Platonicien vs formaliste ?

[invited9ab8c2f]

Michel
Je n'ai pas bien compris...sur quelque chose qui m'intéresse beaucoup!

est ce que cela montrerait que Pi, comme Phi ou autre ne sont pas aussi extraordinaire que cela?
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[invité576543]

Et si Fgordon précise "dans le plan, le rapport ... vaut pi" ?

Pas encore assez comme précision.

Mon point (caché) est qu'il faut toute une théorie mathématique avant d'arriver à la conclusion "le rapport périmètre sur diamètre est constant (et vaut pi)", et cette affirmation n'est pas valable dans d'autres théories. (Et elle n'est pas valable en physique, c'est à dire dans "le perceptible", ce qui est un point important dans cette discussion : cette affirmation ne réside que dans le langage symbolique des mathématiques. Alors qu'il est plus difficile d'être aussi catégorique pour des notions comme 2x3 = 6, qui peuvent s'instancier par un modèle physique.)

Cordialement,

[invited9ab8c2f]

Et elle n'est pas valable en physique, c'est à dire dans "le perceptible", ce qui est un point important dans cette discussion : cette affirmation ne réside que dans le langage symbolique des mathématiques

Ah bon?
aurais tu un exemple, en physique justement que je puisse étudier...

[invité576543]

Michel
Je n'ai pas bien compris...sur quelque chose qui m'intéresse beaucoup!

est ce que cela montrerait que Pi, comme Phi ou autre ne sont pas aussi extraordinaire que cela?

Je ne comprends pas bien "extraordinaire"!

Que vaille 6pi² donne un statut particulier à pi (ainsi que bien d'autres propriétés), il n'y a pas de problème avec cela.

Mon seul point est que pi est de nature strictement mathématique, et qu'il est conceptuellement erroné de chercher à lui donner une signification physique.

Cordialement,

[invitef591ed4b]

Mon point (caché) est qu'il faut toute une théorie mathématique avant d'arriver à la conclusion "le rapport périmètre sur diamètre est constant (et vaut pi)", et cette affirmation n'est pas valable dans d'autres théories.

Bah, et alors ? Dans notre monde physique aussi, les faits sont locaux ("il y a des tigres en Asie, pas en Afrique"), mais le caractère local ne défie pas le caractère objectif.

Une théorie mathématique dans laquelle le rapport circonférence/diamètre vaut pi est un lieu du monde mathématique, et ce rapport peut valoir autre chose dans un autre lieu, cela ne change pas le caractère objectif de ces rapports, dans leurs lieux respectifs. Tant que la valeur de ce rapport ne peut pas se choisir arbitrairement étant donné le lieu où l'on se trouve, il y a un caractère objectif plutôt présent.

Ceci pour dire que le caractère local (i.e. le fait de dépendre des axiomes de la théorie) des énoncés mathématiques n'est pas incompatible avec le platonisme, de même que le caractère local de certains faits physiques n'est pas incompatible avec la réalité indépendante du monde physique.

[invited9ab8c2f]

je parle d'extraordinaire car nombre d'ouvrages montrent que l'on trouve Pi ou Phi dans l'environnement. Par exemple le cœur du tournesol construit selon Phi...si je ne me trompe pas!

[invité576543]

Ah bon?
aurais tu un exemple, en physique justement que je puisse étudier...

Si on était capable de mesurer la longueur précise d'une orbite circulaire autour du Soleil, on découvrirait que le rapport à la distance au centre du Soleil n'est pas constante, elle change avec cette distance.

Ceci dit, même cela reste "mathématique", parce que l'expérience est non seulement infaisable, mais pose même des difficultés conceptuelles, comme par exemple définir le point exact où l'orbite se referme.

Un autre exemple, plus spectaculaire (mais assez peu "terre-à-terre" !), est ce que disent les cosmologistes du périmètre d'un cercle qui serait composé d'événements que l'on voit (dont on reçoit les photons) avec 14 milliards d'années de retard : c'est bien plus petit que 2pi fois 14 années-lumière...

Une précision : je n'ai rien contre l'idée que pi est une bonne approche pour le rapport circonférence sur diamètre pour toute application pratique sur Terre, ou dans le cadre d'exercices à l'école primaire. Mais cela n'est pas la même chose qu'en faire une règle absolue.

Cordialement,

[invité576543]

Une théorie mathématique dans laquelle le rapport circonférence/diamètre vaut pi est un lieu du monde mathématique, et ce rapport peut valoir autre chose dans un autre lieu, cela ne change pas le caractère objectif de ces rapports, dans leurs lieux respectifs.

Tout à fait. Mais cela empêche de définir pi comme le rapport circonférence/diamètre sans plus de précision.

Et c'est d'autant moins un problème que le nombre pi est très facile à définir en se mettant dans le lieu du monde mathématique où il vit pleinement : la théorie de nombres.

Pourquoi chercher à le définir d'une manière ambiguë alors qu'il existe des définitions bien moins discutables?

Cordialement,

[invité576543]

comme la moitié de la première solution positive non nulle de .

Grossière erreur (faute de frappe, si, si) :

comme la moitié de la première solution positive non nulle de .

Cordialement,

[invitef591ed4b]

Autant prendre ...

Pourquoi chercher à le définir d'une manière ambiguë alors qu'il existe des définitions bien moins discutables?

Je pense que la question est moins de savoir quelle définition de pi est la plus simple, mais plutôt de se demander si, étant donné une définition non-ambiguë de pi, ce nombre avait une réalité indépendant de nous.

[invited9ab8c2f]

Si on était capable de mesurer la longueur précise d'une orbite circulaire autour du Soleil, on découvrirait que le rapport à la distance au centre du Soleil n'est pas constante, elle change avec cette distance.
[...]
Mais cela n'est pas la même chose qu'en faire une règle absolue.

Et qu'est qui fait ces changements?

[invité576543]

je parle d'extraordinaire car nombre d'ouvrages montrent que l'on trouve Pi ou Phi dans l'environnement. Par exemple le cœur du tournesol construit selon Phi...si je ne me trompe pas!

Hmm... Mon point est justement qu'on ne trouve pas ces nombres dans notre environnement.

On trouve dans notre environnement des phénomènes que nous modélisons, de manière nécessairement approximative, par des théories mathématiques qui mettent en jeu ces nombres.

Disons qu'on trouve dans l'environnement des occasions de présenter des utilisations de ces nombres.

Pour moi la nuance est essentielle. Je pense que c'est une très mauvaise pratique (du moins quand on cherche à discuter en profondeur) de confondre l'environnement (la nature, l'univers, ce qu'on voudra) avec les modèles qu'on en fait. La carte n'est pas le terrain, comme on dit.(1)

Cordialement,

(1) Je cite verbatim "The map is not the territory is a remark by Polish-American scientist and philosopher Alfred Korzybski, encapsulating his view that an abstraction derived from something, or a reaction to it, is not the thing itself"

[invité576543]

Et qu'est qui fait ces changements?

La relativité générale, qui a beaucoup à dire sur la notion de longueur, donc de diamètre et de périmètre.

Et plus précisément la gravité du Soleil.

Cordialement

[invited9ab8c2f]

...donc ces nombres sont aussi particuliers que 4, 5 ou 6,7!

Pour Pi par exemple, il y a eu une telle recherche de ce rapport (quadrature du cercle) qu'il est devenu un chiffre mythique à voir partout...un peu comme le 7!

Phi doit aussi avoir une histoire...

[invité576543]

Autant prendre ...

Question de goût, ou de sensibilité aux modes.

Je pense que la question est moins de savoir quelle définition de pi est la plus simple, mais plutôt de se demander si, étant donné une définition non-ambiguë de pi, ce nombre avait une réalité indépendant de nous.

Tout à fait d'accord. Mais cette réalité indépendante se montre bien plus facilement à partir de sa définition en théorie des nombres que par une définition physique fausse!

On peut être platonicien, et défendre cette position, sans faire l'erreur d'accrocher des concepts purement mathématiques à des notions "physiques".

Donc pour le propos même de défendre la "réalité indépendante" de pi, la définition par la théorie des nombres est la seule bonne. Il n'y a rien de plus mauvais rhétoriquement que de défendre une position juste avec des arguments faux.

Cordialement,

[invitef591ed4b]

Quand Fgordon parlait de cercle et de diamètre, je doute qu'il eût en tête un cercle et un diamètre physiques. Il s'agissait de géométrie pure.

[invité576543]

Pour Pi par exemple, il y a eu une telle recherche de ce rapport (quadrature du cercle) qu'il est devenu un chiffre mythique à voir partout...

Il y a de très bonne raisons à cela, mais c'est dans la théorie des nombres, dans les réels, les complexes, qu'il faut les chercher.

L'exemple de l'exponentielle complexe n'est absolument pas anodin. Elle correspond à des idées très profondes sur les complexes, et via les racines à des polynomes à coefficients entiers, à la théorie des nombres. Que pi sorte à tout bout de champ montre cela, plutôt que le contraire.

Phi doit aussi avoir une histoire...

Oui, mais là aussi, c'est "fédérable" par la théorie des nombres, en ramenant toutes ses propriétés au fait qu'il est solution de x²=x+1 (notons au passage que l'autre solution est toute aussi fascinante, même si on en parle moins, ce qui m'amène en général à dire "les nombres d'or").

Dans le registre purement "symbolique", il est intéressant de noter que pi et phi partage le fait d'intervenir dans des sortes de pont entre multiplication et addition, mais c'est hors sujet...

Cordialement,

[invité576543]

Quand Fgordon parlait de cercle et de diamètre, je doute qu'il eût en tête un cercle et un diamètre physiques. Il s'agissait de géométrie pure.

Disons que j'ai le doute inverse. Et il lui aurait été facile de dissoudre ce doute dans un sens ou un autre.

(Et "géométrie pure" reste insuffisant... Du moins pour quelqu'un comme moi qui refuse d'attribuer une notion de "pureté" à une quelconque géométrie.)

Et si par "géométrie" tu parles strictement de mathématiques, mon point reste : choisir la géométrie amène à ambiguïté, alors que la théorie des nombres bien moins. Pourquoi le choix de la géométrie si ce n'est par son rapport supposée à la physique, au sensible, par opposition au symbolique qu'est clairement la théorie des nombres?

Cordialement,

[invitef591ed4b]

Je n'ai pas réfléchi au sujet, mais je ne suis pas sûr du tout qu'une définition de pi par la théorie des nombres soit plus simple. Si tu prends , il faut passer par la notion de convergence de série, qui exige elle-même celle d'une suite, tout en s'assurant que cette série converge bel et bien.

Si tu prends , il faut définir l'exponentielle, les nombres complexes, puis l'exponentielle complexe, tout en s'assurant que cette équation possède une solution.

Ça ne me paraît pas plus simple que de prendre la géométrie euclidienne dans le plan et de parler en termes de cercle/diamètre.

[invite6d525980]

Quand on répond à une demande précise (indiquer le plus grand nombre...) autrement que directement, par une réponse qui ne répond pas, même de loin, à la demande, j'appelle cela un faux-fuyant.

Je réponds en langage mathématique, parce que le langage "normal" n'est pas approprié pour saisir les objets de l'univers mathématiques. Et cette réponse est récurrente (je vous dis 50, par exemple. Puis j'ajoute un, etc...), c'est tout.

Je dis juste, et votre argumentation ne répond pas à cela, que le concept de "ensemble des entiers" peut être défendu comme culturel, et ce même si les entiers sont acceptés comme existant indépendamment de la culture.

Oui, mais ce n'est pas mon avis. La notion d'ensemble appartient à la théorie des ensembles, laquelle n'est pas culturelle. Si les Arcturiens sont mathématiciens, ils ont affaire à la même théorie.

On peut trouver des "instances" d'un entier dans la nature (mais peut-être pas de tous...), mais il n'y a pas d'instance de l'ensemble des entiers dans la nature, à ma connaissance.

Je ne parle pas de la "nature", mais de l'univers mathématique.

Pour l'hitoire de Pi, je me référais bien évidemment aux objets mathématiques de la géométrie euclidienne (du plan).

Mais j'aurais pu prendre e, pour affirmer que (selon ma conception) on l'a découvert et non pas inventé et éviter toute ambiguité de rattacher mon argument à une présence physique des maths dans la nature.

(En fait, elles y sont je pense, mais pas dans la réalité empirique, qui est notre réel perçu...et traité par la physique. J'imagine cela ailleurs, et voilé... mais bon, cela nous emmenerait un peu loin hors-sujet).

[invite6d525980]

Quand Fgordon parlait de cercle et de diamètre, je doute qu'il eût en tête un cercle et un diamètre physiques. Il s'agissait de géométrie pure.

Oui, bien sûr. Puisque je fais référence depuis le début de ce fil à l'univers mathématique.

Cela ma paraissait évident dans le contexte. Au temps pour moi, j'aurais du préciser. (mais il me semble l'avoir fait)

De même, lorsque j'ai utilisé l'histoire des cailloux sur une planéte déserte, ce n'était pas pour attacher les entiers au monde physique, mais pour illustrer que des lois mathématiques (dans l'exemple en question, l'addition des entiers) existent sans les humains.

[invited9ab8c2f]

Fgrodon,

Je ne parle pas de la "nature", mais de l'univers mathématique.

donc il y a la nature, l'univers mathématique et le langage mathématique?

[invité576543]

Je n'ai pas réfléchi au sujet, mais je ne suis pas sûr du tout qu'une définition de pi par la théorie des nombres soit plus simple. Si tu prends , il faut passer par la notion de convergence de série, qui exige elle-même celle d'une suite, tout en s'assurant que cette série converge bel et bien.

Tout à fait. Mais tu as besoin de bien plus dans la géométrie euclidienne si tu veux définir la longueur d'une ligne courbe!

Les axiomes de bases (Hilbert) sont déjà assez lourds, et ne permettent que de parler de longueur de segments de droite (et n'ont pas besoin des nombres réels, les constructibles sont suffisants). Pour passer aux courbes, je ne vois pas trop comment on pourra éviter les réels, la géo diff et l'intégration, ce qui est bien au-delà de la convergence de séries numériques!

Si tu prends , il faut définir l'exponentielle, les nombres complexes, puis l'exponentielle complexe, tout en s'assurant que cette équation possède une solution.

On a besoin des complexes et des séries numériques.

Ça ne me paraît pas plus simple que de prendre la géométrie euclidienne dans le plan et de parler en termes de cercle/diamètre.

Je te suggère d'essayer, pour voir toutes les étapes par lesquelles il faut passer.

Cordialement,

[invité576543]

Oui, bien sûr. Puisque je fais référence depuis le début de ce fil à l'univers mathématique.

Cela ma paraissait évident dans le contexte.

Cela ne change pas grand chose, il n'y a pas qu'une seule géométrie dans l'univers mathématique.

ce n'était pas pour attacher les entiers au monde physique, mais pour illustrer que des lois mathématiques (dans l'exemple en question, l'addition des entiers) existent sans les humains.

Mais c'est un excellent argument que de prendre un exemple dans le monde physique pour les entiers pour montrer une certaine indépendance.

Mon intervention peut se résumer comme cherchant à montrer les limites de cet argument. Et l'ensemble des entiers, ou pi, montrent déjà, àmha, ces limites.

Passer des entiers à l'ensemble des entiers, ou passer de la fabrication de roues au nombre pi, sont des sauts conceptuels qui, pour le moment, ne sont constatables que chez l'homme.

Comme déjà dit, je ne milite pas pour une opinion plutôt qu'une autre, mais ne pas prendre en compte ces sauts conceptuels ne peut pas donner, àmha, une bonne argumentation.

Cordialement,

[invitebd2b1648]

Salut !

Moi, personnellement, je trouve que la position platonicienne est plus humble : on dit qu'on ne fait que découvrir/explorer le monde mathématique plutôt que de dire qu'on l'invente de toute pièce ... !

Alors comme en sciences il faut être humble ...

Cordialement,

[invited9ab8c2f]

...Et je n'ai pas ma troisième voie...

Les mathématiques, innés? acquis? les deux et dans quelle mesure?

[invite6754323456711]

...Et je n'ai pas ma troisième voie...

Les mathématiques, innés? acquis? les deux et dans quelle mesure?

C'est tout simplement que cette troisième voie il faut la découvrir ou l'inventer

Patrick

[Médiat]

...Et je n'ai pas ma troisième voie...

Provocation ?

[invite73192618]

En espérant être pas trop HS, je voudrais développer ça:

Les entiers et leur propriétés existent au moins en tant que propriétés perceptibles à un être humain. Le fait d'avoir une propriété en puissance... font qu'ils existent.

avec l'aide de Coincoin

http://xkcd.com/505/

Je considère, pour plusieurs raisons trop longues à développer ici, que l'esprit humain est fondamentalement une machine de Turing. Si c'est vrai, l'histoire contée dans ce comic est une description tout-à-fait acceptable de l'univers (ou plutôt: de l'univers tel que nous le percevons). Non pas que je pense qu'on est vraiment émulé par un petit bonhomme tout seul dans son désert mais c'est strictement équivalent donc tout à fait valide et surtout instructif pour expliquer mon propre Platonicisme.

Imaginons donc qu'on soit créé par ce petit bonhomme qui a beaucoup de temps à tuer.

Que se passe-t-il s'il arrête d'émuler, et va se promener quelques éons avant de revenir continuer son émulation? Pour nous, aucune différence. Son temps propre n'a rien à voir avec le notre, il peut fumer sa clope entre deux calculs, ça change rien.

Que se passe-t-il si, au lieu de revenir à son emplacement il décide continuer quelques éons lumières plus loin (il a vraiment beaucoup de temps à tuer)? Pour nous, aucune différence. Son lieu propre n'a rien à voir avec nous, il peut se balader et reprendre son calcul plus loin.

Que se passe-t-il si, arrivé quelques éons-lumière plus loin, il a oublié où il en était et recommence à 0 plutôt que de retourner où il avait commencé? Pour nous, aucune différence. Il peut calculer un éon de fois la même étape, ça fait pas mal.

Que se passe-t-il si, au lieu de calculer chaque étape, il trouve un raccourci qui lui permet de calculer 10 étapes à la fois? Pour nous, aucune différence. S'il passe directement de l'état initial à l'état +13.7 millards d'années (en temps intérieur), on aura subjectivement l'impression, ou plutôt la mémoire, de toutes les années "sautées".

Arrivé à ce point, ma conclusion est que le petit bonhomme n'a pas vraiment besoin de nous calculer. L'existence de la formule suffit. De fait, le bonhomme n'a pas vraiment besoin de savoir cette formule: il suffit qu'elle existe en puissance pour exister. Il suffit que nous existions en puissance pour exister. On peut maintenant libérer le petit bonhomme de son calvaire sans fin.

Rest in peace, petit bonhomme

[invite6d525980]

C'est effectivement intéressant et instructif sur une vision platonicienne. Mais il y a un présupposé, et de taille !

Je considère, pour plusieurs raisons trop longues à développer ici, que l'esprit humain est fondamentalement une machine de Turing. Si c'est vrai, l'histoire contée dans ce comic est une description tout-à-fait acceptable de l'univers (ou plutôt: de l'univers tel que nous le percevons).

Si l'esprit, ou plutôt le cerveau humain - esprit est un peu connoté pas clair - n'est pas une machine de Turing (ce que je pense), l'histoire du comic ne tient plus.

Mais ça ne réfute pas pour autant le platonicisme.