivement (faute d'avoir les règles) qu'il tiendra debout:

On a deux théorie T et T' dont on ne connait pas les axiomes,autrement dit on a deux ensembles de formules dont on a pas déterminé les deux bases axiomatiques (c'est à dire deux jeux minimaux de formules indépendantes et non contradictoires qui permettraient de déduire les deux théories),supposons que:
si on décide, sans connaitre les bases axiomatiques de T et T', que:
-les formules de T' contiennent les formules de T
-tout théorème de T sera un théorème dans T'
-quand une formule de T' est dans T, si elle est théorème dans T' elle est aussi théorème dans T.

Est ce qu'on peut dire que "si T est cohérente, T' est cohérente" sans connaitre les bases axiomatiques (!) et donc indépendemment de la facon dont on a décidé que telle ou telle formule serait théorème (!!) ?
Et enfin peut-on en déduire quoique ce soit sur leurs jeux d'axiomes ? (l'autodidacte peut il finalement apprendre les bases ?)

[Médiat]

Quand le choix des axiomes est fait, une infinité de théorème peuvent en etre déduits, cependant une théorie donnée n'a jamais une infinité de théorème

Bien sur que si, une théorie, quand on parle de logique c'est un ensemble de formules clos par inférence, on ne peut donc pas avoir deux théories basées sur les mêmes axiomes (dans une même logique).

On a deux théorie T et T' dont on ne connait pas les axiomes

Une théorie (on va dire consistante, les autres étant sans intérêt) est toujours un jeu d'axiomes d'elle même, la question qui peut se poser, est de minimiser (dans un sens à préciser) le nombre de formules qui forme une axiomatique qui va engendrer la même théorie (et il est courant que le résultat ne soit pas unique).

Il faut avoir en tête qu'une axiomatique joue le rôle de générateur comme dans certaines structures.

[Matmat]

Une théorie (on va dire consistante, les autres étant sans intérêt) est toujours un jeu d'axiomes d'elle même ...

Je supposais qu'on exigais des axiomes qu'ils soient indépendant entre eux (en plus d'etre non-contradictoires) mais que l'on n'exigeait pas cela des théorème (car évidemment les théorèmes ne sont pas indépendants les uns des autres): et donc que la théorie ne constituait pas en elle meme le jeu d'axiome... Sinon T est le jeu d'axiome de T' et la question est immédiatement résolue, je voulais une réponse dans le cas ou les bases axiomatiques éxigées étaient parmi les:

...deux jeux minimaux de formules indépendantes et non contradictoires qui permettraient de déduire les deux théories...

[Médiat]

Je supposais qu'on exigais des axiomes qu'ils soient indépendant entre eux

C'est effectivement mieux, et c'est ce que je voulais dire en parlant de minimiser le nombre d'axiomes

...deux jeux minimaux de formules indépendantes et non contradictoires qui permettraient de déduire les deux théories...

Mais comme, je le notais, "dans un sens à préciser", puisqu'une théorie axiomatisée avec 12 546 685 axiomes peut s'axiomatiser avec un seul (la conjonction des 12 546 685 précédents).

[inviteea6fd0dc]

Bonjour,

Mais ... comment fait-on à partir du 12 546 686ème



Paaaadoooonnnnnnn Médiat

[Matmat]

Donc, si je comprend bien, la réponse à la question:

peut-on en déduire quoique ce soit sur leurs jeux d'axiomes ? (l'autodidacte peut il finalement apprendre les bases ?)

est non, (étant donné que d'une théorie donnée, plusieurs jeu d'axiomes sont possibles pour la générer)

Mais qu'en est il de la première question ?...

Est ce que "si T est cohérente, T' est cohérente" ? ...

[Médiat]

Est ce que "si T est cohérente, T' est cohérente" ? ...

Si j'ai bien compris ce que tu veux dire par T et T', tous les théorèmes de l'une sont des théorèmes de l'autre, autrement dit T = T'.

[Médiat]

Mais ... comment fait-on à partir du 12 546 686ème

J'aurais dû me douter que tu conterais nos bocks pris en commun .

[invite309928d4]

(...)

On a deux théorie T et T' dont on ne connait pas les axiomes,autrement dit on a deux ensembles de formules dont on a pas déterminé les deux bases axiomatiques (c'est à dire deux jeux minimaux de formules indépendantes et non contradictoires qui permettraient de déduire les deux théories),supposons que:
si on décide, sans connaitre les bases axiomatiques de T et T', que:
-les formules de T' contiennent les formules de T
-tout théorème de T sera un théorème dans T'
-quand une formule de T' est dans T, si elle est théorème dans T' elle est aussi théorème dans T.

Est ce qu'on peut dire que "si T est cohérente, T' est cohérente" sans connaitre les bases axiomatiques (!) et donc indépendemment de la facon dont on a décidé que telle ou telle formule serait théorème (!!) ?
Et enfin peut-on en déduire quoique ce soit sur leurs jeux d'axiomes ? (l'autodidacte peut il finalement apprendre les bases ?)

Bonjour,
je ne suis pas sûr d'avoir saisi ce que tu voulais dire mais est-ce que ça ne correspondrait pas, par exemple, à la théorie des ensembles avec ou sans axiome du choix ?
La question serait : est-ce que si la théorie avec axiome du choix est cohérente, celle sans axiome du choix est cohérente ?

Ou en d'autres termes, est-ce qu'à chaque ajout d'un axiome il faut faire une évaluation de la cohérence indépendamment de la théorie précédente ou est-ce qu'il y a un "constructivisme" des systèmes axiomatiques permettant d'utiliser les résultats de cohérence de l'un pour un système suivant.

D'après l'exemple de la théorie des ensembles, je crois que c'est plutôt le premier cas qui vaut puisqu'il a fallu évaluer l'effet de l'introduction de l'axiome du choix sur la cohérence. Par contre, je ne sais pas si c'est une situation générale ou si dans certains cas un "constructivisme" est possible.

[Matmat]

Si j'ai bien compris ce que tu veux dire par T et T', tous les théorèmes de l'une sont des théorèmes de l'autre, autrement dit T = T'.

C'est plutot une inclusion stricte ( T est inclue dans T'), il existe des théorèmes de T' qui ne sont pas des théorèmes de T, il suffit que ce ne soit pas une formule de T.

[Médiat]

C'est plutot une inclusion stricte ( T est inclue dans T'), il existe des théorèmes de T' qui ne sont pas des théorèmes de T, il suffit que ce ne soit pas une formule de T.

Si T (consistante) est incluse dans T', je vais écrire cela T' = T U {f}, c'est à dire que T' s'obtient en adjoignant un certain nombre de formules à T :

1. {f] est un ensemble de théorèmes de T, alors T = T'
2. {f} est un ensemble de formules contradictoire avec T (c'est à dire qu'au moins une formule de {f} est contradictoire avec T), alors T' est inconsistante
3. {f} est un ensemble de formules indécidables dans T (avec éventuellement quelques théorèmes de T, mais aucune formule contradictoire avec T), alors T' est consistante (et on a envie de dire un peu plus complète que T)

[Matmat]

...La question serait : est-ce que si la théorie avec axiome du choix est cohérente, celle sans axiome du choix est cohérente ?
...
Par contre, je ne sais pas si c'est une situation générale ou si dans certains cas un "constructivisme" est possible.

Un peu,
Je voulais, pour que me autodidacte puisse copier le mur d'un autre, une cohérence relativement à une autre théorie,mais où aucune cohérence n'a été démontrée dans l'absolu.
Si je sais les théorèmes que je veux obtenir et si intuitivement une théorie assez simple me parait cohérente ( mais ce n'est pas démontré), je veux l'enrichir mais plus je l'enrichis et plus le risque d'incohérence est grand, puis-je au moins savoir si il y a moyen de conserver la cohérence intuitée? Y a t'il des critères (pas forcément ceux que j'ai essayé de proposer) ou une méthode constructive ?
Ainsi ...Si un jour quelqu'un démontre la cohérence de la théorie initiale ( la plus simple) , toutes les théorie enrichies selon la méthodologie de l'autodidacte copieur, seraient donc elles aussi cohérentes sans avoir à déterminer tous les axiomes !